Энтропия

Часть 3
Раздел: Волновая оптика
Лекция 18 (1)
Волновые свойства света: интерференция; дифракция
План
1. Интерференция. Условия максимума и минимума. Когерентность волн.
2. Расчёт интерференционной картины от двух источников. Оптическая
разность хода
3. Способы наблюдения интерференции
3.1. Метод Юнга
3.2. Бизеркало Френеля (зеркала Френеля)
3.3. Бипризма Френеля
4. Интерференция в тонких плёнках
5. Кольца Ньютона
6. Просветление оптики
7. Интерферометры
7.1. Интерференционный рефрактометр
7.2. Интерферометр Жамена
7.3. Интерферометр Майкельсона
8. Дифракция света
9. Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и на круглом диске
10. Дифракция Фраунгофера на одной щели (дифракция в параллельных
лучах)
11. Дифракция на дифракционной решётке
11.1. Условие главных максимумов
11.2. Условие главных минимумов
11.3.Условие дополнительных минимумов
11.4. Дисперсия дифракционной решётки
12. Разрешающая способность оптических приборов
13. Дифракция на пространственной решётке. Формула Брэгга-Вульфа
1. Интерференция. Условия максимума и минимума. Когерентность
волн
Интерференцию волн на поверхности жидкости видели все; для этого
достаточно бросить в спокойную воду два камешка.
На рис.18.1 показаны волны, возбуждаемые на поверхности воды двумя
поплавками-вибраторами.
Если гребень одной волны совпадёт с гребнем другой, то в этой точке колебания
усиливают друг друга (точка А рис.18.2); а если гребень одной волны совпадёт с
впадиной другой, там волны друг друга погасят (точка В рис.18.2).
1
Рассмотрим две электромагнитные волны одинаковой частоты, которые
накладываются друг на друга и возбуждают в некоторой точке Р пространства два
Рис.18.1
Рис.18.2
 
колебания одинакового направления: E | | E . Напряжённости электрического поля
1 2
световых волн равны соответственно:
E1  A1 cos  t  1 ;
E2  A2 cos  t   2 .
Сложим колебания по методу векторных диаграмм (см.лекцию № 4
"Колебания и волны"). Результирующее колебание
EE E
1
2
имеет ту же частоту  и амплитуду A :
E  A cos  t   0  ;
A2  A2  A2  2 A A cos    .
1
2
1 2
1 2
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды:
I ~ A2
и зависит от сдвига фаз   1   2 исходных колебаний:

2

(18.1)
I  I  I  2 I I cos  .
1 2
12
Если cos   0 , то интенсивность результирующей волны больше суммы
интенсивностей исходных волн:
I  I1  I 2 ;
если cos   0 , то I  I1  I 2 . Таким образом, происходит перераспределение
светового потока в пространстве.
Интерференция – это пространственное перераспределение светового
потока при наложении световых волн, в результате чего в одних точках
пространства возникают минимумы интенсивности, а в других –
максимумы.
Из (18.1) следует, что максимум достигается, если колебания происходят в
одной и той же фазе (рис.18.3а):
cos   1
  0;  2 ;  3 ;...
или:
  2  m;
m  0; 1; 2; ...
(18.2а)
Условие минимума (рис.18.3б):
cos   1
    ;  3 ;  5 ;...
а
б
Рис.18.3
или:
1

  2   m  ;
2

m  1; 2; 3...
(18.2б)
Интерференция наблюдается только в том случае, когда
сдвиг фаз
постоянен во времени (   const ), то есть для когерентных волн. Если сдвиг
фаз меняется :   const , то среднее значение cos   0 , и
3
I  I1  I 2  2 I1I 2 cos    I1  I 2 ;
никакой интерференции не будет.
Определение: волны называются когерентными, если их разность фаз
постоянна во времени. Или: волны когерентны, если их фазы согласованы.
Монохроматические волны всегда когерентны.
Реальная световая волна – результат наложения многих волн, испущенных
различными атомами независимо друг от друга. Процесс излучения атома длится
примерно t  10 8 ñ . За это время образуется цуг волн (последовательность
«горбов» и «впадин» волны) длиной l  t  C  10 8 c  3  108
ì
 3 ì (рис.18.4).
ñ
Рис.18.4
Одновременно
«высвечивается»
много
атомов;
волновые
цуги
накладываются друг на друга случайным образом, следовательно:
1) сдвиг фаз различных цугов случаен;
2) плоскости колебаний напряжённости электрического поля Е различных
цугов ориентированы случайно (свет неполяризованный);
3) свет немонохроматичен (даже отдельный цуг ограничен в пространстве –
около 3 метров, - раскладывается в ряд Фурье по гармоническим составляющим с
частотами в некотором диапазоне; то есть   const ).
Таким образом, свет естественных источников (Солнце, лампа
накаливания, пламя) некогерентен. Когерентное излучение даёт оптический
квантовый генератор (ОКГ), или иначе – лазер. (Принцип работы лазера
рассматривается в разделе «квантовая физика».) Однако лазер был изобретён
только в середине прошлого века, а явление интерференции света наблюдали уже
в 17 веке. Как такое возможно? Чтобы наблюдать интерференцию от обычных
источников света, применяют метод разделения волны, излучённой одним
источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей
накладываются друг на друга и интерферируют. По существу, это одна и та же
волна, поэтому она сама себе когерентна.
2. Расчёт интерференционной картины от двух источников. Оптическая
разность хода
Свет от источника, находящегося в точке О, идёт двумя разными
оптическими путями в разных средах (рис.18.5). Каким образом волна была
разделена на две волны, пока рассматривать не будем; конкретные схемы таких
устройств будут описаны позже.
4
Напряжённость электрического поля в точке О изменяется по закону:
E  E0 cos  t .
Если
первая
волна
проходит геометрический путь
l1 в среде с показателем
преломления n1 , а вторая,
соответственно, путь l2 в среде
с показателем преломления n 2 ,
а затем обе волны сходятся в
одной точке Р на экране, то
Рис.18.5
можно записать для обеих волн
в точке Р:
 
 
l 
l 
и E2  E02 cos    t  2   ,
E1  E01 cos    t  1  


   
2 
  1  
 
l
l
где 1  1 и  2  2 – время запаздывания колебания для первой и второй
1
2
волны соответственно в точке Р по сравнению с точкой О;
C
C
1 
и 2 
– скорость света в соответствующих средах.
n1
n2
Из-за того, что волны шли разными путями, между ними набежала разность
фаз:


l
l 
l 
l  2  l2
l1 

;
  1   2     t  1      t  2      2  1  

C/n





T
C
/
n


 2

1
2
1
2
1
2  l2 n2 l1n1  2


l n  l n ,
 

(18.3)
T  C
C  TC 2 2 1 1
поскольку период колебаний и циклическая частота связаны соотношением:
2
. Величина TC – это длина волны в вакууме:

T
0  TC .
Произведение показателя преломления на геометрический путь
называется длиной оптического пути:
L  nl .
(18.4)
Понятие длины оптического пути целесообразно ввести потому, что длина
волны в среде с показателем преломления n в n раз меньше, чем в вакууме:
Ñ 
  T  T  0 ,
n
n
и на одном и том же геометрическом пути в среде и в вакууме укладывается
разное число длин волн света, а на одном оптическом пути – одно и то же.
5
Таким образом, сдвиг фаз волн зависит от разности длин оптических путей,
то есть от оптической разности хода  , по определению равной разности длин
оптических путей:
  L2  L1 .
(18.5)
Формулу (18.4) можно применять, только если среда однородна; если же
показатель преломления разный на протяжении пути луча ( n  f (l ) ), то
l
L   nl   dl .
(18.4а)
0
Итак, связь разности хода и сдвига фаз волн из (18.1):
2
(18.6)
 
,
0

.
(18.6а)
  0 
2
Условия максимума и минимума (18.1) теперь можно записать для разности
хода. Максимум достигается при
  0  m;
m  0; 1; 2; ...
(18.7а)
Условие минимума:
1

  0   m  ;
2

m  1; 2; 3...
(18.7б)
Часто индекс «0» при 0 пропускают в записи, но всегда надо помнить, что
оптическая разность хода сравнивается с длиной волны в вакууме, а не в среде.
3.1. Метод Юнга
Схема опыта и интерференционная картина изображены на рис.18.6 и 18.7.
Источником света служит ярко освещённая узкая щель S (рис. 18.6),
излучающая вторичную волну (в соответствии с принципом Гюйгенса). Эта волна
разделяется на две когерентные волны при падении света на две щели S1 и S2,
параллельные щели S. Расстояние между щелями d должно быть много меньше
расстояния l до экрана наблюдения: d  l . Это требование связано с малостью
длины волны видимого излучения (   5  10  7 ì ); иначе интерференционная
картинка будет слишком мелкой.
На экране наблюдается чередование максимумов и минимумов
интенсивности I света – горизонтальные интерференционные полосы на
одинаковом расстоянии x друг от друга. В центре интерференционной картины
(точка 0) наблюдается максимум, так как расстояния от щелей одинаковы, и
разность хода равна нулю. В произвольной точке экрана с координатой x
результат интерференции зависит от разности длин лучей
6
r  r2  r1.
Если опыт производится в вакууме (или в воздухе, показатель преломления
которого почти равен 1), то оптическая разность хода совпадает с
геометрической:
Рис.18.6
  r2  r1 .
Картина будет различимой только на небольшом удалении от её центра, то
есть при x  l . Тогда разность хода можно найти, опустив перпендикуляр от
верхней щели на нижний луч (рис.18.7). Из прямоугольного треугольника

(18.8)
sin   .
d
С другой стороны, из рис.18.7:
x
(18.9)
tg  ,
l
а в силу малости угла 
(18.10)
tg  sin  .
Решая систему уравнений (18.8), (18.9) и (18.10) совместно с (18.7а), найдём
координату максимума с номером m, а совместно с (18.7б) – координату m-го
минимума:
Максимум:
xm  l  tg  l  sin  
xm  
l  m
;
d
l 
l  m

.
d
d
m  0; 1; 2; ...
Минимум:
1

l   m  
l 
2
xm  l  tg  l  sin  
 
.
d
d
7
(18.11а)
1

l   m  
2
xm   
;
d
m  1; 2; 3; ...
(18.11б)
Рис.18.7
Расстояние между соседними максимумами
x  xm 1  xm 
l  m  1 l  m l  


.
d
d
d
(18.12)
равно расстоянию между соседними минимумами и называется шириной
интерференционной полосы.
В соответствии с (18.12), расстояние между соседними максимумами растёт с
уменьшением расстояния d между источниками. При d, сравнимом с l , расстояние
между полосами было бы того же порядка, что и λ, то есть отдельные полосы
были бы совершенно неразличимы. Для того чтобы интерференционная картина
была отчётливой, необходимо выполнение упоминавшегося выше условия: d<< l .
3.2. Бизеркало Френеля (зеркала Френеля)
Источник света S даёт два мнимых источника S1 и S2, отражаясь в двойном
зеркале (бизеркале) АОВ (рис.18.8). Ширма не позволяет попадать лучам
напрямую от источника S на экран. Отражающие поверхности зеркал ОА и ОВ
расположены друг к другу почти под углом 1800; то есть дополнительный до
развёрнутого угла угол  очень мал – порядка нескольких угловых минут.
Расстоянием между когерентными мнимыми источниками можно найти из
чертежа:
d  2r   ,
(18.13)
где r – расстояние между источником и бизеркалом.
8
Рис.18.8
Когерентные пучки света от S1 и S2 перекрываются в области экрана CD.
Дальше задача сводится к опыту Юнга: ширину интерференционной полосы
получим из (18.12), заменив l 
a  r , где a – расстояние от бизеркала до
экрана наблюдения:
a  r   
x 
d
Далее из (18.13):
x 
.
a  r    .
2r  
3.3. Бипризма Френеля
В бипризме Френеля свет от одного источника преломляется (рис.18.9).
После преломления образуется два расходящихся пучка света. Их можно
рассматривать как бы исходящими от двух мнимых когерентных источников S1 и
S2. Эти пучки света и образуют интерференционную картину.
Преломляющий угол призмы  очень мал; углы падения лучей на грань тоже
невелики, тогда можно показать, что все лучи отклоняются на практически
одинаковые углы
   n  1 ,
(18.14)
где n – показатель преломления призмы. Расстояние между мнимыми
источниками S1 и S2 равно
d  2a   2a   n  1
(18.15)
где а – расстояние от источника S до бипризмы.
Дальше задача опять сводится к опыту Юнга (18.12). Ширину
интерференционной полосы получим, если сделаем замену l 
a  b:
9
x 
a  b  
,
2a   n  1
где b – расстояние от бипризмы до экрана наблюдения.
Рис.18.9
4. Интерференция в тонких плёнках
Радужные полосы на поверхности луж – это результат интерференции света в
тонкой плёнке на поверхности воды. Радужная окраска мыльных пузырей,
оперенья птиц, крылышек бабочек (рис.18.10) – тоже результат интерференции в
тонкой плёнке или тонких чешуйках-пластинках, которыми покрыты крылышки.
Рис.18.10
Как возникают цвета тонких плёнок при освещении белым светом? Световая
волна, падая на пластинку, частично отражается (луч 1 на рис.18.11), частично
преломляется. Преломлённый луч, отражаясь от нижней поверхности плёнки (луч
2 на рис.18.11), интерферирует с лучом 1, отражённым от верхней поверхности.
Если эти лучи окажутся в противофазе, они погасят друг друга, и в отражённом
луче не будет света с такой длиной волны. При падании света под другим углом
разность хода будет другая, и лучи могут оказаться в одной фазе; тогда они
усилят друг друга. Яркость плёнки в этом цвете возрастает.
10
Вычислим разность хода  лучей в тонкой плёнке (например, мыльного
пузыря) с показателем преломления n и толщиной d при падении света под углом
i1 . Начиная от точки О, где луч раздваивается, разность хода набегает до точек D
и B, лежащих на одном волновом фронте обоих лучей.
Первый луч проходит путь ОD в воздухе и теряет полволны при отражении
Рис.18.11
от оптически более плотной среды в точке О; длина оптического пути его равна
L1  OD 

.
(18.16)
2
Потерю полдлины волны при отражении иллюстрирует рис.18.12: фаза волны
скачком меняется на противоположную при n2>n1 и не изменяется при n2<n1.
Рис.18.12
Второй луч проходит путь ОСВ в среде с показателем преломления n и,
отражаясь от оптически менее плотной среды в точке С, полволны не теряет. С
учётом того, что
ÎÑ  ÎÂ ,
длина оптического пути второго луча равна
11
L2   ÎÑ  ÑÂ   n  2 ÎÑ  n .
Из прямоугольных треугольников ОDB и OAC:
d
;
ÎD  OB  sin i1 .
ÎÑ  ÎÂ 
cosi2
По закону преломления в точке О:
sin i1  n  sin i2 .
Далее,
ÎÂ  2  OA ,
OA  d  tgi2 .
Тогда оптическая разность хода


  L2  L1  2 ÎÑ  n   OD  
2

d

2
 n  OB  sin i1 
cosi2
2
d

2
 n  2  d  tgi2  n  sin i2 
cosi2
2
sin i2
d

2
n  2d 
 n  sin i2 
cosi2
cosi2
2
2d n


1  sin 2 i2 
cosi2
2
2d n


cos2 i2 
cosi2
2


2
  2  d  n  1  sin 2 i2 

2
  2  d  n 2  n 2 sin 2 i2 
  2  d  n 2  sin 2 i1 


2
(18.18)
2
Условие минимума (18.7б) можно записать в виде:
Тогда

2
;
2  d  n 2  sin 2 i1 
m  1; 2; 3...

2
 m 

2
2  d  n 2  sin 2 i1  m ;
m  1; 2; 3... .
Интерференционная картина определяется величинами  , n , d , i1 .
12
(18.17)

  2  d  n  cosi2 
  m 
(18.17)
(18.19)
Полосы равного наклона получаются, если на пластинку постоянной
толщины падает рассеянный свет под разными углами i1 . Интерферирующие лучи
параллельны друг другу, и полосы равного наклона наблюдаются с помощью
линзы в её фокальной плоскости (или глазом, хрусталик которого – тоже линза).
Полосы равного наклона локализованы на бесконечности (параллельные лучи
«пересекаются» в  ). Полоса видна там, где разность хода постоянна, то есть при
  const , i1  const . Полосы равного наклона названы так, потому что каждая
полоса (max или min) соответствует определённому углу падения i1 ; для одной
полосы угол один и тот же; для следующей – угол другой и т.д.
Полосы равной толщины наблюдаются при
интерференции от пластинки переменной толщины, на
которую падает пучок параллельных лучей. На рис.18.13
показаны интерференционные полосы в вертикально
расположенной мыльной плёнке. Жидкость под действием
силы тяжести стекает вниз, и толщина плёнки внизу
больше. Каждая полоса соответствует определённой
разности хода и определённой толщине плёнки:   const ,
d  const . Полосы равной толщины локализованы вблизи
Рис.18.13
поверхности: интерферирующие лучи непараллельны и
пересекаются
вблизи
поверхности пластинки
(клина) в точках Р1 и Р2
(рис.18.14).
Найдём расстояние
x между соседними
полосами
при
интерференции на клине
с углом  между его
плоскостями.
Если
толщина клина в точке,
где
наблюдается
максимум с номером m,
равна d1 , а соседний
максимум с номером
(m+1) наблюдается при
толщине d 2 , то при
нормальном
падении
света на клин ( i1  0 , см.
(18.18) и (18.19)) можно
записать для оптической
разности хода в этих
Рис.18.14
точках соответственно:
13





2
d

n


m


;
1
1

2
2

  2d  n    m  1    
2
 2
2
2
2d1  n  m

2d 2  d1   n  



2
d

n

m

1


 2
Из рисунка:
d  d1
tg  2
x
Тогда
d  d1

.
x  2

tg
2n  tg
Заметим, что различимая интерференционная картинка получится только при
условии малости угла  .
5. Кольца Ньютона
Интерференцию можно наблюдать не только в тонких плёнках, но и в
воздушных зазорах малой толщины; например, между выпуклой поверхностью
линзы и плоской пластинкой (рис.18.15). Разность хода лучей меняется с
толщиной зазора (рис.18.15а), и в отражённом свете появляются тёмные и светлые
а
б
Рис.18.15
кольца (рис.18.16а). В центре в отражённом свете – тёмное пятно. В проходящем
свете возникает картинка, дополнительная к картине в отражённом свете
(рис.18.16б), и пятно в центре будет светлым.
Найдём радиус rm m-го тёмного кольца в отражённом свете для случая, если
показатель преломления n газа, заполняющего зазор, меньше показателя
14
преломления стекла: n  n1 . С учётом потери половины длины волны при
отражении света от нижней поверхности зазора условие минимума при
нормальном падении света:


  2d  n  0  m0  0 ,
2
2
а
Рис.18.16
где d – толщина зазора (рис.18.15,б)
Из рисунка для прямоугольного треугольника:
(18.20)
б
rm2  R 2  R  d 2 ,
где R – радиус кривизны линзы. Зазор должен быть малым, и R>>d, тогда


rm2  R 2  R 2  2 Rd  d 2  2 Rd  d 2  2 Rd .
Из (18.20) и (18.21):

R  m0
2d  n  m0

rm2 
 2
n

rm  2 Rd
R  m0
rn 
, m  0; 1; 2; ...
n
(18.21)
(18.22)
6. Просветление оптики
Используя интерференцию, в оптических системах можно существенно
уменьшить потери света, возникающие при отражении от поверхностей линз. На
поверхность линзы наносят плёнку такой толщины, чтобы возникли условия
минимума для отражённого света; при этом интенсивность проходящего луча
увеличивается (рис.18.17). Это – просветление оптики. Условие минимума при
отражении нельзя выполнить для широкого диапазона длин волн, поэтому
объективы кажутся голубовато-лиловыми. Это цвет, дополнительный к жёлтому,
к которому глаз наиболее чувствителен и для которого выполняется условие
просветления.
Найдём толщину d плёнки, просветляющей объектив с показателем
преломления nñò. . Показатель преломления плёнки n  nñò. ; при этом
амплитуды двух интерферирующих лучей равны и они лучше компенсируют
15
друг друга. Тогда nâ.  1  n  nñò., и поэтому оба луча теряют пол длины волны
при отражении от оптически более плотной среды. Оптическая разность хода:
    

  L2  L1   2d  n  0     0   2d  n
2   2 

Условие минимума:

  m  0  0
2
При
m=0
толщина
минимальна, тогда
плёнки

2d  n  0
2

d 0
4n
d
Рис.18.17
где  
0
n
Плёнка в четверть волны просветляет оптику.

4
– длина волны в плёнке.
7.Интерферометры
С помощью интерференции света можно проводить точнейшие измерения.
Для таких измерений используются интерферометры.
7.1. Интерференционный рефрактометр
Интерференционный рефрактометр можно использовать для измерений
показателя преломления. На рис. 18.18 показана его схема. Два когерентных луча,
Рис.18.18
полученных от источника S белого света, проходят через две одинаковые трубки
(кюветы) К1 и К2 длиной l. Если они заполнены одинаковыми газами, то в центре
интерференционной картинки наблюдаем максимум белого цвета (разность хода
равна нулю); остальные полосы – радужные. Если заполнить трубки газами с
разными показателями преломления n1 и n 2 , то белая полоса, соответствующая
нулевой разности хода, сместится вверх или вниз, а в центре будет наблюдаться
полоса, соответствующая разности хода:
16
  L2  L1  n1  l  n2  l  n  l .
Если картинка сместилась на N полос, то
  m  N   m  N
Тогда разность показателей преломления газов
 N
.
n  
l
l
Смещение картинки на одну полосу уже заметно, и при l  0.1ì
  5  10
7
и
ì можно измерить ничтожно малое отличие показателей преломления:
N 1  5  10  7
n 

 5  10  6 .
l
0.1
7.2. Интерферометр Жамена
Схема интерферометра и ход лучей даны на рис.18.19. Когерентные лучи
получаются при отражениях и преломлениях в двух толстых (до 2 см) стеклянных
пластинках, установленных под углом 450 к лучу.
Рис.18.19
7.3. Интерферометр Майкельсона
В интерферометре Майкельсона когерентные лучи тоже получаются при
отражении на плоскопараллельной пластинке 1 (рис.18.20), одна грань которой
посеребрена и частично отражает, частично пропускает свет. Отражённый пучок
лучей 1, падая на зеркало 1, отражается назад. Второй, прошедший сквозь
пластинку пучок 2, отражается от второго плоского зеркала 2. Оба когерентных
пучка света сходятся снова на полуотражающей грани пластинки 1: первый
проходит, второй отражается; и дальше идут вместе через окуляр к наблюдателю.
Пластинка 2 нужна для компенсации разности хода, набежавшей для лучей
первого пучка при двукратном прохождении его сквозь пластинку 1.
17
Интерференционная картинка существенно зависит от юстировки зеркал 1 и
2. Если зеркала 1 и 2 перпендикулярны, наблюдаются полосы равного наклона в
виде концентрических колец.
Рис.18.20
При перемещении зеркала 1 на расстояние x возникает дополнительная
разность хода:   2  x (луч 1 проходил расстояние x два раза, туда и обратно),
и за счёт этого в центре появляются дополнительные кольца; картинка
«раздвигается». Достаточно зеркало сдвинуть на
x 

 10 7 ì , чтобы
4
минимумы и максимумы интерференционной картинки поменялись местами:
  2  x 

.
2
Если повернуть зеркало 2, как показано на рис.18.20, длина оптического пути
для правого луча пучка 2 будет больше, чем для левого, и картинка будет иметь
вид горизонтальных полос.
Интерферометр может служить очень чувствительным дефектоскопом: с
помощью него можно контролировать качество обработки поверхности, если её
использовать в качестве одного из зеркал. Царапины или дефекты глубиной
18
порядка x 
(рис.18.21).

4
 10 7 ì
приводят к искажению интерференционных полос
Рис.18.21
8. Дифракция света
Дифракция – огибание световыми волнами препятствий. Можно
сформулировать так: дифракция – нарушение законов геометрической оптики при
распространении света вблизи препятствий, связанное с волновыми свойствами
света. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической
тени.
Дифракция наблюдается для любых волн, в том числе звуковых. Например,
при открытой двери мы хорошо слышим крики в коридоре, хотя между
источником звука и нами находится стена. Почему же световые волны не огибают
такое препятствие? Причина в длинах волн: длина звуковой волны порядка
десятков сантиметров, и эта величина сопоставима с размерами препятствия, а
длина световой волны – порядка долей микрометра, то есть
çâóêà  lïðåïÿòñòâ.
ñâåòà  lïðåïÿòñòâ.
Волны огибают только препятствия, соизмеримые с длиной волны.
На рис.18.22 показано, как волна на
поверхности жидкости проникает в
область геометрической тени за экран с
маленьким отверстием.
Видно, что отверстие само является
источником волн. Это – принцип
Гюйгенса: любая точка волнового
фронта
является
источником
вторичных волн. То есть, каждая точка,
до которой дошла волна, сама является
источником волн. С механическими
волнами это более-менее понятно:
Рис.18.22
19
каждая частица среды, вовлечённая в колебательный процесс, так или иначе
воздействует на соседние частицы, и они тоже начинают колебаться. Как работает
принцип Гюйгенса применительно к электромагнитной волне, стало понятно
только после формулировки теории Максвелла (см. лекцию № 16): в точке, до
которой дошла электромагнитная волна, изменение магнитного поля порождает
поле электрическое, тоже изменяющееся во времени; а изменения электрического
поля порождают снова возникновение магнитного поля, и данная точка излучает
вторичную волну.
Рис.18.23 даёт представление, как можно построить с помощью принципа
Гюйгенса волновой фронт первичной волны как огибающую волновых фронтов
вторичных источников.
Рис.18.23
Чтобы использовать принцип Гюйгенса для количественного расчёта
дифракционных картинок, потребовались дополнения относительно фазы и
амплитуды вторичных волн. Эти дополнения были сформулированы Френелем;
так что принцип носит название принципа Гюйгенса-Френеля. Вот эти
дополнения:
1) Вторичные источники когерентны; более того, излучают в одной и той же
фазе, если лежат на одном и том же волновом фронте.
2) Вторичные источники излучают преимущественно в том же направлении,
что и первичный источник.
3) Амплитуда вторичной волны, излучённой фрагментом волнового фронта
площадью dS , пропорциональна величине площади и обратно пропорциональна
расстоянию r до вторичного источника:
dS
.
dA ~
r
С помощью этих принципов можно найти интенсивность света в любой
точке. Дифракционная картина является результатом интерференции
бесконечного числа вторичных когерентных волн, и поэтому нет принципиальной
разницы между явлениями интерференции и дифракции.
20
9.1. Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и на круглом
диске
Рассмотрим распространение света от точечного источника S, излучающего
сферическую волну (рис.18.24). Все точки сферического волнового фронта –
Рис.18.24
вторичные источники волн и излучают в одной фазе. Задача: найти результат
наложения вторичных волн в центре экрана – точке Р.
Расстояние от вершины волнового фронта – точки О – до экрана равно b.
Сферический волновой фронт, имеющий радиус a, разбивается на кольцевые зоны
(зоны Френеля I, II, III и т.д.) так, чтобы расстояния от границ соседних зон до
точки Р отличались на половину длины волны:
AP  OP 
BP  AP 
CP  BP 
… ,
21

2

2

2
;
;
;
тогда волны от соседних зон в точку Р будут приходить в противофазе и гасить
друг друга.
Площади зон Френеля оказываются одинаковыми (это доказывать не будем).
Чем больше номер зоны m, тем больше угол между нормалью к волновому
фронту и направлением на точку Р; да и расстояние до Р увеличивается.
Следовательно, из второго и третьего добавлений Френеля получим, что
амплитуды волн, дошедших до точки Р, с увеличением номера зоны m
уменьшаются:
A1  A2  A3  A4  ... ,
но это уменьшение очень медленное: длина волны света мала, зоны очень узкие,
их очень много; так что для соседних зон
Am 1  Am .
(18.23)
Очевидно, Am  0 при m   , так как угол   900 .
Найдём интенсивность света в точке Р, если между экраном и источником
поставить диафрагму с круглым отверстием радиуса r (рис.18.25), открывающим
произвольное число зон Френеля.
Рис.18.25
1) Если открыта одна центральная зона (m=1, r  r1 ) , то амплитуда волны в
точке Р равна A1 . Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды:
22
(18.24)
I1 ~ A12 .
2) Открыто небольшое нечётное число зон. Поскольку от соседних зон
лучи друг друга гасят (они приходят в точку Р в противофазе), то остаётся
нескомпенсированным свет от одной зоны; в точке Р будет максимум
интенсивности. Для амплитуды можно написать (например, при m=5):
 AP 5  A1  A2  A3  A4  A5  A1   A1  A2  A3    A3  A4  A5   A5
2  2
2   2
2  2
Сумма в каждой скобке с хорошей точностью равна нулю (см. (18.23)), тогда
 AP 5  A1  A5  A1  A5 ;
2
2
 AP íå÷åò.  A1.
3) Открыто небольшое чётное число зон. Волны от соседних зон попарно
гасят друг друга; света в точке Р не будет: получим минимум интенсивности. Для
амплитуды можно написать (например, при m=4):
 AP 4  A1  A2  A3  A4  0 ;
 AP ÷åò.  0 .
На рис.18.26 показаны дифракционные картинки, из которых видно, что при
чётном числе зон в центре – тёмное пятно (минимум), а при нечётном – светлое
(максимум).
2
Число открытых зон Френеля:
3
4
5
6
Рис.18.26
4) Все зоны открыты; препятствия между источником S и экраном нет. Для
амплитуды волны в точке Р с учётом фаз:
 AP 0  A1  A2  A3  A4  ...  A1   A1  A2  A3    A3  A4  A5   ...
2  2
2   2
2 
Сумма в каждой скобке равна нулю, причём с увеличением номера зоны
Am  0 , тогда
 AP 0  A1 .
2
23
Амплитуда при отсутствии препятствия в 2 раза меньше, чем при открытой
одной первой зоне, а интенсивность – в 4 раза меньше (из (18.24)):
I
I0  1 .
4
Это значит, что круглое отверстие может играть роль линзы, фокусируя
излучение в точку Р. Ещё большего эффекта можно достичь, если перекрыть ВСЕ
чётные зоны: все лучи от нечётных зон будут усиливать друг друга. Такое
устройство называется зонной пластинкой.
5) Возьмём вместо диафрагмы с дыркой диск, перекрывающий m первых
зон. Тогда для не очень больших m в центре дифракционной картины будет
максимум (рис.18.27) – так называемое пятно Пуассона.
 AP äèñê  Am 1  Am  2  Am 3  Am  4  ...
A
A
A
A
 A

 m 1   m 1  Am  2  m  3    m  3  Am  4  m  5   ...
2
2   2
2 
 2
 AP äèñê  Am1 .
2
Его история связана с противостоянием двух представлений о природе света
– волновой и корпускулярной. На протяжении всего 18 века царила
корпускулярная ньютоновская теория света: свет – это
такие маленькие частицы, летят с огромной скоростью,
чем и объясняется прямолинейное распространение
света. Но были уже опыты Юнга по интерференции,
объяснимые только волновой природой света. Наконец,
и прямолинейное распространение света в однородной
среде Френель объяснил с помощью теории зон.
Математик Симеон Пуассон, ярый противник волновых
представлений о свете, чтобы опорочить волновую
теорию света и метод зон Френеля, предложил
мысленный эксперимент с круглым экраном. В центре
Рис.18.27
тени от кругового экрана, по теории Френеля, всегда
должно быть светлое пятно. Этот «нелепый» вывод, по мнению Пуассона,
свидетельствует о несостоятельности и волновой теории света, и метода зон
Френеля. Физик Доминик Араго в тот же день произвел опыт с круглым экраном
и наблюдал светлое пятно, теоретически предсказанное Пуассоном. Пятно
Пуассона – блестящее доказательство волновой теории света и метода зон
Френеля. Ирония в названии: «пятно Пуассона», хотя сам Пуассон не допускал и
самой возможности его существования.
Рассчитаем радиус rm m-ой зоны Френеля. Из рис.18.25 для прямоугольных
треугольников SCK и CKP при малости h и  :
 AP äèñê
24

 2
 b  m   b  h 2  rm2
2

 2
2
2
a  a  h   rm

   2
2
b  2bm   m   b 2  2bh  h 2  rm2
2  2

 2
2
2
2
a  a  2ah  h  rm

   2
2bm   m   2bh  h 2  rm2
2  2


2
2
0  2ah  h  rm
2

bm  2bh  rm

2

0  2ah  rm

b 
bm  rm2   1
a 
rm2
2h 
a

abm  rm2 b  a 
abm
.
ab
rm 

rm2
bm 
b  rm2
a
(18.25)
Дополнение.
В случае, если круглое отверстие открывает нецелое число зон Френеля, каждую зону
делят на большое число более мелких кольцевых зон. Амплитуду результирующего
колебания в точке Р находят по методу векторных диаграмм (рис.18.28), суммируя

векторы a i , соответствующие волнам, излучённым мелкими зонами. Подробнее об этом
см. учебный фильм по дифракции (см.ССЫЛКИ).
25
Рис.18.28
10. Дифракция Фраунгофера на одной щели (дифракция в
параллельных лучах)
Постановка задачи. Параллельный пучок света нормально падает на узкую
щель ОВ (рис.18.29), то есть ширина щели а мала: соизмерима с длиной волны
света  , и, кроме того, много меньше длины щели. Каждая точка щели по
принципу Гюйгенса является вторичным источником волн и излучает свет во все
стороны. Линза собирает параллельные лучи, идущие под определённым углом 
к нормали, в определённую точку фокальной плоскости, где лучи, накладываясь
друг на друга, образуют дифракционную картинку. Требуется определить углы,
под которыми наблюдаются минимумы и максимумы интенсивности.
К этой задаче можно применить метод зон Френеля; тогда получится
простой вывод условия минимума.
Разность хода параллельных лучей набегает до отрезка OD – общего ко всем
лучам перпендикуляра. Разбиваем щель на зоны Френеля, параллельные длинной
стороне щели. Принцип тот же: разность хода лучей, идущих от границ соседних
зон, равна половине длины волны; тогда лучи приходят на экран в противофазе и
гасят друг друга. Если на ширине щели укладывается чётное число зон Френеля, в
соответствующей данному углу  точке экрана наблюдается минимум. Из
26
рис.18.29 видно, что при этом на отрезке  – разности хода крайних лучей –
укладывается чётное число длин полуволн:

 m .
2
Из прямоугольного треугольника OBD:
  a  sin  .
  2m 
Рис.18.29
Тогда получим условие дифракционного минимума:
(18.26)
a  sin   m;
m  1, 2, 3,....
Заметим, что m  0 : при m  0 угол дифракции тоже равен нулю, и ВСЕ
лучи, идущие нормально к щели, имеют одну и ту же фазу. Так что при m  0
получим центральный максимум.
Приблизительное условие остальных максимумов получим из соображений,
что при нечётном числе зон Френеля свет от одной из зон окажется
нескомпенсированным:
1

a  sin    m   ;
m  1, 2, 3,....
(18.27)
2

Более полное решение задачи:
27
Рассмотрим узкий прямоугольный фрагмент щели шириной dx на расстоянии
x от начала щели – точки О (рис.18.30). Он излучает вторичную волну, амплитуда
которой пропорциональна площади излучающей поверхности волнового фронта,
то есть dx:
A
dA  0  dx ,
a
где A0 – амплитуда волны, посылаемой всей щелью. Фрагмент dx под углом 
посылает волну dS , которая запаздывает в точке D по фазе на  по сравнению с
Рис.18.30
волной от точки О:
dS  dA  cos  t    ,
где  определяется разностью хода
  x  sin 
и из (18.6):
2
2
 

x  sin  .

Здесь  – круговая частота света. Тогда

2


dS  dA  cos   t 
x  sin  



A
2


dS  0  dx  cos   t 
x  sin   .
(18.28)
a



Чтобы получить колебание, посылаемое всей щелью, проинтегрируем (18.28)
по ширине щели от 0 до а:
a
S   dS ;
0
28
aA
2


S   0  cos   t 
x  sin   dx



0 a
a
2


sin    t 
x  sin  
A


S 0 
a
 2

sin  

 

0
2
 


a  sin    sin   t  0
 sin    t 
A




S  0 
a
 2

sin  

 

2



a  sin   
 sin   t   sin    t 



S  A0  
 2  a

sin  

 

Разность синусов преобразуем:

2


 

a  sin    
   t      t 


 
 2 sin 



2
2



a  sin   
   t      t 








S  A0  
 cos


2
 2  a

sin  



 



 a

sin 
sin  

  cos   t    a sin  
S  A0  


 a



sin 

Коэффициент при косинусе от времени не зависит и его модуль является
амплитудой колебания S  A cos  t   0  :
 a

sin 
sin  
 
.
A  A0 
 a
sin 
(18.29)

Исследуем (18.29) на экстремум. Амплитуда A равна нулю при условии:
29
  a

sin
sin


0

 


  a sin   0.
 
Отсюда
  a
sin     m

 
sin   0
a sin   m

m  0,
что совпадает с условием (18.26).
Чтобы найти условие максимума, нужно производную A приравнять к
нулю:
  a

sin   
 sin 
d   
  0
d    a sin  





Обозначим
 a
y
sin  ;

тогда
sin y
.
A  A0 
y
Условие максимума:
d  sin y 
y  cos y  sin y

  0 
 0  y  tgy
2
d  y 
y
Решение последнего уравнения в элементарных функциях невозможно;
численные методы дают:
 a
y
sin   1.43   ;  2.46   ;  3.47   ;  4.47   ;... ,

или
a sin   1.43  ;  2.46  ;  3.47  ;  4.47  ;...
Полученный результат не слишком сильно отличается от приблизительного
(18.27). И зачем было этот огород городить? – Для демонстрации метода расчёта
дифракционной картинки.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды; тогда из (18.29)
получим интенсивность пучка от всей щели под углом  :
30
 a

sin 2 
sin  
 
.
I  I 0 
2
 a 
2

 sin 
  
На рис.18.31 показана зависимость I  f sin   ,
дифракционная картинка.
(18.30)
а
также
сама
Рис.18.31
При уменьшении ширины щели картинка будет увеличиваться; расстояние
между максимумами возрастёт.
11. Дифракция на дифракционной решётке
Дифракционная решётка – система большого числа N параллельных щелей
равной ширины a , отделённых друг от друга равными непрозрачными участками
шириной b (рис.18.32). Постоянной решётки (или периодом решётки) называется
минимальное расстояние d, на котором структура повторяется:
d  a b.
11.1. Условие главных максимумов
Каждая точка каждой щели – вторичный точечный источник волн. Волны,
идущие параллельно друг другу под одинаковым углом  к нормали, собираются
линзой в определённую точку фокальной плоскости на экране (если экран
расположен достаточно далеко, то линза необязательна). Поскольку решётка
имеет регулярную структуру, то разность хода между лучами, идущими от двух
любых соседних щелей одинакова и равна (из прямоугольного треугольника
OBD):
31
  BD  d  sin  .
Рис.18.32
Волны усиливают друг друга, если на разности хода укладывается целое
число длин волн:
  m.
Тогда
d  sin   m  ,
m  0;  1;
 2;...
(18.31)
Это – условие главных максимумов при дифракции на решётке.
11.2. Условие главных минимумов
Условие главных минимумов получим из (18.26). Очевидно, что если одна
щель не даёт света под данным углом, то и N щелей света не дадут:
a  sin   m;
m  1, 2, 3,....
11.3. Условие дополнительных минимумов
Без доказательства приводится условие вторичных
добавочных) минимумов:
m
d  sin  
 ,
m  0;  N ;
 2 N ;...
N
32
(18.32)
(побочных,
(18.33)
Между любыми двумя соседними главными максимумами расположен
( N  1 ) добавочный минимум (рис.18.33), где N – число щелей решётки. Целое
число m должно быть не кратно N ; иначе (18.33) совпадёт с условием
максимумов (18.31).
Рис.18.33
Если период решётки кратен ширине щели, то под определёнными углами
совпадают условия главных минимумов и главных максимумов (18.32) и (18.31).
Рассмотрим пример. Пусть
ab ;
d  2a .
Из (18.32)
d  sin   m  

2a  sin   m   ,
и тогда:
max
2a  sin   m  

min
a  sin   m
При
m  1
m  2
m  3
; 
; 
; ….

m

2
m

4
m

6



условия минимума и максимума – это одно и то же. Тогда «побеждает» минимум:
если одна щель не светит, то умножение ноля на N даёт всё равно ноль: каждый
второй главный максимум отсутствует (рис.18.33).
33
Замечания:
1) Количество главных максимумов ограничено значением
Наибольший номер главного максимума из (18.31):
d
m   sin  ;
sin   0 .

mmax 
d

.
Полное количество главных максимумов равно ( 2  mmax  1), то есть по
mmax с двух сторон от центрального + центральный.
2) С увеличением N – числа штрихов решётки – растёт число
дополнительных минимумов между главными максимумами; туда света попадает
меньше, а значит, главные максимумы будут и резче, и ярче. Расплывчатые
максимумы превращаются в резкие и узкие (рис.18.34).
Реальные решётки (рис.18.35) имеют число щелей на 1 миллиметр до
нескольких тысяч. В лабораторном практикуме используется решётка с 100
штрихами на 1 мм.
Рис.18.34
11.4. Дисперсия дифракционной решётки
Из (18.31) следует, что угол дифракции зависит от длины волны:
  f  .
Это значит, что дифракционная решётка может служить спектральным
прибором, то есть разлагать сложный свет в спектр по монохроматическим
составляющим. На рис.18.36 даны дифракционные картинки для белого,
монохроматического зелёного и трёхкомпонентного (синий, зелёный, красный)
света. Для белого и трёхкомпонентного света центральный максимум остаётся
белым, а максимумы во всех остальных порядках разлагаются в спектр. Сильнее
34
отклоняется от центрального красный свет, слабее – фиолетовый: для красного
длина волны больше, и угол тоже оказывается больше: d  sin   m   . В высших
порядках спектры могут перекрываться; они сильнее «растянуты» в пространстве.
Рис.18.35
Рис.18.36
Определение: угловая дисперсия D спектрального прибора показывает
быстроту изменения угла отклонения данной спектральной линии при изменении
длины волны и равна
d
.
(18.34)
D 
d
Из (18.31):;
d sin  
d
 m;
d
d
d  cos
 m;
d
d
m
;

d d  cos
m
.
D 
d  cos
Чем больше период решётки, тем больше её дисперсия (рис.18.37).
35
Определение: линейная дисперсия Dl спектрального прибора показывает
Рис.18.37
быстроту изменения положения на экране данной спектральной линии при
изменении длины волны и равна
dl
.
Dl 
d
Из рис.18.32
l  F  tg ,
тогда
d
tg   F  12  d  F  12  D ;
Dl  F
d
cos  d
cos 
Dl 
m F
d  cos3 
.
12. Разрешающая способность оптических приборов
Разрешающая способность оптических приборов ограничена дифракцией.
Дело в том, что изображение любой светящейся точки из-за дифракции – не
точечное. Дифракционная картинка удалённого точечного источника света в
фокальной плоскости линзы – светлое пятно, окружённое кольцами (рис.18.38).
Точные вычисления дают, что угол, соответствующий первому тёмному кольцу
определяется как:
sin 1  1.22 

D
36
,
(18.38)
где D – диаметр объектива (отверстия). Изображения двух точечных близких
Рис.18.38
источников могут из-за дифракции сливаться (рис.18.39).
Рис.18.39
Рэлей сформулировал критерий, при каком условии изображения ещё
наблюдаются раздельно, то есть их можно разрешить (различить). По критерию
Рэлея, изображения двух точек разрешены, если главный максимум изображения
первой точки накладывается на первый минимум изображения второй точки
(рис.18.40). В этом случае «провал» суммарной интенсивности между
изображениями составляет 20% от максимальной; эту величину глаз (или
измерительный прибор) фиксирует надёжно.
Определение: разрешающая способность R оптического прибора – это
величина, обратная к минимальному угловому расстоянию  между точками,
изображения которых можно разрешить:
1
.
(18.39)
R

Тогда из рис.18.40, (18.38) и критерия Рэлея получим для разрешающей
способности объектива диаметром D:
37
1

 1.22  .
R
D
Здесь учтено, что угол  мал.
Рис.18.40
Для спектральных приборов разрешающая способность определяется как
R

,

(18.40)
где  – разность длин волн, которые в спектре ещё можно разрешить.
Для дифракционной решётки как спектрального прибора из критерия Рэлея
можно получить:
Räèôð.ðåø.  mN ,
где m – номер главного максимума (порядок спектра); N – полное число щелей
дифракционной решётки.
Доказательство: по критерию Рэлея две длины волны 1 и 2 ( 2  1 ) будут
разрешены, если под одним и тем же углом наблюдается максимум для одной длины волны и
минимум (дополнительный), ближайший к данному максимуму, для другой длины волны:
d  sin   m  2

m
mN  1
d  sin  
1 
1  m  1  1
N
N
N
Тогда

m  1  1  m  2
N
1
N
 m  2  1 
38
1
 m N
2  1
1
 m N ,

что и требовалось доказать.
13. Дифракция на пространственной решётке. Формула Брэгга-Вульфа
Длина волны рентгеновского излучения имеет порядок величины
  10 9  10 11 ì .
Изготовить дифракционные решётки с таким периодом невозможно. Однако
наблюдать дифракцию R-лучей можно. Кристалл представляет собой регулярную
структуру и сам являются естественной дифракционной решёткой для
рентгеновских лучей, поскольку межатомные расстояния составляют примерно
10 10 ì . Пусть d – расстояние между соседними кристаллографическими
плоскостями, то есть плоскостями, в которых лежат атомы (рис.18.41). Плоская
волна падает на кристалл под углом скольжения  . Лучи 1 и 2 отражаются от
соседних плоскостей в точках O и D. Если фазы отражённых лучей 1 и 2
совпадут, то получим дифракционный максимум. Разность хода лучей при этом
должна быть равна целому числу длин волн:
  m .
Рис.18.41
Разность хода равна сумме отрезков AD и DB:
  AD  DB  2 DB  2d  sin  .
Отсюда получаем формулу Брэгга-Вульфа:
2d  sin   m,
m  1,  2,  3, ... .
(18.41)
Здесь m  0 ; иначе лучи скользят по поверхности; отражения просто нет.
39
Очевидно, что дифракция наблюдается только при условии
  2d min ,
где d min – наименьшее расстоянием между кристаллографическими плоскостями.
На явлении дифракции R-лучей основан метод спектрального анализа
рентгеновского излучения: зная межплоскостные расстояния d, можно из (18.41)
определить длину волны. Рентгеноструктурный анализ также основан на (18.41): с
помощью дифракции можно исследовать структуру кристалла и находить
межплоскостные (межатомные) расстояния. В методе Дебая узкий пучок
монохроматического рентгеновского излучения падает на поликристалл (или
образец в виде порошка). Мелкие кристаллики ориентированы к первичному лучу
под всевозможными углами, но отражение по (18.41) возможно только под
определёнными углами; так что отражённые лучи дают на фотопластинке
концентрические кольца. Каждое кольцо на такой дебаеграмме соответствует
определённому углу отражения (рис.18.42).
Рис.18. 42
Ссылки:
При работе над текстом использовались картинки и фрагменты картинок, найденные на
бескрайних просторах Интернета; а также учебные фильмы
по интерференции:
http://uchu24.ru/video/interferencija.html
по дифракции:
http://uchu24.ru/video/difrakcija-sveta.html
Фильмы советую посмотреть, а также «поиграть» с компьютерными моделями:
Опыт Юнга:
http://vsg.quasihome.com/interf.htm
Интерферометр Фабри-Перо:
http://www.digcode.ru/fabriperot.html
40