Контрольная работа Вариант 4 Задание 1 По данной производственной функции найти средние и предельные производительности каждого ресурса, частные эластичности выпуска по каждому ресурсу, эластичность производства и предельную технологическую норму замены. y ax1 x2b c Решение: Средние производительности: y ax1 x2b c x2b c , A1 a x1 x1 x1 A2 y ax1 x2b c ax c . x2b 1 1 x2 x2 x2 Предельные производительности равны: M1 y x1 ' a , M2 yx2 ' bx2b 1 . Частные эластичности равны: E1 E2 M1 a ax1 , A1 ax1 x2b c ax1 x2b c x1 M2 bx2b 1 bx2b . A 2 ax1 x2b c ax1 x2b c x2 Эластичность производства: ax1 bx2b ax1 bx2b . E E1 E 2 ax1 x2b c ax1 x2b c ax1 x2b c Технологическая норма замены есть: ax1 x2 E1 x2 ax1 x2b c ax1 x2 a R12 . bx2b E 2 x1 bx2b x1 bx2b 1 x1 ax1 x2b c Задание 2 Некоторое предприятие затрачивает а1 = 8 тыс. тонн ресурса и b1 = 24 тыс. часов труда для выпуска с1 = 57 тыс. единиц продукции. В результате расширения производства оказалось, что при затратах а 2 = 9 тыс. тонн ресурса выпуск возрос до с2 = 59 тыс. единиц продукции, а при увеличении трудоемкости до b2 = 25 тыс. часов, выпуск возрос до с3 = 61 тыс. единиц продукции. Найти линейную производственную функцию и производственную функцию Кобба-Дугласа. Решение: Запишем для удобства исходные данные в виде таблицы: x1 8 9 – x2 24 – 25 y 57 59 61 Линейная функция y a1 x1 a2 x2 b . Найдем параметры функции: a1 y 59 57 y 61 57 2 , a2 4. x2 25 24 x1 98 Получаем y 2 x1 4 x2 b . Для нахождения b используем первый столбец таблицы: 57 2 8 4 24 b , откуда b 55 . В результате линейная производственная функция имеет вид: y 2 x1 4 x2 55 . Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: y x1 x2 b . a1 a2 Коэффициенты уравнения: a1 59 57 / 59 0.305 a 61 57 / 61 1.639 , 2 . 9 8 / 9 25 24 / 25 Получаем y x10.305 x21.639 b . Для нахождения b используем первый столбец таблицы: 57 80.305 241.639 b , откуда b 0.165 . 2 В результате производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: y 0.165 x10.305 x21.639 . Задание 3 Целевая функция потребления имеет вид y x1 x2 . Цена на первое благо равна p1 10 , а на второе благо p 2 15 . Доход составляет D = 550. Найти: а) оптимальный набор благ x1 , x2 ; б) функцию спроса по цене на первое благо x1 p1 ; в) функцию спроса по доходу на первое благо x1 D ; Решение: 1) Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид: y x1 x2 max 10 x1 15 x2 550 . x1 , x2 0 Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения 10 x1 15 x2 550 одну переменную через другую: x1 55 1.5 x2 . Подставляем в целевую функцию: y x2 55 1.5x2 55x2 1.5 x22 . Находим производную и приравниваем ее к 0: y' 55 3 x2 2 55 x2 1.5 x2 2 Тогда x1 55 1.5 или 55 3 x2 0 , откуда x2 55 . 3 55 3 55 55 55 . 3 2 3 2 Таким образом, оптимальный набор благ составляет 55/2 и 55/3 единиц. 2) Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения 3 вводим цену первого блага p1 : p1 x1 15 x2 550 , откуда x2 110 p1 x1 . 3 15 Подставляем в целевую функцию: 110 p1x12 110 p1 x1 . y x1 x1 15 3 15 3 Находим производную и приравниваем ее к 0: 110 2 p1 x1 3 15 y' 110 px2 2 x1 1 1 3 15 или 110 2 p1 x1 275 – функция 0 , откуда x1 3 15 p1 спроса на первое благо по цене. 3) Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения 10 x1 15 x2 D одну переменную через другую: x2 D 10 x1 D 2 x1 . 15 15 3 Подставляем в целевую функцию: Dx1 2 x12 D 2 x1 . y x1 15 3 15 3 Находим производную и приравниваем ее к 0: D 4 x1 D D 4 15 3 y 0 или y x1 0 , откуда x1 – функция 15 3 20 Dx1 2 x12 2 15 3 спроса на первое благо по доходу. Задание 4 Межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 4 отраслей имеет вид: Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится 4 в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у четвертой – уменьшится на 10 процентов. Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице: Производящие Потребляющие отрасли Валовой отрасли 1 2 3 4 продукт 1 0 5 80 95 550 2 15 60 20 40 750 3 55 50 20 40 525 4 0 35 10 60 820 Решение: 1) Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу: b i X i xij . j b1 550 0 15 55 0 480 , b 2 750 5 60 50 35 600 , b3 525 80 20 20 10 395 , b 4 820 95 40 40 60 585 . 2) Конечный продукт отраслей: Yj X i xij . i Y1 550 0 5 80 95 370 , Y2 750 15 60 20 40 615 , Y3 525 55 50 20 40 360 , Y4 820 0 35 10 60 715 . 3) Элементы матрицы прямых затрат определяем по правилу aij Например, a11 0 5 0 , a12 0.009 . 550 550 5 xij . Xj 0.009 0.145 0.173 0 0.02 0.08 0.027 0.053 . В результате A 0.105 0.095 0.038 0.076 0.043 0.012 0.073 0 2 550 1100 1.5 750 1125 . 4) Новый валовой продукт X ' 1 525 525 0.9 820 738 Конечный продукт отраслей: Yj ' X i ' xij . i Y1 1100 0 5 80 95 920 , Y2 1125 15 60 20 40 990 , Y3 525 55 50 20 40 360 , Y4 738 0 35 10 60 633 . Задание 5 Имеется баланс двух взаимосвязанных отраслей (сельское хозяйство и машиностроение) за предыдущий год. Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет валовой продукт каждой отрасли, если конечный продукт сельского хозяйства необходимо увеличить на 40 %, а машиностроения уменьшить на 20 %. Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице. 10 25 120 xij X , j 145 . 5 20 Решение: Конечный продукт определим по формуле: Y E A X , 6 a 1 0 где E – единичная матрица, A 11 a21 0 1 a12 – матрица прямых затрат, a22 элементы которой определяются по правилу aij xij . Xj 25 10 120 145 0.083 0.172 В результате A . 20 0.042 0.138 5 120 145 1 0 0.083 0.172 0.917 0.172 E-A . 0 1 0.042 0.138 0.042 0.862 0.917 0.172 120 85 Y E A X 145 120 – конечный продукт 0.042 0.862 отраслей. Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу: b i X i xij . j Имеем b1 120 10 5 105 – чистая продукция c/x, b 2 145 25 20 100 – чистая продукция машиностроения. Для нахождения валового продукта ,соответствующего новому конечному 1.4 85 119 продукту вида Y ' , используем формулу: 0.8 120 96 X' E A Y ' . 1 Находим обратную матрицу: 0.917 0.172 0.862 0.172 E-A 0.783 , тогда , 0.042 0.862 0.042 0.917 E-A * E A 1 1.101 0.22 1 E-A * . E-A 0.053 1.171 1.101 0.22 119 152.1 В результате X ' 96 118.7 . 0.053 1.171 7 Задание 6 Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж пропорционально расходам на рекламу, необходимо: 1) В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~ y ax b . 2) Найти коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p = 0.95 проверить его значимость. 3) Построить графики данных и уравнения регрессии. 4) Сделать прогноз для количества продаж, если затраты на рекламу составят х = 5 млн. руб. хi yi 0 0,5 21,0 23,0 Решение: 1 23,7 1,5 23,8 2 25,8 2,5 27,6 3 28,4 3,5 29,7 4 31,7 4,5 31,6 1. Составим вспомогательную таблицу: № x y xy x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма Среднее 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 22,5 2,25 21 23 23,7 23,8 25,8 27,6 28,4 29,7 31,7 31,6 266,3 26,63 0 11,5 23,7 35,7 51,6 69 85,2 103,95 126,8 142,2 649,65 64,965 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25 16 20,25 71,25 7,125 441 529 561,69 566,44 665,64 761,76 806,56 882,09 1004,89 998,56 7217,63 721,763 Среднеквадратическое отклонение: x2 x 2 x 7.125 2.252 2.0625 , x x2 2.0625 1.436 . 2 y2 y 2 y 2 721.763 26.632 12.606 , y y2 12.606 3.551. Параметры модели: 8 a xy x y 2 x 64.965 2.25 26.63 2.447 , 2.0625 b y a x 26.63 2.447 2.25 21.124 . В результате уравнение регрессии имеет вид: y 2.447 x 21.124 . 2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной модели: rxy xy x y 64.965 2.25 26.63 0.99 . x y 1.436 3.551 Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными Х и Y имеется весьма высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т.е. с увеличением выделяемых на рекламу денежных средств число продаж также увеличивается. Проверяем значимость коэффициента корреляции: Вычисляем статистику: t расч rxy n2 10 2 0.99 19.74 . 1 rxy 2 1 0.992 Критическое значение статистики: tкр t 0.95;10 2 1.86 . Так как t расч tкр , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции. Строим на одном графике исходные данные (точками) и линию регрессии (рис. 1). Из графика видим, что линия регрессии достаточно точно описывает исходные данные. 9 Рис. 1. Исходные данные и линия регрессии 4. Прогноз для затрат рекламы 5 млн. руб. y(5) 2.447 5 21.124 33.36 продаж. Задание 7 Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования yi от среднемесячного дохода семьи xi . Предполагается, что эта зависимость носит показательный характер y ab x . Необходимо: 1. Найти уравнение показательной регрессии y ab x . 2. Найти нелинейный коэффициент парной корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,9 проверить его значимость. 3. Если коэффициент корреляции значим, то необходимо сделать прогноз доли расходов на товары длительного пользования при доходе семьи x = 7.2. хi yi 2 3,5 20,4 19,7 Решение: 4 16,6 5 17,3 5,5 15,1 1. Преобразуем данные: y ln y , A ln b , B ln a . Составим вспомогательную таблицу: 10 6,5 15,2 8 14,3 9 14,1 11 14,3 14 14,1 № x y y xy x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма Среднее 2 3,5 4 5 5,5 6,5 8 9 11 14 68,5 6,85 20,4 19,7 16,6 17,3 15,1 15,2 14,3 14,1 14,3 14,1 161,1 16,11 3,016 2,981 2,809 2,851 2,715 2,721 2,660 2,646 2,660 2,646 27,705 2,771 6,031 10,432 11,238 14,254 14,931 17,688 21,282 23,816 29,263 37,046 185,981 18,598 4 12,25 16 25 30,25 42,25 64 81 121 196 591,75 59,175 9,093 8,884 7,893 8,127 7,370 7,405 7,077 7,002 7,077 7,002 76,930 7,693 Среднеквадратическое отклонение: 2 x2 x 2 x 59.175 6.852 12.2525 , x x2 12.2525 3.5 . y2 y 2 y 2 7.693 2.7712 0.017 , y y2 0.017 0.131 . Параметры модели: A xy x y 2 x 18.598 6.85 2.770 0.031 , 12.2525 B y A x 2.771 0.031 6.85 2.983 . Возвращаемся к исходным параметрам: a e B e2.983 19.746 , b e A e0.031 0.969 В результате уравнение регрессии имеет вид: y 19.746 0.969 x . 2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной модели: rxy xy x y 18.598 6.85 2.771 0.826 . x y 3.5 0.131 Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными Х и Y имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как отрицательная, т.е. с увеличением среднемесячных доходов расходы на товары длительного пользования уменьшаются. Проверяем значимость коэффициента корреляции: Вычисляем статистику: 11 t расч rxy n2 10 2 0.826 4.14 . 2 1 rxy 1 0.8262 Критическое значение статистики: tкр t 0.9;10 2 1.397 . Так как t расч tкр , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции. 4. Прогноз при доходе семьи 7,2: y 7.2 19.746 0.9697.2 15.79 . 12