5.2. Канонические формы уравнений в частных производных второго порядка

122
5.2. Канонические формы уравнений в частных производных второго
порядка
Уравнением с частными производными второго порядка с двумя
независимыми
переменными ( x , y )
называется соотношение
между
неизвестной функцией u( x , y ) и её частными производными до второго
порядка включительно:
F ( x , y , u, u x , u y , u xx , u yy , u xy )  0 ,
u
u
 2u
 2u
где u x 
; uy 
; u xx 
; u xy 
;
x
y
xy
x 2
Уравнение
называется
линейным
u yy 
 2u
y 2
относительно
.
старших
производных, если оно имеет вид:
a11u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  F ( x , y , u, u x , u y )  0 ,
где
a11  a11 ( x , y ); a12  a12 ( x , y );
Если коэффициенты
(5.2.1)
a 22  a 22 ( x , y ).
a11 , a12 , a 22
зависят не только от x, y , а
являются подобно F , функциями x , y , u, u x , u y , то такое уравнение
называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно
старших производных
u xx , u yy , u xy , так и относительно функции u и
ux , u y :
a11u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  b1u x  b2 u y  cu  f  0,
(5.2.2)
где все коэффициенты в (5.2.2) и f  есть функции от x и y .
Если коэффициенты в (5.2.2) не зависят от x и y , то это линейное
уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнение (5.2.2) однородное, если f ( x , y )  0 .
123
С помощью преобразования переменных    ( x , y ) ,    ( x , y ) мы
получим новое уравнение эквивалентное исходному.
Пусть даны две взаимно однозначные системы координат xOy и
O  (рис. 5.1), связанные соотношениями
   ( x, y )   ( x, y ) ,    ( x, y )   ( x, y ) и x  x( , ) , y  y( , ) .
y

 = const
0'

0
x
Рис. 5.1
Уравнение координатной линии   const
в системе координат xOy
имеет вид  ( x , y )  const . Дифференциал этой функции двух переменных
равен нулю и
d 


dx 
dy  0 
x
y
 ( x , y )
dy  ( x , y )


x
dx y
( x, y)
( x, y)
 
x
y
т.е. производные


и
пропорциональны друг другу в каждой точке
x
y
плоскости и коэффициент пропорциональности
dy dx   ( x , y ) , равен
скорости изменения переменной у вдоль линии   const , проходящей
через данную точку. Каждая криволинейная система координат O  имеет
124
свою характеристику  ( x , y ) и по ней можно определить само уравнение
координатной линии
dy  ( x, y)dx ,
y   ( x, y )dx  c , ( x, y )  y   ( x, y )dx  cоnst .
Ставится задача как выбрать    ( x , y ) и    ( x , y ) , чтобы
уравнение (5.2.1) имело наиболее простую форму в новых переменных
 ,  , u( x , y )  ux  , , y ,   u ,  .
Преобразуя производные к новым независимым переменным  и  ,
имеем
u x  u   x  u  x ,


u y  u   y  u  y ,


u xx  u   x  u   x   x  u   x  u   x   x  u  x2  u  x   x 


 u x x  u x  x  u  x x  u  x x  u x2  u x x 
 u  x2  2u  x x  u x2  u  xx  u xx ,
здесь учитывалось, что u  x  x  0 , u  x  x  0 , так как  и 
независимые переменные и  x  0 ,  x  0 . И также u  x   x  u  xx ,
u  x  x  u  xx .
Следовательно
u xx  u  x2  2u  x x  u x2  u  xx  u xx ,
(5.2.3)
аналогично
u yy  u  y2  2u  y y  u 2y  u  yy  u yy .
Для смешанного производного имеем


u xy  u  x y  u   x y   y x  u x y  u  xy  u xy .
Теперь все эти производные поставляя в уравнение (5.2.1) имеем
125


a11 u  x2  2u  x x  u x2  u  xx  u xx 
 2a12 u  x  y  u   x y   y x  u x y  u  xy  u xy 






 a 22 u  y2  2u  y y  u 2y  u  yy  u yy  F  0,
или
a11 x2  2a12 x y  a22 y2 u   2a11 x z  a12  x y   y x   a22 y y u  
a11 x2  2a12 x y  a22 2y u  u a11 xx  2a12 xy  a22 yy  


 u a11 xx  2a12 xy  a 22 yy  F  0.
Обозначая
a11  a11 x2  2a12 x y  a22 y2 ,
a 22  a11 x2  2a12 x y  a 22 2y ,


a12  a11 x z  a12  x y   y x  a 22 y y




u a11 xx  2a12 xy  a22 yy  u a11 xx  2a12 xy  a22 yy  F  F
можно записать
a11u   2a12 u   a 22 u  F  0 ,
(5.2.4)
Так как вторые производные не входят в F ( x , y , u, u x , u y ) и вторые
производные от  и  в выражении




u a11 xx  2a12 xy  a22 yy  u a11 xx  2a12 xy  a22 yy  F  F
равны нулю для F . Преобразование переменных линейное, то значение
F F.
И
так,
преобразованное
выражение
F
-
не
получает
дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных.
Формы уравнений (5.2.4) и (5.2.1) идентичны.
Теперь переменные  и  выбираются такие, чтобы
a11  0 или
a 22  0 для уравнения (5.2.4)
a11 x2  2a12 x y  a22 y2  0 .
(5.2.5)
126
Таким образом, задача выбора переменных  и  связано с решением
уравнения (5.2.5). Учитывая, что производные пропорциональны с
коэффициентом   x, y 
 ( x , y )
 ( x , y )
.
   x , y 
x
y
То (5.2.5) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
a11(  y ) 2  2a12 (  y ) y  a22 y2  0
или


( y ) 2 a112  2a12  a22  0 , так как  y  0 , то получаем
a112  2a12  a22  0
(5.2.6)
характеристическое уравнение для (5.2.1).
Из уравнения (5.2.6) следует
2
dy a12  a12  a11a 22
,
1  x , y  

dx
a11
(5.2.7)
2
dy a12  a12  a11a 22
.
2  x, y  

dx
a11
(5.2.8)
Из (5.2.7) имеем
dy  1( x , y )dx ,
y    1( x , y )dx  c1 ,
dy   2 ( x , y )dx ,
y    2 ( x , y )dx  c2 .
Функции    ( x , y )  с1 и    ( x , y )  с2 называются характеристиками
преобразования
координат.
Таким
образом
получаем
характеристик
  y    1( x, y )dx ,
  y    2 ( x , y )dx .
Уравнение (5.2.1)
a11u xx  2a12u xy  a22u yy  F  0
в точке M ( x , y ) называется уравнением:
уравнения
127
гиперболического типа, если
2
a12
 a11a 22  0 ;
эллиптического типа, если
2
a12
 a11a 22  0 ;
2
a12
 a11a 22  0 .
параболического типа, если
Уравнение (5.2.1) будет являться уравнением гиперболического,
эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично,
эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение (5.2.1) может менять свой тип при переходе из одной точки
(области) в другую. Например, уравнение yu xx  u yy  0 является


уравнением эллиптического типа в точках ( x, y), y  0 ; параболического
типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках (x, y), y  0 .
Непосредственной проверкой устанавливается справедливость
тождества:


2
2
a12
 a11a 22  a12
 a11a 22 D 2 ,
где D   x y   y x .
Из
которого
следует
инвариантность
типа
уравнения
при
преобразовании переменных, так как Якобиан D  0 .
Для того чтобы было возможно введение новых переменных
   ( x , y ) и    ( x , y ) , надо убедиться в независимости этих функций,
достаточным условием чего является отличие от нуля функционального
определителя.
Пусть в некоторой точке
x  x
 0.
y y
Тогда имеет место
x  x

,
y
y
что невозможно, так как
128
2
2
a12  a12
 a11a 22  x a12  a12
 a11a 22
x
,


y
a11
y
a11
и
2
a12
 a11a 22  0 .
Через каждую точку области G
проходят две характеристики
 ( x , y )  c1 ,  ( x , y )  c 2 , причем для уравнений гиперболического типа характеристики
действительные
и
различные;
для
уравнений
эллиптического типа – комплексные и различные; для уравнений
параболического типа обе характеристики действительные и совпадают.
Для каждого типа уравнений существует своя каноническая форма.
Термин каноническая форма заимствована из теории кривых второго
порядка.
5.2.1. Каноническая форма для уравнения гиперболического типа
2
a12
 a11a 22  0 ,
правые части (5.2.7), (5.2.8) различные и общие интегралы  ( x , y )  c1 ,
 ( x, y)  c 2
- определяют действительные семейства характеристик.
Полагая
   ( x, y ) ,    ( x, y ) .
(5.2.9)
Тогда  и  находятся исходя из характеристического уравнения (5.2.6) и в
уравнении (5.2.4) коэффициенты a11  0 и a 22  0 . И из уравнения (5.2.4)
следует
u    F / 2a12    ( ,  , u, u , u ) ,
(5.2.10)
это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа.
Уравнению гиперболического типа придадим другой вид. Для (5.2.9) можно
ввести другие переменные
129
 

2
,  
 
2
,
тогда
u 
u 
u  u  1  u u  1

 

  u  u  ,
    2     2




1
u  u  ,
2
u  
u  u 
 1
    1
 
,



 u  u  
 u  u  
      2
    2
 

так как





 1/ 2 ,
 1/ 2 ,






 1
1  1
 1 
 u  u  
 u  u    
  2
 2   2
 2  ,
1
 u   u   u   u 
4
u  

u  


 u  u    4  u   4   1,
1
u   u   ,
4
тогда получается
u  u    1 ,
(5.2.11)
вторая каноническая форма гиперболического типа уравнения в частных
производных.
Пример. Привести уравнение к каноническому виду
3u xx  10 u xy  3u yy  4  0 ,
здесь a11  3 , a12  5 , a 22  3 . Тогда уравнение в новых переменных будет
a11u   2a12 u   a 22 u  F  0 .
Выбираются переменные  и  такие, чтобы a11  0 , a 22  0 для этого
уравнения, т.е. составляется характеристическое уравнение (5.2.6)
130
a112  2a12  a22  0 ,
находим
2
dy a12  a12  a11a22 5  25  9
1 


 3,
dx
a11
3
2
dy a12  a12  a11a 22 5  25  9
2 


 1/ 3 .
dx
a11
3
y  3 x  c1 ,
Решение.
y
1
x  c 2 - являются характеристиками для
3
исходного уравнения, тогда новые переменные принимают вид
1
3
  y  3x ,   y  x .
 x  3 ,  y  1,  x  1/ 3 ,  y  1 ,
a11  a11 x2  2a12 x  y  a 22 y2  3 32  2  5   3  1  3  12  0 ,
2
 1
 1
2
2
a 22  a11 x  2a12 x y  a 22 y  3    2  5      3  12  0 ,


 3
 3
a12  a11 x z  a12  x y   y x  a 22 y y 
32
 1 
 1 
 3   3    5 3  1      1  3  1  1  
 3
u    F / 2a12   
т.е. u  
 3 

4
 32 
2   
 3

,
3
3
,
16
3
- первая каноническая форма гиперболического уравнения.
16
u  u    4  u   4    1,
u   u    4  u   4  163  43 ,
131
u  u    43
т.е.
вторая каноническая форма гиперболического
-
уравнения.
5.2.2.Каноническая форма уравнения параболического типа
2
a12
 a11a 22  0 ,
Уравнения (5.2.7), (5.2.8) совпадают и тогда получается один общий
интеграл для (5.2.6) и  ( x, y )  c - определяют характеристику. Полагая
   ( x, y ) .
   ( x, y) ,
Тогда из уравнения (5.2.4) вытекает
a11  a11 x2  2a12 x  y  a 22 y2 
так как
a12  a11a 22 , то


a11  x  a 22  y

a12  a11 x z  a12  x y   y x  a 22 y y 


тогда
a11  x  a 22  y
получается


a11  x  a 22  y  0
следующее
уравнение
2 =0,
,
параболического
типа
в
канонической форме
u   F / a12   ( , , u, u , u ) .
(5.2.12)
5.2.3. Каноническая форма уравнения эллиптического типа
2
Для уравнения эллиптического типа a12
 a11a 22  0 и правые части
(5.2.7) и (5.2.8)- комплексные. Пусть  ( x, y )  c - комплексный интеграл
уравнения (5.2.7). Тогда   ( x , y )  c - общий интеграл сопряженного
уравнения (5.2.8).
Вводятся другие переменные

  
2
, 
 
2
,
132
так что
    i ,     i .
Выбираются переменные  и  такие, чтобы
a11 x2  2a12 x  y  a 22 y2  0 .
Находятся производные  x  x  i x ,  y   y  i y ,
 y2   2y   y2  2 y  y  i ,
 x2   x2   x2  2 x  x  i , ,
тогда
a11 x2  2a12 x  y  a 22 y2 


 a 22  2y   y2  2 y  y  i  


 a11  x2   x2  2 x  x  i  2a12  x  i   x   y  i   y 




 a11  x2  2a12 x y  a22 2y  a11  x2  2a12  x  y  a22  y2 




 2  i  x  x  a12  x  y   y  x  a 22 y  y  0 ,
так как комплексное число равно нулю, то и составляющие его части равны
нулю




a11  x2  2a12 x y  a 22 2y  a11  x2  2a12  x  y  a 22  y2  0 ,
 x  x  a12  x  y   y  x   a 22 y  y  0 ,
значит




a11  a11  x2  2a12 x  y  a 22 2y  a11  x2  2a12  x  y  a 22  y2  a 22 ,


a12   x  x  a12  x  y   y  x  a 22 y  y  0 .
И из формулы (5.2.4) получается
u  u      ,  , u, u u ,   aF
.
(5.2.13)
22
Формулой (5.2.13) определяется каноническая форма эллиптического типа
уравнения в частных производных.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
133
2u xx  4u xy  5u yy  u x  5u y  4u  0 ,
2
a12
 a11a 22  6  0 , следовательно, уравнение эллиптического типа.
Выбираются новые координаты, связанные с поворотом координатных осей
(рис. 5.2)
  x cos  y sin  ,    x sin   y cos ,
y




0
x
Рис. 5.2
tg 2 
cos 

2
5
2a12
1
3
 34 , cos 2 
 ,
a1  a 2
1  tg 2 5
1  cos 2
2
,

2
5
x
1
5
y,   
u x  u   x  u  x ,
ux 
2
5
u 
1
5
u ,
1
sin  
1
5
x
2
5
5
,
y,
u y  u   y  u  y ,
uy 
1
5
uxx  u  x2  2u  x x  u x2 
u 
2
5
u ,
4
 2  1  1
u   2u 
u ,
 

5
5
5
 5 
u yy  u  y2  2u  y y  u 2y 
1
5
u   2u 
1
2
4
 u
5 5 5
134


u xy  u  x y  u   x y   y x  u x y 
2 1
1 1 
 2 2
 1 2 .

u   u  


  u  

5 5
5 5
5 5
 5 5

Теперь все эти производные поставляются в исходное уравнение и
получается
 4 8 5
 8 12 20 
 2 8 20 
 2    u       u      u 
5 
 5 5 5
 5 5
5 5 5 
,
5 
10 
 2
 1
 


u  
u  4u  0
5
5
5

 5
или окончательно
u   6u 
3
5
u 
11
5
u  4u  0 .
2
И так, в зависимости от знака выражения a12
 a11a 22 имеют место
следующие канонические формы уравнения (5.2.1):
2
a12
 a11a 22  0 (гиперболический тип)
u xx  u yy   
,
или
u xy   ,
2
a12
 a11a 22  0 (эллиптический тип)
2
a12
 a11a 22  0 (параболический тип)
u xx  u yy    ,
u   .
5.2.4. Алгоритм приведения уравнения к канонического виду
Определить тип линейного уравнения в частных производных второго
порядка
a11u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  b1u x  b2 u y  cu  f  0,
(5.2.14)
или
a11u xx  2a12 u xy  a 22 u yy  F ( x , y , u, u x , u y )  0 ,
(5.2.15)
135
где
a11  a11 ( x , y ); a12  a12 ( x , y );
a 22  a 22 ( x , y ).
Вводится новая система координат ( x, y ) и (x, y ) .
Ставится задача выбора системы координат    ( x , y ) и    ( x , y ) ,
чтобы уравнение (5.2.14) имело наиболее простую форму в новых
переменных  ,  . Имеем u( x , y )  ux  , , y  ,   u ,  .
Уравнение координатной линии   const
в системе координат xOy
 ( x , y )  const . Полный дифференциал этой функции двух
имеет вид
переменных равен нулю и
d 


dx 
dy  0 
x
y
 ( x , y )
dy  ( x , y )


x
dx y
( x, y)
( x, y)
 
x
y
т.е. производные


и
пропорциональны друг другу в каждой точке
x
y
плоскости и коэффициент пропорциональности
dy dx   ( x , y ) . Каждая
криволинейная система координат O  имеет свою характеристику
 ( x , y ) и по ней можно определить само уравнение координатной линии
dy  ( x, y)dx ,
y   ( x, y )dx  c , ( x, y )  y   ( x, y )dx  cоnst .
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15).
a112  2a12  a22  0
(5.2.16)
Из уравнения (5.2.16) следует
2
dy a12  a12  a11a 22
1  x , y  

,
dx
a11
2
dy a12  a12  a11a 22
2  x, y  

.
dx
a11
(5.2.17)
(5.2.18)
136
В зависимости от знака выражения
2
a12
 a11a 22 имеют место
следующие канонические формы уравнения (5.2.15):
2
a12
 a11a 22  0 (гиперболический тип)
2
a12
 a11a 22  0 (эллиптический тип)
2
a12
 a11a 22  0 (параболический тип)
u xx  u yy   
, или u xy   ,
u xx  u yy    ,
u   .
Из (5.2.17, 4.2.18) имеем
dy  1( x , y )dx ,
dy   2 ( x , y )dx ,
y    1( x , y )dx  c1 ,
y    2 ( x , y )dx  c2 .
или
Функции    ( x , y )  с1 и    ( x , y )  с2 являются характеристиками
преобразования
координат.
Таким
образом
получаем
уравнения
характеристик
  y    1( x, y )dx ,
  y    2 ( x , y )dx .
(5.2.19)
 в случае уравнения гиперболического типа в качестве  и 
берут общие интегралы (5.2.19) уравнений (5.2.16), т.е.
  1 ( x, y),
   1 ( x, y);
 в случае уравнения параболического типа в качестве  берут
один из общиг интегралов (5.2.19), т.е.    2 ( x, y ) , в качестве
 берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию
 2 , не выражающуюся через  2 ( x, y ) и ориентированную на
вид функции f в формуле (5.2.14), т.е.    2 ( x, y ) ;
 в случае уравнения эллиптического типа в качестве  и 
берут вещественную и мнимую часть любого из общих
интегралов (5.2.19) :
  Re3 ( x, y)  i 3 ( x, y)   3 ( x, y),
  Im3 ( x, y)  i 3 ( x, y)    3 ( x, y).
2. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение
(5.2.14), используя правило дифференцирования сложной
функции:
137
u( x , y )  ux  , , y  ,   u ,  .
u x  u   x  u  x ,
u y  u   y  u  y
u xx  u  x2  2u  x x  u x2  u  xx  u xx ,
(5.2.20)
u yy  u  y2  2u  y y  u 2y  u  yy  u yy .


u xy  u  x y  u   x y   y x  u x y  u  xy  u xy .
Подставляются найденные производные в исходное уравнение (5.2.14)
и приводятся подобные слагаемые. В результате уравнение (5.2.14) примет
один из следующих видов:
 в случае уравнения гиперболического типа:
U   F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;
 в случае уравнения параболического типа:
U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;
 в случае уравнения эллиптического типа:
U   U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 .
5.2.4.1 Задача 1
Определить тип уравнения
uxx  4uxy  21u yy  2ux  3u y  5u  x 2
(5.2.15-1)
и привести его к каноническому виду.
Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-1).
a112  2a12  a22  0
(5.2.16-1)
1  2  2  ( 2)  21  0 ,
или
2  4  21  0
Из уравнения (5.2.16-1) следует
(5.2.16-1)
138
2
dy a12  a12  a11a22
λ1  x, y  


dx
a11

2
 2
2
 1   21
1

,
(5.2.17-1)
 2  25
3
1
2
dy a12  a12  a11a22  2  25
λ2  x, y  


 7 .
dx
a11
1
(5.2.18-1)
2
Так как a12
 a11a22  25  0 , уравнение (5.2.15-1) гиперболического


типа имеет вид u xx  u yy   , или u xy  φ во всей плоскости XOY.
Из (5.2.17-1, 4.2.18-1) имеем
dy  1( x , y )dx ,
dy   2 ( x , y )dx ,
dy  λ1 (x, y)dx  7dx ,
dy  λ2 (x, y)dx  3dx .
или
y    1( x , y )dx  c1 ,
y    7dx  c1 ,
y    2 ( x , y )dx  c2 .
y   3dx  c2 .
Функции    ( x , y )  с1 и    ( x , y )  с2 являются характеристиками
преобразования
координат.
Таким
образом
получаем
уравнения
характеристик
ξ  y  7x ,
η  y  3x .
(5.2.19-1)
Найдем частные производные
ξ x  7, ξ y  1, ξ xx  0, ξ xy  0, ξ yy  0,
ηx  3, η y  1, ηxx  0, ηxy  0, η yy  0.
2. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение
(5.2.15-1), используя правило дифференцирования сложной функции
(5.2.20):
139
Здесь
2 ux  7 uξ  3uη ,
 3 u y  uξ  uη ,
1 uxx  49uξξ  42uξη  9uηη ,
 4 uxy  7 uξξ  4uξη  3uηη ,
 21 u yy  uξξ  2uξη  uηη .
написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-1)
слева
при
соответствующих производных. Справа (5.2.15-1) имеем f  x 2 , в (5.2.19-1)
из первого уравнения вычитаем второе
и после возведения в степень
получаем
x
2

ξ  η2
.

100
Собирая подобные слагаемые, получим:
49  28  21uξξ   42  16  42uξη  9  12  21uηη 

ξ  η2 .
 14  3uξ   6  3uη  5u 
100
Или после деления на -100 (коэффициент при uξη ) получим:
uξη  0,11uξ  0,09uη

ξ  η2
 0,05u  
.
10000
Вывод. Уравнение (5.2.15-1) является уравнением гиперболического
типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
uξη  0,11uξ  0,09uη

ξ  η2
,
 0,05u  
10000
где   y  7 x,   y  3x.
5.2.4.2 Задача 2
Определить тип уравнения
25 uxx  10 uxy  u yy  u y  2u  5 y  2 x
(5.2.15-2)
и привести его к каноническому виду.
Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-2).
140
a112  2a12  a22  0
(5.2.16-2)
252  2  ( 5)  1  0 ,
или
252  10  1  0
(5.2.16-2)
2
Вычисляется выражение a12
 a11a 22 :
2
a12
 a11a22  25  25  0 .
2
a12
 a11a 22  0 , следовательно имеем уравнение параболического
типа во всей плоскости XOY.
Из уравнения (5.2.16-2) следует
λ x, y   λ1  x, y   λ2  x, y  
λ x, y  
Имеем
dy  a12  5
1


 ,
dx
a11
25
5
dy
1
 .
dx
5
только
одно
(5.2.17-2)
уравнение
характеристик
(уравнения
параболического типа имеют только одно семейство вещественных
характеристик)
5dy  dx,
общий интеграл равен
5y  x  c
Введём характеристические переменные: одну из переменных  вводим
как и ранее
(5.2.19-2)
ξ  5 y  x,
а в качестве функции  берут произвольную, дважды дифференцируемую
функцию, не выражающуюся через  , при этом проще ориентироваться на
правую часть уравнения (5.2.15-2). Так как f  5 y  2 x  5 y  x  x  ξ  x,
то функцию η можно взять η  x .
(5.2.19-2)
η x ,
Найдем частные производные
ξ x  1, ξ y  5, ξ xx  0, ξ xy  0, ξ yy  0,
ηx  1, η y  0, ηxx  0, ηxy  0, η yy  0.
141
2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение
(5.2.15-2).
Используя формулы (5.2.20), получим:
0 ux  uξ  uη ,
1 u y  5 uξ ,
25 uxx  uξξ  2uξη  uηη ,
 10 uxy  5 uξξ  5 uξη ,
1 u yy  25uξξ .
Собирая подобные слагаемые, получим:
25  50  25 uξξ  50  50 uξη  25 uηη  5uξ  2u  ξ  η .
Или после деления на 25 (коэффициент при u  ):
uηη  0, 2uξ  0,08 u  0,04( ξ  η)
Вывод. Уравнение (5.2.15-2) является уравнением параболического
типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
uηη  0, 2uξ  0,08 u  0,04( ξ  η) ,
где
ξ  5 y  x,
η x .
5.2.4.3 Задача 3
Определить тип уравнения
2uxx  2uxy  5u yy  3u y  u  x 2
(5.2.15-3)
и привести его к каноническому виду.
Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-3).
a112  2a12  a22  0
(5.2.16-3)
2  2  2  (1)  5  0 ,
или
22  2  5  0
(5.2.16-3)
142
Вычисляется выражение
2
a12
 a11a22  1  2  5  9 .
2
a12
 a11a 22  0 , следовательно имеем уравнение эллиптического типа во
всей плоскости XOY.
Из уравнения (5.2.16-3) следует
2
2
dy a12  a12  a11a 22
dy a12  a12  a11a 22
, 2  x, y  
,
1  x , y  


dx
a11
dx
a11
λ1 
1 1 2 5 1 i  3
,

2
2
dy  1( x , y )dx ,
dy 
λ2 
1 i3
,
2
dy   2 ( x , y )dx .
1  3i
dx,
2
dy 
1  3i
dx,
2
это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару
комплексно-сопряженных
общих
интегралов.
(Уравнения
эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
1
3
x  i x  c1
2
2
1
3
y  x  i x  c2 .
2
2
Введём характеристические переменные как вещественную и
мнимую части одного из общих интегралов:
1
3
1
  Re(y  x  i x )  y  x ,
2
2
2
1
3
3
  Im( y  x  i x )   x.
2
2
2
y
1
  y  x,
2
3
   x.
2
Найдем частные производные
(5.2.19-3)
143
ξ x  0,5, ξ y  1, ξ xx  0, ξ xy  0, ξ yy  0,
ηx  1,5, η y  0, ηxx  0, ηxy  0, η yy  0.
2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение
(5.2.15-3).
Используя формулы (5.2.20), получим:
0 ux  0,5uξ  1,5uη ,
 3 u y  uξ ,
2 uxx  0, 25uξξ  1,5uξη  2, 25uηη ,
2 uxy  0,5uξξ  1,5uξη ,
5 u yy  uξξ  0  uξη  0  uηη .
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-3) при
соответствующих производных. Справа (5.2.15-3) имеем f  x 2 , из
(5.2.19-3) следует
4η 2
.
x 
9
Собирая подобные слагаемые, получим:
2
4η 2
,
0,5  1  5uξξ   3  3uξη  4,5uηη  3uξ  u 
9
4η 2
4,5uξξ  4,5uηη  3uξ  u 
9
или
2
1
8η 2
uξξ  uηη  uξ  u 
3
9
81
Вывод. Уравнение (5.2.15-3) является уравнением эллиптического типа
на всей плоскости XOY. Канонический вид уравнения
2
1
8η 2
,
uξξ  uηη  uξ  u 
3
9
81
где
1
ξ  y  x,
2
3
η   x.
2
144
5.3. Уравнение Лапласа в полярной системе координат
Уравнение Лапласа в декартовой системе координат
u xx  u yy  0 ,
(5.3.1)
запишем функцию u( x , y )  ux( r , ), y( r , )  u( r , ) в полярной системе
координат. Связи между координатами следующие
y  r sin
x  r cos ,
и
x
y
x 2  y 2  r 2 , rr x  x , rr y  y , rx   cos , r y   sin .
r
r
Пользуясь формулами (5.2.3) запишем связи между производными
u x  ur  rx  u   x ,
u y  ur  r y  u   y ,
u xx  urr rx2  2ur rx x  u x2  ur rxx  u  xx ,
(5.3.2)
u yy  urr r y2  2ur r y y  u 2y  ur r yy  u  yy
(5.3.3)
Найдем производные  x и  y продифференцировав
y  r sin .
x  r cos ,
1  rx cos  r sin    x , 1  r y sin   r cos   y ,
получаем
r cos  1 cos  cos  1  sin
,
x  x


r sin
r sin
r
1  r y sin 1  sin  sin cos
.
y 


r cos
r cos
r
Теперь выражения (5.3.2) и (5.3.3) почленно сложим
u xx  u yy  0 ,
urr ( rx2  rx2 )  urr (cos2   sin 2  )  urr ,
 sin
cos 

2ur ( rx x  r y y )  2ur  cos
 sin
  0,
r
r 

145


1
,
u  x2   x2 
2
r


 






ur rxx  r yy  ur  rx  
r y   ur  cos   sin  
y
y
 x

 x

 sin 2  cos2   u
 r ,
 ur  sin   x  cos   y  ur 

 r
r  r





 
 

    sin    cos  

u  xx   yy  u   x  
 y   u  
 
  
y
 x

 x  r  y  r  
  cos   x  sin   y 
 cos (  sin )  sin cos  
  u 
 u 


  0.

r
r
r
r
r
r




Таким образом после почленного сложения (5.3.2) и (5.3.3), слева
имеем уравнение Лапласа в декартовой системе координат u xx  u yy  0 , а
справа в полярной системе координат
1
1
urr  u 
 ur   0
r
r2
или
r 2  urr  r  ur  u  0 .
(5.3.4)