Вид уравнений различных типов

10. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го
порядка. Уравнения переноса, теплопроводности, волновые уравнения, уравнения
эллиптического типа. Постановка краевых задач и граничные условия.
Вид рассматриваемых уравнений:
a11u xx  2a12 u xy  a22 u yy  b1u x  b2 u y  cu  f  0 ,
где a11 , a12 ,a 22 , b1 , b2 , c, f - функции только x и y.
(1)
С помощью преобразования переменных получим новое эквивалентное уравнение.
   ( x, y),    ( x, y)
Вопрос: как выбрать  и  , чтобы получившееся уравнение имело наиболее простую форму?
Преобразуя производные к новым переменным, получаем:
u x  u x  u x
u y  u y  u y
u xx  u x2  2u x x  u x2  u xx  u xx
u xy  u x y  u (x y  y x )  u x y  u xy  u xy
u yy  u y2  2u y y  u y2  u yy  u yy
Подставляя значения производных в уравнение, будем иметь:
a 11u  2a 12 u  a 22 u  F  0 , где
a 11  a11x2  2a12 x y  a 22 y2
a 12  a11x y  a12 (x y  y x )  a 22 y x
a 22  a11x2  2a12x y  a 22y2
а функция F не зависит от вторых производных.
Выберем  и
1-го порядка:

так, чтобы
a 11 был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными
a11 z x2  2a12 z x z y  a22 z y2  0
(2)
z   ( x, y) - какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить    ( x, y) , то
Пусть
каэффициент a 11 будет равен нулю. Таким образом, задача о выборе новых переменных связана с
решением уравнения (2).
Далее нам понадобится следующая лемма:
Если
частным
z   ( x, y) является
 ( x, y)  C представляет
уравнения
(2),
то
соотношение
собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
a11dy  2a12 dxdy  a 22 dx  0
2
решением
2
(3)
Обратное также верно.
   ( x, y) , где  ( x, y)  const есть общий интеграл уравнения (3), мы обращаем в нуль
коэффициент при u . Аналогично, если  ( x, y)  const - другой интеграл этого уравнения, мы
Полагая
обнулим коэффициент при
u .
Уравнение (3) распадается на два уравнения:
2
dy a12  a12  a11a 22

dx
a11
2
dy a12  a12  a11a 22

dx
a11
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1).
Это уравнение мы будем называть в точке M уравнением
1. Гиперболического типа, если в точке M
2. Эллиптического типа, если в точке M
a122  a11a 22  0
a122  a11a 22  0
3. Параболического типа, если в точке M a12  a11a 22  0
Тип уравнения не меняется при преобразовании переменных.
2
Вид уравнений различных типов
1. Гиперболические
u  ( , , u, u , u ) (каноническая форма) или
u  u  1 ( ,  , u, u , u )
2. Параболические
u  ( , , u, u , u )
3. Эллиптические
u  u  1 ( ,  , u, u , u )
Более общее определение, годящееся для случая многих переменных, для уравнения без
смешанных производных с коэффициентами, посчитанными в некоторой точке M, звучит следующим
образом:
Уравнение называется уравнением эллиптического типа, если все коэффициенты перед
старшими производными не равны нули и имеют один знак. Уравнения гиперболического типа
(нормального гиперболического типа) имеют лишь один коэффициент с противоположным
знаком; в уравнениях ультрагиперболического типа имеются m коэффициентов одного знака и
m-n коэффициентов - противоположного (m, m-n >1). Уравнениями параболического типа
называются уравнения второго порядка, в которых хотя бы один коэффициент перед старшей
производной равен нулю.
В качестве реальных примеров дифференциальных
представлены следующие уравнения:
Волновые уравнения:
уравнений 2-го порядка могут быть
2
 2 u
2  u

a
 f ( x, t )
 t2
  x2
Уравнения теплопроводности:
 u
 2 u
 a2
 f ( x, t )
 t
  x2
Уравнения эллиптического типа (уравнения Пуассона)
u  f ( X )
Условия, согласно которым решение или некоторые производные решения должны принимать
заданные значения на заданных поверхностях (линиях в случае двух независимых переменных),
называются краевыми (граничными). Задача интегрирования дифференциального уравнения при
заданных краевых условиях называется краевой задачей.
Три основных типа граничных условий:
1. Условие первого рода u(0, t )   (t ) - заданный режим
2. Условие второго рода u x ( 0, t )   ( t ) - заданная сила
3. Условие третьего рода u x (t )  h[u(0, t )   (t )] - упругое закрепление
Если функции, задаваемые в правой части (  (t ),  (t ), (t ) ), равны нулю, то граничные условия
называются однородными.
Комбинируя перечисленные типы граничных условий, можно получить шесть типов простейших
краевых задач.