Дан ряд распределения случайной величины Х

Практическое занятие. Дискретные случайные величины и операции
над ними.
Теория.
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации
испытания случайным образом, называется случайной величиной.
Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то
она называется дискретной (дискретно распределенной).
Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями
называют законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.
При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы перечислены все
значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им
вероятности.
Х
х1
х2
х3
…..
xn
Р
p1
p2
p3
…..
pn
Причем следует учитывать, что
 pi  1 (1).
i
Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически.
Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать
значения случайной величины , k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им
вероятности р1, р2, …, рn. Полученные точки соединяются отрезками прямых.
Построенная
таким
образом
фигура
называется
многоугольником
или
полигоном распределения вероятностей.
Наиболее
общей
формой
закона
распределения
является
функция
распределения , представляющая собой
вероятность того, что случайная величина Х
примет значение меньшее, чем заданное х.
F(х)=Р{X<x} (2).
Свойства
функции
распределения.
F(x)
1. 0  F ( x)  1 . (3)
1
2. Функция распределения
случайной величины есть
неубывающая функция на
всей числовой оси.
F ()  Lim F ( x)  0 ,
3.
x
F ()  Lim F ( x)  1 .
x
4.
Р(х1  Х<x2)=F(x2)-F(x1). (4)
Функцию
F(x)
иногда
называют интегральной функцией распределения или интегральным законом
распределения.
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что
случайная точка Х попадет левее заданной точки х.
Математические операции над случайными величинами.
1. Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется
случайная величина, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi
(i=1, …, n).
2. Cтепенью m случайной величины Х называется случайная величина Хm, которая
принимает значения xim с теми же вероятностями pi (i=1, …, n).
Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения xim могут получаться
одними и теми же способами при различных xi , то вероятности таких повторяющихся
значений находятся сложением исходных вероятностей.
3. Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется
случайная величина, которая принимает все возможные значения вида х i+yj (хi-yj
или хiyj), где i=1, 2,…, n, j=1, …, m с вероятностями pij=Р ( Õ  õi , Y  y j ) . Если
случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей
pij=Р P( X  xi )  P(Y  y j )  pi  p j
(5)
Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения хi+yj (хi-yj или хiyj), могут
получаться одними и теми же способами при различных xi ,yj то вероятности таких
повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей pi или pij


Числовые характеристики случайных величин.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма
произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
n
m x  M ( X )  x1 p1  x 2 p 2  ...  x n p n   xi pi
(6)
i 1
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
2
2
D( X )  M X  M ( X ) более удобная формула D( X )  M ( X 2 )  M ( X ) .
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)
 ( Õ ) дискретной случайной величины Х называется арифметическое значение корня
квадратного из ее дисперсии:
 ( Õ ) = D(X ) . (8)
Свойства математического ожидания.
1. М (С )  С
2. M (Cx)  CM ( x)
3. M ( XY )  M ( X ) M (Y )
4. M ( X  Y )  M ( X )  M (Y )
1.
2.
3.
4.
Свойства дисперсии.
D(C )  0
D(CX )  C 2 D( X )
D( X  Y )  D( X )  D(Y )
D( X  Y )  D( X )  D(Y )
Основные законы распределения дискретных случайных величин.
Биномиальный закон распределения.
Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее
возможные значения 0,1,2, …, m, …,n, а соответствующие вероятности
Pn (k )  C nk p k q n k ,
k  0,1,2,... n. (9)
М(Х)=np,
(10)
D(X)=npq.
(11).
Закон распределения Пуассона.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром
 =np>0 , если она принимает значения 0,1,2,3,….,m,….(Бесконечное, но счетное
множество значений) с вероятностями
Ð( Õ  m)  Pn (m) 
М(Х)=  ,
m e  
m!
(13)
. (12)
D(X)=  .
(14).
По закону Пуассона распределены, например, число отказов сложной системы в
«нормальном режиме», число требований на обслуживание, поступивших на единицу
времени в системах массового обслуживания, число рождения пятерней, число событий,
попадающих на произвольный отрезок времени для простейшего потока событий
Геометрический закон распределения.
Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, если она
принимает значения 1,2,…., m,….(бесконечное, но счетное множество значений с
вероятностями)
Р(Х=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p. (15)
1
М(Х)= ,
(16)
ð
q
D(X)= 2 .
(17).
p
Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого
события Х , вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна р . Примером
может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность
попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и
сохраняет постоянное значение. Число произведённых выстрелов будет случайной
величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа.
Гипергеометрический закон распределения.
Дискретная случайная величина Х=m имеет гипергеометрическое распределение с
параметрами n, N,M, если она принимает значения 0,1,2,…,m,..
C m C nm
Ð( Õ  m)  M nN  M
C вероятностями
(10),
CN
Где M  N , n  N , n, M, N – натуральные числа.
M
Ì ( Õ)  n
(11)
N
M  M 
n
D( X )  n
1  1   (12).
N 1
N 
N
Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных следующему:
В урне N шаров, из которых M белых, а остальные черные. Из нее наудачу вынимается n
шаров. Требуется найти вероятность того, что среди них будет ровно m белых, а
остальные – черные. Случайная величина Х – число белых шаров, извлеченных из урны
Задания в классе.
1. Дан ряд распределения случайной величины Х.
xi
0
1
3
5
pi
0,15
0,3
0,5
*
Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной
величины Х.
2. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
xi
pi
-2
0,2
0
0,5
1
0,3
yi
0
1
4
pi
0,3
0,1
0,6
Найти закон распределения случайных величин а )Z=2X+Y; б)U=XY.
3. Известно, что М(Х)=8, М(Y)=3, D(Х)=2, D(Y)=5. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Z=5X-2Y+9.
4.В группе из 21 студента 5 девушек. Из этой группы случайным образом выбирается 3
студента. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа
девушек среди отобранных студентов. Найти функцию распределения и построить ее
график. Найти М(Х).
5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,1.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов
до первого попадания.
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того,
что число попаданий при 200 выстрелов составит от 5 до 10.
7. Монета бросается 5 раз. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Построить
для Х а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
8. Из вазы, содержащей 4 белых и 6 красных роз случайным образом извлекается 3 цветка.
Случайная величина Х- число белых роз в выборке. Описать закон распределения. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
9. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон
распределения случайной величины Х – опробования ключей при открывании замка, если
испробованный ключ в последующих опробованиях а) участвует; б) не участвует.
10. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех
выстрелов. Случайная величина Х – число выстрелов, производимых охотником, если
вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что
охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.
Задания на дом.
1.Дан ряд распределения случайной величины Х.
xi
0
1
3
5
pi
0,15
0,3
0,5
*
Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной
величины Х.
2. Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
xi
pi
-2
0,2
0
0,1
1
0,3
4
0,4
yi
-2
0
1
2
pi
0,2
0,2
0,3
0,3
Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайных
величин а )Z=X+2Y; б)U=XY.
3. Известно, что М(Х)=6, М(Y)=-3, D(Х)=3, D(Y)=2. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Z=3X-5Y+7.
4.В урне находятся 15 шаров, среди которых 6 белых, остальные черные. Из этой урны
случайным образом выбирается 4 шара. Составить закон распределения дискретной
случайной величины Х – числа белых шаров среди отобранных. Найти М(Х).
5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,05.
Необходимо: а) составить закон распределения случайной величины Х – числа выстрелов
до первого попадания; б) найти ее математическое ожидание и дисперсию; в) определить
вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 4 выстрелов.
6. Устройство состоит из 1000 элементов, которые работают независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,001. Необходимо: а)
составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших за время Т
элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в)
определить вероятность того, что за время Т откажет хотя бы один элемент.
7. На одной улице расположено 4 перекрестка, которые регулируются светофорами.
Вероятность проехать каждый перекресток без остановки случайному автомобилю везде
одинакова и равна 1/3. Случайная величина Х – число перекрестков, которые автомобиль
проедет без остановки . Построить для Х а) ряд распределения; б) многоугольник
распределения; в) функцию распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение.
8. Студент знает 2 вопросов из 30. Экзаменатор задает ему 5 вопросов. Оценка пять
ставится за 5 правильных ответов из 5; четверка – за 4 из 5 и т.д. Найти математическое
ожидание оценки студента и наиболее вероятную оценку.
9. Завод выпускает 96% изделий 1 сорта и 4% изделий 2 сорта. Наугад выбирается 1000
изделий. Случайная величина Х – число изделий 1 сорта в выборке. Найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Определить вероятность того, что в выборке будет от 3 до 30 изделий 2 сорта.
Решение:
1. Известно, что
p
i
 1 : так как сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке есть
i
величина равная 1, следовательно *=1-(0,15+0,3+0,5)=0,05. Т.е. вероятность того, что
случайная величина Х примет значение 5, равна 0,05.
.
F(x)
1
 0 ïðè õ  0
 0,15 ïðè 0  x  1

F ( x)   0,45 ïðè 1  x  3
0,95 ïðè 3  x  5

 1 ïðè õ  5
0,8
0,6
0,4
0,2
1
2
3
4
5
6
7
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn  0  0,15  1  0,3  3  0,5  5  0,05  2,05.
D( X )  M ( X 2 )  M ( X ) =
2
x1 p1  x2 p2  ...  xn pn  M ( X ) 2  0 2  0,15  12  0,3  32  0,5  52  0,05  2,052  0,925.
2
2
2
 ( Õ ) = 0,925  0,962 .
2.Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:
xi
pi
-2
0,2
0
0,5
1
0,3
yi
0
1
4
pi
0,3
0,1
0,6
Найти закон распределения случайных величин а )Z=2X+Y; б)U=XY
Решение: Составим вспомогательную таблицу:
2X+Y
2xi
-4
0
2
zi
pi
yj
pi
0,2
0,5
0,3
-4
0,06
pj
0
0,3
-4
0
2
-3
0,03
1
0,1
0,06 -3
0,15 1
0,09 3
0
1
2
0,27
0,05
0,09
10
Убедимся, что условие
ð
i 1
i
 1 выполнено.
4
0,6
0,03 0
0,12
0,05 4
0,30
0,03 6
0,18
3
4
6
0,03
0,30 0,18
n
M ( X )   xi p i
i 1
M ( X )  4  0,06  3  0,03  0  0,27  1  0,05  2  0,09  3  0,03  4  0,3  6  0,18  2,18 .
zi2
16
9
0
1
4
9
16
36
pi
0,06
0,03
0,27
0,05
0,09
0,03
0,30 0,18
2
2
D( X )  M ( X )  M ( X )
D( X )  16  0,06  9  0,03  0  0,27  1  0,05  4  0,09  9  0,03  16  0,3  36  0,18  2,18 2  6,796
Б) аналогично составляем таблицу для U=XY
XY
2xi
-4
0
2
ui
pi
yj
pi
0,2
0,5
0,3
pj
-16
0,12
0
0,3
0
0
0
-4
0,03
1
0,1
0,06
-4
0,15 0
0,09 2
0
0,64
2
0,03
4
0,6
0,03 -16
0,05 0
0,03 8
0,12
0,30
0,18
8
0,18
n
M ( X )   xi p i M ( X )  16  0,12  4  0,03  0  0,64  2  0,03  8  0,18  0 .
i 1
ui2
256
16
0
pi
0,12
0,03
0,64
2
2
D( X )  M ( X )  M ( X )
4
0,03
64
0,18
D( X )  256  0,12  16  0,03  0  0,64  4  0,03  64  0,18  0 2  30,72  0,48  0,12  11,52  43,16
3. Известно, что М(Х)=8, М(Y)=3, D(Х)=2, D(Y)=5. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Z=5X-2Y+9.
Решение: М(Z)=5М(Х)-2М(Y)+9=40-6+9=43.
D(Z)=52 D(Х)-22 D(Y)+0=50-20=30.
4.В группе из 21 студента 5 девушек. Из этой группы случайным образом выбирается 3
студента. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа
девушек среди отобранных студентов. Найти М(Х).
C 0C 3
Решение: Ð( Õ  0)  5 3 16  0,4211;
C 21
1
C51C162
C52 C16
C53C160

0
,
4511
Ð
(
Õ

2
)


Ð
(
Õ

3
)

 0,0075.
;
0,1203;
3
3
3
C 21
C 21
C 21
Хi
0
1
2
3
0,4211
0,4511
0,1203
0,0075
pi
Математическое
ожидание
можно
найти
двумя
способами:
М(Х)= 0  0,4211  1  0,4511  2  0,1203  3  0,0075 =0,7142 или
M
5
Ì ( Õ)  n
 3 =0,7142.
N
21
5. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для одного стрелка равна 0,1.
найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа выстрелов
до первого попадания.
Решение: Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром
q
0,9
1
1
p=0,1. По формулам (8) и (9) находим М(Х)= 
 10 ,D(X)= 2  2  90 .
p
0,1
ð 0,1
Ð( Õ  1) 
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того,
что число попаданий при 200 выстрелов составит от 5 до 10.
Решение: вероятность попадания очень мала, а число выстрелов достаточно велико.
Поэтому искомую вероятность будем искать, используя формулу Пуассона. Нам
требуется
найти
Р{5  Õ  10 }.
По
теореме
сложения
вероятностей
Р{5  Õ  10 }=P{X=5}+ P{X=6}+ P{X=7}+ P{X=8}+ +P{X=9}+ P{X=10}.
Имеем   np  200  0,01  2 .      2  0,135 .
 2 5 2 6 2 7 28 2 9 210 
  0,053.
Р{5  Õ  10 }=0,135  




5
!
6
!
7
!
8
!
9
!
10
!


7. Монета бросается 5 раз. Случайная величина Х – число выпавших гербов. Построить
для Х а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) функцию распределения.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Решение: Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n=5,
p=0,5, q=0,5.
2
3
4
5
pi/m
0 1
0,03125
0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125
0,5
0 ïðè õ  0

 0,03125 ïðè 0  x  1

 0,18875 ïðè 1  x  2

F ( x)  0,50125 ïðè 2  x  3
0,81375 ïðè 3  x  4

0,96875 ïðè 4  x  5

1 ïðè õ  5
М(Х)=np=5  0,5  2,5 ; D(X)=npq=1,25.
8. Из вазы, содержащей 4 белых и 6 красных роз случайным образом извлекается 3
цветка. Случайная величина Х- число белых роз в выборке. Описать закон распределения.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение:
2
3
х
0 1
1/6
1/2
3/10
1/30
р
М(Х)=6/5; D(X)=14/25.
9. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон
распределения случайной величины Х – опробования ключей при открывании замка, если
испробованный ключ в последующих опробованиях а) участвует; б) не участвует.
2
3
4
5
x 1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
p
Б)
2
…
n
…
x 1
n-1
0,2
0,8 0,2 …
0,8 0,2
…
p
10. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех
выстрелов. Случайная величина Х – число выстрелов, производимых охотником, если
вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что
охотник сделает не менее одного, но меньше четырех выстрелов.
 0 ïðè õ  0
 0,7 ïðè 0  x  1


F ( x)   0,91 ïðè 1  x  2
0,973 ïðè 2  x  3

 1 ïðè õ  4

Р(1  Õ  4)  F (4)  F (1)  0,973 )