2. Автоморфизмы интерпретаций

Московский физико-технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2010
Задачи про автоморфизмы интерпретаций и элиминацию кванторов
1. Опишите все автоморфизмы интерпретаций:
hZ, <, =i;
hN, <, =i;
hZ, +, =i;
hQ, +, <, =i;
hR, <, =i;
hV, Ei, где V — множество вершин куба, E(x, y) = 1, если вершины x и y соединены
ребром;
g) hR, Ei, где E(x, y) = 1, если |x − y| = 1;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Докажите, что следующие предикаты не выразимы в следующих интерпретациях:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x = 0 в hZ, <, =i;
x = 1 в hZ, +, =i;
x = 1 в hQ, +, <, =i;
x = 1/2 в hR, 0, 1, <, =i;
x < y в hN, |i;
|x − y| = 1/2 в hR, Ei, где E(x, y) = 1, если |x − y| = 1;
“∠xyz острый” в hR2 , Li, где L(x, y, z) = 1, если x, y и z лежат на одной прямой.
3. Придумайте предикат P на множестве R, выразимый через предикат x > y, но
такой, что x > y через него невыразим. P должен удовлетворять дополнительному
условию: если среди его аргументов хотя бы два равных, то он ложный. (В частности,
не подходят тождественная истина и предикат равенства).
4. Докажите, что предикат “x и y — братья” не выразим в интерпретации hP; M, S, P i,
где P — множество всех жителей Москвы, M (x) истинно, когда x является мужчиной,
S(x, y) истинно, когда x и y являются супругами, P (x, y) истинно, когда x является
родителем y.
5. Докажите, что любая формула в интерпретации hN, S, =i эквивалентна некоторой
бескванторной формуле. Опишите множество выразимых предикатов в этой интерпретации. Докажите невыразимость предикатов <, “быть вдвое больше”.
6. Докажите, что любая формула в интерпретации hQ, +, =i эквивалентна некоторой
бескванторной формуле. Опишите множество выразимых предикатов в этой интерпретации. Докажите невыразимость предиката “быть больше по модулю”.
1