ЭКОНОМЕТРИКА задания для контрольной работы

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Общие указания по выполнению контрольных заданий
1 Линейный парный регрессионный анализ
2 Множественный регрессионный анализ
4
4
5
1
2
3 Системы эконометрических уравнений
1
9
4 Временные ряды в эконометрических исследованиях
2
2
5 Контрольные задания по курсу
3
2
Библиографический список
3
4
Приложение А (задание №1 и №2)
3
5
Приложение Б (задание №3)
3
9
Приложение В (задание №4)
4
2
Приложение Г Распределение Стьюдента (t-распределение)
4
5
Приложение Д Распределение Фишера (F-распределение)
4
6
ВВЕДЕНИЕ
Сегодня деятельность в любой области экономики (управления, финансово-кредитной сфере,
маркетинге, учете и аудите) требует от специалистов применения современных методов работы, знания
достижения мировой экономической мысли, понимания научного языка.
Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без
глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Поэтому эконометрика (наряду с
микроэкономикой и макроэкономикой) входит в число базовых дисциплин современного экономического
образования.
Первая часть методических указаний содержит теоретические аспекты и подробный анализ типовых
эконометрических задач. Вторая часть предполагает самостоятельную работу студентов по решению задач.
Следует отметить, что условия задач в основном базируются на реальной экономической информации.
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Контрольная работа по курсу "Эконометрика" выполняется для приобретения студентами опыта
построения эконометрических моделей, принятия решений спецификации и идентификации моделей, выбора
методов оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок.
При выполнении контрольных работ следует обратить внимание на следующие требования:
1 Задания к контрольной работе составлены в 100 вариантах. Каждый студент выполняет один
вариант. Номер его варианта соответствует последним двум цифрам номера его зачетной книжки. Замена задач
не допускается. Номер варианта указывается в самом начале работы.
2
Расчеты можно выполнять с использованием статистических возможностей, например,
электронных таблиц MS Excel для Windows, либо других статистических или эконометрических пакетов.
4 Нельзя ограничиваться приведением только готовых ответов. Расчеты должны быть представлены
в развернутом виде, применяя, где это необходимо табличные оформления исходной информации и расчетов,
со всеми формулами, пояснениями и выводами, соблюдая достаточную точность вычислений. В пояснениях и
выводах показать, что именно и как характеризует исчисленный показатель.
4
5 Работа должна быть написана разборчиво, без помарок. На обложке необходимо указать фамилию,
имя, отчество, факультет, курс, номер зачетной книжки. Работа должна содержать список использованной
литературы, быть подписана студентом, указана дата выполнения работы.
6 Контрольная работа должна быть представлена в установленные учебным планом сроки.
Абсолютно идентичные работы, а также работы, переснятые на ксероксе не принимаются и рассматриваются.
7 За консультацией по всем вопросам, возникшим в процессе изучения курса эконометрики и
выполнения контрольной работы, следует обращаться на кафедру статистики и ЭММ, ул. Псковская, д. 3, ауд.
505.
8 При выполнении контрольной работы используется литература, рекомендованная в
библиографическом списке.
1 ЛИНЕЙНЫЙ ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Все существующие связи между признаками классифицируют по степени тесноты, направлению,
форме, числу факторов.
По степени тесноты связи делят на статистические и функциональные.
Статистическая связь - это такая связь между признаками, при которой для каждого значения
признака-фактора X признак-результат  может в определенных пределах принимать любые значения с
некоторыми вероятностями; при этом его статистические (массовые) характеристики (например, среднее
значение) изменяются по определенному закону.
Статистическая связь обусловлена тем, что:
1) на результативный признак оказывают влияние не только факторы, учтенные в модели (которые
мы исследуем), но и неучтенные или неконтролируемые факторы;
2) неизбежностью ошибок измерения значений признаков.
Модель статистической связи может быть представлена в общем виде уравнением:
 
y  f  , u 
где  - зависимая переменная (предиктор, результативный признак), фактическое значение
результативного признака;
Х – независимая переменная (регрессор);
f  - детерминированная составляющая - часть результативного признака, сформировавшаяся под
воздействием учтенных известных факторных признаков;
U – случайная составляющая (случайный остаток).
Противоположной статистической связи является функциональная. Функциональной называется такая
связь, когда каждому возможному значению признака-фактора  соответствует одно или несколько строго
 
 
определенных значений результативного признака
  . Определение функциональной связи может быть легко
5
обобщено для случая многих признаков –
 
1 ,  2 ,...,  m . Модель функциональной связи в общем виде можно
представить уравнением:
 f 
По направлению изменений результативного и факторного признаков связи делят на прямые и
обратные.
По форме связи (виду функции f) связи делят на прямолинейные (линейные) и криволинейные
(нелинейные).
По количеству факторов в модели связи подразделяют на однофакторные (парные) и
многофакторные.
Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный
анализ.
Регрессионный анализ представляет собой установление аналитической зависимости между
признаками. Он включает следующие этапы:
1) выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);
2) оценка параметров уравнения;
3) оценка качества аналитического уравнения регрессии.
Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма.
Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной
вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов
преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.
Линейная парная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:
  a0  a1    u
где
a 0 и a1 – параметры уравнения регрессии;
u - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием неконтролируемых или
неучтенных факторов, а также ошибок измерения признаков.
Оценка параметров линейной регрессии проводиться по пространственной выборки (Yi Хi) i  1, n .
Для получения оценок наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (эффективные и несмещенные) оценки параметров
уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно
случайного члена u и независимой переменной  .
 
 
МНК позволяет получить такие оценки параметров
a 0 и a1 , при которых сумма квадратов
отклонений фактических значений результативного признака Y – от расчетных (теоретических) значений —Ŷ
минимальна:
S=Σ(Y-Ŷ)2 → min.
Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным
наблюдений
 ,  , i  1; n
i
i
в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют
корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам
корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов
расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.
Y
Ŷ
Y
X
X
Рисунок 1 - Корреляционное поле зависимости между X и Y.
В случае линейной парной зависимости:
S   (Yi  (a0  a1  X i )) 2  min .
i и  i n  нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой
константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров – a 0 и a1 . Чтобы найти
Значения
минимум функции двух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому
из параметров и приравнять их к нулю, т.е.
6
S
S
 0,
 0.
a 0
a1
В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:
n
n

  Yi  a0  n  a1  X i
i 1
i 1
n
n
n
 Yi X i  a0  X i  a1  X i2
 i 1
i 1
i 1
или

  Y  a 0  n  a1  X


 YX  a 0  X  a1  X 2

Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:
X Y  X Y
a1 
 x2
,
a0  Y  a1  X ,
где X , Y и XY - средние значения факторов Х, Y и их произведения.
В системе нормальных уравнений индексы опущены для облегчения запоминания .
Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм
ΣY=ΣŶ (при этом возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).
Знак коэффициента регрессии a1 указывает направление связи (если a1  0 , связь прямая, если
a1  0 , то связь обратная). Величина a1 показывает, на сколько единиц изменится в среднем признакрезультат –Y при изменении признака-фактора – Х на 1 единицу своего измерения.
Формально значение параметра a 0 - среднее значение Y при X равном нулю. Если признак-фактор не
имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра
a 0 не имеет смысла.
Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной
парной корреляции - rxy . Он может быть рассчитан по формуле: rxy 
X Y  X Y
 x  y
,
Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:
0.1- 0.3- слабая связь
0.3-0.5 – умеренная связь
0.5-0.7- заметная связь
0.7-0.9- тесная связь
0.9-0.99- весьма тесная (Здесь значения rxy взять по модулю).
где
x
- среднее квадратическое отклонение факторного признака, которое определяется по формуле:
(X  X )
x 
у
2
n
 X 2  ( X )2 .
- среднее квадратическое отклонение результативного признака, которое определяется по
формуле:
ó 
 (Y
 Y )2
n
 Y 2  (Y ) 2 .
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент
регрессии
a1 : rxy  a1
x
y
.
Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от -1 до +1. Знак
коэффициента корреляции указывает направление связи. Если rxy  0 , то связь прямая; если rxy  0 , то связь
обратная.
Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть
интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице rxy  1 , то связь между
признаками функциональная линейная. Если признаки X и Y линейно независимы, то rxy близок к 0.
7
Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент
2
детерминации - R yx . Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного
признака Y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором Х), в общей вариации (дисперсии) Y.
2
2
Коэффициент детерминации R yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1 R yx
характеризует долю дисперсии Y, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками
спецификации.
2
R yx=
2
δ
Σ(Ŷ- Y )2
____
_____________
2
σ y
где
=
Σ(Y- Y )2
 2 - объясненная уравнением регрессии дисперсия Y;
 2y
- общая (полная) дисперсия Y.
В силу теоремы о сложении дисперсий общая дисперсия результативного признака равна сумме
  и остаточной (необъясненной)   дисперсий:
2
2
объясненной уравнением регрессии
 2   2  2.
Поэтому коэффициент детерминации может быть рассчитан через остаточную и общую дисперсии:
ε2
Σ(Y-Ŷ)2
R2=1- ____ = 1 - _____________
σ2y Σ(Y- Y )2
 2 - остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия Y.
2
2
При парной линейной регрессии R yx  r yx .
где
Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии.
С помощью МНК можно получить лишь оценки параметров уравнения регрессии. Чтобы проверить,
значимы ли параметры (т.е. значимо ли они отличаются от нуля в истинном уравнении регрессии) используют
статистические методы проверки гипотез. В качестве основной гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом
отличии от нуля параметра регрессии или коэффициента корреляции. Альтернативной гипотезой, при этом
является гипотеза обратная, т.е. о неравенстве нулю параметра или коэффициента корреляции. Для проверки
гипотезы используется t-критерий Стьюдента.
Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или
фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения
Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).
Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы, которое


 
в случае линейной парной регрессии равно n  2 , n-число наблюдений.
Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то считают, что с
вероятностью 1   параметр регрессии (коэффициент корреляции) значимо отличается от нуля.
Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать
основную гипотезу, т.е. параметр регрессии (коэффициент корреляции) незначимо отличается от нуля при
уровне значимости  .
Фактические значения t-критерия определяются по формулам:


t a0  a 0 
t a1  a1 
где
 ост 
n2
,
 ост
n2
 ост
x,
 Y

Y
n

2
.
Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции
используют критерий:
8
n2
,
1 r2
tr  r 
где r - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным.
Прогноз ожидаемого значения результативного признака Y по линейному парному уравнению
регрессии.
Пусть требуется оценить прогнозное значение признака-результата для заданного значения признака-
 
фактора  . Прогнозируемое значение признака-результата с доверительной вероятностью равной
принадлежит интервалу прогноза:
p
1   
(Y p  t   p ; Y p  t   p ) ,
где  - точечный прогноз;
t - коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от
p
уровня значимости
α
и числа степеней свободы
n  2 ;
 p - средняя ошибка прогноза.
Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как:
 p  a 0  a1   p .
Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:
p 

p
2
 Y )2  1
1   ( X  X )
 n  ( X  X )2
n2

 (Y

.


Пример 1.
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту 100, требуется:
1.
Построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из
признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (Х), другой результативного   . Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе
экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2.
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать
выводы.
3.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с
уровнем значимости 0,05.
4.
Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном значении
признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку
прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.
Решение:
В качестве признака-фактора в данном случае выберем курсовую цену акций, так как от
прибыльности акций зависит величина начисленных дивидендов. Таким образом, результативным будет
признак дивиденды, начисленные по результатам деятельности.
Для облегчения расчетов построим расчетную таблицу, которая заполняется по ходу решения задачи.
(Таблица 1)
Для наглядности зависимости Y от X представим графически. (Рисунок 2)
9
21,00
20,80
20,60
Дивиденды
20,40
20,20
20,00
19,80
19,60
19,40
19,20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150
Курсовая цена акций
Рисунок 2 - Корреляционное поле зависимости суммы
дивидендов от курсовой цены акций
Таблица 1 - Расчетная таблица
№
Y
X
Ŷ
(Y- Ŷ) (Y- Ŷ) ( X  X ) (Y  Y )
X2 Y2
3721 375,2 19,81
-0,44 0,197 1267,36
0,64
2
Y*X
2
2
1
19,37
61 1181,6
2
19,42
52 1009,8
2704 377,14
19,72
-0,3
3
19,57
91 1780,9
8281 382,98
20,11
-0,54
0,296
4
19,59
70 1371,3
4900 383,77
19,9
-0,31
0,099 707,56 0,3364
…
…
…
…
…
…
…
77
20,65
120
2478
14400 426,42
20,4
0,25
0,061 547,56 0,2304
78
20,66
128 2644,5
16384 426,84
20,48
0,18
0,031 985,96 0,2401
79
20,69
107 2213,8
11449 428,08
20,27
0,42
0,173 108,16 0,2704
80
20,83
124 2582,9
15376 433,89
20,44
0,39
0,149 750,76 0,4356
Итого
1613,6
х
3,821 35291,2
В
среднем
20,17
…
7728 156250 781816
32554 1613,6
96,6 1953,1 9772,7 406,93
20,17
х
0,092 1989,16 0,5625
…
31,36
…
0,36
…
7,814
0,048 441,14 0,0977

Построим уравнение регрессии вида: Y  a 0  a1 X .
1.
Для этого необходимо определить параметры уравнения
Определим
где
X
2
a 0 и a1 .
X Y  X Y
a1 : a1 
X 2  X
- среднее из значений
X  - среднее значение 
2

2
,
 , возведенных в квадрат;
в квадрате.
1953,124  20,17  96,6 1953,124  1948,42 4,704


 0,01
9772,7  9331,56
441,14
441,14
Определим параметр а0:
a 0  Y  a1 X  20,17  0,01  96,6  20,17  0,966  19,204
a1 
Получим уравнение регрессии следующего вида:

Y  19,204  0,01  X
Параметр a 0 показывает, сколько составили бы дивиденды, начисленные по результатам
деятельности при отсутствии влияния со стороны курсовой цены акций. На основе параметра a1 можно
сделать вывод, что при изменении курсовой цены акций на 1 руб. произойдет изменение дивидендов в ту же
сторону на 0,01 млн. руб.
2.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации.
Линейный коэффициент парной корреляции определим по формуле:
r
X Y  X Y
,
 x  y
Определим
x
иy:
 X  X 
2
x 
 441,14  21,003
n
 Y  Y 
2
y 
 0,0977  0,313
n
Тогда
r
1953,124  1948,42 4,704

 0,708
0,313  21,003
6,643
Коэффициент корреляции, равный 0,708, позволяет судить о тесной связи между результативным
и факторным признаками 0,708  0,700 .
Коэффициент детерминации равен квадрату линейного коэффициента корреляции:


r 2  0,708  0,50 50%
2
Коэффициент детерминации показывает, что на


50%
вариации начисленных дивидендов
зависит от вариации курсовой цены акций, и на 50% - от остальных неучтенных в модели факторов.
3.
Оценим значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента
корреляции по t-критерию Стьюдента. Необходимо сравнить расчетные значения t-критерия для каждого
параметра и сравнить его с табличным.
Для расчета фактических значений t-критерия определим  ост :
 Y  Y 

 ост 
n
2
 0,048  0,219
Тогда
t a0  a 0 
n2
 ост
 19,204
78
8,83
 19,204
 774,3
0,219
0,219
11
t a1  a1 
n2
 ост
Далее определим
78
8,83
21,003  0,01
21,003  8,468
0,219
0,219
при уровне значимости   0,05 и числе степеней свободы равном
 x  0,01
t табл .
v  n  2  80  2  78 :
t табл (  0,05; v  78)  2,000
t a  t табл
t a0 и t a1 с t табл : 0
Сравним
, следовательно, оба параметра уравнения регрессии
t a1  t табл
признаются значимыми.
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции:
n2
78
 0,708
 0,708 156  0,708  12,49  8,84
2
1  0,50
1 r
Сравниваем t r с уже известным нам значением t табл : t r  t табл , следовательно, линейный
tr  r 
коэффициент корреляции существенен.
4.
Выполним прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном значении
признака-фактора X, составляющим 105% от среднего уровня X.
Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии:
 p  a 0  a1   p ,
В нашем случае
X p  X  1,05  96,6  1,05  101,43
Тогда Y  19,204  0,01  101,43  20,218
Оценим ошибку прогноза:
p
 Y  Y 

p 
n2
2


2
 1
XpX

 1 
2
 n
 X  X 

2

  3,821  (1  1  101,43  96,60  ) 

78
80
35291,2

1


 0,0491 
 0,0001  0,049  1,0126  0,0496  0,223
 80

После этого определим интервал, к которому с вероятностью 0,95 принадлежит прогнозное
значение признака Y:
Y

 t   p ;Y p  t   p ,
где t  2,000 – табличное значение t-критерия при   0,05 и числе степеней свободы
v  n  2  80  2  78 .
p
В данном случае интервал будет такой:
20,218  2,000  0,223; 20,218  2,000  0,223
19,8; 20,7 
То есть, с вероятностью 0,95 прогнозируемая величина дивидендов при курсовой стоимости акций
равной 101,43 руб. будет принадлежать интервалу от 19,8 до 20,7 млн. руб.
12
2 МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации
модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии.
Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:
1) теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него
существенное влияние;
2) количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между
признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных
коэффициентов корреляции):
ry , y
rx1 , y
ry , x1
rx1 , x2
ry , x2
rx2 , x2
... ry , xm
... rx2 , xm
....
rxm , y
rxm , x1
rx1 , x2
... rxm , xm
Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:
1.
Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель
качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную
определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).
2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной
линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
3. Факторы не должны быть коррелированны друг с другом, тем более находиться в строгой
функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированны). Разновидностью
интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - наличие высокой линейной связи
между всеми или несколькими факторами.
Мультиколлинеарность может привести к нежелательным последствиям:
1) оценки параметров становятся ненадежными, обнаруживают большие стандартные ошибки и
меняются с изменением объема наблюдений (не только в величине, но и по знаку), что делает модель
непригодной для анализа и прогнозирования.
2) затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия
факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют
экономический смысл;
3) нельзя определить изолированное влияние факторов на результативный показатель.
Мультиколлинеарность имеет место, если определитель матрицы межфакторной корреляции
близок к нулю:
rx1x1
Det R  rx1x2
rx1x3
rx2 x1
rx2 x2
rx2 x3
rx3 x1 1 1 1
rx3 x2  1 1 1  0
rx3 x3 1 1 1
Если же определитель матрицы межфакторной корреляции близок к единице, то
мультколлинеарности нет.
Существуют различные подходы преодоления сильной межфакторной корреляции. Простейший
из них - исключение из модели фактора (или факторов), в наибольшей степени ответственных за
мультиколлинеарность при условии, что качество модели при этом пострадает несущественно (а именно,
R 2 y  x1... xm  снизится несущественно).
Определение факторов, ответственных за мультиколлинеарность, может быть основано на анализе
матрицы межфакторной корреляции. При этом определяют пару признаков-факторов, которые сильнее
всего связаны между собой (коэффициент линейной парной корреляции максимален по модулю). Из этой
пары в наибольшей степени ответственным за Мультиколлинеарность будет тот признак, который теснее
связан с другими факторами модели (имеет более высокие по модулю значения коэффициентов парной
линейной корреляции).
Еще один способ определения факторов, ответственных за мультиколлинеарность основан на
вычислении
коэффициентов
множественной
детерминации
R
2

x x1 ,..., x 1, x 1,..., xm

 , показывающего
зависимость каждого фактора от других факторов модели. При этом в качестве зависимой переменной
рассматривается каждый из факторов ( ; m) . А в качестве независимых переменных прочие факторы
модели ( ; m) . Чем ближе значение коэффициента множественной детерминации к единице, тем больше
ответственность за мультиколлинеарность фактора, выступающего в роли зависимой переменной.
13
Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации для различных факторов можно
проранжировать переменные по степени ответственности за мультиколлинеарность.
При выборе формы уравнения множественной регрессии предпочтение отдается линейной

функции:   a 0  a1   1  a 2   2 ...  a m   m
в виду четкой интерпретации параметров.
Данное уравнение регрессии называют уравнением регрессии в естественном (натуральном)
масштабе. Коэффициент регрессии a при факторе  называют условно-чистым коэффициентом
регрессии. Он измеряет среднее по совокупности отклонение признака-результата от его средней величины
при отклонении признака-фактора  на единицу, при условии, что все прочие факторы модели не
изменяются (зафиксированы на своих средних уровнях).
Если не делать предположения о значениях прочих факторов, входящих в модель, то это означало
бы, что каждый из них при изменении  также изменялся бы, так как факторы (пусть и несильно) связаны
между собой, и своим изменением оказывал бы влияние на признак-результат.
Расчет параметров уравнения линейной множественной регрессии.
Параметры уравнения линейной множественной регрессии можно определить методом
наименьших квадратов, как и в случае парной регрессии.
Параметры линейного множественного уравнения регрессии можно определить и другим
способом - через β-коэффициенты (параметры уравнения регрессии в стандартных масштабах).
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых
признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:
tx 
XX
x
,
 - значение переменной
Y Y
.
tY 
где
Y
Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним
значением, а в качестве единицы изменения принимается ее  . Если связь между переменными в
естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не
нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty    tX .
β-коэффициенты могут быть оценены с помощью обычного МНК. При этом система нормальных
уравнений будет иметь вид:
rx1 y  1  rx1x2  2  ...  rx1xm  m
rx2 y  rx2 x1 1   2  ...  rx2 xm  m
rxm y
.......
 rxm x1 1  rxm x2  2  ...   m
Найденные из данной системы β-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в
регрессии в естественном масштабе по формулам:
à  
y
; a  Y  b  X
x
.
Показатели тесноты связи факторов с результатом.
Если факторные признаки различны по своей сущности и/или имеют различные единицы
измерения, то коэффициенты регрессии a при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому
уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом,
позволяющими ранжировать факторы. К ним относят: частные коэффициенты эластичности, βкоэффициенты, частные коэффициенты корреляции.
Частные коэффициенты эластичности
Э рассчитываются по формуле: Э 
Y X
.

X Y
Частный коэффициент эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменяется признакрезультат Y с изменением признака-фактора  на один процент от своего среднего уровня при
14
фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости коэффициент
эластичности рассчитывается по формуле:
Стандартизированные
Э  a
частные
X
, где
Y
a - коэффициент регрессии .
коэффициенты
регрессии
показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения
-
y
β-коэффициенты
 
изменится признак-результат
Y с изменением соответствующего фактора  на величину своего среднего квадратического отклонения
 x при неизменном влиянии прочих факторов входящих в уравнение.
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные
выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие
факторов на результат.
Кроме того, коэффициент 
может интерпретироваться как показатель прямого
(непосредственного) влияния фактора   на результат   . Во множественной регрессии
фактор
оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через
другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной:

 r , где т- число факторов в
модели. Полное влияние фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет
коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – rx , y .
Коэффициент частной корреляции измеряет тесноту линейной связи между отдельным
фактором и результатом при устранении воздействия прочих факторов модели.
Для качественной оценки тесноты связи можно использовать следующую классификацию:
0.1- 0.3- слабая связь
0.3-0.5 – умеренная связь
0.5-0.7- заметная связь
0.7-0.9- тесная связь
0.9-0.99- весьма тесная
Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты
корреляции.
Для случая зависимости Y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной
корреляции:
ryx1 / x2 
ryx2 / x1 
rx1 y  rx2 y  rx1x2
(1  rx21x2 )(1  rx22 y )
rx2 y  rx1 y  rx1x2
(1  rx21x2 )(1  rx21 y )
(2-ой фактор
 2 фиксирован).
(1-ый фактор
1 фиксирован).
Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов,
влияние которых на результат устраняется).
Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам, изменяются от -1 до +1.
Они используются не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и
также для отсева факторов. При малых значениях ryxm / x1 , x2 ... xm 1 нет смысла вводить в уравнение m-ый
фактор, т.к. качество уравнения регрессии при его введении возрастет незначительно (т.е. теоретический
коэффициент детерминации увеличится незначительно).
Коэффициенты множественной детерминации и корреляции характеризуют совместное
влияние всех факторов на результат.
По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации результата, объясненной
вариацией включенных в модель факторов
  ,
2
  . Ее количественная
детерминации R y  x ,..., x  . Для
в его общей вариации
характеристика - теоретический множественный коэффициент
2
y
2
1
m
линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через β-коэффициенты, как:
15
R y2( x1 ,..., xm )     rYX .
Ry ( x1 ,..., xm )  Ry2( x1 ,..., xm ) - коэффициент множественной корреляции. Он принимает значения от 0
до 1 (в отличие от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения,
R используется без учета направления связи). Чем плотнее фактические значения  располагаются
относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина
R y  x1 ,..., xm  . Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические
данные и факторы сильнее влияют на результат; при значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо
описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.
Оценка значимости полученного уравнения множественной регрессии.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки
гипотезы: R y  x1 ,..., xm   0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии).
Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия:
Fрасч 
R2 n  k 1

,
k
1 R2
где n-число наблюдений; k - число независимых переменных модели.
По таблицам распределения Фишера находят критическое значение F-критерия Fкр . Для этого
задаются уровнем значимости

 
(обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы
v1  m 1 и v2  n  m . Здесь m – число параметров модели.
Сравнивают фактическое значение F-критерия Fнабл  с табличным Fкр  ; v1 ; v2  . Если
Fнабл  Fкр  ; v1 ; v2  , то гипотезу о незначимости уравнения регрессии не отвергают. Если
Fнабл  Fкр  ; v1 ; v2  , то выдвинутую гипотезу отвергают и принимают альтернативную гипотезу о
статистической значимости уравнения регрессии.
Пример 2.
На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих варианту 100, требуется:
1.
Построить уравнение множественной регрессии. Для этого, оставив признак-результат тем
же выбрать несколько признаков-факторов из приложения 1 (границы их наблюдения должны совпадать с
границами наблюдения признака-результата, соответствующих Вашему варианту). При выборе факторов
нужно руководствоваться как экономическим содержанием, так и формальными подходами (например,
матрица парных коэффициентов корреляции). Пояснить смысл параметров уравнения.
2.
Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3.
Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты).
4.
На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из
факторов.
5.
Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный
коэффициент корреляции; сделать выводы.
6.
Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F-критерия Фишера.
Решение:
По условию задачи, результативный признак должен остаться тот же, значит Y - дивиденды,
начисленные по результатам деятельности. В качестве факторных признаков выберем следующие:
1 – балансовая прибыль;
 2 - дебиторская задолженность по результатам деятельности.
Определим уравнение регрессии следующего вида:

Y  a 0  a1 X 1  a 2 X 2
Для определения параметров уравнения связи, а также для дальнейших расчетов построим
дополнительную таблицу. (Таблица 2)
16
Для определения параметров двухфакторного уравнения регрессии необходимо решить систему
нормальных уравнений:
a 0 n  a1  X 1  a 2  X 2   Y

2
a 0  X 1  a1  X 1  a 2  X 1 X 2   YX 1

2
a 0  X 2 a1  X 1 X 2  a 2  X 2   YX 2
В нашем случае система нормальных уравнений примет вид:
80a0  8681a1  4152a 2  1613,60

8681a0  948751a1  443304a 2  175270,53
4152a  443304a  231978а  83563,22
0
1
2

В результате решения данной системы получим следующие коэффициенты регрессии:
a0  17,27
a1  0,0265
a2  0,00054
Окончательное уравнение регрессии примет вид:

Y  17,27  0,02645 X 1  0,00054 X 2 .
При отсутствии влияния со стороны факторных признаков, учтенных в данной модели, значение
результативного признака будет составлять 17,2714 млн. руб. При изменении балансовой прибыли на 1 млн.
руб. произойдет изменение начисленных дивидендов в ту же сторону на 0,02645 млн. руб., а при изменении
дебиторской задолженности на 1 млн. руб. следует ожидать изменения величины начисленных дивидендов
на 0,00054 млн. руб.
Определим частные коэффициенты эластичности:
X1
108,51
 0,02645
 5,38  0,02645  0,14% ,
Y
20,17
X
51,90
Э2  а 2 2  0,00054
 2,57  0,00054  0,0014% .
Y
20,17
Э1  а1
Частные коэффициенты эластичности показывают влияние отдельных факторов на
результативный показатель. Так, при изменении балансовой прибыли на 1% при неизменности второго
фактора произойдет в среднем изменение величины начисленных дивидендов на 0,14%, а при изменении
дебиторской задолженности на 1% при фиксированном положении первого фактора произойдет изменение
величины начисленных дивидендов в среднем на 0,0014%.
Теперь рассчитаем β-коэффициенты:
1  а1
 x1
9,213
 0,02645
 0,7785
y
0,313
 2  a2
 x2
14,360
 0,00054
 0,0248
y
0,313
Анализ β-коэффициентов показывает, что на величину начисленных дивидендов из двух
исследуемых факторов с учетом уровня их вариации большее влияние оказывает балансовая прибыль  2  .
С учетом всех рассчитанных показателей и параметров уравнения регрессии можно сделать вывод
о том, что наибольшая связь величины начисленных дивидендов отмечается с размером балансовой
прибыли.
Далее, определим парные, частные коэффициенты корреляции и множественный коэффициент
корреляции.
17
I.
Парные коэффициенты
рассматриваемых признаков.
ryx1 
YX 1  Y  X 1
 x  y
1

корреляции:
измеряют
тесноту
связи
между
двумя
из
2190,88  108,51  20,17 2190,88  2188,65 2,23


 0,774 ,
9,213  0,313
2,88
2,83
ryx2 
YX 2  Y  X 2 1044,54  51,9  20,17 1044,54  1046,823  2,289


 0,51 ,

14,36  0,313
4,49
4,49
 x2   y
rx1x2 
X 1 X 2  X 1  X 2 5541,3  108,51  51,9 5541,3  5631,67  90,37


 0,683 .

 x2   x1
9,213  0,313
132,299
132,299
Коэффициент корреляции между факторными признаками, равный -0,683, позволяет оставить в
модели оба фактора, так как связь между факторами не тесная  0,8 .


II. Частные коэффициенты корреляции: характеризуют степень влияния одного из факторов на
функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне.
ryx1 ( x2 ) 
ryx2 ( x1 ) 
rx1x2 ( y ) 
rx1 y  rx2 y  rx1x2
(1  r
2
x1 x2
)(1  r )
rx2 y  rx1 y  rx1x2
(1  r
2
x1x2

2
x2 y
)(1  r )
2
x1 y
rx2 x1  rx1 y  rx2 y
(1  ryx2 2 )(1  ryx2 1 )
=
0,774  (0,51)( 0,683)
(1  0,26)(1  0,466)
 0,51  0,774(0,683)

(1  0,599)(1  0,466)

 0,683  0,744(0,51)
(1  0,26)(1  0,599)
0,774  0,348

0,740  0,534
 0,510  0,586
0,401  0,534



 0,683  0,395
0,074  0,401
0,426
0,395

0,426
 0,677
0,629
0,076
 0,164 ,
0,463

 0,288
0,310

 0,288
 0,517
0,557
Таблица 2 - Дополнительная таблица
№
1
2
3
4
…
77
78
79
80
Итого
В
среднем
Х1
X 12
X 22
Х2
Yi
19,57 100
65
10000
4225
19,94 103
54
10609
2916
20,29 113
59
12769
3481
20,83 124
36
15376
1296
…
…
…
…
…
19,66
95
49
9025
2401
19,37
93
76
8649
5776
20,25 120
48
14400
2304
19,82
98
72
9604
5184
1613,6 8681 4152 948751 231978
20,17 108,51 51,90 11859,39 2899,73
Y2
382,985
397,604
411,684
433,889
…
386,516
375,197
410,063
392,832
32554,13
406,93
Y*X 1
1957
2053,82
2292,77
2582,92
…
1867,7
1801,41
2430
1942,36
175270,5
2190,88
Ŷ
Y*X 2
X1  X 2
1272,05 6500
19,95
1076,76 5562
20,02
1197,11 6667
20,29
749,88
4464
20,57
…
…
…
963,34
4655
19,81
1472,12 7068
19,77
972
5760
20,47
1427,04 7056
19,9
83563,22 443304 1613,57
1044,54 5541,30 20,17
(Y-Ŷ)2
0,14554
0,00721
0
0,06727
…
0,02268
0,16184
0,04898
0,00679
3,28954
0,04
Близкая к тесной прямая связь результативного признака наблюдается с балансовой прибылью
(0,677), практически отсутствует связь между начисленными дивидендами и дебиторской задолженностью
(0,164).
III. Множественный коэффициент корреляции:
результативным и обоими факторными признаками.
показывает
тесноту
связи
между
18
ryx2 1  ryx2 2  2ryx1  ryx2  rx1x2
R


(1  rx21x2 )
0,774 2  0,512  2(0,774(0,51)( 0,683))

(1  0,466)
0,599  0,26  0,539
0,320

 0,599  0,774
0,534
0,534


Таким образом, выявлена тесная связь 0,774  0,700 между начисленными дивидендами и
следующими признаками: балансовая прибыль и дебиторская задолженность.
Множественный коэффициент детерминации определим как квадрат множественного
коэффициента корреляции:
Ryx2 1x2  (0,774) 2  0,599 .
На основе коэффициента детерминации делаем вывод, что на 59,9% вариации величины
начисленных дивидендов находится в зависимости от изменения балансовой прибыли и суммы дебиторской
задолженности, и на 40,1% 100,0  59,9 – влиянием прочих неучтенных в модели факторов.
На завершительном этапе анализа проверим значимость параметров уравнения регрессии и модели
в целом.
Проверим значимость модели в целом с помощью F-статистики Фишера. Для этого определим
остаточную дисперсию результативного признака:

2
 ост

 2
(
Y

Y
)

n


3,2895
 0,0411 ,
80
Тогда
Fрасч 
R2 n  k 1

k
1 R2
=
57,51
Fтабл (  0,05; v1  1; v2  78)  4,00 ,
F расч  Fтабл , следовательно, модель в целом признается значимой.
19
3 СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Не всегда получается описать адекватно сложное социально-экономическое явление с помощью
только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные
воздействия и трудно однозначно определить какая из них является зависимой, а какая независимой
переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.
В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее
использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:

Экзогенные (независимые) - значения которых задаются «извне», автономно, в
определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) x ;

Эндогенные (зависимые) - значения которых определяются внутри модели, или
взаимозависимые y .

Лаговые - экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели,
датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными.
Например: yt - текущая эндогенная переменная, y t 1 - лаговая эндогенная переменная (отстоящая от
 
 
текущей на 1 период назад),
y t  2 - тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2
периода).

Предопределенные переменные - переменные, определяемые вне модели. К ним
относятся лаговые и текущие экзогенные переменные xt , xt 1  , а также лаговые эндогенные переменные
 yt 1  .
Все эконометрические модели предназначены для объяснения текущих значений эндогенных
переменных по значениям предопределенных переменных. Система уравнений в эконометрических
исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений. 1.
Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция
только от предопределенных переменных
x  :
 
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1m xm  u1
 y  a x  a x  ...  a x  u
 2
21 1
22 2
2m m
2

......

 y k  ak1 x1  ak 2 x2  ...  akm xm  u k
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая
переменная представляет функцию от всех зависимых и предопределенных переменных предшествующих
уравнений:
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1m xm  u1
 y  b y  a x  a x  ...  a x  u
21 1
21 1
22 2
2m m
2
 2
 y3  b31 y1  b32 y 2  a31 x1  a32 x2  ...  a3m x  u3
.......

 y k  bk1 y1  bk 2 y 2  ...  bkk 1 y k 1  ak1 x1  ak 2 x2  ...  akm xm  u k
В рассмотренных 2-ух видах систем каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и
параметры уравнения определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
3. Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, когда одни и те же
зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть
системы (т.е. выступают в роли факторов):
 y1  b12 y 2  b13 y3  ...  b1k y k  a11 x1  a12 x2  ...  a1m xm  u1
 y  b y  b y  ...  b y  a x  a x  ...  a x  u
 2
21 1
22 2
2k k
21 1
22 2
2m m
2

......
 y k  bk1 y1  bk 2 y 2  ...  bkk 1 y k 1  ak1 x1  ak 2 x2  ...  akm xm  u k
Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же
переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в
других.
В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели.
20
В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может
рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к.
нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК. В результате оценки получаются смещенными.
Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих
уравнений являются константами.
От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели, в которой все
эндогенные переменные выражены через предопределенные переменные:
 y1  A11 x1  ...  A1m xm  U 1

 y 2  A21 x1  ...  A2 m x m U 2

........
 y k  Ak1 x1  ...  A km xm  U k
Особенность приведенной формы: так как правая часть каждого из уравнений модели содержит
только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то
такие системы относят к независимым. Тогда параметры каждого из уравнений системы в приведенной
форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели
(косвенный МНК).
Проблема идентификации.
Параметры структурной формы модели по оценкам приведенных коэффициентов можно
определить не всегда. Для этого необходимо, чтобы модель была идентифицируемой.
Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы.
Если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное уравнение, то вся
модель считается сверхидентифицированной.
Если среди всех уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель
считается неидентифицированной.
Уравнение называется неидентифицированным, если оценки его структурных параметров
невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.
Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно
однозначно (единственным способом) найти по коэффициентам приведенной модели.
Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно
получить более одного численного значения.
Правила идентификации
Введем следующие обозначения:
М- число предопределенных переменных в модели;
т- число предопределенных переменных в данном уравнении;
К - число эндогенных переменных в модели;
k - число эндогенных переменных в данном уравнении.
Необходимое (но недостаточное) условие идентификации.
Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число
предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных,
входящих в уравнение минус 1», т.е.: M  m  k 1 ;
Если M  m  k  1 , уравнение точно идентифицировано.
Если M  m  k 1 , уравнение сверхидентифицировано.
Эти правила следует применять к структурной форме модели.
Достаточное условие идентификации. Введем обозначения: А - матрица коэффициентов при
переменных не входящих в данное уравнение.
Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен
k  1 . Ранг матрицы - размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен
нулю.
Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации:
1) Если M  m  k 1 и ранг матрицы А равен k  1 , то уравнение сверхидентифицировано.


 
2) Если M  m  k  1 и ранг матрицы А равен k  1 , то уравнение точно идентифицировано.
3) Если M  m  k  1 и ранг матрицы А меньше k  1 то уравнение неидентифицированно.
4) Если M  m  k  1 , то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А
будет меньше k  1 .
Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода
наименьших квадратов (КМНК).


21
Алгоритм КМНК включает 3 шага:
1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной
формы через структурные параметры;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных
оценок приведенных параметров;
3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов,
используя соотношения, найденные на шаге 1.
Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода
наименьших квадратов.
Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:
1) составление приведенной формы модели;
2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных
оценок приведенных параметров;
3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве
факторов в структурной форме модели;
4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК,
используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные
значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1 .
Пример.
На основе данных с помощью необходимого и достаточного условия провести идентификацию
модели.
Решение:
Рассмотрим выполнение данного задания на основе примера варианта 100. В соответствии с
таблицей 1 и таблицей 2 Приложения Б определим коэффициенты при параметрах каждого уравнения, и
запишем получившуюся систему уравнений:
 y1  a11 x1  a12 x2  a13 x3

 y 2  b21 y1  b23 y3  a 23 x3
y  b y  b y  a x
31 1
32 2
31 1
 3
Проверим каждое уравнение на идентифицируемость.
Введем следующие обозначения:
М - число предопределенных переменных в модели;
т - число предопределенных переменных в данном уравнении;
К - число эндогенных переменных в модели;
k - число эндогенных переменных в данном уравнении.
Необходимое условие идентификации:
Если M  m  k  1 , уравнение точно идентифицировано.
Если M  m  k 1 , уравнение сверхидентифицировано.
Проверим каждое уравнение на идентифицируемость по необходимому условию идентификации:
Таблица 3 – Проверка уравнений системы на идентификацию
Error! Not a valid link.
Достаточное условие идентификации. Введем обозначения: А - матрица коэффициентов при
переменных, не входящих в данное уравнение.
Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен
k  1 . Ранг матрицы - размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен
нулю.
Проверим каждое уравнение на идентифицируемость по достаточному условию.
Уравнение 1:
В первом уравнении отсутствуют переменные y 2 и y 3 . Составим матрицу коэффициентов при


этих переменных в уравнениях 2 и 3:
  1 b23 

 ,
 b32  1 
  0; R  2  уравнение (1) точно идентифицируемо по достаточному
условию.
Во втором уравнении отсутствуют переменные
этих переменных в уравнениях 1и 3:
x1 и x2 . Составим матрицу коэффициентов при
22
 a11 a12 

 ,
 a31 0 
  0; R  1  K  1  уравнение (2) неидентифицируемо по достаточному
условию.
В третьем уравнении отсутствуют переменные
x2 и x3 . Составим матрицу коэффициентов при
этих переменных в уравнениях 1 и 2:
 a12

 0
a13 
 ,   0  уравнение (3) неидентифицируемо по достаточному условию.
0 
В результате проведенных вычислений выяснили, что уравнение (1) системы точно
идентифицируемо, а уравнения (2) и (3) – неидентифицируемы. Следовательно, модель в целом признается
неидентифицируемой. Для оценки параметров 1-го уравнения необходимо применить косвенный метод
наименьших квадратов.
4 ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели.
Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во
времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.
Временной ряд t t  1; n  - ряд значений какого-либо показателя за несколько
последовательных промежутков времени.
Каждый временной ряд t складывается из следующих основных компонентов:
1)
Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого
явления.
Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом T .
2)
Циклической или периодической компоненты, характеризующей циклические или
периодические колебания изучаемого явления. Например: значения макроэкономических показателей
зависят от того, в какой фазе бизнес-цикла находится экономика. Объем продаж некоторых товаров
подвержен сезонным колебаниям S .
3) Случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных
факторов E .
 
 
 
Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент:
t  f (T , K , S , E ) .
В зависимости от взаимосвязи между этими компонентами может быть построена либо
аддитивная модель: t  T  K  S  E , либо мультипликативная модель: t  T  K  S  E ряда
динамики.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой Y (усл.ед.) за 3 года:
Таблица 4 – Исходные данные об объеме выпуска товара фирмой
1
410
2003
2
3
560
715
4
500
1
520
2004
2
3
740
975
4
670
1
705
2005
2
3
950 1200
4
900
График данного временного ряда (рисунок 3) свидетельствует о наличии сезонных колебаний
(период колебаний равен 4) и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Объем выпускаемой
продукции в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных
колебаний примерно постоянна, можно предположить существование аддитивной модели.
23
1300
1200
1100
Объем выпуска товаров
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Время, квартал
Yt
Рисунок 3 - Объем выпуска товаров формой
Автокорреляция - корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же
ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг).
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L  1 , то имеем
коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r1 , если L  2 , то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка
r2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым
рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому обычно рекомендуют
максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n/4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг L , при котором
автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким
оказывается значение r1 , то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался
 
rk , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом k. Если ни один из коэффициентов
автокорреляции k не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только
случайной компонентой;
- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести
дополнительный анализ.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют
автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов
автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.
Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы
рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Определим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, используя формулу линейного
коэффициента корреляции.
n
r1 
 (Y
n
 (Y
t 2
где
t
t 2
t
 Yt )  (Yt 1  Yt 1 )
,
n
 Y t )   (Yt 1  Yt 1 )
2
t 2
2
24
n
n
Yt 
 Yt
t 2
Yt 1 
;
Y
t 1
t 2
,
n 1
n 1
560  715  500  520  740  975  670  705  950  1200  900 8435
Yt 

 776,818 ,
12  1
11
410  560  715  500  520  740  975  670  705  950  1200 7945
Yt 1 

 722,273 ,
12  1
11
Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка
приведены в таблице 5.
Таблица 5- Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка.
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
8435
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
7945
766,82
722,27
Сумма
Среднее
значение
Yt  Yt Y t  1  Y t  1 ( Y t  Y t ) 2 ( Y t  1  Y t  1 ) 2 (Yt  Yt ) ( Y t · 1  Y
t 1
-206,82
-51,818
-266,82
-246,82
-26,818
208,18
-96,818
-61,818
183,18
433,18
133,18
х
r1 
Таким образом,
-312,27
-162,27
-7,27
-222,27
-202,27
17,73
252,73
-52,27
-17,27
227,73
477,73
х
42773,76
2685,124
71191,942
60919,215
719,21488
43339,669
9373,7603
3821,49
33555,579
187646,49
17737,397
473763,64
276779,545
473763,636  561518,182
97514,26
26332,44
52,89
49405,17
40914,26
314,26
63871,07
2732,44
298,35
51859,71
228223,35
561518,18
t 1
)
64583,678
8408,678
1940,496
54860,950
5424,587
3690,496
-24468,595
3231,405
-3164,050
98647,314
63624,587
276779,545
 0,537 ,
Далее определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:
n
r2 
 (Y
t
t 3
n
 (Y
t 3
t
 Yt )  (Yt  2  Yt  2 )
,
n
 Y t ) 2   (Yt  2  Yt  2 ) 2
t 3
где
n
Yt 
 Yt
n
Y
t 2
; Yt  2 
,
n2
n2
715  500  520  740  975  670  705  950  1200  900 7875
Yt 

 787,5 ,
12  2
10
410  560  715  500  520  740  975  670  705  950 6745
Yt  2 

 674,5 ,
12  2
10
t 3
t 3
Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка
приведены в таблице 6.
Таблица 6 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго
порядка.
25
 t2
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-
Сумма
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
7875
Среднее
значение
787,5
674,5
Таким образом,
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
6745
r2 
Yt  Yt
(Y t  Y t ) 
Yt  2  Yt 2 (Yt  Yt ) 2 (Y  Y ) 2
t 2
t 2
 (Y t  2 ·  Y t  2 )
-72,5
-287,5
-267,5
-47,5
187,5
-117,5
-82,5
162,5
412,5
112,5
х
-264,5
-114,5
40,5
-174,5
-154,5
65,5
300,5
-4,5
30,5
275,5
х
30937,5
426712,5  310472,5
5256,25
82656,3
71556,3
2256,25
35156,3
13806,3
6806,25
26406,3
170156
12656,3
426713
69960,25
13110,25
1640,25
30450,25
23870,25
4290,25
90300,25
20,25
930,25
75900,25
310472,5
19176,25
32918,75
-10833,75
8288,75
-28968,75
-7696,25
-24791,25
-731,25
12581,25
30993,75
30937,5
 0,085 .
Аналогично вычисляются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и т.д. порядка.
Результаты расчетов и коррелограмма представлены в таблице 7.
Таблица 7 – Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда объема выпуска
товара фирмой
Лаг (порядок) - L
Коэффициенты автокорреляции
Коррелограмма
1
0,537
*****
2
3
0,085
0,599
*
******
4
0,990
*********
5
0,154
**
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом (L)
равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания.
Построение аддитивной модели временного ряда с сезонными колебаниями.
Обратимся к данным об объеме выпуска товара некоторой фирмой за последние три года,
представленным в таблице 4.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а)
просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один
момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (графа 3 таблицы 8);
б)
разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа 4 таблицы 8).
Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
в)
приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего
найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие
средние (графа 5 таблицы 8).
Таблица 8 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.
26
t
t
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
Итого за
четыре
квартала
3
2185
2295
2475
2735
2905
3090
3300
3525
3755
-
Скользящая
средняя
за четыре
квартала
4
546,25
573,75
618,75
683,75
726,25
772,5
825
881,25
938,75
-
Центрированная
скользящая
средняя
Оценка
сезонной
компоненты
5
560
596,25
651,25
705
749,375
798,75
853,125
910
-
6
155
-96,25
-131,25
35
225,625
-128,75
-148,125
40
-
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда
и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 8). Используем эти оценки для расчета
значений сезонной компоненты S (таблица 9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам)
оценки сезонной компоненты S i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные
воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений
сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 9 - Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели.
Показатели
Итого за i -й квартал (за все год)
Средняя оценка сезонной компоненты
для i -го квартала, S i
Скорректированная сезонная
компонента, S i
Год
1
2
3
I
-131,25
-148,13
-279,38
№ квартал, i
II
III
155
35
225,63
40
75
380,63
IV
-96,25
-128,75
-225
-139,69
37,5
190,315
-112,5
-133,59
43,59
196,405
-106,41
Для данной модели имеем:
 139,69  37,50  190,31  112,50  24,38
Определим корректирующий коэффициент: k  24,38 : 4  6,09
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней
оценкой и корректирующим коэффициентом k:
S i  S i  k , где i  1: 4 ,
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
 133,59  43,59  196,41  106,41  0 .
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: S1  133,59 ;
S 2  43,59 ;
III квартал: S 3  196,41 ;
IV квартал: S4  109,41 .
II квартал:
Занесем полученные значения в таблицу 10 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).
27
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня
исходного временного ряда. Получим величины T  E  T  S (графа 4 таблицы 10). Эти значения
рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 10 - Расчет выровненных значений T и ошибок E в аддитивной модели.
t
t
1
2
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
  E  Yt  S i
Si
3
4
-133,594 543,594
43,594 516,406
196,406 518,594
-106,406 606,406
-133,594 653,594
43,594 696,406
196,406 778,594
-106,406 776,406
-133,594 838,594
43,594 906,406
196,406 1003,594
-106,406 1006,406
Итого 8845
Среднее
значение
-
(Y t  Y t ) 2
T  S EYt (T S)
E2
9
6
7
8
106984
338,064
71,936 5174,79
31359
563,51
-3,51 12,3201
488
764,58
-49,58 2458,18
56209
510,026
-10,026 100,521
47125
531,096
-11,096 123,121
9
756,542
-16,542 273,638
56604
957,612
17,388 302,343
4500
703,058
-33,058 1092,83
1029
724,128
-19,128 365,88
45334
949,574
0,426 0,18148
214292
1150,64
49,356 2436,01
26542
896,09
3,91 15,2881
T
5
471,658
519,916
568,174
616,432
664,69
712,948
761,206
809,464
857,722
905,98
954,238
1002,5
8845 8844,92
-
-
590473
12355
737,1
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда
T  E с помощью линейного тренда (расчеты выполнены с помощью Ms Excel). Результаты
аналитического выравнивания следующие:
Т  423,4  48,258t ,


R 2  0,9642 .
Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Τ для каждого момента
времени (графа 5 таблицы 10). График уравнения тренда приведен на рисунке 4.
1200
1100
1000
Объем выпуска товаров
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Время, квартал
фактические значения
тренд Т
значения (T+S)
Рисунок 4 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические, выровненные и полученные по
аддитивной модели значения уровней ряда)
Рисунок 4 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические, выравненные и
полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)
28
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к
уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения
(T  S ) представлены на рисунке 4.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится
по формуле:
Е  Yt  (T  S )
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 7 таблицы
10.
Для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели используется
ошибка ε.

Е
 (Y
t
2
 Yt )
2

12355,04
 0,0209
590473
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет
общей вариации временного ряда.
97,91%100  0,0209  100
Построение мультипликативной модели временного ряда.
Имеются поквартальные данные об объеме выпуска товара фирмой за последние три года,
представленные в таблице 4.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика,
применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов
оценок сезонной компоненты представлены в таблице 11.
Таблица 11 - Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.
Yt
t
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
Итого за
четыре
квартала
3
2185
2295
2475
2735
2905
3090
3300
3525
3755
-
Скользящая Центрированная
Оценка
средняя
скользящая
сезонной
за четыре
средняя
компоненты
квартала
4
5
6
546,25
573,75
560
1,277
618,75
596,25
0,839
683,75
651,25
0,798
726,25
705
1,050
772,5
749,375
1,301
825
798,75
0,839
881,25
853,125
0,826
938,75
910
1,044
-
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на
центрированные скользящие средние (графа 6 таблицы 10). Используем эти оценки для расчета значений
сезонной компоненты S (таблица 12). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной
компоненты S i . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в
том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в
цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).
29
Таблица 12 - Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели.
Показатели
Год
1
2
3
Итого за i -й квартал (за все год)
Средняя оценка сезонной компоненты
для i -го квартала,
Скорректированная сезонная
компонента,
I
0,798
0,826
1,624
№ квартал, i
II
III
1,277
1,05
1,301
1,044
2,094
2,578
IV
0,839
0,839
1,678
0,812
1,047
1,289
0,839
0,814
1,050
1,293
0,842
Имеем:
0,812  1,047  1,289  0,839  3,987 .
Определим корректирующий коэффициент: k  4 / 3,987  1,003 .
Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на
корректирующий коэффициент k.
S i  S i  k , где i  1: 4 ,
Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:
0,815  1,050  1,293  0,841  4 .
Получим следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: S1  0,814 ;
S2  1,050;
III квартал: S 3  1,293 ;
IV квартал: S 4  0,842 .
II квартал:
Занесем полученные значения в таблицу 13 для соответствующих кварталов каждого года (графа
3).
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной
компоненты. Тем самым мы получим величины T  E  Y : S (графа 4 таблицы 13), которые содержат
только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 13 - Расчет выровненных значений Τ и ошибок Ε в мультипликативной модели.
t
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого
t
Si
2
410
560
715
500
520
740
975
670
705
950
1200
900
8845
3
0,814
1,05
1,293
0,842
0,814
1,05
1,293
0,842
0,814
1,05
1,293
0,842
12
T  E Yt : Si
4
503,686
533,333
552,978
593,824
638,821
704,762
754,06
795,724
866,093
904,762
928,074
1068,88
8845
T
5
500,305
549,69
599,075
648,46
697,845
747,23
796,615
846
895,385
944,77
994,155
1043,54
9263,07
T S
6
407,248
577,175
774,604
546,003
568,046
784,592
1030,02
712,332
728,843
992,009
1285,44
878,661
9284,98
EYt :(TS)
7
1,007
0,970
0,923
0,916
0,915
0,943
0,947
0,941
0,967
0,958
0,934
1,024
11,444
E2
8
1,014
0,941
0,852
0,839
0,838
0,890
0,896
0,885
0,936
0,917
0,871
1,049
10,927
(E' ) 2  (Yt  (T  S))2
9
7,572
294,963
3552,634
2116,305
2308,402
1988,402
3027,552
1791,998
568,507
1764,714
7300,406
455,367
25176,823
30
Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры
линейного тренда, используя уровни (T  E ) . Уравнение тренда имеет следующий вид:
Т  450,92  49,385t ,
R 2  0,9777 .
Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени
(графа 5 таблицы 13). График уравнения тренда приведен на рисунке 5.
1300
1200
Объем выпуска товаров
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Время, квартал
фактические значения
тренд Т
9
10
11
12
значения (Т*S)
Рисунок 5 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические и
выравненные по мультипликативной модели значния уровней ряда)
Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения
сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения T  S представлены на
рисунке 5.
Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:
Е  Yt  (T  S ) ,


Численные значения ошибки приведены в графе 7 таблицы 13.
Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно
использовать величину абсолютной ошибки:
Е   Yt  (T  S ) ,
Следовательно, ошибка ε мультипликативной модели составит:
 ( Е )
 (Y  Y )
2

t
2

t
25176,823
 0,0426 .
590473
Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда в мультипликативной модели составит
95,74%100  0,0426  100 .
Прогнозирование
Для прогнозирования из двух рассмотренных моделей необходимо выбрать ту, у которой ошибка ε
наименьшая. Следовательно, при прогнозировании будет использоваться аддитивная модель, так как
  0,0209 .
Таким образом, прогнозное значение
Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть
сумма трендовой и сезонной компонент.
Объем товаров, выпущенного фирмой в течение первого полугодия ближайшего следующего, т.
е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпущенных товаров в I и во II кварталах
четвертого года, соответственно F13 и F14 . Для определения трендовой компоненты воспользуемся
уравнением тренда:
31
T  423,4  48,258  t .
Получим:
T13  423,4  48,258 13  1050,754 ;
T14  423,4  48,258 14  1099,012 .
Значения сезонной компоненты равны:
Таким образом,
S1  133,59 (I квартал); S 2  43,59 (II квартал).
F13  T13  S1  1050,754  (133,59)  917,164 ;
F14  T14  S2  1099,012  43,59  1142,602 .
Прогноз объема выпуска товаров фирмой на первое полугодие 2006 года составит:
917,164  1142,602  2059,766 усл.ед.
Следует отметить, что для осуществления прогноза по мультипликативной модели, прогнозные
значения F определяются как:
Fi  Ti  S1 .
32
5 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ
Задание № 1.
На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения А и соответствующих Вашему варианту
(таблица 2 Приложение А), требуется:
1. Построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков,
соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного  , другой - результативного  .
Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа.
Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции с уровнем
значимости 0,05.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата Y при прогнозном значении признакафактора X, составляющим 105% от среднего уровня X. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку
прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.
5. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F-критерия Фишера.
Задание № 2.
На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложении и соответствующих Вашему варианту
(таблица 2 Приложение А), требуется:
1. Построить уравнение множественной регрессии. Для этого, оставив признак-результат тем же выбрать
несколько признаков-факторов из таблицы 1 Приложения А (границы их наблюдения должны совпадать
с границами наблюдения признака-результата, соответствующих Вашему варианту). При выборе
факторов нужно руководствоваться как экономическим содержанием, так и формальными подходами
(например, матрица парных коэффициентов корреляции). Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты).
4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент
корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения с помощью общего F-критерия Фишера.
Задание № 3.
На основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения Б и соответствующих Вашему варианту
(таблица 2 Приложение Б) провести идентификацию модели с помощью необходимого и достаточного
условия идентификации.
Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количество эндогенных переменных  ,
 
 
 
 
экзогенных переменных  и вид уравнения определяются вариантом контрольной работы (таблицы 1 и 2
Приложения Б).
Например, для варианта №1 (зачетная книжка заканчивается на 01) формируется система
уравнений, содержащая уравнения Y11 (1-ый вариант, соответствующий уравнению Y1), Y21 (1-ый вариант,
соответствующий уравнению Y2), Y32 (2-ой вариант, соответствующий уравнению Y3) (см. таблицу 3).
Коэффициенты при переменных берутся из таблицы 1:
Error! Not a valid link.
Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01 , примет вид:
Y1  a11  X 1  a 21  X 2  a31  X 3
Y2  b12  Y1  b32  Y3  a32  X 3
Y3  b13  Y1  a 23  X 2  a33  X 3
Задание № 4.
Па основе данных, приведенных в таблице 1 Приложения В и соответствующих Вашему варианту
(таблица 2 Приложение В), требуется:
1.
Проанализировать автокорреляцию уровней временного ряда, выявить и охарактеризовать
его структуру.
2.
Построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда, характеризующую
зависимость уровней ряда от времени.
3.
На основе лучшей модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной
сезонности.
33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная:
1.
Айвазян С.А., Мхитарян В.И. Прикладная статистика и эконометрика: Учебник для
вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.
2.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер.с англ. -М: ИНФРА-М, 2000.
3.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – 5-е
изд., испр. –М.: Дело, 2001.
4.
Практикум по эконометрике. / Под ред. чл.-кор. РАН И.И. Елисеевой. М: Финансы и
статистика, 2008.
34
5.
Эконометрика: учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И.
Елисеевой. – 2-е изд., перераб. И доп. - М: Финансы и статистика, 2008.
Дополнительная:
1.
Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.
2.
Ланге О. Введение в эконометрику. М.: Прогресс, 1964.
3.
Лизер С. Эконометрические методы и задачи. М.: Статистика, 1971.
4.
Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. М.: Статистика, 1976.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
Таблица 1 – Показатели деятельности производственных предприятий за 2005 год
35
№ наблюдения
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Собственные
оборотные
средства, млн.
руб.
1
1011
799
995
1243
1507
947
1015
1169
1051
1372
1463
684
1251
1376
1193
1386
1631
1735
1181
922
1281
1333
1632
635
949
788
1728
1773
1679
1085
1214
1422
523
1025
1083
1466
1642
387
704
1177
1792
2072
Балансовая
прибыль, млн.
руб.
2
107
102
107
122
108
108
97
109
101
116
113
112
106
111
113
122
118
119
102
100
103
113
124
95
102
112
124
116
118
100
99
107
87
109
106
113
123
82
104
112
116
106
Дебиторская
Дивиденды,
Курсовая цена
задолженность по начисленные по акции,
руб.
результатам
результатам
деятельности,
деятельности,
млн.3 руб.
млн.4 руб.
5
37
20,33
92
64
20,04
83
71
19,87
95
26
20,48
124
51
20,13
96
41
20,26
106
78
19,89
70
43
19,92
97
68
19,78
76
34
20,23
112
49
20,46
113
40
20,07
109
56
20,23
91
45
20,26
95
44
20,28
115
40
20,52
114
47
20,28
133
47
19,97
116
49
19,97
85
65
19,57
91
54
19,94
82
59
20,29
105
36
20,83
124
70
19,59
70
64
19,76
84
48
20,19
106
30
20,66
128
58
19,95
105
48
20,61
121
69
20,03
79
58
19,78
82
49
20,22
80
76
19,78
37
59
20,09
101
74
20,13
98
54
20,56
98
36
20,51
134
75
19,71
39
51
20,1
88
35
20,32
108
47
20,37
112
33
20,03
80
Продолжение таблицы 1.
36
А
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
1
1178
1304
1308
1416
1185
1220
1311
1288
918
809
1188
1394
1435
1514
1577
1579
1210
1448
1468
1661
989
1007
1030
1099
1197
1386
1498
1672
484
1060
1612
1120
947
1102
1302
1477
820
1231
1311
1843
1215
1284
1336
1412
1447
1593
1663
1114
863
2
120
105
114
107
115
96
104
108
102
102
120
106
114
112
112
122
122
108
114
113
108
102
112
113
110
107
117
120
93
89
118
103
98
95
106
123
110
104
103
122
114
112
115
109
108
114
107
98
104
3
28
58
32
58
44
68
64
25
54
70
19
28
54
48
44
39
26
58
28
47
58
62
62
42
67
72
45
35
69
62
36
42
52
56
66
32
68
47
59
29
36
57
54
60
45
54
49
81
61
4
20,65
20,19
20,24
20,27
20,69
19,85
19,87
20,2
20,33
20,2
20,46
20,17
20,62
19,79
20,34
20,51
20,04
20,39
20,27
20,06
20,39
19,94
19,95
20,23
20,49
20,61
20,56
20,42
19,73
19,42
20,17
19,87
20,26
20,04
20,34
20,63
20,32
20,06
20,04
20,62
20,53
20,18
20,4
20,26
19,79
20,33
20,24
19,83
19,97
5
120
88
104
94
107
82
84
101
98
89
118
90
123
107
97
126
147
88
111
121
104
63
99
114
99
94
124
117
64
52
114
78
85
57
98
119
94
94
83
118
116
96
117
93
81
103
86
79
92
37
Окончание таблицы 1.
А
92
93
94
95
96
97
98
99
1
932
978
1621
1199
999
935
1494
817
2
107
105
123
119
95
93
120
98
3
49
68
53
39
49
76
48
72
4
20,1
20,01
20,21
20,4
19,66
19,37
20,25
19,82
5
85
89
121
125
69
61
116
82
Таблица 2.
Номер
Номер
Номер
Номер
Номер
Номер
Номер
Номер
вариант начального конечного призна-ков вариант началь-ного конечного призна-ков
а
наблюдения наблюдения из таблицы 1
а
наблюдения наблюдения из таблицы 1
Приложения
Приложения
А
А
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
4
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
5
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
6
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
7
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
80
81
8
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
38
Окончание таблицы 2.
1
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
92
93
94
95
96
97
98
99
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
4
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
5
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
6
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
7
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
8
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
1,2
1,3
1,4
1,5
2,3
2,4
2,5
3,4
3,5
4,5
Приложение Б
39
Таблица 1.
Вариант
Уравнение уравнения
1
y1
y2
y3
Таблица 2.
Коэффициенты перед регрессорами
y2
y3
x1
x2
x3
0
0
а21
а31
2
0
b31
а11
0
а21
3
0
b31
а11
4
0
b31
5
b21
b31
а11
а11
а21
0
а31
0
y1
y3
1
b12
2
а31
0
а31
x1
x2
x3
b32
0
0
а32
b12
0
а12
а22
0
3
0
b32
а12
а22
а32
4
b12
b32
а12
а22
0
5
b12
b32
0
а22
а32
y1
y2
x1
x2
x3
1
b13
b23
а13
0
0
2
b13
0
0
а23
а33
3
b13
0
а13
0
а33
4
b13
0
а13
а23
а33
40
Error! Not a valid link.
Окончание таблицы 2
41
1
21
2
y12
3
y21
4
y32
5
71
6
y14
7
y23
8
y34
22
y12
y21
y33
72
y14
y24
y31
23
y12
y21
y34
73
y14
y24
y32
24
y12
y22
y31
74
y14
y24
y33
25
y12
y22
y32
75
y14
y24
y34
26
y12
y22
y33
76
y14
y25
y31
27
y12
y22
y34
77
y14
y25
y32
28
y12
y23
y31
78
y14
y25
y33
29
y12
y23
y32
79
y14
y25
y34
30
y12
y23
y33
80
y15
y21
y31
31
y12
y23
y34
81
y15
y21
y32
32
y12
y24
y31
82
y15
y21
y33
33
y12
y24
y32
83
y15
y21
y34
34
y12
y24
y33
84
y15
y22
y31
35
y12
y24
y34
85
y15
y22
y32
36
y12
y25
y31
86
y15
y22
y33
37
y12
y25
y32
87
y15
y22
y34
38
y12
y25
y33
88
y15
y23
y31
39
y12
y25
y34
89
y15
y23
y32
40
y13
y21
y31
90
y15
y23
y33
41
y13
y21
y32
91
y15
y23
y34
42
y13
y21
y33
92
y15
y24
y31
43
y13
y21
y34
93
y15
y24
y32
44
y13
y22
y31
94
y15
y24
y33
45
y13
y22
y32
95
y15
y24
y34
46
y13
y22
y33
96
y15
y25
y31
47
y13
y22
y34
97
y15
y25
y32
48
y13
y23
y31
98
y15
y25
y33
49
y13
y23
y32
99
y15
y25
y34
Приложение В
42
Таблица 1. Основные показатели развития производственной фирмы за период с 2000 по 2005 год
(по сопоставимой оценке)
2003
2002
2001
2000
2
2005 2004
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Квартал
Год
№
наблюдения
Таблица 2.
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
Объем Стоимость
произосновных
водства производпродук- ственных
ции, млн. фондов на
руб.
конец
квартала
4
5
1065
1062
851
682
531
726
922
1153
1095
1213
986
898
822
794
1137
1441
1301
1600
1038
967
780
1246
1435
1458
1593
1412
1658
891
1363
1061
1737
1287
1719
1635
1521
1166
1049
1230
1790
1514
2016
1642
ЧисленДебиСтоимоБаланЧистая
ность
торская сть оборот- совая
прибыль,
ППП,
задолженных
прибыль, млн. руб.
чел., на ность, млн. средств на млн. руб
конец
руб.
конец
квартала
квартала,
млн. руб.
6
7
8
9
10
713
25
837
94
36
507
27
685
78
27
361
34
837
87
22
557
44
1161
75
29
607
42
1151
84
34
598
39
822
63
28
368
48
1383
86
30
646
60
884
82
35
693
63
1309
78
40
718
40
1028
72
33
363
48
1771
84
33
639
71
1310
102
40
708
87
1372
112
36
614
65
1272
92
27
348
67
1821
99
30
636
76
1571
113
36
825
101
1758
95
36
622
84
1505
79
28
514
73
2109
112
28
703
93
1787
116
28
797
96
2197
90
39
43
Номер
Номер Номер Номер
Номер
Номер Номер
варианта началь- конеч- показа- варианта началь- конечног
ного
ного
теля из
ного
о
наблюде наблюде табл.4
наблюде наблюде
ния
ния
ния
ния
1
1
2
3
2
1
2
3
3
12
13
14
4
1
1
1
5
51
52
53
6
1
2
3
7
12
13
14
Номер
показателя из
табл. 4
8
6
6
6
Окончание таблицы 2.
Error! Not a valid link.
Приложение Г
Таблица значений t Стьюдента для =0,05 и 0,01.
44
Число
степеней
свободы
α=0,05
α= 0,01
63,655
22
2,074
2,818
4,303
9,925
23
2,069
2,807
3
3,182
5,841
24
2,064
2,796
4
2,776
4,604
25
2,06
2,787
5
2,571
4,032
26
2,056
2,778
6
2,447
3,707
27
2,052
2,771
7
2,365
3,499
28
2,048
2,764
8
2,306
3,355
29
2,045
2,757
9
2,262
3,25
30
2,042
2,75
10
2,228
3,169
32
2,037
2,739
11
2,201
3,106
34
2,032
2,728
12
2,179
3,055
36
2,027
2,718
13
2,16
3,12
38
2,025
2,711
14
2,145
2,977
40
2,021
2,704
15
2,131
2,947
42
2,017
2,696
16
2,12
2,921
44
2,015
2,691
17
2,11
2,898
46
2,012
2,685
18
2,101
2,878
48
2,01
2,681
19
2,093
2,861
50
2,007
2,678
20
2,086
2,845
55
2,005
2,668
21
2,08
2,831
60
2
2,66
~
1,96
2,576
Число
степеней
свободы
α=0,05
1
12,706
2
α= 0,01
Приложение Д
Таблица 5% уровня распределения F.
К2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
161
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,6
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,3
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,2
4,18
4,17
2
200
19
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,1
3,98
3,88
3,8
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,4
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3
4
216
225
19,16 19,25
9,28 9,12
6,59 6,39
5,41 5,19
4,76 4,53
4,35 4,12
4,07 3,84
3,86 3,63
3,71 3,48
3,59 3,36
3,49 3,26
3,41 3,18
3,34 3,11
3,29 3,06
3,24 3,01
3,2
2,96
3,16 2,93
3,13
2,9
3,1
2,87
3,07 2,84
3,05 2,82
3,03 2,80,
3,01 2,78
2,99 2,76
2,98 2,74
2,96 2,73
2,95 2,71
2,93
2,7
2,92 2,69
5
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,2
3,11
3,02
2,96
2,9
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,6
2,59
2,57
2,56
2,54,
2,53
К1 - степени свободы (для большего среднего квадрата)
6
7
8
9
10
11
12
14
16
20
30
40
50
100
234
237
239
241
242
243
244
245
246
248
250
251
252
253
19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,4 19,41 19,42 19,43 19,44 19,46 19,47 19,47 19,49
9,84 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74 8,71 8,69 8,66 8,62
8,6
8,58 8,56
6,16 6,09 6,04
6
5,96 5,93 5,91 5,87 5,84
5,8
5,74 5,71
5,7
5,66
4,95 4,88 4,82 4,78 4,74
4,7
4,68 4,64
4,6
4,56
4,5
4,46 4,44
4,4
4,28 4,21 4,15
4,1
4,06 4,03
4
3,96 3,92 3,87 3,81 3,77 3,75 3,71
3,87 3,79 3,73 3,68 3,63
3,6
3,57 3,52 3,49 3,44 3,38 3,34 3,32 3,28
3,58
3,5
3,44 3,39 3,34 3,31 3,28 3,23
3,2
3,15 3,08 3,05 3,03 2,98
3,37 3,29 3,23 3,18 3,13
3,1
3,07 3,02 2,98 2,93 2,86 2,82
2,8
2,76
3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91 2,86 2,82 2,77
2,7
2,67 2,64 2,59
3,09 3,01 2,95
2,9
2,86 2,82 2,79 2,74
2,7
2,65 2,57 2,53
2,5
2,45
3
2,92 2,85
2,8
2,76 2,72 2,69 2,64
2,6
2,54 2,46 2,42
2,4
2,35
2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63
2,6
2,55 2,51 2,46 2,38 2,34 2,32 2,26
2,85 2,77
2,7
2,65
2,6
2,56 2,53 2,48 2,44 2,39 2,31 2,27 2,24 2,19
2,79
2,7
2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,43 2,39 2,33 2,25 2,21 2,18 2,12
2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42 2,37 2,33 2,28
2,2
2,16 2,13 2,07
2,7
2,62 2,55
2,5
2,45 2,41 2,38 2,33 2,29 2,23 2,15 2,11 2,08 2,02
2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,29 2,25 2,19 2,11 2,07 2,04 1,98
2,63 2,55 2,48 2,43 2,38 2,34 2,31 2,26 2,21 2,15 2,07 2,02
2
1,94
2,6
2,52 2,45
2,4
2,35 2,31 2,28 2,23 2,18 2,12 2,04 1,99 1,96
1,9
2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25
2,2
2,15 2,09
2
1,96 1,93 1,87
2,55 2,47
2,4
2,35
2,3
2,26 2,23 2,18 2,13 2,07 1,98 1,93 1,91 1,84
2,53 2,45 2,38 2,32 2,28 2,24
2,2
2,14
2,1
2,04 1,96 1,91 1,88 1,82
2,51 2,43 2,36
2,3
2,26 2,22 2,18 2,13 2,09 2,02 1,94 1,89 1,86
1,8
2,49 2,41 2,34 2,28 2,24
2,2
2,16 2,11 2,06
2
1,9
1,87 1,84 1,77
2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15
2,1
2,05 1,99
1,9
1,85 1,82 1,76
2,46 2,37
2,3
2,25
2,2
2,16 2,13 2,08 2,03 1,97 1,88 1,84
1,8
1,74
2,44 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,06 2,02 1,96 1,87 1,81 1,78 1,72
2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14
2,1
2,05
2
1,94 1,85
1,8
1,77 1,71
2,42 2,34 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,04 1,99 1,93 1,84 1,79 1,76 1,69

254
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,4
2,3
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62