Предикаты. Кванторы общности и существования ( 2693 )

Предикаты. Кванторы общности и существования.
§1. Недостаточность логики высказываний. Понятие предиката.
В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки
зрения их истинности или ложности.
Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время
и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
Например, в рассуждении “Всякий ромб – параллелограмм; АВСD – ромб; следовательно,
АВСD - параллелограмм” посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета
их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.
В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении
такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой логической системой является ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, содержащая всю логику
высказываний в качестве своей части.
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и
предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании;
предикат – это то, что утверждается о субъекте.
Пример 1. В высказывании “7 - простое число”, “7” – субъект, “простое
число” – предикат. Это высказывание
утверждает, что
“7” обладает
свойством “быть простым числом”.
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной x из множества
натуральных чисел, то получим высказывательную форму “ x –простое число”. При одних значения
x (например, x  13 , x  17 ) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях x
(например, x  10 , x  18 ) эта форма дает ложные высказывания.
Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной x , определенной на множестве  , и принимающую значения из множества {1; 0} . Здесь предикат становится
функцией субъекта и выражает свойство субъекта.
Дадим несколько определений, относящихся к предикатам.
Определение 1. Одноместным предикатом P(x) называется произвольная функция переменного
x,
определенная на множестве M и принимающая значение из множества {1; 0} .
Определение 2. Множество M , на котором определен предикат P(x) , называется областью определения предиката P(x) ).
Определение 3. Множество всех элементов x  M , при которых предикат принимает значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности предиката P(x) , т.е. множество истинности предиката P(x) - это множество I p  x : x  M , P( x)  1, или иначе: M P или так: M P(x).
x
x
Пример 2. Предикат P(x) =“ x – простое число” определен на множестве  , а
множество истинности I p для него есть множество всех простых чисел.
1
Пример 3. Предикат Q(x) =“ sin x  0 ” определен на множестве R , а его множеством истинности является IQ  k , k  Z.
Пример 4. Предикат F (x) =“диагонали параллелограмма x взаимно перпендикулярны” определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством
истинности является множество всех ромбов.
Упражнение 1. Найти множество истинности следующих предикатов, определенный на R :
а). x 2  4  0 ( I  {2; 2} )
б). x 2  4  0 ( I   )
в). x 2  4 x  4  0 ( I  {2} ).
Из приведенных примеров видим, что одноместные предикаты выражают свойства предметов (субъектов).
Определение 4. Предикат P(x) , определенный на множестве M , называется тождественно истинным, если его множество истинности совпадает с областью определения, т. е. I p  M .
Пример 5. Предикат P(x) = « | x | 0 », определенный на R , тождественно истинный.
Предикат P( x, y) = « ( x  y)2  x 2  2xy  y 2 », определенный на R 2 , тождественно истинный.
Определение 5. Предикат P(x) , определенный на множестве M , называется тождественно
ложным, если его множество истинности является пустым множеством, т. е. I p  0 .
Пример 6. Предикат P(x) = « | x | 0 » - тождественно ложный на R .
Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.
Примером бинарного отношения, т. е. отношения между двумя предметами, является отношение “меньше ”. Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть
охарактеризовано высказывательной формой “ x  y ”, где x, y  Z , т. е. является функцией двух переменных P( x, y) , определенной на множестве упорядоченных пар целых чисел Z  Z  Z 2 c множеством значений {1;0}.
Определение 6. Двухместным предикатом P( x, y) называется функция двух переменных x и y ,
определенная на множестве M  M1  M 2 и принимающая значения из множества {1;0}.
Пример 7. Q( x, y)  “ x  y ” - предикат равенства, определенный на множестве
R  R  R2 ;
F ( x, y) =“ x
параллелен y ”, “прямая x параллельна прямой y ”, определенный
на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.
Совершенно аналогично вводится понятие трехместного предиката.
Пример 8. S ( x, y, z) =“ x  y  z ”. Подстановка в него x  3 превращает его в
двухместный предикат: S ( y, z) =“ 3  y  z ”, а подстановка x  3 , z  2 – в одноместный предикат S ( y ) =“ 3  y  2 ”.Подстановка же S (2,3,5) превращает его в истинное высказывание, а S (1,7,4) – в ложное.
Аналогично определяется и n -местный предикат (функция n переменных).
Пример 9. R( x1, x2 ,..., xn ) : a1x1  ...  an xn  0 - алгебраическое уравнение с n неизвестными. При n  0 будем иметь нульместный предикат – это логическая
2
(пропозициональная)
{1;0}.
переменная,
принимающая
значения
из
множества
§2. Кванторные операции.
Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.
Пусть имеется предикат P (x ) определенный на множестве M . Если “а” – некоторый элемент из множества M , то подстановка его вместо x в предикат P (x ) превращает этот предикат в
высказывание P (a ) . Такое высказывание называют единичным. Например, f (x) : “ x – четное
число” – предикат, а f (6) - истинное высказывание, f (3) – ложное высказывание.
Это же относится и к n –местным предикатам: если вместо всех предметных переменных
xi , i  1, n подставить их значения, то получим высказывание.
Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате таких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат
в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов). При этом рассматриваются, соответственно, два типа так называемых кванторов.
1.1 Квантор всеобщности.
Определение 7. Пусть P (x ) – предикат, определенный на множестве M . Под выражением xP(x)
понимают высказывание, истинное, когда P (x ) истинно для каждого элемента x из множества
M , и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x . Соответствующее ему
словесное выражение звучит так: “Для всякого x P (x ) истинно ”.
Символ  называют квантором всеобщности (общности). Переменную x в предикате
P (x ) называют свободной (ей можно придавать различные значения из M , в высказывании же
xP(x) x называют связанной квантором всеобщности.
1.2 Квантор существования.
Определение 9. Пусть P (x ) -предикат определенный на множестве M . Под выражением xP(x )
понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент x M , для которого P (x ) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x . Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x , при котором P (x ) истинно.”
Символ  называют квантором существования. В высказывании xP(x ) переменная x связана
этим квантором (на нее навешен квантор).
Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на
множестве M задан двухместный предикат P( x, y) . Применение кванторной операции к предикату
P( x, y ) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P( x, y ) одноместный пре-
дикат xP( x, y ) (или одноместный предикат xP( x, y ) ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x . К ним можно применить кванторные операции по переменной y , которые
приведут уже к высказываниям следующих видов:
yxP( x, y ), yxP( x, y ), yxP( x, y ), yxP( x, y ).
Рассмотрим предикат P(x) , определенный на множестве M  {a1,..., an } , содержащем конечное число элементов. Если предикат P(x) является тождественно-истинным, то истинными будут
3
высказывания P(a1), P(a2 ), ..., P(an ) . При этом истинными будут высказывания xP(x) и конъюнкция
P(a1)  P(a2 )  ...  P(an ) .
Если же хотя бы для одного элемента ak  M P(ak ) окажется ложным, то ложными будут
n
высказывание xP(x) и конъюнкция  P(ai ) . Следовательно, справедлива равносильность
i1
n
xP( x)  P(a1)  P(a2 )  ...  P(an )   P(ai ) .
i 1
Численные кванторы.
В математике часто встречаются выражения вида “по меньшей мере n ” (“хотя бы n ”), “не
более чем n ”, “ n и только n ” (“ровно n ”), где n – натуральное число.
Эти выражения, называемые численными кванторами, имеют чисто логический смысл;
они могут быть заменены равнозначными выражениями, не содержащими числительных и состоящими только из логических терминов и знака  или ~, означающего тождество (совпадение) объектов.
Пусть n  1 . Предложение “По меньшей мере один объект обладает свойством P ” имеет тот
же смысл, что и предложение “Существует объект, обладающий свойством P ”, т.е.
x( P( x)).
(*)
Предложение “не более чем один объект обладает свойством P ” равнозначно предложению
“Если есть объекты, обладающие свойством P , то они совпадают”, т.е.
xy ( P( x)  P( y )  x  y ).
(**)
Предложение “один и только один объект обладает свойством P ” равнозначно конъюнкции вышеуказанных предложений (*) и (**).
1.3 Отрицание предложений с кванторами.
Известно, что часто для отрицания некоторого предложения достаточно предпослать сказуемому этого предложения отрицательную частицу “не”. Например, отрицанием предложения “Река x падает в Черное море” является предложение “Река x не впадает в Черное море ”. Годится ли
этот прием для построения отрицаний предложений с кванторами? Рассмотрим пример.
Предложения “Все птицы летают ” и “Все птицы не летают ” не являются отрицаниями
друг друга, т. к. они оба ложны. Предложения “ Некоторые птицы летают ” и “ Некоторые птицы
не летают ” не являются отрицанием друг друга, т. к. они оба истинны. Таким образом , предложения , полученные добавлением частицы “не” к сказуемому предложений “Все x суть P ” и “Некоторые x суть P ” не являются отрицаниями этих предложений. Универсальным способом построения отрицания данного предложения является добавление словосочетания “наверно, что” в начале
предложения. Таким образом, отрицанием предложения “Все птицы летают” является предложение “Неверно, что все птицы летают”; но это предложение имеет тот же смысл, что и предложение
“Некоторые птицы не летают”. Отрицанием предложения “Некоторые птицы летают” является
предложение “Неверно, что некоторые птицы летают”, которое имеет тот же смысл, что и предложение “Все птицы не летают”.
Условимся отрицание предложения x( P( x)) записывать как x( P( x)) , а отрицание предложения x( P( x)) – как x( P( x)) . Очевидно, что предложение x( P( x)) имеет тот же смысл, а следова-
4
тельно, то же значение истинности, что и предложение x( P( x)) , а предложение x( P( x)) – тот же
смысл, что x( P( x)) . Иначе говоря, x( P( x)) равносильно x( P( x)) ; x( P( x)) равносильно x( P( x)) .
Кванторы общности и существования называют двойственными относительно друг друга.
Выясним теперь, как строить отрицание предложения, начинающегося с нескольких кванторов,
например, такого: xyz( P( x, y, z)) .
Последовательно
применяя
сформулированное
выше
xyz( P( x, y, z))  x(yz( P( x, y, z))  xy(z( P( x, y, z)))  xyz( P( x, y, z)) .
правило,
получим:
Упражнение. Пусть S ( x, y)  ( х сидит за одной партой с у) , H ( x)  ( x  мальчик) ,
D( x)  ( х  девочка) – предикаты на множестве школьников одного класса. Записать языком
предикатов высказывание и его отрицание:
1) каждый мальчик сидит с девочкой;
2) есть мальчик, который сидит один;
3) есть две девочки, которые сидят вместе;
4) мальчики и девочки сидят парами;
5) нет девочки, которая сидит одна;
каждая девочка сидит с мальчиком.
логики
5