Лекция 13 Основные понятия Основные понятия исчисления предикатов

Дискретная математика: Математическая логика
Лекция 13
Основные понятия исчисления предикатов
Основные понятия
Одноместным предикатом P(x) называется всякая функция одной переменной,
аргумент, которой х определен
на
некотором множестве М, а значение функции
определены на множестве {0,1}[1].
Множество М, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.
Множество Ip, на котором предикат принимает только истинные значения, называется
областью истинности предиката P(x).
Предикат P(x) называется тождественно истинным (тождественно ложным) на
множестве М, если Ip=М (Ip=).
N-местным предикатом Q(x1, x2,…,xn) называется всякая функция n переменных,
определенная на множестве
M  M1  M 2  ...  M n
и принимающая значение на
множестве {0,1}.
Предикат P(x) является следствием Q(x) ( Q( x )  P ( x ) ) , если I p  I Q
Предикаты P(x) и Q(x) равносильны ( Q( x )  P ( x ) ), если I p  I Q , т.е. они являются
следствием друг друга.
Логические операции над предикатами
Так как предикаты принимают значения 0 и 1, к ним можно применять все операции
алгебры высказываний. Пусть на некотором множестве М заданы два предиката P(x) и
Q(x).
Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат Q( x ) & P ( x ) ,
который равен 1 при тех и только при тех значениях x  M , при которых каждый из
предикатов принимает значение «истина»,
и принимает значение «ложь» во всех
остальных случаях.
Очевидно, что областью истинности предиката Q( x ) & P ( x ) является I p
IQ .
Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат Q( x )  P ( x ) ,
который равен 0 при тех и только при тех значениях x  M , при которых каждый из
1
Дискретная математика: Математическая логика
предикатов принимает значение «ложь»,
и принимает значение «истина» во всех
остальных случаях.
Очевидно, что областью истинности предиката Q( x )  P ( x ) является I p
IQ .
Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат P ( x ) , который равен 0 при всех
значениях x  M , при которых P(x) равен значению «истина»,
и равен 1 при всех
значениях x  M , при которых P(x) равен значению «ложь».
Очевидно, что областью истинности предиката P ( x ) является I p  M \ I P  I p .
Импликацией
предикатов P(x) и Q(x)
называется новый предикат Q( x )  P ( x ) ,
который равен 0 при тех и только при тех значениях x  M , при которых P(x) принимает
значение «истина», а Q(x) - значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех
остальных случаях.
Очевидно,
что
областью
I P Q  I P
IQ  I P
истинности
предиката
Q( x )  P ( x )
является
IQ .
Задача 1
Заданы предикаты P ( x ) , Q( x ) и R( x ) на множестве натуральных чисел N:
P ( x ) : «число Х делится на 5»
Q( x ) : «число Х четное».
Найти
область
истинности
предикатов
Q( x ) & P ( x ) ,
Q( x )  P ( x ) ,
Q( x )  P ( x ) .
Решение
Так как Ip = {5, 10, 15, 20, …. 5n, ..} и IQ = {2, 4, 6, 8, 10, … 2n, ..}, то
IQ& P  IQ
I P ={10, 20, …,20n,..},
IQ P  IQ
I P ={2, 4, 5, 6, 8, 10, … 2n,5n, ..},
IQ P  IQ
I P ={5, 10, 15,… ,5n, ..}
{1, 3, 5, … 2n-1, ..}= {1, 3, 5, 7, 9, 10, … 2n-1,5n, ..}.
Задача 2
Задан предикат P ( x ) :
x2  2 x  1
>0 на множестве рациональных чисел R.
x2  3 x  2
Найти область истинности предиката
2
Дискретная математика: Математическая логика
Решение
Найдем область, на которой данный предикат может быть
определен. Поскольку
знаменатель дроби не может быть равен 0, то x  1, x  2 . Для того, чтобы наша дробь
была положительной, необходимо, чтобы знаки числителя и знаменателя совпадали:
-2
-1
Отсюда I P  (, 2)  (1, )
Кванторные операции над предикатами
Задан
предикат P ( x ) , определенный на множестве М. Если а - некий элемент из
множества М, то его подстановка вместо х в предикат P ( x ) , превращает этот предикат в
высказывание P (а ) .
В логике предикатов существуют две кванторные операции, которые превращают
одноместный предикат в высказывание и связывают переменные.
Пусть задан предикат P ( x ) , определенный на множестве М.
Тогда под выражением xP ( x ) понимаем высказывание, истинное тогда и только тогда,
когда P ( x ) истинен для каждого элемента х из М, и ложное в противном случае. Это
высказывание не зависит от x, его словесное выражение выглядит так «Для любого x
P ( x ) истинно». Символ  называется квантором всеобщности.
Переменная x в предикате P ( x ) свободна, в высказывании xP ( x ) переменная x
связана квантором всеобщности.
Под выражением xP ( x ) понимаем высказывание, истинное тогда и только тогда, когда
существует элемент x из М, для которого P ( x ) истинен, и ложное в противном случае.
Это высказывание не зависит от x, его словесное выражение выглядит так «Существует x ,
для которого P ( x ) истинно». Символ  называется квантором существования.
Переменная x в предикате P ( x ) свободна, в высказывании xP ( x ) переменная x связана
квантором существования.
Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам.
3
Дискретная математика: Математическая логика
Например, применение кванторной операции xP ( x , y ) к двухместному предикату,
превращает его в одноместный, зависящий только от переменной y.
Рассмотрим предикат P ( x ) , определенный на множестве M={a1, a2,…,an}. Если P ( x )
тождественно истинен, то истинными будут высказывания P (a1 ) … P (an ) . При этом
истинными будут выказывание xP ( x ) и конъюнкция P (a1 ) & P (a2 ) & ... & P (an ) . Если
найдется хотя бы один элемент aj из М, на котором P ( a j )  0 , то ложными будут
высказывания
xP ( x )
и
конъюнкция
P (a1 ) & P (a2 ) & ... & P (an ) .
Следовательно,
существует равносильность
xP ( x )  P (a1 ) & P (a2 ) & ...& P (an )
Рассмотрим предикат Q( x ) , определенный на множестве M={a1, a2,…,an}. Если Q( x )
тождественно ложен, то ложными будут высказывания Q(a1 ) … Q(an ) . При этом ложными
будут выказывание xQ ( x ) и дизъюнкция Q(a1 )  Q(a2 )  ...  Q(an ) . Если найдется хотя
бы один элемент aj из М, на котором Q(a j )  1 , то истинными
xQ ( x )
и
дизъюнкция
Q(a1 )  Q(a2 )  ...  Q(an ) .
будут высказывания
Следовательно,
существует
равносильность
xQ( x )  Q(a1 )  Q(a2 )  ...  Q(an )
Таким образом, кванторные операции можно трактовать, как обобщение дизъюнкции и
конъюнкции на случай бесконечных множеств.
Литература
1. Лихтарникова Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика/Курс лекций. - СПб.:
Издательство «Лань», 1998.-288с
2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. – 304с
3. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. -
М.: Наука.
Физматлит, 1999.-544с
4