konstantsete kordajatega lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteem

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДУ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Пусть дана система ДУ:
 dx
 dt  a11 x  a12 y  a13 z
 dy
  a 21 x  a 22 y  a 23 z
 dt
 dz  a x  a y  a z
31
32
33
 dt
(1)
где aij постоянные коэффициенты. Здесь t является аргументом. А x, y и zискомыми функциями.
Будем искать частные решения системы в виде:
x   e kt ,
y   e kt , z   e kt
(2)
Константы  ,  ,  , k - следует определить таким образом, чтобы функции
(2) удовлетворяли системе уравнений (1). Подставим функции (2) и их
производные в уравнения системы (1), получим:
 k  e kt  a11 e kt  a12  e kt  a13  e kt

kt
kt
kt
kt
k  e  a 21 e  a 22  e  a 23  e
 k  e kt  a  e kt  a  e kt  a  e kt
31
32
33

Разделим все уравнения на e kt :
 k  a11  a12   a13 

k   a 21  a 22   a 23 
 k  a   a   a 
31
32
33

Перенеся все члены в одну часть равенства и сгруппировав коэффициенты при
 ,  ,  , получим:
 a11  k   a12   a13   0

a 21   a 22  k    a 23   0
 a   a   a  k   0
32
33
 31
(3)
Эта система однородная с тремя неизвестными  ,  ,  . Чтобы система
имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель
был равен нулю:
a11  k
a12
a13
a 21
a31
a 22  k
a32
a 23
a33  k

Определитель системы:

a11  k
a12
a 21
a31
a 22  k
a32
(4)
a13
a 23  0
a33  k
Получили характеристическое уравнение системы (1) : оно является
уравнением третьей степени и имеет три корня k1 , k 2 , k 3 .
Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения являются
действительными и различными.
Каждому корню k i соответствует ненулевое решение системы (3) :
 1 , 1 ,  1 ;  2 ,  2 ,  2 ;  3 ,  3 ,  3 .
Тогда частное решение данной системы (1):
x1  1 e k1t ,
y1  1 e k1t , z1   1 e k1t
- для k1;
x2   2 e , y 2   2 e , z 2   2 e
x 3   3 e k 3t , y 3   3 e k 3t , z 3   3 e k 3t
k 2t
k 2t
k 2t
- для k2;
- для k3.
Общее решение системы ДУ можем записать:
 x  C1 x1  C 2 x2  C3 x3

 y  C1 y1  C 2 y 2  C3 y3
z C z C z C z
1 1
2 2
3 3

или
где C1 , C 2 , C3 произвольные константы.
 x  C1  1 e k1t  C 2  2 e k 2t  C 3  3 e k3t

kt
kt
k t
 y  C1 1 e 1  C 2  2 e 2  C 3  3 e 3
 z  C  e k1t  C  e k 2t  C  e k3t
1 1
2 2
3 3

ПРИМЕР 1. Найти общее решение системы ДУ:.
 dx
 dt  3 x  12 y  4 z
 dy
 x  3y  z

 dt
 dz   x  12 y  6 z
 dt
РЕШЕНИЕ.
Будем искать частное решение системы в виде: x   e kt , y   e kt , z   e kt .
Подставив их в первоначальную систему, разделив каждое уравнение системы
e kt , перенеся все члены в одну часть равенства и сгруппировав
на
коэффициенты при  ,  ,  , получим:
 3  k   12  4  0

     3  k     0
   12  6  k   0

(*)
Составим характеристическое уравнение:
3 k
1
1
12
4
3 k
1 0
 12 6  k
Вычислим определитель:
3  k   3  k   k  6  48  12  4  3  k   12  3  k   12  6  k   0
 k 3  6k 2  11k  6  0
k 3  6k 2  11k  6  0
Преобразуем уравнение:
k 3  k 2  5k 2  5k  6k  6  0
k 2 k  1  5k  k  1  6  k  1  0
k  1  k 2  5k  6  0
k1  1,
k 2  2,
k3  3
Получили корни характеристического уравнения (действительные и различные).
1) Составим для k1  1
соответствующую систему (*) и найдем значения
для  ,  ,  :
 2  12   4  0

    4    0
   12   5   0

Из первого уравнения выразим   2  6  и подставим во второе уравнение:
 2  6   4     0
2    0
  2

  2  2  6  2
тогда
  2 ;
Итак
(удобным нам) образом:
  2 ,
где  можно выбрать произвольным
пусть   1 , тогда   2,   2 .
Получили частное решение системы:
x1  2e t ,
y1 e t , z1  2e t
Далее- аналогично:
2) Для k 2  2 :
   12  4  0

    5    0
   12  4  0

Из первого уравнения выразим   4  12  и подставим во второе уравнение:
 4  12  5    0
7   3  0
3
7
8
7
  4  12     
тогда
8
7
(удобным нам) образом:
Итак
3
7
 

   ;
3
7
 ,
пусть   7 , тогда   8,   3 .
Получили частное решение системы:
где  можно выбрать произвольным
x2  8e 2t ,
y 2  3e 2t , z 2  7e 2t
3) Для k 3  3 :
 12  4  0

    6    0
   12  3  0

Из первого уравнения выразим   3 и подставим во второе уравнение:
   6   3  0
   3  0    3
  3 ;
Итак
  3 ,
где  можно выбрать произвольно:
пусть   1 , тогда   3,   3 .
Получили ещё одно частное решение системы:
x3  3e 3t ,
y 3  e 3t ,
Общее решение системы запишется в виде:
z 3  3e 3t
 x  2C1e t  8C 2 e 2t  3C 3 e 3t

t
2t
3t
 y  C1e  3C 2 e  C 3 e
 z  2C e t  7C e 2t  3C e 3t
1
2
3

ПРИМЕР 2. Решить систему ДУ, которая удовлетворяет начальным условиям
x(0)  1,
y (0)  1
 dx
 dt  5 x  2 y
 dy
  2x  2 y
 dt
РЕШЕНИЕ.
Будем искать частное решение системы в виде: x   e kt , y   e kt .
Подставив их в первоначальную систему, разделив каждое уравнение системы
e kt , перенеся все члены в одну часть равенства и сгруппировав
на
коэффициенты при  ,  ,  , получим:
5  k   2  0

2  2  k   0
(**)
Составим характеристическое уравнение:
5k
2
2
0
2k
Вычислим определитель:
5  k   2  k   4  0
k 2  7k  6  0
k1  1,
k2  6
Получили корни
различные).
характеристического
1) Составим для k1  1
уравнения
(действительные
и
соответствующую систему (**) и найдем значения
для  ,  :
4  2  0

 2    0
Из второго уравнения выразим   2  , где
(удобным нам) образом:
Пусть   1, тогда   2
Получили одно частное решение системы:
2) Для k 2  6 :

выбираем
x1 e t ,
произволным
y1  2e t
   2   0

 2  4   0
Из первого уравнения выразим   2  , где  выбираем произвольно:
пусть   1 , тогда   2 .
Получили другое частное решение системы:
Общее решение системы ДУ запишется в виде:
x2  2e 6t ,
y 2 e 6t
 x  C1e t  2C 2 e 6t

t
6t
 y  2C1e  C 2 e
Чтобы найти решение системы ДУ, удовлетворяющее начальным данным, то
подставим эти начальные условия x(0)  1, y (0)  1 в общее решение системы
и найдем С1 и С2:
 1  C1e 0  2C 2 e 0

0
0
1  2C1e  C 2 e
 1  C1  2C 2
1
3
, откуда C1   , C 2 
 
5
5
1  2C1  C 2
Тогда частное решение системы:

1 t 6 6t

x   5 e  5 e

2
3
 y  e t  e 6t
5
5
