Лекция 11. § 6. Основные числовые характеристики двумерных

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 11.
§ 6. Основные числовые характеристики двумерных случайных величин
Для описания системы двух СВ используют математическое ожидание и дисперсии
составляющих. Важной характеристикой является условное математическое ожидание:
для дискретной СВ:
m
M (Y / X
y j p ( y j / x) ,
x)
j 1
для непрерывной СВ:
M (Y / X
y ( x / y)dy ,
x)
где
( x / y) - условная плотность составляющей Y при данном значении X x .
Условное математическое ожидание M (Y / x) - это функция от x , ее называют
функцией регрессии Y на X . Аналогично определяется функция регрессии X на Y :
M ( X / y) .
Важные характеристики двумерных СВ – это ковариация (корреляционный
момент) и коэффициент корреляции.
Ковариация:
K XY M (( X M ( X ))(Y M (Y )) .
Ковариацию можно также представить в виде:
K XY
M ( XY ) M ( X ) M (Y ) .
Для дискретных СВ:
K XY
xi y j pij
i
j
xi pi
i
yj pj
j
для непрерывных СВ:
K XY
xyf ( x, y)dxdy
xf X ( x)dx yfY ( y)dy
Очевидно,
K XY
KYX .
Ковариация двух независимых СВ равна 0. Следовательно, если она не равна нулю,
то величины зависимы.
Различные ковариации образуют матрицу ковариаций. Для двумерной СВ:
K
K XX
KYX
K XY
KYY
D( X ) K XY
.
K XY D(Y )
Коэффициент корреляции – безразмерная величина, определяемая равенством:
М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
rXY
K XY
.
( X ) (Y )
Очевидно, коэффициент корреляции независимых СВ равен нулю, т.к. K XY
Свойства:
1) K XY
D( X ) D(Y ) ,
2) rXY
0.
1.
Две СВ X и Y называются коррелированными, если корреляционный момент или
коэффициент корреляции отличен от нуля.
СВ X и Y называются некоррелированными, если корреляционный момент или
коэффициент корреляции равен нулю.
Если rXY 1, то между X и Y функциональная зависимость.
Две коррелированные СВ также зависимы, иначе мы пришли бы к выводу, что
K XY 0 , а это противоречит определению коррелированных СВ.
Обратное не всегда имеет место, т.е. если две СВ зависимы. То они могут быть как
коррелированными, так и некоррелированными.