TK9

75
Асимптотические методы
§18. Регулярные и сингулярные возмущения.
Пусть задано банахово пространство
B
и отображение
x : [0, ]  B .

Определение.
Будем
ряд
n
 xn , xn  B, n  0,1,
называть
n 0
асимптотическим рядом для функции
и
 0 n 
найдутся числа
C n 
такие, что
x     xk  k  C n  n 1
n
k 0
Пример 1. Если функция
точке
x   , если для любого n
при
0     0 n 
f :   ,   R
  0 , то справедливо формула Тейлора
(18.1)
имеет производные всех порядков в
x k  0
x n 1    n 1
x     xk   rn  , xk 
, rn   

n  1!
k!
k 0
0      1
n
k

Ряд Тейлора
 xk 
k
может расходиться на любом отрезке
k 0
асимптотическим рядом для функции
(18.2)
0,  , но он будет
x   . Действительно,
x     xk  k  rn    C n  n 1 , 0    
n
k 0
1
C n  
max x n 1  
n  1!   , 
Пример 2. Рассмотрим функцию
e t / 
x    
dt
0 1 t

Интегрируя по частям, получаем
(18.3)
76


  d e t / 
e t / 
e t / 
x    
dt   
 
2
1

t
1 t


1

t
0
0

 d
   
2
0
e  dt 

0
e t / 
 
dt 
2


1

t
0

t /
1  t 2
   1!  2!     1
2
n 1
3
e t /  dt
n  1!  n! 
n
0 1  t 
n
n

Таким образом,
x      1! 2  2! 3     1
n 1
n  1! n  rn  
e t / 
rn     1 n! 
dt
n 1
0 1  t 
n
n


Ряд
    1k k  1! k
k 2
асимптотическим для функции
расходится при любом
  0,
но является
x   , так как
e  t /  dt
x        1 k  1!  rn    n! 

n 1
k 0
0 1  t 

k
k
n


 n!  e t /  dt  n! n 1
n
0
Замечание. Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений
функции при малых или больших значениях параметра.
Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при
  0 .1
x 0.1  0.0915633
Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности
x 0.1  S n , получаем первые 20 чисел
n  

0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,
-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,
0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020
77
Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.
На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к
значению x
0.1  0.0915633.
вертикали частичная сумма
На горизонтали оси откладывается номер
n,
по
Sn .
-0.0994
-0.0996
-0.0998
5
10
15
20
-0.1002
-0.1004
рис.1
B1 , B2  банаховы пространства G  B1 и при   0,  0  задано
семейство операторов A : G  B2 . Рассмотрим при 0     0 уравнение
A x  0 . Допустим, что это уравнение при каждом   0 имеет единственное решение
x   . Уравнение A0 x  0 будем называть вырожденным. Допустим, что вырожденное
уравнение имеет единственное решение x 0 . Будем говорить, что вырождение регулярное,
Пусть
если
x    x0  0 при   0
(18.4)
Если (18.4) не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.
A x 
Распространена еще и такая терминология: Уравнение
0
называют
уравнением возмущений для уравнения A0 x  0 . Если условие (18.4) выполнено, то
говорят о регулярных возмущениях. В противном случае речь идет о сингулярных
возмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики. В
следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
§19. Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Рассмотрим задачу Коши
A
dxt ,  
 f  x t ,  , t ,  , x 0,    
dt
(19.1)
78
Функция
f  x,t,  
непрерывна
дифференцируемая по переменным
x
и

при
Предполагается, что вырожденная задача
t и
t  T , x  a ,   0 .
A0
по
переменной
dx0 t 
 f  x0 t , t ,0, x0 0  
dt
имеет единственное решение при
бесконечно
(19.2)
t  T , причем x t   a .
Полагая
x t ,    x0 t   X t ,  , X 0, t   0
и воспользовавшись тем, что функция
систему уравнений для функции
(19.3)
x0 t  удовлетворяет
X t,  
уравнению (19.2) запишем
в виде
dX t ,  
 At  X t ,    F  X t ,  , t ,  , X 0,    0
dt
(19.4)
где
At  
f  x0 t , t , 0
x
F  X , t ,    f  x0  X , t ,    f  x0 , t , 0  
(19.5)
f  x0 , t , 0
X
x
(19.6)
Будем искать решение задачи Коши (19.4) в виде формального ряда по степеням
малого параметра 

X t ,     xk t   k , xk 0  0
(19.7)
k 1

Для определения неизвестных функций x k t , k  1 получаем рекуррентную
систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)
dxk t 
 At xk t   Fk  x0 t ,, xk 1 t , t , xk 0  0
dt
(19.8)
79
1 d k F  X t ,  , t ,  
Fk  x1 ,, xk 1 , t  
k!
d n
 0
Уравнение (19.8) называют уравнением в вариациях.
Вычислим две первых функции  k
1 t  
F  x0 t , t , 0

 2  x1 , t  
1  2 F  x0 t , t , 0 2  2 F  x0 t , t , 0
1  2 F  x0 t , t , 0

x1 
x1 
2
x
2
x 2
 2
(19.9)
Подставляя разложения (19.7) и (19.8) в уравнения (19.4),получаем рекуррентную
систему уравнений
dxk t 
 At xk t    k  x1 t , , xk 1 t , t , xk 0  0
dt
(19.10)
Все уравнения (19.4) имеют одинаковую структуру
 t   At  t   t  ,  0  0
(19.11)

Столбцы фундаментальной матрицы  t образуют фундаментальную систему
решений. При помощи формулы Коши получим решение в виде
t
 t   T , T   t   1    d
(19.12)
0
Линейный оператор
T : C n 0, a   C n 0, a 
T  C  , C      1 
Покажем, что ряд (19.3) асимптотический для решения
(19.13)
x t ,   . Положим
80
X t ,    X n t ,     n y n t ,  , y 0,    0
(19.14)
X n t ,     x k t  k
n
k 1
Применяя формулу Тейлора, получаем
F  X n t,  , t ,      k Fk  x1 t , , xk 1 t , t    n 1  n t ,  
n
(19.15)
k 1
где функции
Fk  x1 t , , xk 1 t , t  те же, что и в формуле (19.8), а
d n 1 F  X n t ,  , t ,  
1
 n ,   
, 0  1
n  1!
d n 1
(19.16)
Подставляя представление (19.14) в уравнение (19.4), воспользовавшись
представлением (19.15) и формулами (19.8), получаем уравнение для функции
dy t ,  
 Ay t ,     n t ,    By n t ,  
dt
y n  x,   .
(19.17)
где

F
 X
x

By n  F X n t ,     n yn t ,  , t ,   F  X n t ,  , t ,   

n
1
n
t,    u
n

(19.18)
yn t ,  , t ,  yn t ,  du
0
Из формулы (19.6) получаем
Fx  X , t ,    f x  x0 t   X , t ,    f x  x0 t , t , 0
и формула (19.18) может быть записана в виде
1
 


By n   f x x0  X n  u n yn , t ,   f x  x0 , t , 0 yn t ,  du
(19.19)
0
Так как вторые производные функции
удовлетворяет условию Липшица и
f
ограничены, то функция
f x  x,t ,  

81
 
y y


By n  C1 X n   n y n  y n  C2 1   n 1 y n y n

By n  C2 1  
n 1
n
(19.20)
n
Вспоминая определение оператора
T , получаем функциональное уравнение
y n  T n  TBy n  Kyn
(19.21)
Используя принцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (19.21) при
0    0
имеет единственное решение, и справедливо неравенство
yn  C n  .

Тем самым будет доказано, что ряд
x0 t    xk t  k
является асимптотическим
k 1
x t ,   , являющейся решением задачи Коши (19.1).
yn  b . Так как частные производные равномерно непрерывны,
рядом для функции
Пусть
то из
(19.17)- (19.120) получаем оценки



Ky n  T    n  By n    T   n  C2 1   n 1b b  C  b
при
0     0 . Таким образом, шар радиуса b отображается в себя при 0     0 .
Используя (19.20), получаем

 

By1  By 2  F X n   n y1 , t ,   F X n   n y 2 , t ,  


dF X n   n  y1  u  y 2  y1 , t , 

du
du
0
1
n F
 
X n   n  y1 t ,    u  y 2  y1 , t ,   y 2  y1 du
0 x
1


Используя равномерную непрерывность частных производных, получаем
By1  By 2   n C y 2  y1
Ky 2  Ky1   n C T  y 2  y1
Уменьшая, если нужно,  0 получаем, что при
оператором сжатия. Следовательно,
0     0 оператор K
является
82
 y n t ,    x t ,    x0 t     k xk t   C n  n 1
n
n
k 1

и ряд
x0 t    xk t  k асимптотический для решения xt ,   задачи Коши (19.1).
k 1
§20. Сингулярные возмущения. Простой пример.
Рассмотрим простой примеры решений задач Коши
Пример 1.
dxt ,  
 axt ,    f t , x 0,    0
dt
a  0,   0, t  0  T


Функция f t бесконечно дифференцируема.
Если искать решение задачи (20.1) в виде ряда по степеням параметра
формальное решение имеет вид

x t ,      xk t ,
k
k 0
Так как для
n  ой
xk t    1
k
f k  t 
a k 1
(20.1)
 , то
(20.2)
частичной суммы ряда (20.2) начальное условие, вообще
 
n 1
говоря, не удовлетворяется с точностью до O 
, то ряд (20.2) не является
асимптотическим рядом для решения. Нужно так подправить этот ряд, чтобы он стал
асимптотическим.
Задача (20.1) имеет точное решение
1t
x t ,     f s e  a t  s  /  ds
0
(20.2)
Интегрируя по частям, получаем
1t
1
1t
 a t  s  / 
 a t  s  /  t
x t ,     f s de
 f s e
  f s e  a t  s  /  ds 
0
a0
a
a0
f t  f 0  at /   t


e
 2  f s de  a t  s  / 
a
a
a 0
Интегрируя по частям
n
раз, получаем
83
x t ,   
n
 
 1k  k  f k  t   f k  0e at /     1n  n
f
a n 1 0
a k 1
k 0
t
n 1
s e
 a t  s  / 
d
(20.3)
Запишем уравнение (20.3) в виде
x t ,      k  xk t    k    rn t , 
n
k 0
  t /  , xk t    1
k
n
rn t, ,     1
n
Пусть
a
n 1
k 
0 e a
f k  t 
k f




,




1
k
a k 1
a k 1
(20.4)
t
n 1
s e a t  s /  d
f
0
Cn  max f n  t 
t0,T 
Оценивая остаток при t0,T  , получаем
rn t , ,   
 n Cn T
e
a n 1
 a t  s  / 
0
Cn n 1
Cn n 1
 aT
ds  n  2 1  e
 n2
a
a


Эта оценка доказывает, что ряд

k
   xk t    k  
(20.5)
k 0
является асимптотическим рядом для точного решения.
Будем называть переменную t медленным временем, а переменную   t /  быстрым временем. Функции  k  погранслойными функциями. При малых
 
значениях параметра
 учет погранслойных функций существенен только в достаточно

малой окрестности границы

асимптотики, а ряд
t  0 . Ряд   k xk t  называют регулярной частью
k 0
k
   k   - погранслойной частью асимптотики. Регулярная
k 0
часть является асимптотическим рядом для точного решения на любом отрезке
 , T ,   0 , но не на всем отрезке [0, T ] .


84
x
Функция
20
40
погранслоя
60
80
100
t
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
рис.1
На рис.1 изображен график функции погранслоя.
Формула (20.4) подсказывает идею построения асимптотики в том случае, когда
точное решение неизвестно. Будем искать решение задачи (20.1) и виде суммы
xt, ,     t,     ,  ,   t / 
(20.6)
Подставляя (20.6) в (20.1), получаем
d t ,   d  ,  

 a t ,    a  ,    f t ,  0,    0
dt
d
a  0,   0, t  0  T

(20.7)
или
d t ,  
d  ,  
 a t ,    f t   
 a  ,    f t ,  0,    0
dt
d
a  0,   0, t  0  T

Мы считаем
общности
t и
независимыми переменными. Поэтому без ограничения
d t ,  
d  ,  
 a t ,    f t   0,
 a  ,    0
dt
d
 0,     0,  

Будем искать решение в виде рядов


 t,      xk t ,  ,      k  k  ,  
k 0
k
k 0
Подставляя эти ряды в уравнения (20.7), получаем
85
d 0  
1
f t ,
 a 0    0,  0 0   x0 0
a
dt
d k  
1
xk t   k 1 f k  t ,
 a k    0,  k 0   xk 0
dt
a
x0 t  
Решая последовательно эти уравнения, получим асимптотический ряд (20.5).
§21. Сингулярные возмущения. Система линейных уравнений.
Рассмотрим задачу Коши для системы линейных уравнений

dxt ,  
 At x t ,    f t  , x 0  0, 0  t  T ,   0
dt
(21.1)
ненулевое начальное условие может быть сведено к нулевому соответствующей заменой
зависимой переменной.
At  и вектор- функция f t  имеют производные
всех порядков при t  0 . Det At   c0  0 . Матрица At  имеет обратную матрицу
B t . При   0 вырожденная система имеет решение
Предполагается, что матрица
x0 t   B t  f t 
(21.2)
в общем случае не удовлетворяющее начальному условию (21.1).
Положим
xt ,     t ,    X  ,  ,   t / 
Подставляя (21.3) в уравнение (21.1), потребуем, чтобы  и
следующих задач
d t ,  
 At  t ,    f t , x 0,    A1 0 f 0
dt
dX  ,  
 A  X  ,  , X 0,     0,  
d
(21.3)
X были решениями

(21.4)
Если  и X удовлетворяют уравнениям (21.4), то выражение(21.4) будет
решением задачи Коши (21.1).
Будем искать формальное решение задач (21.4) в виде рядов по степеням малого
параметра  .
86


n 0
n 0
 t ,     xn t  n , X  ,     X n   n
X n 0   n 0
Предположение 1. Матрица
(21.5)
A1 t  равномерно ограничена A1 t   C .
Подставляя выражения (21.5) в уравнения (21.4), получаем рекуррентную систему
уравнений
x0 t   At  f t , X 0     x0 0e A0 
1
xn t   At  xn 1 t 
1
X n    A0 X n    
n
k
k 1 k!
Ak  0 X n k  , X n 0   xn 0, n  1
(21.6)
Уравнения (21.6) последовательно разрешаются
X n     xn 0e
A0 
1  k A0   s  k 
  s e
A 0 X n k s ds, n  1
k 1k!0
n
Нам нужно найти условия, привыполнениикоторых функции
погранслойными.
(21.7)
X n   являются
Определение. Говорят, что матрица A устойчива, если все ее собственные
значения лежат в отрицательной полуплоскости.
Лемма 1. Если матрица
A устойчива, то
e A t  Qk 1 t e  t
где  
 max Re i , k есть собственное значение наибольшей кратности, а
i
Qk 1 t  есть многочлен с неотрицательными коэффициентами.
Доказательство. Матрица
e At
есть решение задачи Коши
z t   Az t , z 0  E
(21.8)
Применим для решения задачи (21.8) преобразование Лапласа. Пусть
преобразование Лапласа матрицы
Z  p
z t  . Для матрицы Z  p  получаем уравнение
есть
87
pZ  p   I  AZ  p , Z  p    A  pE   
1
где
присоединенная
матрица
C p
C p
D p 
является
(21.9)
матричным
многочленом,
D p   det  A  pE  характеристический многочлен. Функция C  p  / D p  может
k
быть разложена в сумму элементарных дробей. Пусть
H /  p    одна из таких
дробей, соответствующая собственному значению  . Из теории вычетов следует, что
обратное преобразование Лапласа от этой дроби есть
1 i He pt
H d k e pt

dp 

k  1! dp
2i i  p   k
p 
Ht k 1e  t

k  1!
(21.10)
Таким образом,
e At   Pki 1 t ei t
m
(21.11)
k 1
где
i
собственное значение кратности
k i , Pki 1 t 
матричные многочлены степени
k i 1 .
Из формулы (21.11) следует, что
e At  Qk 1 t e  t , Re i   , k  max ki
Qk 1 t  - многочлен с неотрицательными коэффициентами.
Для доказательства того, что ряд (21.4) являются асимптотическими для решения
уравнения (21.1), наложим дополнительные ограничения на матрицу A t .

X n   определяются рекуррентной системой уравнений
A0  A0  устойчива, max Re i   , то
Лемма 2. Если функции
(21.7), матрица
X n    RN n  e  
где
RN n   многочлен с положительными коэффициентами.
Доказательство. При
n  1 утверждение верно
88
X 1    e
 A0 

x1 0   e A0   s  A0e  A0 s x0 0sds
0
X 1    x1 0 e
 

Pk 1     e    s  Pk 1   s A0e  s Pk 1 s x0 0 sds 
0

 2  
 e  x1 0  A0  x0 0   e Pn1  
2

Если утверждение верно для X 0  ,, X n 1   , то из формулы (21.7) следует,

что
X n    xn 0 e  Pk 1   
n 1
   s k e    s  Pk 1   s  Ak  0 RN n  k s e s Pk 1 s ds  e  RN n  
k 1k! 0
Ak  0  k
RN n    xn 0 Pk 1    
 s Pk 1   s RN n  k  s Pk 1 s ds 
k! 0
k 1
n
Лемма 2. Если матрица
A отрицательно определена, то она устойчива.
Доказательство. Пусть
 Ax , x    x, x . Если     i
собственное значение, а
вектор, то
комплексное
e  a  ib соответствующий нормированный собственный
Ae, e  
1
1
1
1
Re    Ae , e   Ae, e    Aa  ib , a  ib    Aa  ib , a  ib  
 Ae , e   e, e    ,
2
2
2
2
  Aa , a    Ab , b    a   b  
2
2
Лемма 3. Если устойчивая матрица имеет ортонормированный базис из
собственных векторов, то, она отрицательно определена.
Доказательство. Разложим произвольный вещественный вектор
собственных векторов
x   ei xi , Ax   i xi ei ,  Ax , x    i xi
n
n
n
k 0
i 1
k 0
Если
значение и
k
x
по базису из
2
комплексное собственное значение, то  k также есть собственное
89
2
k xk   k xk  2 Re k xk
2
2
Следовательно,
 Ax , x   min Re k  xk 2   x 2 , 
n
k
k 1
 min Re k
k
Замечание. Устойчивая матрица может не быть отрицательно определенной,
если она не имеет базиса из собственных векторов.
Упражнение. Покажите, что матрица
 1  2


0

1


устойчива, но не является отрицательно определенной.
Дальнейшие утверждения будут доказаны для отрицательно определенной матрицы.
Хотя эти утверждения справедливы в более общем случае устойчивых матриц, но
соответствующие доказательства требует применения довольно сложной техники.
Предположение 2. Kвадратичная форма
 At  ,     2 , 
 At  ,  отрицательно определена
0
(21.12)
Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения

dxt ,  
 At x t ,  , t  0
dt
(21.13)
 t ,   этого уравнения. Ее k-ый столбец
xk t ,   является решением однородного уравнения и xk 0,    ek , где у вектора ek
Рассмотрим фундаментальную матрицу
на k-ом месте стоит единица, а все остальные компоненты равны нулю.
Лемма 4. Если выполнено условие (21.12), то справедлива следующая оценка для
фундаментальной матрицы
 t ,    e  t /  , t  0
Доказательство. Столбец
задачи Коши
(21.14)
xk t ,   фундаментальной матрицы есть решение
90

dxk t ,  
 At xk t ,  , xk 0,    ek , t  0
dt
На любом конечном отрезке
уравнение (21.15) на
 d xk
2
0, T  эта задача имеет решение. Умножая скалярно
xk t ,   и воспользовавшись неравенством (21.12), получаем
  At xk , xk    xk , xk 0  1
2
2 dt
(21.15)
2
(21.16)
Откуда получаем оценку
xk t ,    e  t / 
(21.17)
Рассмотрим задачу Коши

dxt ,  
 At x t ,    f t , x 0,    0, t  0
dt
(21.18)
Лемма 5. Если выполнено условие (21.12), то для решения задачи Коши (21.18)
справедлива оценка
x t ,   
1

f , 0  t  T , f  max f t 
(21.19)
0 tT
Доказательство. Повторяя рассуждения леммы 4, получаем неравенство
2
1 dx
2

  x  x  f t 
2 dt
или

dx
  x  f t  , x 0  0
dt
(21.20)
Решая это неравенство, получаем
f t  t  s / 
1 t  t  s  / 
1
x  e
f s ds 
ds  f
e
0

0

91
Теорема 1. Если выполнены предположения 1 и 2 ,то ряд

 t  n
  xn t   X n   
n 0 
  

(21.21)
является равномерно асимптотическим для решения задачи Коши (21.1).
Доказательство. Положим
x t ,   

 t  n
  xn t   X n     n t ,  
k 1
  
n
Разложим функцию
(21.22)
At  по формуле Тейлора
k
n
t k k 
k
At    A 0  rn t    
Ak  0  rn t 
k!
k  0 k!
k 0
t n 1
rn t   cn
 cn n 1 n 1 , cn  max An 1 t 
0  t T
k  1!
n
(21.23)
Подставляя выражение (21.22) в уравнение (21.1), получаем
n dX
 n  i i 
n
dn
n 1
i
k k

 At n   xn t   
    A 0  rn   X j   j
dt
k  0 d
 i 0 i!
 j 0
Учитывая соотношения (21.6),получаем уравнение
n  k n 1 k
dn
n 1
n 1

 At n   xn t    
Ak  0 X k   
dt
k  0n  1  k !
 rn  X j   , n 0  0
n
(21.24)
j
j 0
Используя оценку (21.23) для rn и применяя лемму 5, получаем оценку
k
n  A 0
N

 n 1 
n 1 k
n
k








n 
x
t

sup

X


c
sup

X



n
k
n
j


 
k 0n  1  k !  0
j 0  0

Из леммы 2 следует, что
92
sup n 1 k X k    sup n 1 k Pmk  e   
 0
sup n X j    sup n Pm j  e   
 0
Следовательно,
n  O  n 1 , что и требовалось доказать.