Высшая математика - Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Социологический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебно-методической работе
профессор ______________ Е.Г.Елина
"__" _________ 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Высшая математика
Направление подготовки
040100 Социология
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Саратов,
2011
а)
б)
в)
г)
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Высшая математика» являются:
знакомство с основными разделами высшей математики, которые
входят в программу направления «Социология»;
выработка навыков использования полученных знаний в исследовательской и прикладной деятельности;
подготовка студентов к освоению дисциплин, изучаемых на старших
курсах;
выработка способности приобретать новые и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные
технологии.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Профессиональный цикл, базовая часть.
При освоении дисциплины «Высшая математика» требуются глубокие и прочные знания по всем основным школьным математическим дисциплинам.
Полученные при изучении дисциплины «Высшая математика» знания
необходимы при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» и других дисциплин, использующих понятия, методы и результаты высшей математики.
3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Высшая математика»:
ОК-1 – способность к восприятию, обобщению, анализу информации,
постановке цели и выбору путей её достижения;
ОК-8 – осознание социальной значимости своей будущей профессии,
обладание высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;
ОК-11 – способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
ОК-13 – владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыки работы с компьютером как
средством управления информацией;
ОК-14 – способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях;
ПК-2 – способность самостоятельно формулировать цели, ставить конкретные задачи научных исследований в различных областях социологии и
решать их с помощью современных исследовательских методов с использованием новейшего отечественного и зарубежного опыта и с применением современной аппаратуры, оборудования, информационных технологий;
2
ПК-5 – умение использовать социологические методы исследования для
изучения актуальных социальных проблем, для идентификации потребностей
и интересов социальных групп;
ПК-8 – умение обрабатывать и анализировать данные для подготовки
аналитических решений, экспертных заключений и рекомендаций;
ПК-11 – способность использовать методы сбора, обработки и интерпретации комплексной социальной информации для решения организационноуправленческих задач, в том числе находящихся за пределами непосредственной сферы деятельности;
ПК-12 – способность и умение использовать полученные знания в преподавании социологических дисциплин (знание основ социальноэкономических и гуманитарных дисциплин)
В результате освоения дисциплины «Высшая математика» обучающийся должен:
Знать: основополагающие понятия таких основных математических дисциплин, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, последовательности
и ряды, дифференциальное и интегральное исчисления функций как одной,
так и многих переменных, векторный анализ и элементы теории поля, функции комплексного переменного, дифференциальные уравнения, численные
методы, элементы функционального анализа.
Уметь: решать простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости; вычислять определители (включая определители второго и третьего порядков); находить обратные матрицы и решения линейных алгебраических
систем; вычислять пределы, производные, неопределенные интегралы; проверять сходимость рядов; находить экстремумы функций; строить графики
функций; владеть элементами векторного анализа и теории поля; проводить
вычисления с комплексными числами; использовать свойства аналитических
функций в практических приложениях; решать простейшие типы дифференциальных уравнений, включая линейные второго порядка с постоянными коэффициентами; владеть основными численными методами; владеть элементами функционального анализа;
Владеть: навыками решения практических задач.
4. Структура и содержание дисциплины «Высшая математика»:
3
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы или
144 часов из них 36 часов аудиторных.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1-2
2
2
8
1
3-4
2
2
8
1
1
5-6
7-8
2
2
2
2
8
8
1
910
2
2
8
1
1112
13
2
2
8
1
1
4
1415
1617
18
2
2
8
2
2
8
1
1
4
18
18
72
1
1
1
1
сам. работа
1
КСР
Практ.
3.
4.
лекции
2.
Элементы аналитической
геометрии
Основные понятия линейной
алгебры
Последовательности и ряды
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной
Функции многих переменных, векторный анализ и
элементы теории поля
Основы теории функций
комплексного переменного
Элементы гармонического
анализа
Дифференциальные уравнения
Введение в численные методы
Элементы функционального
анализа
Итого
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в часах)
Неделя семестра
1.
Раздел дисциплины
Семестр
№
п/п
Формы текущего контроля успеваемости
(по неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
Контрольная работа
(8 неделя)
Контрольная работа
(17 неделя)
Экзамен (36 часов)
Содержание дисциплины «Высшая математика»
Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
Система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в
данном отношении. Полярные координаты, преобразование прямоугольных
координат. Линии и их уравнения. Линии первого порядка: уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; угол между двумя прямыми; общее уравнение
прямой; неполное уравнение первой степени; уравнение прямой в отрезках;
нормальное уравнение прямой; расстояние от точки до прямой. Линии второ4
го порядка. Эллипс, каноническое уравнение эллипса. Гипербола. Парабола.
Общее уравнение линий второго порядка.
Раздел 2. Основные понятия линейной алгебры
Матрицы. Определения. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, произведение. Свойства операций над матрицами. Определители. Определители второго и третьего порядка. Определитель n-го порядка.
Свойства определителей. Ранг. Обращение квадратной матрицы. Линейные
алгебраические системы. Определения. Векторно-матричная запись. Условия
разрешимости. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Раздел 3. Последовательности и ряды
Числовые последовательности и ряды. Сходимость и расходимость.
Признаки сходимости. Абсолютная сходимость. Признаки абсолютной сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость.
Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
Признаки равномерной сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости.
Раздел 4. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной
переменной
Функции, пределы, непрерывность. Основные понятия теории множеств,
математической логики, теории вещественного числа, понятие функции, предел функции, непрерывность функции. Дифференциальное исчисление. Понятие производной и ее геометрический смысл. Правила дифференцирования
функций, дифференциал функции, производные и дифференциалы высших
порядков. Свойства дифференцируемых функций. Правило Лопиталя. Возрастающие и убывающие функции, экстремум функции одной переменной.
Выпуклость функций. Точка перегиба. Построение графиков функций. Интегральное исчисление. Определение первообразной и ее свойства. Неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенных интегралов. Понятие
определенного интеграла и его свойства. Методы вычисления определенных
интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы, их сходимость. Геометрическое приложение определенного интеграла.
Раздел 5. Функции многих переменных, векторный анализ и элементы
теории поля
Функции многих переменных. Определение и основные свойства функций нескольких переменных. Геометрическое изображение функций двух переменных. Непрерывность функций двух переменных. Частные производные
и дифференциалы. Определение производной и дифференциала. Производные и дифференциалы сложной функции. Неявные функции и вычисление их
производных. Частные производные высших порядков. Экстремум функции
двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума. Метод наименьших квадратов.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности. Определения поверхностного интеграла. Определение криволинейного интеграла. Формулы
5
Грина, Остроградского, Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. Элементы векторного анализа и теории поля. Скалярное и векторное поля. Поток векторного поля. Соленоидальное поле. Дивергенция. Ротор. Векторная интерпретация формул Остроградского и Стокса. Потенциальное поле. Оператор Гамильтона.
Раздел 6. Основы теории функций комплексного переменного
Понятие комплексного числа. Определение, изображение на плоскости,
модуль, аргумент. Сложение, вычитание, умножение, возведение в степень
комплексных чисел. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана.
Функции комплексного переменного. Определение. Действительная и мнимая часть функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность. Дифференцируемость функций комплексного переменного. Условие
Коши-Римана. Аналитические функции. Геометрический смысл аргумента и
модуля производной. Понятие о конформных отображениях. Элементарные
функции и конформные отображения. Интегральная формула Коши. Последовательности и ряды аналитических функций. Степенной ряд. Ряд Лорана.
Изолированные особые точки однозначного характера. Определения. Вычеты. Принцип аргумента.
Раздел 7. Элементы гармонического анализа
Ряды Фурье по ортонормированным системам. Определение ортонормированной системы (ОНС) и ряда Фурье по ней.. Минимизирующее свойство
коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ОНС. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и ее замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в
точке. Преобразование Фурье. Определение преобразования Фурье и его
формальные свойства. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Формулы Фурье.
Раздел 8. Дифференциальные уравнения
Введение в дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения, его решения. Геометрическая интерпретация. Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение и общее решение.
Начальная задача. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные
уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение и общее решение.
Начальные условия. Понижение порядка дифференциального уравнения. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Определение и общее решение. Основные свойства решений. Уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
6
Раздел 9. Введение в численные методы
Численные методы решения задач алгебры. Численные методы решения
задач математического анализа. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Раздел 10. Элементы функционального анализа
Метрические и топологические пространства. Нормированные и банаховы пространства. Гильбертовы пространства.
5. Образовательные технологии:
Лекции, практические занятия, интерактивные формы, контрольные
работы, самостоятельные работы, консультации.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов проводится с использованием конспектов лекций, материалов практических занятий, а также литературы. указанной в разделе 7.
Контрольные вопросы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Система координат.
Расстояние между двумя точками.
Площадь треугольника.
Деление отрезка в данном отношении.
Полярные координаты
Преобразование прямоугольных координат.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым
коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми.
Общее уравнение прямой.
Неполное уравнение первой степени.
Уравнение прямой в отрезках.
Нормальное уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой.
Эллипс.
Каноническое уравнение эллипса.
7
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
Гипербола.
Парабола.
Общее уравнение линий второго порядка.
Определение матриц.
Операции над матрицами: сложение, умножение на число, произведение.
Свойства операций над матрицами.
Определители второго и третьего порядка.
Определитель n-го порядка.
Свойства определителей.
Ранг.
Обращение квадратной матрицы.
Линейные алгебраические системы. Векторно-матричная запись.
Условия разрешимости линейных систем.
Формулы Крамера.
Метод Гаусса.
Способы задания числовых множеств.
Операции над множествами.
Счетные множества и их свойства.
Действительные числа. Операции над ними, их свойства.
Пределы числовых последовательностей, их свойства.
Признаки сходимости числовых последовательностей.
Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Частичные пределы, их связь с пределом последовательности.
Числовые ряды, их сходимость, сумма ряда.
Абсолютная сходимость ряда, ее признаки.
Условная сходимость ряда, ее признаки. Примеры.
Действия с рядами (сложение, умножение, перестановка членов при суммировании).
Предел и непрерывность функции в точке.
Свойства непрерывных функций, операции над ними.
Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функций.
Монотонные функции.
Непрерывность функции на множестве.
Понятие дифференцируемой функции Свойства дифференцируемых
функций, операции над ними.
Локальный экстремум функции.
Теорема Ферма.
Теорема Роля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя.
Производные высших порядков.
Формулы Тейлора-Маклорена.
Исследование функций и построение графиков.
8
60. Применение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям.
61. Метод хорд, касательных.
62. Интерполяция.
63. Определение функции нескольких переменных и основные свойства.
64. Геометрическое изображение функции двух переменных.
65. Непрерывность функции двух переменных.
66. Частные производные функций нескольких переменных первого порядка.
67. Дифференциалы функций нескольких переменных.
68. Производные и дифференциал сложной функции.
69. Случай одной переменной.
70. Случай двух переменных.
71. Неявные функции и вычисление их производных.
72. Частные производные высших порядков.
73. Экстремум функции двух переменных.
74. Необходимое условие существования экстремума.
75. Достаточное условие существования экстремума.
76. Метод наименьших квадратов.
77. Определение комплексных чисел.
78. Геометрическое представление комплексных чисел.
79. Условно комплексная плоскость. Комплексная плоскость. Мнимая единица.
80. Действия над комплексными числами.
81. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль. Аргумент.
Формула Эйлера.
82. Использование тригонометрической формы комплексных чисел для
умножения и возведения в степень.
83. Формула Муавра.
84. Определение обыкновенного дифференциального уравнения и его решения.
85. Дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение и
начальные условия.
86. Геометрическая интерпретация. Общее и частное решения и интегралы.
87. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
88. Уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными
переменными. Общее решение. Особые решения.
89. Определение однородной функции. Однородные уравнения.
90. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
91. Дифференциальные уравнения второго порядка.
92. Определение и общее решение дифференциального уравнения второго
порядка. Начальные условия.
93. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
94. Понижение порядка дифференциального уравнения.
95. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
9
96. Определение линейного дифференциального уравнения второго порядка,
его общее решение.
97. Основные свойства решений. Линейная зависимость и независимость.
98. Общее решение однородного уравнения.
99. Общее решение неоднородного уравнения.
100. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
101. Характеристическое уравнение.
102. Случай действительных и различных корней.
103. Случай действительных и равных корней.
104. Случай комплексных корней.
105. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
106. Метод неопределенных коэффициентов. Случай многочлена.
107. Случай показательной функции.
108. Случай тригонометрической функции. Резонансный и нерезонансный
случаи.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Высшая математика»:
а) основная литература:
1. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ / Под
общ. Ред. И.М. Петрушко. – 2-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань,
2008. – 317 с.
2. Высшая математика для экономических специальностей / Под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: Юрайт; Высш. Образование, 2010. – 909 с.
б) дополнительная литература:
1. Губина Т. Н., Андропова Е. В. Решение дифференциальных уравнений
в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие. – Елец:
ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. – 99 с.
2. http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=40346&p_page=4
3. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление / Под общ. Ред. И.М. Петрушко. – СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2006. – 288 с.
4. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения / Под общ. Ред.
И.М. Петрушко. – 2-е изд., стер. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008. –
603 с.
5. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 / П.Е. Данко и
др. – М.: Оникс: Мир и образование, 2006. – 303 с.
6. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2 / П.Е. Данко и
др. – М.: Оникс: Мир и образование, 2006. – 415 с.
10
7. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения [Текст] : учеб. пособие /
Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова ; под ред. Б. П. Демидовича. - 5-е изд., стер. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2010. - 400 с. (Классическая учебная литература по математике) (Лучшие классические учебники).
8. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] : учеб.
пособие / В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - 2-е изд., стер. - М. : Высш.
шк., 2006. - 479, [1] с. - (Прикладная математика для ВТУЗов).
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Пакет Maxima
2. http://wiki.linuxformat.ru/index.php/LXF81:Maxima – подборка статей:
Тарнавский Т. Maxima — алгебра и начала анализа // LinuxFormat, № 11,
2006.
Тарнавский Т. Maxima — графики и управляющие конструкции //
LinuxFormat, № 11, 2006.
Тарнавский Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений //
LinuxFormat, № 7, 2006.
Тарнавский Т. Maxima — укротитель выражений // LinuxFormat, № 9,
2006.
Тарнавский Т. Maxima — функции и операторы // LinuxFormat, № 8, 2006.
12.
Материально-техническое обеспечение учебной практики
Учебная практика проводится на базе СГУ с использованием компьютерного оборудования и информационных ресурсов ВЦ СГУ, научнотехнической литературы из библиотеки СГУ и личных библиотек руководителей практики, а также с использованием домашних персональных компьютеров практикантов.
11
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Уравнения
математической физики»
Учебная аудитория с обязательным наличием специализированной
доски, мела (маркера), проектора и пр., с возможностью размещения всех
обучающихся.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению по направлению подготовки 040100 «Социология».
Автор
доцент кафедры дифференциальных
уравнений и прикладной математики
В.С. Рыхлов
Программа одобрена на заседании дифференциальных уравнений и прикладной математики от 18 января 2011 года, протокол № 10.
Зав. кафедрой дифференциальных
уравнений и прикладной математики
д.ф.-м.н., профессор
А.П. Хромов
Декан механико-математического
факультета, к.ф.-м.н.
А.М. Захаров
Декан социологического
факультета, д.ф.н., профессор
Г.В. Дыльнов
12