Цикл 0. Системы без параметров

1
Оглавление
Введение. Теоретическая физика
Свободная частица
Взаимодействие
Цикл 0. Системы без параметров
Введение
Интерактивные приложения (новая версия для OS Vista) к циклу «Системы
без параметров» связаны с контекстом излагаемой ниже теории.
Теоретическая физика
Измерить все, что поддается измерению, а что не поддается –
сделать измеряемым.
Галилео Галилей.
Физика основывает свои понятия на измерениях, причем
представления и утверждения физики могут быть выражены
математически.
Альберт Эйнштейн.
Физические процессы, вообще говоря, описываются в терминах
операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические
объекты…. Математика, в самом общем смысле слова имеет
дело с определением и использованием символических моделей.
Математическая модель охватывает класс неопределенных
(абстрактных, символических) математических объектов
таких, как числа или векторы, и отношения между этими
объектами…. Математическая модель будет воспроизводить
подходящим образом выбранные стороны физической ситуации,
если можно установить правила соответствия, связывающие
специфические
физические
объекты
и
отношения
с
определенными математическими объектами и отношениями.
Г.Корн, Т.Корн «Справочник по математике для научных
работников и инженеров» (Изд-во «Наука», Москва, 1973)
Теоретическая физика создает и эксплуатирует математические модели явлений
природы. Сравнение математических расчетов с наблюдениями осуществляется
путем измерений. Измерения являются источником чисел. Числа
представляются в определенных масштабах.
Имеется три основных числовых масштаба измерений – масштаб массы, длины
и времени.
- В классической механике отсутствуют какие-либо постоянные,
связывающие масштабы между собой, поэтому все три масштаба
независимы. Фундаментальным объектом классической механики является
частица, обладающая некоторой внутренней неизменной характеристикой –
массой. Частица в каждый момент времени занимает определенную точку в
вещественном пространстве положений и обладает определенной
скоростью. Развитие состояния частицы (положения и скорости) во времени
определяется
уравнениями
движения.
Взаимодействие
между
классическими частицами распространяется мгновенно.
- В теории поля есть скорость света c ≈ 3∙108 м/сек – абсолютная постоянная,
связывающая масштабы длины и времени. Это скорость распространения
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
2
-
-
взаимодействия. Взаимодействие переносится материальным объектом –
полем, свойства которого существенно отличаются от свойств частиц.
В квантовой механике имеется постоянная Планка h ≈ 6,6∙10-34 Дж∙сек,
связывающая импульс частицы p и длину волны λ, соответствующей этой
частице p = h/λ, а также энергию и частоту E = ћω. Постоянная Планка
зависит от выбора всех трех фундаментальных масштабов, и масштабы
становятся зависимыми. Она связывает, то есть делает зависимыми,
масштабы импульса и координаты, а также энергии и времени. Квантовый
объект не обладает состоянием (положением и скоростью) обычной
классической частицы. Результаты измерений классических характеристик
квантового объекта могут быть предсказаны лишь с определенной
вероятностью.
Предметом статистической физики являются закономерности, общие для
всех макроскопических тел, состоящих из очень большого числа частиц.
Существует теория, именуемая теорией суперструн, в которой имеются три
постоянные с независимыми масштабами – скорость света c, постоянная Планка
ћ и гравитационная постоянная G. В такой теории все три масштаба массы,
длины и времени фиксированы. Эти масштабы называются соответственно
планковской массой m*  c / 2G  2  10 5 г , длиной L  2G  / c 3  10 33 см и
временем τL = L/c ≈ 10-43 сек.
Свободная частица
Свободная частица является фундаментальной моделью классической
механики. Модель свободной частицы возникает в конце следующей цепочки
экспериментов и обобщений.
1. Если толкнуть книгу, лежащую на столе, то она сдвинется с места. Как
только усилие прекратится, – книга остановится. Если абстрагироваться на
этом этапе, то можно сделать вывод, что тело движется лишь при
воздействии на него внешней силы. Если воздействия нет, то тело
неподвижно.
2. Толкнем кием биллиардный шар. Он движется и после прекращения
воздействия. Наше предыдущее обобщение не верно. Скорость шара резко
возрастает во время толчка, а затем медленно убывает.
3. Можно заметить, что закон медленного убывания скорости шара после
толчка зависит от свойств окружающей среды. Чем меньше среда оказывает
сопротивление, тем медленней падает скорость шара. Скорость шара
уменьшается от его взаимодействия со средой. Взаимодействие с кием
ускоряет шар, со средой – замедляет. Другими словами, внешнее
воздействие вызывает изменение скорости.
Предельной абстракцией является модель тела, движущегося без изменения
скорости. Это имеет место тогда, когда нет внешнего воздействия.
В любом эксперименте кроме изучаемого объекта есть еще наблюдатель с
инструментами наблюдения. Результатом наблюдения является всегда
результат взаимодействия инструментов наблюдения с объектом. Мы считаем,
что это взаимодействие может быть исключено из описания состояния
движения объекта. Например, чтобы отметить положение биллиардного шара,
необходимо как минимум его увидеть. Другими словами, изучаемая частица
должна при измерении положения взаимодействовать со светом. Естественно,
взаимодействие со светом биллиардного шара пренебрежимо мало влияет на его
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
3
состояние движения. Но если мы измеряем положение шара в темной комнате,
стреляя по нему из автомата и фиксируя попадание с помощью вспышек, то
пренебречь таким взаимодействием нельзя. Однако и столь катастрофическое
взаимодействие можно исключить. Надо лишь заранее запастись достаточным
числом одинаковых шаров и ставить их перед расстрелом в одинаковые
условия.
Наблюдатель устанавливает также правила измерения. Он устанавливает
начало координат, начальный момент времени, свое состояние движения,
масштабы измеряемых величин. Все это объединяется в общее название
системы отсчета.
При исследовании движения свободной частицы у наблюдателя нет никаких
других объектов, кроме самой частицы, чтобы сделать предпочтительными те
или иные правила измерения. Поэтому отметить начало координат можно где
угодно. Это может быть точка, в которой находилась частица при первом
измерении ее положения. Ноль времени можно также установить на момент
первого измерения. За единицу длины можно принять расстояние, проходимое
частицей между первым и вторым измерением. За единицу времени – интервал
времени между моментами первого и второго измерения.
Таким образом, наблюдение за свободной частицей позволяет построить
линейку и часы. Мы предполагаем, что нет других объектов или процессов,
которые позволили бы ввести свои линейки и часы. Поэтому за время между
первым и вторым наблюдением ничего не меняется в условиях эксперимента со
свободной частицей - ни состояние движения частицы, ни состояние
измерительных инструментов. Другими словами, физические условия второго
измерения ничем не отличаются от условий первого измерения. Следовательно,
второе измерение ничем не отличается от первого. Оно может рассматриваться
как первое, и все дальнейшие измерения можно проводить с помощью уже
имеющейся линейки и часов. Результат нового измерения будет тот же.
Свободная частица движется равномерно и прямолинейно. Ведь любое
изменение расстояния, проходимое свободной частицей за единичный интервал
времени, потребовало бы введения нового масштаба длины или времени. Точно
так же, движение по кривой требует задания радиуса кривизны, то есть нового
пространственного масштаба.
Классическая модель любой механической системы основана на представлении
о свободной частице. Ведь и при наличии взаимодействия, мы предполагаем,
что изучаемая система может существовать и без взаимодействия, то есть
быть свободной. Но это всего лишь модельное предположение, а не закон
природы.
Взаимодействие
Изменение скорости свободной частицы, если оно не связано с движением
наблюдателя (неинерциальные системы отсчета), определяет внешнее
воздействие на частицу. Тем самым это внешнее воздействие вводит свой
масштаб времени (например, время, за которое скорость изменяется на
единицу). Внешнее воздействие может также вводить свой масштаб длины. У
частицы, движущейся по кривой, скорость изменяется, по крайней мере, по
направлению. Масштабом длины может быть, например, путь, на котором
скорость поворачивается на 90°. Масштаб массы может быть введен только при
наличии взаимодействия. Масса свободной частицы не влияет на ее закон
прямолинейного и равномерного движения.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
4
В классической механике предполагается, что взаимодействие между частицами
происходит либо в непосредственном контакте, либо, если частицы отделены
друг от друга конечным расстоянием, распространяется с бесконечной
скоростью. Опыт показывает, что скорость распространения взаимодействия в
природе конечная. При этом передача взаимодействия осуществляется
материальным объектом, физика которого не может быть описана в рамках
классической механики. Это полевой объект, изучаемый в курсе теории поля.
Цикл 0. Системы без параметров
Рассмотрим 9 простейших задач-моделей классической механики.
1. Свободная частица на прямой линии.
2. Частица на прямой линии в вязкой среде.
3. Частица на прямой в поле тяжести.
4. Свободная частица на окружности.
5. Частица, скользящая по равномерно вращающемуся стержню.
6. Частица на конце пружинки (одномерный осциллятор).
7. Частица в поле тяжести на конце стержня (плоский математический
маятник).
8. Заряженная частица на окружности в поле закрепленного заряда.
9. Частица на прямой линии в поле гармонической силы.
Нашей задачей в нулевом цикле будет описание свойств перечисленных систем
путем использования современного аппарата теоретической механики.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
5
1. Положение, импульс, энергия
Задача 1. Положение частицы на прямой линии определяется
декартовой координатой x. Предполагается, что выбрано начало координат –
точка 0, тогда x есть алгебраическая величина, модуль которой определяется
расстоянием от начала до точки положения частицы, а знак – направлением от
начала на частицу. Моменту времени t также отвечает начало отсчета времени 0
и направление по воображаемой оси времени. Скорость свободной частицы
v  dx / dt  x определяет относительное ко времени бесконечно малое
изменение положения. Импульс свободной частицы p  mv  mx , как и ее
скорость, остается неизменным в процессе движения. Энергия свободной
частицы
E = mv2/2 = p2/2m
(1.1)
также неизменна.
Замечание. Приведенные выражения для импульса и энергии свободной
частицы, вообще говоря, являются приближенными. В более точной модели,
именуемой релятивистская механика, эти выражения выглядят следующим
образом
p  mv 1  v 2 c 2 ; E  p 2 c 2  m 2 c 4 .
Здесь c = 3·108 м/сек – скорость света. Если в системе отсчета наблюдателя
скорость частицы значительно меньше скорости света, то можно ограничиться
приближенными, классическими значениями импульса и энергии. Покажите
это самостоятельно.
Задача 2. Все атрибуты – координата x, момент времени t, импульс p =
mv и энергия
E = mv2/2
(1.2)
остаются теми же и для частицы, движущейся в вязкой среде. Однако, ни
скорость v, ни импульс p = mv, ни энергия E = mv2/2 частицы в вязкой среде не
остаются неизменными.
Задача 3. Пусть координата частицы, движущейся в поле тяжести по
вертикальной, прямой линии, равна z. Импульс p  mv  mz не сохраняется. Не
сохраняется и кинетическая энергия частицы E = mv2/2 в поле тяжести. Но
другая функция, полная энергия, включающая потенциальную энергию mgz
частицы в поле тяжести
E = mv2/2 + mgz = p2/2m + mgz
(1.3)
остается неизменной.
Задача 4. Для описания положения частицы на окружности излишне
было бы использовать декартовые координаты в плоскости окружности. Они
зависимы между собой, так как для частицы на окружности радиуса R всегда x2
+ y2 = R2. Положение частицы на окружности вполне однозначно описывается
значением угла φ отклонения направления из центра окружности на частицу от
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
6
какого-либо другого фиксированного направления (например, от направления
вниз, как изображено на рисунке). Скорость и импульс вращающейся частицы
меняются по направлению, поэтому в векторном смысле не сохраняются. При
описании вращения вместо импульса вводится момент импульса
p  M  mR2 , который сохраняется для свободно вращающейся частицы.
Энергия свободно вращающейся частицы
(1.4)
E  mR 2 2 / 2  p2 / 2mR 2
также остается неизменной.
Задача 5. Положение частицы на стержне, вращение
которого с постоянной угловой скоростью ω задано, характеризуется одной
координатой q - декартовой координатой вдоль стержня. Импульс частицы
p  mv  mq не сохраняется, так как на частицу действуют силы инерции.
Система координат, в которой выбрана координата q, вращается вместе со
стержнем и относится к неинерциальной системе отсчета. Не сохраняется и
кинетическая энергия. Однако, величина полной энергии с учетом
центробежной энергии
E = mv2/2 – mω2q2/2
(1.5)
остается постоянной во вращающейся системе отсчета.
Задача 6. Декартовая координата x определяет отклонение
частицы на пружине от положения 0 при недеформированном состоянии
пружины. Импульс p  mv  mx такой частицы изменяется под действием силы
упругости. Полная энергия, учитывающая потенциальную энергию
деформированной пружины
E = mv2/2 + kx2/2
(1.6)
(k - коэффициент упругости пружины) остается постоянной.
Задача 7. Угол φ отклонения плоского математического маятника от
вертикального направления вполне однозначно определяет его мгновенное
положение. Момент импульса такого отклонения p  ml 2 меняется под
действием силы тяжести, а полная энергия
E  ml 2 2 / 2  mgl cos   p2 / 2ml 2  mgl cos  (1.7)
остается постоянной.
Задача 8. Положение подвижного заряда e, m на окружности
определяется углом φ, измеряемым от направления на такой же по величине и
знаку неподвижный заряд e. Момент импульса p  mR 2 меняется под
действием кулоновской силы, а полная энергия
(1.8)
E  mR 2 2 / 2  ke2 / 2 R sin(  / 2)
остается неизменной.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
7
Задача 9. Положение частицы на прямой линии определяется
декартовой координатой x. Ни импульс частицы p  mx , ни ее полная энергия
E  mx 2 / 2  xf0 cos t
(1.9)
не сохраняются во времени. Изменчивость энергии связана с не
стационарностью (явной зависимостью от времени) действующей на частицу
силы.
Выводы и комментарии.
Степени свободы и положение
У рассмотренных систем есть одно общее свойство, их положение описывается
одной координатой. Эта координата может иметь размерность длины
(декартовая координата), либо быть безразмерной величиной (угол). Все
механические системы, положение в пространстве которых описывается с
помощью одной координаты, называются одномерными, или системами с одной
степенью свободы.
Состояние
Состояние системы описывается заданием координаты, импульса и, в общем
случае, момента времени. Важно понять, что координата и импульс (или
скорость) независимые величины. То есть частица может находиться в одной и
той же точке пространства, но при этом иметь разные импульсы, если
начальные условия движения будут различны. В то же время энергия есть
всегда функция состояния. Она зависит от координаты, импульса и, возможно,
времени. (Эту зависимость иногда называют уравнением энергии.)
Законы сохранения. Типы механических систем.
В большинстве рассмотренных систем полная энергия сохраняется. Это так
называемые консервативные, или автономные системы. Но есть системы,
энергия которых не сохраняется. Это система с диссипацией (задача 2) и
нестационарная система (задача 9). Импульс (момент импульса) сохраняется
лишь там, где нет внешней силы (момента сил). Это задачи 1 и 4. Отметим, что
в задаче 4 импульс частицы меняется по направлению, но момент импульса
остается неизменным как по величине, так и по направлению. Направление
момента импульса совпадает с направлением оси вращения. Ось вращения
перпендикулярна плоскости, в которой вращается частица.
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы для самоконтроля
Как описываются положения в задачах 1-9? В чем отличия и совпадение?
Что такое одномерная система и число степеней свободы?
Как записываются импульс (момент импульса) и энергия в задачах 1-9?
Какие отличия в поведении этих функций в разных задачах, и чем эти
отличия объясняются?
Дайте определения диссипативной, консервативной и нестационарной
системы.
Что называется состоянием механической системы? Является ли импульс
(момент импульса) независимой характеристикой состояния? То же в
отношении энергии.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
8
В задачах 4,5,7,8 на движение частицы накладываются определенные
геометрические ограничения, или связи. Связи приводят к появлению сил
реакции. Изучению этого последнего вопроса мы посвятим следующий раздел.
2. Связи. Силы реакции
Связями называют ограничения на положение и скорость механической
системы. В наших задачах мы имеем дело лишь с ограничениями на положение
системы – точка на окружности (задачи 4,8), точка на вращающемся стержне
(задача 5), точка на конце стержня (задача 7).
Связи называют идеальными, если в них не участвует сила трения. Во всех
перечисленных задачах связи идеальны. Связь называют стационарной, если в
соотношениях между координатами, определяющими связь, отсутствует время.
Это задачи 4, 7 и 8. В задаче 5 связь не стационарная – положение стержня
меняется со временем. Связи называют голономными, если соотношения между
скоростями, которые они определяют, интегрируемы. Во всех наших задачах
связи голономны. Примерами неголономной связи являются задачи о качении
диска (Г. Голдстейн, Классическая механика, §1.3) и шара по плоскости
(Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика, §38, задача 1).
Все связи образуются реальными физическими объектами, с которыми
взаимодействует изучаемая механическая система. Со стороны физических тел,
образующих связи, на систему действуют силы, которые называют силами
реакции. В случае идеальной связи сила реакции всегда направлена
перпендикулярно возможным перемещениям механической системы.
Определим силы реакции в задачах 4, 5, 7 и 8.
Задача 4. Голономная, идеальная, стационарная связь определяется
соотношением x2 + y2 = R2 между декартовыми координатами частицы на
окружности радиуса R. Сила реакции направлена по радиусу окружности, так
как частица может перемещаться только вдоль окружности.
Введем декартовую систему координат и запишем второй закон Ньютона для
частицы, движущейся под действием силы реакции F
mx  Fx ; my  Fy
Выразим x, y, Fx, Fy через R, φ, F
x = R sinφ; y = -R cosφ; Fx = -F sinφ; Fy = F cosφ
и подставим x, y и Fx, Fy в записанные выше уравнения
x  R cos  ; y  R sin  ;
mx  m( R 2 sin   R cos  )   F sin  ; (2.1)
my  m( R 2 cos   R sin  )  F cos  (2.2)
Для определения модуля силы F умножим уравнение (1) на -sinφ, а (2) на cosφ, и
сложим оба уравнения почленно. Результатом будет выражение F  mR 2 . Это,
очевидно, центростремительная сила, обеспечивающая вращение частицы по
окружности.
Задача 5. Голономная, идеальная, но нестационарная в
данном случае связь определяется соотношением y = xtg(ωt) между
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
9
декартовыми координатами частицы на вращающемся стержне и временем.
Сила реакции F направлена перпендикулярно стержню. Введем координату q
вдоль стержня и выразим декартовые координаты x, y и проекции силы реакции
Fx, Fy через q, F.
x = qcos(ωt); y = qsin(ωt);
Fx = -Fsin(ωt); Fy = Fcos(ωt)
Запишем 2-ой закон Ньютона в декартовых координатах
mx  Fx ;
my  Fy
и подставим в него соответствующие производные x, y и компоненты силы
x  q cos  t  q sin  t ; y  q sin  t  q cos  t ;
mx  m(q cos  t  2q sin  t  q 2 cos  t )   F sin  t ; (2.3)
my  m(q sin  t  2q cos  t  q 2 sin  t )  F cos  t ; (2.4)
Теперь умножим уравнение (2.3) на –sin(ωt), а уравнение (2.4) на cos(ωt) и
почленно сложим эти два уравнения. В результате получим силу реакции
F  2mq .
Смысл этого результата прост. Сила реакции стержня в точности компенсирует
силу Кориолиса, действующую на движущуюся по вращающемуся стержню
частицу. Направление силы реакции определяется знаком скорости q , но всегда
лежит вдоль прямой, перпендикулярной стержню.
Задача 7. Здесь идеальная, голономная, стационарная связь
определяется соотношением x2 + y2 = l2 между декартовыми координатами
точки x, y и длиной стержня l. Сила реакции F направлена вдоль стержня.
Именно это направление перпендикулярно возможным перемещениям частицы.
Выразим декартовые координаты x, y и компоненты Fx, Fy через l, φ, F.
x = l sinφ; y = -l cosφ;
Fx = -F sinφ; Fy = F cosφ.
Подставим вторые производные x, y и компоненты силы Fx, Fy в уравнения
второго закона Ньютона
mx  Fx ;
,
my  Fy  mg
записанные в декартовых координатах для плоского математического маятника
с учетом силы реакции.
x  l cos  ; y  l sin  ;
mx  m(l cos   l 2 sin  )   F sin  ;
(2.5)
my  m(l sin   l cos  )  F cos   mg; (2.6)
Умножив (2.5) на -sinφ, а (2.6) на cosφ, и сложив почленно, получим силу
реакции в задаче о плоском математическом маятнике F  mg cos   ml 2 .
Другими словами, часть силы реакции компенсирует составляющую силы
тяжести, направленную вдоль стержня маятника, а другая часть создает
центростремительную силу, обеспечивающую вращение маятника.
2
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
10
Задача 8. В этой задаче соотношение между декартовыми
координатами x2 + y2 = R2 определяет голономную, стационарную, идеальную
связь с силой реакции F, направленной к центру окружности. Выражения
декартовых координат x, y и проекций силы реакции Fx, Fy через R, φ, F имеют
вид
x = Rsinφ; y = -Rcosφ;
Fx = -Fsinφ; Fy = Fcosφ.
Второй закон Ньютона в декартовых координатах для кулонова заряда с учетом
силы реакции имеет вид двух уравнений
ke2 cos( / 2)
mx  Fx 
;
4 R 2 sin 2 ( / 2)
ke2
.
4 R 2 sin(  / 2)
Подставим в них вторые производные декартовых координат x, y и компоненты
силы реакции Fx, Fy.
x  R cos  ; y  R sin  ;
mx  m( R cos   R 2 sin  ) 
(2.7)
ke2 cos( / 2)
  F sin  
;
2
2
4 R sin ( / 2)
my  m( R sin   R 2 cos  ) 
(2.8)
ke2
 F cos  
.
4 R 2 sin(  / 2)
Умножим уравнение (2.7) на -sinφ, а уравнение (2.8) на cosφ. Сложив эти
уравнения почленно, получим силу реакции
ke2
F  mR 2 
.
4 R 2 sin(  / 2)
Часть силы F обеспечивает центростремительную силу вращения заряда, а
другая часть компенсирует составляющую кулоновской силы отталкивания,
направленную вдоль радиуса от центра.
my  Fy  .
1.
2.
3.
Выводы и комментарии
Связи – жесткие ограничения на состояние механической системы.
Математически связи выражаются в независимых соотношениях между
координатами и (возможно, неинтегрируемых) соотношениях между
скоростями. В частном случае голономных (интегрируемых) связей
остаются лишь зависимости между координатами. Физически связи
обеспечиваются телами, воздействием на которые со стороны изучаемой
частицы пренебрегается.
Идеальные связи предполагают отсутствие трения. В этом случае сила
реакции направлена перпендикулярно возможным перемещениям частицы.
Стационарные связи не зависят явно от времени. В нестационарных связях
соотношения между координатами включают также и время.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
11
4.
1.
2.
3.
4.
5.
Силы реакции со стороны связей на частицу зависят от состояния
движения частицы (положения, скорости). Их выражения могут быть
получены из уравнений движения частицы путем перехода к независимым
координатам.
Вопросы для самоконтроля
Дайте определение и классификацию связей. Является ли пружинка из
задачи 6 связью?
Опишите связи в задачах 4, 5, 7, 8.
Что такое силы реакции? Как направлена сила реакции в случае идеальной
связи?
Обобщив опыт решения задач 4, 5, 7, 8, опишите, как определяются силы
реакции в случае идеальной связи.
Какой физический смысл сил реакций в задачах 4, 5, 7, 8?
3. Уравнения движения
Уравнения движения есть формально-математическая запись второго закона
Ньютона.
Задача 1. Уравнение движения свободной частицы имеет вид
(3.1)
mx  0
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, где
неизвестной является координата как функция времени. Другой,
эквивалентной формой уравнений движения может быть система
дифференциальных уравнений первого порядка, неизвестными в которых
являются координата и импульс, как функции времени. Для свободной частицы
это x  p / m; p  0 (3.1’).
Задача 2. Если диссипативная сила линейно зависит от скорости, то уравнение
движения частицы в среде имеет вид
mx   x
(3.2)
Или, в форме двух уравнений первого порядка x  p / m; p   p / m .
Здесь α - положительный коэффициент трения.
Задача 3. Уравнение движения частицы в однородном поле тяжести
mi z  m g g
(3.3)
Опыт показывает, что массы инерции mi и гравитации mg совпадают и являются
проявлением одного и того же свойства частицы m = mi = mg. Это утверждение
является, в частности, исходным постулатом так называемой общей теории
относительности – теории гравитационного поля.
В форме уравнений первого порядка z  p / m; p  mg .
Задача 4. Уравнение движения частицы, свободно вращающейся по
окружности, следует из соотношений (2.1), (2.2) предыдущего раздела.
Умножив (2.1) на cosφ, а (2.2) на sinφ, и сложив их почленно, получим
(3.4)
mR 2  0
Или, для угла φ и момента импульса pφ это же уравнение имеет вид двух
уравнений первого порядка
  p / mR 2 ; p   0 .
Задача 5. Исключив аналогичным приемом силу реакции F из уравнений (2.3),
(2.4) предыдущего раздела, получим уравнение движения частицы на
вращающемся стержне
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
12
(3.5)
mq  mq 2
Для импульса и координаты уравнения движения первого порядка имеют вид
q  p / m; p  mq 2 .
Центробежная сила, обеспечивающая ускорение частицы на вращающемся
стержне, является силой инерции. Ее появление связано именно с тем, что
наблюдатель проводит измерение координаты q во вращающейся,
неинерциальной системе отсчета стержня. В инерциальной системе отсчета
сил инерции нет. Подумайте, какая сила ускоряет частицу на вращающемся
стержне с точки зрения наблюдателя из инерциальной системы отсчета?
Задача 6. Уравнение движения частицы на пружинке определяется
возвращающей силой упругости, линейной по деформации пружинки
(3.6)
mx  kx
Уравнения движения в форме уравнений первого порядка
x  p / m; p  kx .
Задача 7. Уравнение движения плоского математического маятника следует из
уравнений (2.5), (2.6) предыдущего раздела. Исключив из них силу реакции F,
получим
ml 2  mgl sin  (3.7)
Эквивалентные уравнения для угла и момента импульса имеют вид
  p / ml 2 ; p   mgl sin  .
Угловое ускорение маятника обеспечено моментом силы тяжести.
Задача 8. Уравнение движения кулонова заряда по окружности также получим
из уравнений (2.7), (2.8), исключив из них силу реакции
e 2 cos( / 2)
mR 2  k
(3.8)
4 R sin 2 ( / 2)
Уравнения первого порядка
p
e 2 cos( / 2)

 
;
p

k
.

mR 2
4 R sin 2 ( / 2)
Угловое ускорение заряда на окружности определяется моментом кулоновской
отталкивающей силы.
Задача 9. Уравнение движения частицы в гармонически меняющемся со
временем внешнем поле имеет вид
mx  f 0 cos  t
(3.9)
То же, но в форме уравнений первого порядка
x  p / m; p  f 0 cos  t .
1.
2.
Выводы и обобщения
Каждая механическая система имеет свои уравнения движения. Можно
сказать, что механическая система определена своими уравнениями
движения.
Общим во всех рассмотренных задачах является форма уравнений
движения для независимой координаты. Все уравнения движения систем с
одной степенью свободы имеют вид
q  f (q, q , t )
(3.10)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
13
3.
Различные функции f, выражающие конкретную зависимость (или ее
отсутствие) от координаты, скорости и времени, определяют
механическую систему.
Уравнения (3.10) имеют ковариантную форму. Это означает, что любые
преобразования координаты q, называемой обобщенной, не меняют форму
записи уравнения движения (3.10).
Возьмем, к примеру, новую координату Q, связанную с прежней
координатой соотношением общего вида
q = q(Q, t)
(3.11).
Тогда
q   2 q  2
 2q   2q
q  q
и q 
Q
Q

2
Q 2 .
Q
Q
Qt
Q
t
Q 2
t
Подставив эти соотношения в (3.10) и оставив в левой части только новое
ускорение, получим
q 
2
2
2
  [ f (q(Q, t ), q (Q, Q , t ), t )   q Q 2  2  q Q   q ] / q  F (Q, Q , t ) .
Q
Qt
Q 2
t 2 Q
То есть новое уравнение имеет тот же вид, что и прежнее (3.10).
Уравнение движения (3.10) ковариантно даже относительно более общего
преобразования, затрагивающего не только координату, как в (3.11), но и
время. Попытайтесь в качестве упражнения доказать, что (3.10)
ковариантно относительно преобразований вида
t = t(Q,T); q = q(Q,T) (3.11’)
где T – новое время.
Новая функция F (Q, Q , t ) , образующая правую часть уравнения, в общем
случае, конечно, отличается от прежней функции f (q, q , t ) . Если при
каких-либо преобразованиях типа (3.11) наблюдается совпадение функций
f и F, то говорят об инвариантности уравнений движения.
С каждым выбором координат и времени связан выбор инструментов
измерения физических параметров. Обычно, такой выбор называют
системой отсчета. Возможность описывать движение механической
системы, выбирая для этого различные системы отсчета, позволяет путем
подходящего выбора системы отсчета упростить запись и решение
уравнений движения.
4. Уравнение движения (3.10) можно записать и в форме двух уравнений
первого порядка
q  f q (q, p, t ); p  f p (q, p, t ) (3.12)
Записанные в форме (3.12) уравнения движения обладают более широким
классом ковариантных преобразований, чем (3.11) или (3.11’). Здесь
можно независимо подвергать преобразованию, как координату, так и
импульс
q = q(Q, P, t); p = p(Q,P,t) (3.13)
Покажите самостоятельно ковариантность уравнений движения в форме
(3.12) относительно преобразований (3.13) и преобразований,
включающих изменение времени
q = q(Q, P, T); p = p(Q,P,T); t = t(Q,P,T) (3.13’)
Постулат детерминизма.
Общие формы (3.10) и (3.12) уравнений движения можно считать следствием
утверждения, известного как постулат детерминизма. Состояние данной
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
14
механической системы однозначно определено в любой момент времени, если
задано ее состояние, то есть координата и импульс (или скорость) в
некоторый момент времени.
Действительно, если постулат детерминизма верен, то, имея координату q и
импульс p механической системы в некоторый момент времени t, мы можем
найти значения q + dq, p + dp и в следующий, ближайший момент времени t +
dt. Таким образом, относительные изменения (производные) dq/dt, dp/dt также
являются функциями заданного состояния q, p, t. Мы, тем самым, приходим к
уравнениям (3.12) и, если задана зависимость импульса от скорости, к
уравнениям (3.10).
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы для самоконтроля
В каких формах можно записать уравнения движения одномерных систем?
Запишите уравнения движения задач 1-9 в разных формах.
Что означает ковариантность (иногда говорят «форм-инвариантность»)
уравнений движения и в чем отличие ковариантности от инвариантности?
Что называют преобразованиями систем отсчета?
В чем состоит принцип, или постулат детерминизма? Покажите, что из него
следует указанная форма уравнений движения.
4. Инвариантность
В качестве эпиграфа к этому разделу приведу высказывание из книги П.К.
Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ» (Изд-во «Наука»,
Москва, 1967).
«…на изучаемую геометрическую (смотри, «физическую») картину
накладывается случайный выбор координатной системы, и те
аналитические данные, которые мы получаем, отражают не только
то, что нас интересует (геометрическую картину), но и то, что нас
вовсе не интересует (произвольный выбор координатной системы) и
что без надобности усложняет результаты». И далее «возникает
потребность…научиться отделять геометрически существенно
важное от случайно привнесенного выбором координатной системы».
Инвариантность – это неизменность уравнений движения при изменении
входящих в них координат, импульсов и времени.
Простой и понятной является
масштабная инвариантность
Выбор единиц измерений массы, длины и времени не влияет на уравнения
движения. Измерения, из которых возникают реальные числа, определяют
относительные величины. Например, масса в 1,5 кг означает, что она в полтора
раза больше некоторого эталона, имеющего по общей договоренности массу в 1
кг. Наличие общепризнанного эталона важно для проведения сравнительных
экспериментальных исследований.
В теоретических расчетах эталонами (или, единицами) масштаба могут
служить характерная для исследуемой системы масса, длина и интервал
времени. Рассмотрим с этой точки зрения все задачи нулевого цикла.
Во всех этих задачах имеется одна частица заданной массы. Поэтому
естественной единицей масштаба массы, которую будем обозначать [M],
является значение этой массы [M] = m. Тогда, в масштабе этой характерной
~  m /[ M ]  1 , то есть будет безразмерной
массы безразмерная масса частицы m
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
15
единицей. В задачах, где есть связь или взаимодействие, присутствуют
постоянные, определяющие масштабы длины и/или времени.
Задача 1. У свободной частицы масштабы длины и времени остаются
произвольными.
Задача 2. В этой задаче есть взаимодействие (трение). Коэффициент трения α,
может быть использован для определения характерного для данной задачи
масштаба времени [T]. Пусть эталоном размерности коэффициента α является
сам коэффициент α, т.е. [α] = α. Тогда коэффициент трения в новом масштабе
~   /[ ]  1 . В соответствие с размерностью [α] = [M]/[T] имеем характерное
время [T] = [M]/[α] = m/α.
Физический смысл величины m/α очень прост. Это характерное время
затухания движения частицы в среде – время, за которое начальная скорость
частицы уменьшается в e (основание натуральных логарифмов) раз. Мы
убедимся в этом строго несколько позже, когда найдем решение уравнения
движения. Масштаб длины в этой задаче остается произвольным.
Задача 3. Постоянное ускорение свободного падения g является характерным
ускорением задачи о движении частицы в однородном поле тяжести [g] = g.
Задача 4. В задаче о свободном движении частицы по окружности есть
характерная длина - радиус окружности [D] = R, который естественно выбрать
~
за единицу длины. Тогда безразмерный радиус окружности R  R /[ D]  1 .
Масштаб времени остается произвольным.
Задача 5. Естественным масштабом времени в задаче о частице на
вращающемся стержне является обратная частота вращения стержня [T] = 1/ω.
Единица длины остается произвольной.
Задача 6. В задаче о частице на пружинке характерное время определяется
коэффициентом жесткости пружины. Выбирая масштаб коэффициента
~
жесткости [k ]  k ; k  k /[ k ]  1 , имеем [T ]  [M ] /[ k ]  m / k . Это время равно
обратной частоте колебаний частицы на пружинке. Масштаб длины остался
произвольным.
Задача 7. Характерной длиной в задаче о плоском математическом маятнике
~
является длина маятника [ D]  l ; l  l /[ D]  1 . Характерное время получим,
выбрав масштаб ускорения [ g ]  g ; g~  g /[ g ]  1 . Так как [g] = [D]/[T]2, имеем
[T ]  [ D] /[ g ]  l / g . Это обратная частота малых колебаний маятника около
положения равновесия.
Задача 8. Характерной длиной в задаче о заряде на окружности является радиус
~
окружности [ D]  R; R  R /[ D]  1 . Характерное время получим, выбирая
~
масштаб коэффициента в законе Кулона так, что [ke2 ]  ke2 ; k e~ 2  ke2 /[ ke2 ]  1 .
3
Из формулы [ke2] = [M][D]3/[T]2 имеем [T ]  [ M ][ D]3 /[ ke2 ]  mR
. Это
ke2
заряда около
время оказывается порядка периода малых колебаний
равновесного положения в верхней точке окружности.
Задача 9. Характерное время в задаче о частице в гармонически меняющемся
поле определяется частотой внешней гармонической силы [T] = 1/γ, а
~
характерная длина - амплитудой действующей силы [ f ]  f 0 ; f 0  f 0 /[ f ]  1.
Имеем [f] = [M][D]/[T]2, откуда [D] = [f][T]2/[M] = f0/mγ2. Эта длина определяет
амплитуду колебаний частицы в поле заданной силы.
Вывод.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
16
Использование масштабной инвариантности позволяет значительно упростить
теоретические расчеты. В частности, уравнения движения наших задач (3.1)(3.9) принимают вид уравнений без параметров.
x  0 или x  p; p  0
1.
(4.1)
x   x или x  p; p   p
2.
(4.2)
z  1 или z  p; p  1
3.
(4.3)
  0 или   p ; p   0
4.
(4.4)
5.
(4.5)
q  q или q  p; p  q




6.
(4.6)
x   x или x  p; p   x
7.
(4.7)
   sin  или   p ; p    sin 
8.
9.
cos( / 2)
cos( / 2)
; или   p ; p  
2
4 sin ( / 2)
4 sin 2 ( / 2)
x  cos t или x  p; p  cos t
 
(4.8)
(4.9)
Теперь рассмотрим
инвариантность уравнений движения относительно
преобразований координат и времени,
отличных от масштабных.
t  t0 . В
Сдвиг начала отсчета времени. Это преобразование вида t  ~
уравнениях (4.1)-(4.9) время встречается в производных x  dx / dt; x  d 2 x / dt 2 и
в явном виде (4.9). Производные зависят только от разности времен dt = tEnd tStart. Эта разность не изменяется при сдвиге начала отсчета времени
d~
t ~
tEnd  ~
tStart  t End  t 0  (t Start  t 0 )  t End  t Start  dt .
Поэтому уравнения движения стационарных систем, то есть систем, не
содержащих явно времени, остаются инвариантными при трансляции времени.
Говорят, что время таких систем однородно.
Отметим, что к стационарным системам относятся все консервативные
механические системы, то есть те, у которых сохраняется энергия. Кроме того,
в задаче 2 с силой трения время также однородно, хотя энергия не сохраняется.
Задача о движении частицы в нестационарном поле содержит время явно и ее
уравнения движения не инвариантны относительно сдвига во времени.
Свойство однородности времени отвечает произволу в выборе начала отсчета
времени – нуля на часах.
Сдвиг начала отсчета координаты. Это преобразование имеет вид q  q~  q0 ,
где q - общее обозначение координаты (угол или декартовая координата). В
уравнения (4.1) - (4.9) координата входит как через свои производные по
времени q  dq / dt; q  d 2 q / dt 2 , так и явно. Дифференциал dq, а тем более
второй дифференциал d2q = d(dq) не изменяются при сдвиге начала отсчета
координаты. Поэтому все уравнения задач 1 - 4, 9, не содержащие явной
зависимости от координаты, инвариантны по сдвигу координаты. Говорят
пространство таких систем однородно.
Сдвиг скорости наблюдателя v  v~  v0 . Здесь v0 – постоянная скорость
~
наблюдателя, связанного с подвижной системой отсчета K . Интегрируя по
времени, получим связь между координатами, наблюдаемыми из разных систем
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
17
отсчета q  q~  v0 t . Поэтому все уравнения, не инвариантные относительно
координатного сдвига, так же не инвариантны и относительно сдвига скорости.
Лишь задачи, не содержащие явно ни координаты, ни скорости остаются
инвариантными относительно сдвига скорости. Другими словами, движение
механических систем в задачах 1, 3, 4, 9 одинаково описывается с точки зрения
наблюдателей, движущихся равномерно друг относительно друга. (Если
координата декартова, то движение наблюдателя прямолинейно.)
Отражение времени. Это преобразование вида t  ~
t . При таком
преобразовании мы фактически инвертируем, то есть, обращаем ход часов. Так
как дифференциал времени при отражении меняет знак dt  d~
t , то меняет
знак и скорость. Но ускорение зависит от квадрата дифференциала времени,
поэтому его знак не меняется. Среди наших задач лишь одна – задача 2 о
движении частицы в среде, которая меняет свои уравнения при отражении
времени. Это понятно. Ведь процесс диссипации необратим. Задача 9 хоть и
содержит время явно, но в виде четной функции cos t.
Отражение координаты. Это преобразование вида q  q~ . Инвариантными
относительно отражения координаты являются уравнения задач 1, 2, 4 - 7.
Уравнение задачи 8 инвариантно относительно отражения угла χ = φ + π
(проверьте!). Не инвариантность по отражению координаты уравнений задачи 3
о движении в поле тяжести объясняется выделенным направлением силы
тяжести. В задаче 9 фиксирована начальная фаза действующей силы, которая и
определяет выделенное направление в пространстве.
Инерциальные системы отсчета
Остановимся более подробно на обсуждении инвариантности уравнений
движения свободной частицы.
Формально, уравнения движения свободной частицы инвариантны
относительно произвольных линейных преобразований координат и времени
(проверьте прямой подстановкой). Интересно проанализировать с физической
точки зрения смысл таких преобразований.
К инвариантным преобразованиям уравнений движения свободной частицы
относятся отмеченные выше сдвиги начала отсчета координат и времени
x~
x  x0 ; t  ~
t  t0 .
Такие
линейные
преобразования
называются
неоднородными, так как они описываются неоднородными функциями.
Физический смысл инвариантности относительно сдвигов состоит в произволе
выбора нуля на линейке и нуля на циферблате часов при изучении движения
свободной частицы. Другими словами, в пространстве-времени свободной
частицы нет выделенных событий.
Далее рассмотрим инвариантные преобразования бесконечно малых интервалов
координаты и времени dx и dt. Бесконечная малость интервалов означает, что
они меньше любой, наперед заданной единицы масштаба. В случае свободной
частицы масштабы длины и времени ничем не фиксированы, поэтому являются
ли интервалы конечными, или бесконечно малыми не имеет значения.
Бесконечно малые величины в физике приобретают смысл лишь в том случае,
когда физические условия задачи определяют характерные масштабы. Тогда
есть с чем сравнивать. Это бывает в том случае, если частица не свободна, либо
система отсчета неинерциальная. Например, в задаче 2 о движении в среде есть
характерный масштаб времени m/α, а в задаче 4 о вращении по окружности –
характерная длина, радиус окружности R.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
18
Масштабные
преобразования
интервалов
координат
и
времени
~
~
dx  s x dx ; dt  st d t относятся также к инвариантным преобразованиям. Здесь sx
> 0, st > 0 – произвольные масштабные множители, переводящие один масштаб
измерения в другой. Физический смысл масштабных преобразований также
вполне очевиден. Мы можем произвольно (но равномерно, хотя для бесконечно
малых интервалов это автоматически соблюдается) расставлять риски на
линейке и циферблате часов. Например, если в системе отсчета K (по одним
~
часам) время измеряется в секундах, а в системе K (по другому циферблату) в
часах, то st = 3600.
К инвариантным преобразованиям уравнений движения свободной частицы
относятся отражения осей координат и времени dx  d~
x ; dt  d~
t.
Физический смысл инвариантности уравнений движения свободной частицы
относительно отражения состоит в произволе выбора направления роста чисел
на линейке и на циферблате часов.
Масштабные преобразования и преобразования отражения являются частными
случаями однородных линейных преобразований.
В общем случае уравнения движения свободной частицы инвариантны
относительно произвольных однородных линейных преобразований интервалов
~
координат и времени, связывающих системы отсчета K и K
dx  ad~
x  bd~
t ; dt  ed~
x  gd~
t (4.10).
Математически это так, ведь преобразование (4.10) оставляет скорость
постоянной (проверьте).
Однако среди однородных преобразований координат и времени (4.10),
оставляющих инвариантными уравнения движения свободной частицы в
классической механике, физический смысл имеют только преобразования с
коэффициентом e = 0, т.е.
dx  d~
x  V x d~
t ; dt  d~
t . (4.11)
Это преобразования Галилея. Здесь мы положили a = g = 1, считая, что ни ось
времени, ни пространственная ось не отражаются и масштабы измерения
времени и длины в обеих системах отсчета совпадают.
Дело в том, что только при условии преобразований (4.11) интервалы длины,
времени и понятие одновременности не зависят от системы отсчета, что
естественно для классических представлений.
В целом, произвольные однородные преобразования (4.10) c e = 0, включающие
в себя масштабные преобразования и отражения осей, а также неоднородные
преобразования (пространственные и временные сдвиги) входят в состав так
называемой группы Галилея.
Все системы отсчета, относительно которых свободная частица движется
равномерно и прямолинейно, т.е. ее уравнения движения инвариантны,
называются инерциальными системами отсчета. Все инерциальные системы
отсчета в классической механике связаны между собой преобразованиями
группы Галилея.
Правило сложения скоростей
Преобразование Галилея (4.11) показывает, что при изменении системы отсчета
наблюдателя скорости складываются как вектора. В общем случае
складываются векторные отрезки пути, пройденные самой частицей d~
r
~
относительно наблюдателя из системы K , и наблюдателем dR относительно
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
19
некоторого другого, неподвижного наблюдателя из системы K. В результате
получается отрезок dr  d~
r  dR , пройденный частицей относительно
неподвижного наблюдателя K. Вектор dR записывается через скорость
подвижного наблюдателя dR = Vdt в системе K. Потом найденная сумма
делится на общий абсолютный интервал времени dt. Так получается закон
сложения скоростей.
«Отныне
пространство
и
время,
рассматриваемые отдельно и независимо,
обращаются в тени, и только их
соединение сохраняет самостоятельность»
Герман Минковский (из лекции 1908 г)
Принцип относительности Эйнштейна
Опыт показывает, что в природе существует процесс, скорость которого
является абсолютной, не зависящей от наблюдателя. Этот процесс не сводится к
перемещению каких-либо механических объектов в пространстве. Он
определяет распространение возмущения силового поля между частицами.
Такое поле является особым видом материи, не сводящимся к совокупности
механических частиц.
Принцип относительности Эйнштейна требует, чтобы при изменении
инерциальной системы отсчета наблюдателя не изменялась скорость
распространения взаимодействия c. В классической модели такое требование не
возникло, хотя оно являлось бы вполне естественным. Кажется естественным,
что физика взаимодействия не должна зависеть от выбора системы отсчета, так
как взаимодействие является частью замкнутой системы. Но в классической
модели скорость распространения взаимодействия считалась бесконечной. Не
было оснований считать ее другой. Опыт показал, что это не так.
Геометрия пространства-времени
Опыт показывает, что, как и в пространстве смещений свободной
классической частицы, в пространстве-времени релятивистской частицы
существует определенная геометрия. То есть, в нем можно определить
скалярное произведение векторов, метрику, длину вектора, ввести
ортонормированный
базис.
Геометрии
пространства-времени,
или
пространства событий, как и в евклидовом случае пространства смещений,
отвечает метрическая матрица. С помощью метрики определяется «длина»
вектора смещения в пространстве-времени, которая называется интервалом ds
между событиями. В ортонормированном базисе квадрат интервала
пространства событий имеет вид ds2 = c2dt2 – dx2, либо ds2 = dx2 – c2dt2. Важное
отличие геометрии пространства-времени от евклидовой в том, что квадрат
«длины» вектора смещения в пространстве событий может быть как
положительным, так и отрицательным.
В системе отсчета, где частица покоится, т.е. пространственная проекция
t  cd . Следовательно, интервал
смещения равна нулю d~
x  0 , имеем ds  cd~
пространства-времени с точностью до масштабного коэффициента
(скорости света c) совпадает с собственным интервалом времени dτ –
интервалом времени, измеряемым по часам собственной системы отсчета
частицы. По-другому, в той системе отсчета, где два события происходят
~
одновременно d t  0 , интервал ds совпадает с пространственным интервалом
d~
x между этими событиями.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
20
Пространство-время, построенное таким образом, называют пространством
Минковского.
Преобразования Лоренца
Ортогональные преобразования в пространстве-времени с метрикой
Минковского обобщают преобразования Галилея (4.11) классической частицы
на релятивистскую механику. Условием ортогональности в евклидовой
геометрии, как мы помним, является инвариантность формулы длины. В
релятивистской теории, или в геометрии Минковского, условием
ортогональности является неизменность формулы интервала
dx 2  dt 2  d~
x 2  d~
t 2.
(Для простоты считаем, что масштаб скорости выбран так, что c = 1.)
Этому условию удовлетворяют преобразования гиперболических поворотов
dx  chd~
x  shd~
t ; dt  shd~
x  chd~
t (4.12)
в пространстве событий (проверьте непосредственной подстановкой).
Соотношения (4.17) называются преобразованиями Лоренца.
Преобразования Лоренца сохраняют разность квадратов преобразующихся
величин. Сравните их с обычными тригонометрическими поворотами,
сохраняющими сумму квадратов. Покажите, что замены y = -it, ψ = iφ (i = √-1 –
мнимая единица) в выражении для интервала и преобразовании Лоренца
приведут матрицу преобразования Лоренца к виду матрицы поворотов.
Представление с мнимым временем часто используется в релятивистской
теории (см., например, книги Дж. Лич «Классическая механика» или Г.
Голдстейн «Классическая механика»). В представлении с мнимым временем
метрическая матрица пространства Минковского является евклидовой
(единичной в ортонормированной системе), но временная компонента вектора
смещения - мнимой. В представлении с обычными, вещественными
компонентами вектора смещения в пространстве-времени метрическая матрица
также диагональная в ортонормированной системе. Но ее диагональные
компоненты у пространственных измерений и временного измерения имеют
разные знаки. Такое представление чаще используется у русскоязычных авторов
(см., например, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Теория поля»).
Определим физический смысл параметра ψ в преобразовании Лоренца (4.12).
Для этого посчитаем преобразование скорости частицы
dx chd~
x  shd ~
t
v~  th
v


(4.13).
~
dt shd~
x  chd t
v~th  1
~
(Мы разделили на chd t числитель и знаменатель дроби).
~
Предположим, что в системе K частица покоится, то есть v~  0 . Тогда в
системе K v = thψ. Следовательно, преобразование (4.13) является
преобразованием скорости частицы при преобразовании системы отсчета, в
~
котором система K движется относительно K со скоростью V = Vx = thψ.
Обратите внимание на значения коэффициентов a, b, e, g общего линейного
преобразования (4.10), рассмотренного выше, в случае преобразования Лоренца.
Коэффициенты a и g связывают масштабы длин и времен в разных системах
отсчета. В случае преобразования Лоренца они равны chψ, то есть, отличны от
единицы для движущихся друг относительно друг наблюдателей (!).
Так как |thψ| < 1, то относительная скорость систем отсчета удовлетворяет тому
же условию (не будем забывать, что за единицу скорости мы приняли значение
c). Следовательно, рассмотренные нами
преобразования являются
преобразованиями систем отсчета, движущихся друг относительно друга со
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
21
скоростью, не превышающей абсолютную скорость c. Такое ограничение
естественно соблюдается в классической относительности. Ведь там скорость
взаимодействия бесконечна.
В качестве упражнения подставьте в преобразования Лоренца (4.12) выражение
угла ψ через скорость системы отсчета V. Покажите, что при c → ∞, т.е. при
|thψ| << 1, соотношение (4.13) превращается в классическое правило сложения
скоростей, а преобразование Лоренца (4.12) - в преобразование Галилея (4.11).
Преобразования Лоренца (4.12) определяют, как при изменении системы
отсчета
меняются
проекции
пространственно-временного
интервала,
проходимого свободной частицей, на оси пространства и времени. Ситуация
здесь похожа на преобразование поворота в обычном пространстве. Один и тот
же вектор смещения имеет разные проекции на одну и ту же координатную ось
в разных, повернутых друг относительно друга системах координат. В
пространстве-времени интервалы отдельно пространства и времени,
отделяющими два события, являются такими же проекциями пространственновременного вектора смещения, как это имеет место в обычном пространстве.
Поэтому они относительны. При этом пространственно-временная «длина»
(интервал ds) абсолютна!
Посмотрим, как меняются проекции интервала на пространственную и
временную оси при преобразовании Лоренца.
Из 1-ого соотношения (4.17) dx  chd~
x  shd~
t следует, что для
~
одновременных с точки зрения наблюдателя K событий
различие в
«расстояниях» (проекциях на пространственную ось) имеет вид
d~
x
d~
x
dx  chd~
x

1  th 2
1V 2
Это так называемое лоренцево сокращение длины d~
x  1  V 2 dx  dx .
Из второго соотношения (4.17) dt  shd~
x  chd~
t для пространственно
~
совпадающих событий в системе K получаем аналогичное соотношение для
интервалов времени (проекций интервала на временную ось)
d~
t
d~
t
dt  chd~
t 

.
1  th 2
1V 2
Это означает видимое сокращение интервала времени для наблюдателя,
связанного с движущейся частицей.
Таким образом, для частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости
света, интервал времени укорачивается. Множитель, играющий здесь основную
роль ch    1 / 1  V 2 , называется γ - фактором. Так, если γ = 1010, то за
один год движущейся системы отсчета проходит 10 млрд. лет в покоящейся
системе отсчета. При таком γ - факторе скорость движения V отличается от
единицы
(скорости
света)
лишь
в
20-ом
знаке
V  1  1 /  2  1  10 20  1  0,5  10 20 .
Импульс релятивистской частицы равен p = mvγ, а энергия в масштабе с = 1
равна E2 = p2 + m2, то есть E = mγ.
Неинерциальные системы отсчета и силы инерции
Что произойдет, если совершить какие-либо иные преобразования координат,
не входящие в число инвариантных для свободной частицы? Например,
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
22
выберем новую координату ~
x так, чтобы ее связь с прежней координатой x
~
была нелинейной x  f (x ) .
Замечание
~ ) не может быть совершенно произвольной. Ее производная f (x~ )
Заметим, что функция f (x
нигде не должна обращаться в ноль. Иначе в таких точках преобразование не будет обратимым,
а, следовательно, взаимно однозначным. Если эта производная отрицательная, то мы
~ ) везде положительной.
производим отражение оси x. Для простоты будем считать f (x
Преобразование
x  f (x~ )
изменит уравнение движения. Действительно,
x )~
x . Отсюда следует, что, хотя в
прежняя скорость принимает вид x  f ( ~
инерциальной системе для свободной частицы x  const , в новых координатах
const
это уже не так ~
- скорость зависит от положения!
x 
f ( ~
x)
~
Физический смысл проведенного преобразования прост. В системе отсчета K
риски на линейке размещены с переменной плотностью. Где-то риски
dx
расположены реже d~
x 
 dx , а где-то плотнее (обратное неравенство).
f ( ~
x)
Там, где риски на линейке расположены более плотно, измеряемая с ее
помощью скорость больше, а там, где риски расположены реже, наблюдаемая
скорость меньше.
В качестве упражнения получите уравнение движения свободной частицы в
f ( ~
x ) ~ 2
новой координате ~
x  
x .
~
f ( x )
Теперь рассмотрим преобразование координаты, в котором имеется нелинейная
x  wt 2 / 2 .
зависимость от времени (для простоты – квадратичная) x  ~
~
x  x  w   w . Другими словами, в
x  x  wt  const  wt; ~
Получаем,
~
равномерно ускоренной системе отсчета K частица движется с постоянным
ускорением w в направлении, обратном движению самой системы отсчета.
~
Система отсчета K , связанная с инерциальной системой отсчета
преобразованием координат с нелинейной зависимостью от времени,
называется неинерциальной системой отсчета. С точки зрения неинерциальной
системы отсчета на свободную частицу действуют силы, вызывающие
ускорение частицы. Это так называемые силы инерции.
Силы инерции не определяются каким-либо реальным воздействием на частицу,
но возникают в уравнениях движения лишь для компенсации преобразования
координат в ускоренно движущуюся систему отсчета. Можно сказать, что
свободная
частица
должна
двигаться
ускоренно
относительно
неинерциальной системы отсчета, чтобы двигаться равномерно
относительно инерциальной.
Вы можете возразить, что, находясь в ускоряющемся или тормозящем автобусе,
вы испытываете действие реальной силы! Спросите себя, испытывает ли какиелибо силы человек, стоящий на тротуаре, и тем самым ускоренно движущийся
относительно пассажира, находящегося в автобусе, когда автобус тормозит или
трогается? Спросите себя так же, будете ли вы испытывать какие-либо силы,
если у автобуса абсолютно гладкий пол, и вы ни опираетесь, ни держитесь за
поручень, то есть фактически не пытаетесь набрать скорость вместе с
автобусом или затормозить вместе с ним? Таким образом, силы, которые вы
испытываете – реальные силы, разгоняющие либо тормозящие вас вместе с
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
23
автобусом. Это либо силы реакции со стороны спинки сидения, либо силы
трения между полом автобуса и вашими подошвами. Вы хотите уехать, либо
остановиться, то есть изменить свою скорость в инерциальной системе отсчета
улицы, и должны приложить к своему телу суммарную силу нужной величины
и направления.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Вопросы для самоконтроля
Что означает масштабная инвариантность, инвариантность относительно
сдвигов и отражений в пространстве и времени?
Какими свойствами инвариантности обладают уравнения движения в
задачах 1 – 9?
Объясните выбор масштабов в рассмотренных задачах и запишите их
уравнения движения после масштабирования.
Что называют системой отсчета? Поясните физический смысл сдвигов,
преобразований масштабов и отражений в пространстве и времени.
Поясните
физический
смысл
коэффициентов,
определяющих
инвариантные однородные преобразования координат и времени
свободной частицы.
Что называется преобразованием Галилея?
Что называют инерциальными системами отсчета?
В чем состоит классическое правило сложения скоростей?
Поясните смысл абсолютности времени и относительности пространства
в классической модели.
Сформулируйте релятивистский принцип относительности.
Что такое интервал в пространстве-времени? Поясните его физический
смысл.
Напишите преобразования Лоренца и поясните их физический и
математический смысл.
Каков смысл изменений интервалов длины и времени, следующих из
преобразований Лоренца? Что называется γ-фактором?
Как изменяется уравнение движения свободной частицы при нелинейном
преобразовании координаты? В чем физический смысл этого
преобразования?
Что называется неинерциальной системой отсчета, и как изменяется
уравнение движения свободной частицы при переходе в равномерно
ускоренную систему отсчета?
Каков физический смысл сил инерции?
5. Закон движения
Закон движения есть решение уравнений движения. Это зависимость координат
и импульсов от времени.
Математически, задача о решении уравнений движения представляет собой так
называемую задачу Коши, то есть задачу с начальными условиями. Решение
задачи Коши можно организовать численно с помощью интерполяционных
формул.
Рассмотрим общий случай уравнений (3.10), или, эквивалентных им, (3.12).
Запишем бесконечно малые смещения неизвестных функций и независимой
переменной в виде конечных разностей
dq = qEnd – qStart; dp = pEnd – pStart; dt = tEnd – tStart.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
24
Из (3.12) сразу можно записать, что конечное состояние qEnd, pEnd, tEnd,
достаточно близкое к начальному состоянию, определяется приближенным
соотношением
qEnd = qStart + dq; dq = fq(qStart, pStart, tStart)(tEnd – tStart);
pEnd = pStart + dp; dp = fp(qStart, pStart, tStart)(tEnd – tStart).
Последовательное применение этого метода позволяет получить решение.
Выбранный здесь способ записи dq и dp хоть вполне очевиден и очень прост (он
называется методом Эйлера), не является самым эффективным. Существуют
более эффективные методы, при которых неизвестные функции
аппроксимируются многочленами более высокого порядка, чем первый, как в
методе Эйлера. Но суть дела та же.
Численный подход оправдан тогда, когда нет возможности получить
аналитическое решение (то есть, практически, всегда!). Наши примеры
являются счастливым исключением, и мы этим воспользуемся.
Задача 1
Закон движения
Записанные выше формулы метода Эйлера дают решение задачи о свободном
движении частицы, где fq = p/m, fp = 0 (см. (3.1’)), в виде
qEnd = qStart + (pStart/m) (tEnd – tStart);
pEnd = pStart .
Это решение является верным для любого конечного интервала времени tEnd –
tStart. Ведь у свободной частицы нет выделенных масштабов, поэтому любой
интервал времени может считаться бесконечно малым.
В более привычных обозначениях закон движения свободной частицы на
прямой x имеет вид
x = v0 (t - t0) + x0; p = m v = m v0 = p0. (5.1)
Здесь t – произвольный конечный момент времени, t0 – начальный момент, x0, v0
и p0 – начальная координата, скорость и импульс соответственно.
Свободная частица движется равномерно и прямолинейно. Если v0 = 0, то
частица находится в состоянии равновесия x = x0; p = 0. В состоянии равновесия
частица находится неопределенное время.
Начальные условия
Начальные
условия
движения
определяют
значения
постоянных
интегрирования в законе движения. Каждый набор начальных условий
определяет так называемое частное решение уравнений движения.
Может смутить обилие постоянных интегрирования в (5.1). Ведь в общем
решении уравнения второго порядка должно быть только две независимых
постоянных. Дело в том, что постоянные v0, t0 и x0 входят в решение (5.1) лишь
x0  x0  v0 t 0 - координата в момент t = 0. Поэтому число
в сочетании ~
независимых постоянных в решении (5.1) на самом деле равно двум. Например,
x 0 в момент t = 0 и скорость v0 (или импульс p0 = mv0).
координата ~
Использование инвариантности
Выбирая за единицу массы массу частицы [ M ]  m , как в уравнениях движения
(4.1), имеем:
x = v0 (t - t0) + x0; p = v = v0 = p0.
(5.1’)
Запишите в качестве упражнения закон движения (5.1), используя полную
энергию частицы E как одну из постоянных. Масштабируйте это решение,
выбрав масштаб энергии [E] = 2E.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
25
Инвариантность уравнений движения (3.1) свободной частицы относительно
сдвига во времени (однородность времени) приводит к появлению в законе
движения (5.1) аддитивной постоянной t0. Аналогичная инвариантность
уравнений относительно сдвига координаты (однородность пространства)
приводит к аддитивной постоянной x0. Наконец, инвариантность уравнений
движения свободной частицы относительно сдвига скорости/импульса связана с
наличием в законе движения аддитивной постоянной величины v0. Ни одна из
этих аддитивных постоянных качественно не влияет на характер движения
свободной частицы. Все их можно сделать равными нулю. Для этого надо
перейти в ту инерциальную систему отсчета, где частица покоится в начале
координат. Совершаем сдвиг начала координат x  ~
x  x0 и преобразование
~
~
~
Галилея dx  d~
x  v d t ; dt  d t . Тогда в системе отсчета K имеем закон
0
движения свободной частицы (5.1’) в виде
~
x  0; ~
p  0 . (5.1’’)
Другими словами, с точностью до преобразований группы Галилея свободная
частица находится в состоянии безразличного равновесия.
Задача 2
Закон движения
Уравнения движения частицы в вязкой среде с линейной вязкостью являются

линейными, однородными уравнениями mx  x , или x  p / m; p   p .
m
Решение линейных однородных уравнений всегда следует искать в виде
линейной комбинации экспоненциальных функций. Это именно те функции,
которые при дифференцировании лишь меняют свой множитель.
Подставляя в уравнение второго порядка функцию вида x = Aeκt, мы получим
характеристическое уравнение для пока неопределенного множителя κ: κ2 = ακ/m. Это уравнение имеет два решения κ = 0 и κ = -α/m.
Общее решение линейных уравнений является линейной комбинацией всех
частных решений

 ( t t 0 )


( t t 0 )
x  ( x 0  x  )e m
 x ; p  p0 e m
(5.2)
Закон движения частицы в вязкой среде состоит в экспоненциальном затухании
импульса и экспоненциальном стремлении координаты частицы к предельному,
постоянному значению x∞. При p0 = 0 имеем состояние равновесия x = x0; p = 0.
Начальные условия
В правой части (5.2) находится четыре произвольных постоянных величины.
Это t0 – начальный момент времени, координата x0 и импульс p0 в этот момент t
= t0 и предельная координата x∞ в конечный момент времени t = ∞. Между ними
имеется связь x∞ - x0 = p0/α, а постоянные p0 и t0 встречаются лишь в одном

t0
~
p0  p0 e m
сочетании
- импульс в момент времени t = 0 (покажите
p 0 и x∞ образуют пару независимых постоянных
самостоятельно). Постоянные ~
закона движения частицы в среде. В частности, понятным с физической точки
зрения является также запись закона движения с использованием в качестве
постоянных начальной энергии E 0  p 02 / 2m , начального момента времени t0 и
начального положения x(t0) = x0. В этом случае соотношение (5.2) принимает
вид (покажите самостоятельно)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
26
x


 t  t 0  
 t  t 0 
2mE0 
1  e m
  x0 ; p   2mE0 e m
.

 

Использование инвариантности
Если выбрать определенным образом масштабы массы [M] = m и времени [T] =
[M]/[α] = m/α, как это было в уравнениях движения (4.2) x   x , то закон
движения частицы в вязкой среде примет вид:
x  ( x0  x )e  (t t0 )  x ; p  p0 e  (t t0 ) (5.2’)
Здесь x∞ - x0 = p0, а время и масса безразмерные.
Другая запись закона движения в том же масштабе:
x   2 E 0 1  e  t  t 0   x 0 ; p   2 E 0 e  t  t 0  .
Если полная энергия не равна нулю, то можно, используя оставшийся произвол
в выборе масштаба длины, выбрать масштаб энергии так, чтобы ее единицей
было значение [E] = 2E0. Обезразмеренная таким образом начальная энергия
E
1
~
будет равна E 0  0  , и закон движения примет совсем простой вид:
[E] 2
x   1  e  t t0    x0 ; p  e  t t0  . (5.2’’)


Масштаб длины, при этом, будет равен [ D]  [T ]
2mE0
[E]
. Какой

[M ]

физический смысл имеет эта величина?
Можно перейти в другую систему отсчета, используя свойства инвариантности
задачи относительно сдвигов в пространстве и времени и отражения в
x  x0 ; t  ~
t  t 0 . Тогда закон движения (5.2’’) примет форму
пространстве x   ~
~
~
~
x  1  et ; ~
p  e  t . (5.2’’’)
Или, выбрать ноль координаты в точке остановки. Тогда (подумайте над этим)
получим совсем простой вид закона движения при ненулевой энергии
~
~
~
x  e  t ; ~
p  e t .
Задача 3
Закон движения
Уравнения движения частицы в однородном поле тяжести mz  mg , или
z  p / m; p  mg интегрируются непосредственно. Например, дважды берется
интеграл по времени от обеих частей уравнения второго порядка
z = -g(t – t0)2/2 + v0(t – t0) + z0; p = -mg(t – t0) + p0 (5.3)
Импульс частицы в однородном поле меняется линейно со временем, а
координата – квадратично. Состояния равновесия в однородном поле нет.
Движение
неограниченно
со
стороны
отрицательных
координат.
Математически, частица может двигаться до бесконечности в сторону действия
поля тяжести. Такое движение называется инфинитным. В верхней точке p = 0,
а координата (покажите самостоятельно) zmax = p02/(2m2g) + z0. Это точка
остановки.
Начальные условия
Постоянные t0 – начальный момент времени и координата z0 и импульс (или
скорость) p0 = mv0 в этот момент задаются начальными условиями движения.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
27
Двумя независимыми комбинациями этих трех постоянных являются импульс
~
z 0   gt 02 / 2  v0 t 0  z 0 в момент t = 0 .
p0  p0  mgt0 и координата ~
Как выглядит закон движения, если в качестве постоянных выбрать полную
энергию и момент времени в точке остановки?
Использование инвариантности
Если зафиксировать масштаб массы [M] = m и масштаб ускорения [g] = g как в
уравнениях (4.3), то закон движения (5.3) примет вид
z = -(t – t0)2/2 + v0(t – t0) + z0; p = -(t – t0) + p0 (5.3’)
Упростите запись закона движения (5.3’), используя инвариантность уравнений
движения (4.3) относительно преобразований координаты, скорости и времени.
В какую систему отсчета надо перейти? Ответ:
~
z  ~
t 2 / 2; ~
p  ~
t . (5.3’’)
Примечание. Есть еще один взгляд на закон движения в однородном поле.
Можно перейти в равномерно ускоренную систему отсчета, движущуюся
против оси z с ускорением g. Это то же, что сесть в кабину падающего лифта.
Имеем z  ~
z  gt 2 / 2 , и уравнение движения принимает вид ~
z  0 . Это
означает, что влияние однородного поля тяжести можно исключить, перейдя в
равноускоренную прямолинейно движущуюся систему отсчета. В этой системе
отсчета частица будет двигаться как свободная частица в инерциальной системе
отсчета – с постоянной скоростью. Конечно, такой эффект оказался возможным
только потому, что инерционная и гравитационная масса частицы совпадают.
Это результат опыта. Получается, что частица в однородном поле тяжести на
самом деле является свободной частицей, если наблюдать за ней из
соответствующей системы отсчета (падающего лифта). Другими словами, при
наличии гравитационного поля система отсчета, связанная с падающим лифтом,
является инерциальной системой отсчета. Неподвижный наблюдатель (наша
исходная система отсчета, в которой mz  mg ) движется вверх по отношению
к падающему лифту с ускорением -g. Поэтому такой наблюдатель находится в
неинерциальной системе отсчета, а сила тяжести проявляет себя как сила
инерции, равная –m(-g) = mg, откуда и следует уравнение mz  mgz  mg .
Надо, правда, иметь в виду, что представление реального гравитационного поля
однородным, с постоянной напряженностью g является приближением, годном
лишь в ограниченной области пространства. Поэтому такое «устранение»
реального гравитационного поля путем выбора подходящей системы отсчета
(падающего лифта) имеет лишь локальный смысл. В другой области
пространства (например, вдали от поверхности Земли) значение g другое, и
компенсация гравитационного поля потребует выбора другой, опять же
локальной, системы отсчета, движущейся с другим ускорением. В этом смысле
нельзя выбрать единую систему отсчета, относительно которой движение
частицы во всех точках реального гравитационного поля было бы равномерным
и прямолинейным, как это имеет место в «пустом пространстве».
Задача 4
Закон движения
Уравнения движения свободной частицы на окружности столь же просты, как и
уравнения свободной частицы на прямой линии. Поэтому и решение их
выглядит так же
φ = ω0(t – t0) + φ0; pφ = pφ0 = mR2ω0
(5.4)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
28
Свободная частица на окружности равномерно вращается, сохраняя постоянный
момент импульса. Это инфинитное движение, но в замкнутом пространстве.
При pφ0 = 0 частица находится в равновесии φ = φ0; pφ = 0.
Начальные условия
Начальный момент времени t0, фаза φ0 и момент импульса pφ0 в этот момент
определяются начальными условиями. В качестве двух независимых
постоянных можно выбрать момент импульса pφ0 и фазу ~0   0   0 t 0 в
момент t = 0.
Использование инвариантности
В обезразмеренном виде [M] = m, [D] = R закон движения (5.4) принимает вид:
φ = ω0(t – t0) + φ0; pφ = pφ0 = ω0
(5.4’)
Упростите самостоятельно закон движения, используя инвариантность
уравнений движения (4.4) относительно преобразований координаты, скорости
и времени.
Задача 5
Закон движения
Движение свободной частицы по вращающемуся с постоянной скоростью
стержню описывается линейными, однородными уравнениями mq  m 2 q , или
q  p / m; p  m 2 q . Искать решение этой задачи, также как и в случае задачи 2,
можно, подставляя в уравнение движения 2-ого порядка экспоненциальную
функцию q = Aeκt. Это приведет нас к характеристическому уравнению для
множителя κ вида κ2 = ω2. Два решения этого уравнения κ = ±ω определят
общее решение, или закон движения:
q = Aeωt + Be-ωt; p = mω(Aeωt – Be-ωt). (5.5)
Координата и импульс свободной частицы на вращающемся стержне
экспоненциально зависят от времени. Если A ≠ 0, B ≠ 0, то экспоненциально
затухающие изменения координаты и импульса сменяются экспоненциальным
ростом и уходом частицы с экспоненциально растущей скоростью на
бесконечность. При A = 0; B = 0 имеет место равновесие q = 0; p = 0 – частица
стоит на оси вращения.
Использование инвариантности
Выберем масштаб времени [T] = 1/ω и массы [M] = m, переписав закон
движения (5.5) в виде:
q = Aet + Be-t; p = Aet – Be-t. (5.5’)
Начальные условия
Постоянные A, B не имеют простого физического смысла. Выберем другие
постоянные. Полная энергия частицы, вращающейся на стержне E = p2/2 – q2/2 =
-2AB сохраняется. Отвлекаясь временно от рассмотрения случая E = 0, разделим
выражения для координаты и импульса (5.5’) почленно на | AB | .
q  | AB | ( | A | | B |e t  | B | | A |e t );
p  | AB | ( | A | | B |et  | B | | A |et )
Обозначим положительную постоянную
| A | | B |  e t0 . Тогда получим
q  | E | / 2 (e t t0  e (t t0 ) ); p  | E | / 2 (e t t0  e (t t0 ) ) .
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
29
Энергия отрицательна, если постоянные A и B имеют одинаковые знаки, и
положительна, когда их знаки различны. Поэтому при E < 0 закон движения
имеет вид
q    E / 2 (e t t0  e  (t t0 ) )    2 E ch(t  t 0 );
, (5.5’’.1)
p    E / 2 (e t t0  e (t t0 ) )    2 E sh(t  t 0 )
а при E > 0
q   E / 2 (e t t0  e  ( t t0 ) )   2 E sh(t  t 0 );
(5.5’’.2)
p   E / 2 (e t t0  e ( t t0 ) )   2 E ch(t  t 0 )
В случае E = 0 закон движения имеет вид
q  p  0; q  p  q0 e t t0 ; q   p  q0 e  (t t0 ) .
(5.5’’.3)
Теперь постоянные закона движения приобрели естественный физический
смысл.
Мы видим из (5.5’’.1), что при E < 0 есть точка, соответствующая моменту t = t0,
где импульс частицы меняет знак, проходя через ноль. Это точка остановки. В
ней координата равна q min, max    2E . Частица «отражается» от
центробежного барьера и переходит от сближения с осью вращения к удалению.
Далее движение не имеет предела, т.е. является инфинитным.
При положительных энергиях (5.5’’.2) импульс нигде не обращается в ноль.
Частица движется в том, или противоположном направлении вдоль стержня без
остановок. Минимальный импульс p min  2 E наблюдается при t = t0, когда
частица проходит над максимумом центробежного барьера.
Наконец, при E = 0 (5.5’’.3) имеем:
- состояние равновесия q = 0; p = 0,
- инфинитное движение, когда импульс и координата неограниченно
возрастают из состояния с одинаковыми (в нашем масштабе) значениями
координаты и импульса q = p = q0 ≠ 0 при t = t0,
- и, так называемое, лимитационное движение, при котором частица
неограниченно долго приближается к оси вращения, имея в качестве
начального состояния разные по знаку, но одинаковые по модулю импульс и
координату q = -p = q0 ≠ 0 в момент t = t0.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
30
Графики движения частицы при различных начальных условиях (голубые прямые) в проекции
на плоскость qE на фоне центробежного потенциального барьера (желтая кривая) задачи о
движении на вращающемся стержне
Использование инвариантности
Можно использовать оставшийся произвол в выборе масштаба длины [D]. Для
этого, при отличной от нуля энергии, можно выбрать ее масштаб так, чтобы
~
[ E ]  2 | E |; | E || E | /[ E ]  1 / 2 .
Учитывая размерность энергии и ранее выбранные масштабы массы и времени,
получим
[E] = [M][D]2/[T]2 = m[D]2ω2 = 2|E|.
2| E |
Отсюда, масштаб длины [ D] 
(подумайте над физическим смыслом
m 2
этой величины), а закон движения принимает вид
~
q = ±ch(t – t0); p = ±sh(t – t0) при E  1 / 2 (5.5’’’.1)
~
q = ±sh(t – t0); p = ±ch(t – t0) при E  1 / 2 (5.5’’’.2)
При равной нулю энергии, но не равной нулю начальной координате q0 за
эталон длины можно выбрать ее модуль, то есть начальное расстояние частицы
до оси вращения стержня. Тогда [ D] | q0 |; | q~0 || q0 | /[ D]  1 и решение имеет
вид
(5.5’’’.3)
q  p   e t t 0 ; q   p   e  ( t t 0 )
Можно использовать инвариантность относительно отражения координаты и
времени и сдвига времени. Запишите самостоятельно закон движения, выбрав
соответствующую систему отсчета.
Задача 6
Закон движения
Уравнения движения частицы на пружинке (гармонического осциллятора)
mx  kx , или x  p / m; p  kx
также линейны и однородны, как и уравнения предыдущей задачи.
Поэтому решение уравнений будем искать также в виде экспоненциальной
функции x = Aert. Подставив это выражение в уравнение второго порядка,
получим характеристическое уравнение для множителя r вида r2 = -k/m. Это
уравнение имеет два мнимых корня r = ±iω, где   k / m - частота колебаний.
Следовательно, общее решение уравнений можно представить в виде
x = Aeiωt + Be-iωt; p = imω(Aeiωt – Be-iωt).
Начальные условия
Комплексные постоянные A и B зависимы, а именно, комплексно сопряжены A*
= B, так как координата x имеет вещественные значения. Представим
a
постоянную A в экспоненциальной форме A  e it0 . В этом представлении
2
закон движения частицы на пружинке имеет вид
e i (t t0 )  e i (t t0 )
xa
 a cos  (t  t 0 );
2
e i (t t0 )  e i (t t0 )
p  iam
 am sin  (t  t 0 ) (5.6)
2
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
31
Координата и импульс частицы на пружинке меняются по гармоническому
закону в общем случае начальных условий с a ≠ 0. Это так называемые
гармонические колебания. Постоянная a называется амплитудой колебаний, а
функция ω(t – t0) – фазой колебаний. При a = 0 частица находится в равновесии
x = 0; p = 0.
В качестве упражнения запишите закон движения (5.6), используя в качестве
постоянных полную энергию и начальный момент времени.
Графики движения частицы при различных начальных условиях (голубые прямые) в проекции
на плоскость xE на фоне потенциальной ямы (желтая кривая) гармонического осциллятора
Использование инвариантности
Если выбрать масштаб массы [M] = m и времени [T ]  m k  1 /  , как в
уравнениях (4.6), то закон движения (5.6) примет вид:
x = a cos(t – t0); p = -a sin(t – t0)
(5.6’)
Если амплитуда колебаний a не равна нулю, то ее модуль можно принять за
единицу длины [ D] | a |; | a~ || a | /[ D]  1. В этом масштабе закон движения
гармонического осциллятора примет вид
x   cos(t  t 0 ); p   sin( t  t 0 )
(5.6’’)
Упростите закон движения (5.6’’), используя инвариантность относительно
сдвига времени и отражения координат и времени.
Задача 7
Закон движения
Отличие задачи о плоском математическом маятнике от предыдущих задач,
состоит, прежде всего, в том, что уравнения движения нелинейные
p
ml 2  mgl sin  , или   2 ; p   mgl sin  .
ml
Нет смысла пытаться искать их решение в виде экспоненциальных функций.
Более того, аналитическое решение нелинейных уравнений общего вида (3.10),
(3.12), зависящих явно от времени, вообще нельзя найти. Однако в специальных
случаях, когда уравнения не зависят явно от времени, аналитическое решение
существует. Уравнения движения плоского математического маятника как раз
представляют такой специальный случай.
Умножим обе части уравнения второго порядка на угловую скорость  . Так как
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
32
  d ( 2 / 2) / dt , а   sin   d cos  / dt ,
получаем уравнение, эквивалентное исходному уравнению, но в форме
d (ml 2 2 / 2  mgl cos  ) / dt  0 .
Оно тут же интегрируется ml 2 2 / 2  mgl cos   const .
В константе мы узнаем полную энергию (1.7)
E  ml 2 2 / 2  mgl cos  .
Сохранение полной энергии маятника мы отметили в первом разделе. Итак,
сохранение полной энергии есть следствие интегрирования уравнений
движения. Поэтому сохраняющаяся полная энергия часто называется первым
интегралом движения.
Выражение для полной энергии представляет собой дифференциальное
уравнение первого порядка для неизвестной функции φ(t). Имеем, т.о. закон
движения математического маятника
  p / ml 2   2( E  mgl cos  ) / ml 2 ;
t  
ml 2 d
 t0
.
(5.7)
2( E  mgl cos  )
Последнее выражение t = t(φ) есть неявное выражение зависимости координаты
от времени в законе движения математического маятника.
Использование инвариантности
Если выбрать масштаб массы [M] = m, длины [D] = l и времени [T ]  l g как
при записи уравнений (4.7), то закон движения плоского математического
маятника примет вид
  p   2( E  cos  ) ;
.
(5.7’)
d
t  
 t0
2( E  cos  )
Записанная в этих выражениях энергия E фактически является энергией в
единицах фиксированного эталона энергии, то есть безразмерной энергией
~
E  E /[ E ]  E /[ M ][ D] 2 /[T ] 2  E / mgl .
~
(Мы оставили в формуле (5.7’) прежнее обозначение E на месте E лишь для
упрощения записи).
Упростите запись закона движения математического маятника (5.7’), используя
инвариантность по сдвигу времени и отражению координаты и времени.
Начальные условия и характер движения
Проанализируем физический смысл закона движения плоского математического
маятника (5.7’). Как мы видим из (5.7’) характер движения существенно
зависит от безразмерной энергии.
Безразмерная энергия ограничена снизу значением Emin = -1. Из (5.7’) видно,
что при минимальном значении энергии маятник находится в состоянии
равновесия φ = 0; pφ = 0. При значении E = 1 есть еще одно состояние
равновесия φ = π; pφ = 0.
Точки остановки, где угловая скорость, а с ней и момент импульса pφ
обращаются в ноль, расположены, как это видно из (5.7’), в точках, где E = cosφ. Это уравнение имеет корни лишь в интервале энергий –1 < E < 1. При
этом число корней на интервале [-π ; π] равно двум φmax,min = ±arccosE. Они
симметрично расположены относительно вертикальной оси φmax = – φmin. Таким
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
33
образом, в этом интервале энергий движение маятника является финитным. Это
нелинейные колебания.
Период T колебаний маятника легко найти. По определению, период это время,
за которое система проходит через все доступные состояния. Он равен
удвоенному времени движения между точками остановки. За период T маятник
проходит через одно и то же положение дважды, имея при этом моменты
импульса, отличающиеся знаком. Для определения периода используем закон
движения (5.7’), взяв определенный интеграл в пределах между точками
остановки и удвоив результат, либо записав интеграл по замкнутому контуру
max
d
d
(5.8)
T 2 

2( E  cos  )
2( E  cos  )
min
Обратите внимание, что период колебаний математического маятника зависит
от полной энергии. Это общее свойство нелинейных колебаний. В предыдущей
задаче о колебаниях линейного осциллятора период не зависел от энергии.
Выразить в элементарных функциях интеграл периода колебаний маятника
нельзя, но численно посчитать период, конечно, можно.
Зависимость периода колебаний и вращения нелинейного маятника от энергии
При E = 1 маятник осуществляет лимитационное движение, приближаясь из
любого начального состояния бесконечно долго к состоянию φ = π; pφ = 0.
При энергиях, больших единицы, маятник вращается, совершая инфинитное
движение, но в замкнутом пространстве, как в задаче 4. Период вращения
вычисляется по той же формуле (5.8) с интегрированием в пределах от –π до π.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
34
Графики движения частицы при различных начальных условиях (голубые прямые) в проекции
на плоскость φE на фоне потенциальной энергии (желтая кривая) плоского математического
маятника
Закон движения φ(t) pφ(t) математического маятника (5.7’) в общем случае не
выражается в элементарных функциях. В таких случаях говорят, что закон
движения записан в квадратурах.
Приближенные аналитические решения уравнения движения маятника
Если энергия маятника близка к минимальному значению E ~ -1 (или –mgl в
произвольном масштабе), то приближенное решение можно записать в
элементарных функциях.
1.Линеаризация
Рассмотрим движение вблизи состояния равновесия φ = 0; pφ = 0. Линеаризуем
уравнения движения, разложив нелинейную функцию sinφ в правой части
уравнения (3.7) в ряд Тейлора вблизи точки равновесия φ = 0, ограничившись
линейным членом разложения sinφ ≈ φ. Получаем уравнение ml 2  mgl ,
совпадающее с точностью до обозначений с уравнением колебания частицы на
пружинке (3.6), или одномерного гармонического осциллятора. Решение этого
уравнения имеет вид φ = φ0cos(ω0t + α). Здесь φ0 << 1 – малая амплитуда
колебаний маятника, 0  g / l - частота малых колебаний маятника, а α –
начальная фаза.
Так как колебания вблизи состояния равновесия φ = 0; pφ = 0 могут быть сколь
угодно малыми, такое состояние равновесия называется устойчивым.
Замечание
Линеаризовать уравнение можно, конечно, вблизи любого состояния. Но если это не состояние
устойчивого равновесия, приближенное решение линейных уравнений потеряет свой смысл
через конечный промежуток времени. Подумайте над этим.
Линеаризация функции sinφ вблизи верхней точки равновесия маятника φ = π;
pφ = 0 дает sinφ ≈ -(φ – π). Введем угол χ = φ – π отклонения от верхнего
положения. В этом обозначении линеаризованное уравнение движения
принимает вид ml 2   mgl . С точностью до обозначений последнее уравнение
совпадает с уравнением движения частицы на вращающемся стержне (3.5). При
любом малом отклонении от верхнего положения равновесия маятник уходит
сколь угодно далеко от этого положения, и полученное приближенное линейное
уравнение перестает правильно описывать движение маятника. Такое состояние
равновесия называется неустойчивым.
2. Ангармоничекое приближение
С увеличением амплитуды колебаний φ0 движение маятника вблизи
устойчивого состояния равновесия перестает подчиняться закону φ = φ0cos(ω0t
+ α), полученному как решение приближенного линейного уравнения l   g .
В разложении sinφ правой части точного уравнения маятника учтем слагаемое
следующего порядка малости sinφ ≈ φ - φ3/6. В этом случае уравнение движения
маятника примет вид   02    3 / 6  0 . Это уравнение так же приближенное,
но нелинейное.
Можно попытаться подставить в это уравнение в качестве предполагаемого
решения функцию φ = φ0cos(ωt) с некоторой частотой, отличной от ω0 (для
простоты считаем начальную фазу α равной нулю). Проделав необходимый
расчет, получим соотношение вида
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
35
1
1 2 3


0  0 cos 3t  0
8
24


(Здесь использована формула из тригонометрии cos3α = ¾ cosα + ¼ cos3α.)
Если наше предположение относительно вида решения φ = φ0cos(ωt) верно, то
полученное равенство должно обращаться в тождество в любой момент времени
t. Как мы видим, это так, только, если амплитуда φ0 равна нулю. Следовательно,
предполагаемый вид решения не верен.
Однако вид левой части последнего равенства подсказывает другую форму
записи предполагаемого решения φ = φ0cos(ωt) + εφ03cos(3ωt), где ε –
некоторый, пока не определенный коэффициент. Подставим эту функцию в
уравнение с нелинейным слагаемым   02    3 / 6  0 . Малым параметром
является амплитуда колебаний φ0, так как именно по отклонению φ от нуля мы
разлагали правую часть точного уравнения. Новое равенство будет иметь вид
1
1




 0  02   2  02 02  cos t   03  02  9 2  02  cos 3t  O( 05 )  0 .
8
24 



Оно соблюдается в любой момент времени, если равны нулю выражения в
круглых скобках. Это приводит к следующим приближенным выражениям для
частоты ω ≈ ω0 (1 – φ02/16) и параметра ε ≈ - 1/192, которые следует подставить
в правую часть закона движения плоского математического маятника в
ангармоническом приближении φ(t) = φ0cos(ωt) + εφ03cos(3ωt).
Описанный подход показывает, что аналитическое решение нелинейного
уравнения может быть найдено приближенно, основываясь на имеющемся
решении линейного уравнения вблизи состояния равновесия.
 0  02   2  02 02  cos t 
Задача 8
Закон движения
Уравнения движения кулонова заряда по окружности так же, как и у маятника,
нелинейные:
cos( / 2)
mR 2  ke2
;
4 R sin 2 ( / 2)
cos( / 2)
или   p / mR 2 ; p   ke2
4 R sin 2 ( / 2)
Поэтому для их интегрирования, как и в предыдущем случае, мы используем
закон сохранения энергии (1.8).
1
.
E  mR 2 2 / 2  ke2
2 R sin(  / 2)
Отсюда получаем

  p / mR 2   2 E 

t  
mR 2 d

ke2
 / mR 2 ;
2 R sin(  / 2) 
 t0
.
(5.9)


ke2

2 E 
2
R
sin(

/
2
)


Использование инвариантности
В масштабах
~
~  m /[ M ]  1 , [ D ]  R; R
 R /[ D]  1 ,
[ M ]  m; m
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
36
3
[T ]  [ M ][ D]3 /[ ke2 ]  mR
ke2
имеем закон движения заряда на окружности

  p   2 E 

t  
d

1
;
2 sin(  / 2) 
 t0
(5.9’)


1

2 E 
2 sin(  / 2) 

Как мы видим из выражения для момента импульса полная энергия в нашем
масштабе [E] = ke2/R не может быть меньше ½. Это минимальное значение
энергии отвечает состоянию равновесия φ = π; pφ = 0. Заряд находится в покое в
самой дальней от источника поля, верхней точке окружности.
При E > ½ момент импульса обращается в ноль (точки остановки) в точках
2Esin(φ/2) = 1. На интервале [0; 2π] это уравнение имеет два корня φmin = 2arcsin
(1/(2E)) и φmax = 2π - 2arcsin (1/(2E)) при любых энергиях. Заряд совершает
нелинейные колебания. Безразмерный период колебаний заряда равен
удвоенному интегралу времени (5.9’) между двумя точками остановки φmin и
φmax.
max
d
d
(5.10)
T 2 

2 E  1 sin(  / 2)
2 E  1 sin(  / 2)
min
Зависимость периода нелинейных колебаний от энергии в задаче о движении заряда на
окружности
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
37
Графики движения заряда на окружности при различных начальных условиях (голубые прямые)
в проекции на плоскость φE на фоне потенциальной ямы (желтая кривая)
Как отражены свойства инвариантности уравнений движения заряда в его
законе движения (5.9’)?
Линеаризация
Линеаризуем уравнение движения вблизи состояния равновесия φ = π; pφ = 0.
Разлагая правую часть уравнения движения (момент сил) в ряд, получаем
cos(φ/2)/4sin2(φ/2) ≈ - (φ – π)/8. Обозначив χ = π - φ, получим уравнение малых
колебаний заряда в виде
mR 2   ke2  / 8R .
Это уравнение показывает, что верхняя точка окружности является положением
устойчивого равновесия. Вблизи этой точки при низких энергиях заряд
ke2
совершает гармонические колебания. Частота колебаний равна  
. В
8mR 3
масштабе 1 /[T ]  ke2 mR 3 эта частота равна 1 / 8 .
Используя технологию, описанную в предыдущей задаче, покажите, что закон
движения заряда вблизи состояния равновесия в ангармоническом
приближении имеет вид
χ(t) = χ0cos ωt + εχ03 cos 3ωt, где ω2 ≈ 1/8 + 5χ02/256, ε ≈ 5/768.
Задача 9.
Закон движения
Уравнения движения частицы в однородном гармоническом поле
mx  f 0 cos( t ) , или x  p / m; p  f 0 cos( t )
являются линейными, но неоднородными. Найти общее решение этих
уравнений можно путем прямого интегрирования. Имеем
f
x  p / m  0 sin(  t )  p 0 / m;
m
(5.11)
f0
p0
x
cos( t ) 
t  1  x0
m
m 2
Координата частицы в гармонически меняющемся поле меняется линейно и
колеблется по гармоническому закону в противофазе с силой, а импульс
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
38
совершает гармонические колебания с фазой, смещенной на π/2 по отношению
к силе. Состояние равновесия отсутствует.
Начальные условия
В правую часть закона движения (5.11) входит две независимые постоянные x0 и
p0, определяемые начальным состоянием движения при t = 0.
Использование инвариантности
В масштабах
~  m /[ M ]  1 , [T] = 1/[γ] = 1/γ,
[ M ]  m; m
[D] = [f][T]2/[M] = f0/mγ2
закон движения частицы под действием гармонической силы имеет вид
x  p  sin t  p0 ; x   cos t  p0 t  1  x0 (5.11’)
Посмотрите самостоятельно, как упрощается закон движения (5.11’) при
использовании инвариантности относительно сдвига координаты и скорости.
Посмотрите приложение, иллюстрирующее законы движения исследуемых
систем.
1.
2.
3.
4.
5.
Выводы и комментарии
Закон движения q = q(q0, p0, t); p = p(q0, p0, t) определяет зависимость
состояния (положения и импульса) частицы от времени. В большинстве
задач закон движения можно определить только численно, используя
заданные начальные условия.
Закон движения, записанный в аналитическом виде, содержит постоянные,
определяемые начальными условиями движения. Число независимых
постоянных равно порядку уравнений движения. В наших задачах это число
равно двум. Выбор постоянных определяется физической постановкой
задачи. Например, в качестве постоянных в законе движения
консервативной системы лучше использовать сохраняющуюся полную
энергию и начальный момент времени. Физические свойства движения
консервативной системы не зависят от значения начального момента
времени (время однородно). Но значение полной энергии существенно.
Вообще, если уравнения движения инвариантны относительно сдвига во
времени, то постоянная, определяющая начальный отсчет времени t0, всегда
присутствует в законе движения системы. Ее можно сделать нулевой,
сдвинув начало отсчета времени. Аналогично, начальная координата входит
аддитивно в выражение для координаты, если пространство системы
однородно. Эта постоянная обнуляется сдвигом начала координат. То же
относится к начальной скорости (импульсу) систем, уравнения движения
которых инвариантны относительно сдвига по скорости.
В некоторых случаях закон движения может быть записан в элементарных
функциях (задачи 1 - 6, 9), в других нет (задачи 7, 8). В большинстве задач
закон движения не имеет аналитического выражения и может быть найден
лишь численно.
При исследовании движения систем, описываемых нелинейными
уравнениями движения (задачи 7, 8), следует выяснить, есть ли в системе
состояния равновесия. В состояниях равновесия суммарное воздействие на
систему равно нулю. Движение вблизи состояний равновесия носит простой,
хорошо изученный характер (задачи 5, 6). Процесс получения
приближенного описания движения вблизи состояний равновесия
называется линеаризацией уравнений движения. При этом основной интерес
представляют устойчивые состояния равновесия. Движение вблизи
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
39
устойчивого состояния равновесия может продолжаться сколь угодно долго
без нарушения условий приближения и представляет собой малые
колебания.
6. Движение одномерной механической системы может иметь точки
остановки (точки, в которых скорость меняет знак, переходя через ноль).
7. В некоторых задачах или при некоторых начальных условиях система в
процессе движения удаляется как угодно далеко от начальной точки. Тогда
движение называется инфинитным.
8. Инфинитное движение в замкнутом одномерном пространстве это вращение.
9. В некоторых случаях движение является ограниченным в пространстве
двумя точками остановки. Это финитное движение. В одномерном случае
финитное движение представляет собой колебания.
10. Предельным случаем финитного движения является состояние покоя, или
состояние равновесия.
11. Другой предельный случай финитного движения, при котором система
бесконечно долго приближается к точке остановки, называется
лимитационным движением.
12. Колебания называются малыми (гармоническими), если они описываются
линейными уравнениями движения. Малые колебания происходят вблизи
устойчивых состояний равновесия. Период малых колебаний не зависит от
энергии, а лишь от параметров системы. Надо при этом понимать, что
увеличение энергии колебаний может привести к потере точности в
приближении, если система на самом деле является линейной лишь
приближенно.
13. Колебания, не являющиеся малыми, обычно называют нелинейными
колебаниями. Движение в нелинейных колебаниях описывается
нелинейными уравнениями. Период нелинейных колебаний зависит от
энергии (амплитуды), т.е. начальных условий движения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для самоконтроля
Что такое закон движения механической системы и как он определяется в
большинстве задач?
Получите законы движения рассмотренных задач аналитически.
Чем отличается процесс решения линейных дифференциальных уравнений
от нелинейных?
Каков смысл констант, входящих в закон движения? Поясните смысл
различных наборов постоянных в рассмотренных задачах.
Дайте полный анализ физического, качественного характера движения
рассмотренных систем при различных начальных условиях?
С какими типами движений Вы познакомились?
В чем состоит процесс линеаризации нелинейных уравнений движения, в
каком случае, и с какой целью он проводится?
Как инвариантные свойства уравнений движения связаны с постоянными в
законе движения?
Как, используя инвариантность, можно упростить запись закона движения?
Дайте анализ всех рассмотренных задач.
6. Фазовое пространство
Состояние механической системы это, прежде всего, координата и импульс
(или скорость). Со временем состояние меняется, следуя закону движения. Это
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
40
изменение можно представить как некоторую кривую в пространстве состояний
с координатами t, q, p. Такая кривая называется фазовой траекторией, а само
пространство состояний – фазовым пространством.
Важное свойство фазовых траекторий.
В отличие от траектории в обычном пространстве, фазовая траектория не
может проходить через одну и ту же точку фазового пространства в разных
направлениях. Это запрещено принципом детерминизма. Ведь в противном
случае, два пересекающихся в одной точке отрезка фазовой траектории давали
бы два возможных пути развития состояния из точки пересечения. Но принцип
детерминизма утверждает, что для каждого исходного состояния существует
лишь один такой путь. Говорят, что фазовая траектория не имеет точек
самопересечения.
Структура фазового пространства
Отсутствие точек самопересечения приводит к тому, что фазовое пространство
состоит как бы из отдельных слоев, или, точнее, нитей фазовых траекторий.
Собственно, все множество таких нитей, представляющих всевозможные
фазовые траектории, и образует фазовое пространство.
У каждой механической системы фазовое пространство имеет свою
собственную структуру.
Обычно фазовым пространством называют многообразие с координатами q, p, а
расширенным фазовым пространством – с координатами q, t, p. Иногда удобно
рассматривать кривые в еще более широком фазовом пространстве с
координатами q, t, p, E. Надо только помнить, что энергия является, вообще
говоря, величиной, зависящей от состояния q, t, p. Мы это видели на наших
примерах.
В этом разделе мы проанализируем структуру фазового пространства наших
систем. При этом важно познакомиться с интерактивными иллюстрациями,
которые призваны помочь в освоении материала.
Задача 1. Закон движения утверждает, что импульс свободной частицы
постоянен. Следовательно, ее фазовые траектории на фазовом пространстве x, p
имеют вид прямых линий p = const, параллельных друг другу. В расширенном
фазовом пространстве свободной частицы каждому постоянному значению
импульса p = p0 отвечает пространство событий с координатами x, t. Каждое
из пространств событий p = p0 свободной частицы расслаивается в свою очередь
на фазовые траектории, имеющие вид прямых x = p0t + x0 с разными значениями
x0 (мы принимаем масштаб массы [M], равный массе частицы m). Нити
обычного фазового пространства x, p являются проекциями прямых – фазовых
траекторий в расширенном фазовом пространстве x, t, p.
При p = 0 фазовые траектории в обычном фазовом пространстве вырождены в
отдельные точки – состояния безразличного равновесия. Эти точки есть
проекции прямых линий x = x0 из расширенного фазового пространства на ось x.
Величина p = const в этой задаче является так называемым первым интегралом
движения. Это результат однократного интегрирования уравнения движения
свободной частицы p  0 . Другими словами, расширенное фазовое
пространство свободной частицы расслаивается на пространства событий,
соответствующие различным значениям первого интеграла движения задачи.
Дальнейшее интегрирование уравнения p = p0 приводит к закону движения x =
p0t + x0 свободной частицы. Последнее соотношение можно записать в виде x0 =
x – p0t. Это второй интеграл движения. Поверхность первого интеграла
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
41
движения p = p0 в расширенном фазовом пространстве расслаивается на
фазовые траектории, соответствующие различным значениям второго
интеграла движения x0 = x – p0t. Таким образом, 1-ый и 2-ой интегралы
движения как бы нумеруют фазовые траектории в расширенном фазовом
пространстве.
На рисунке изображены три пространства событий свободной частицы при p0 =
-1 (зеленым), 0 (серым), 1 (бирюзовым). Каждое из этих пространств расслоено
на 7 фазовых траекторий со значениями x0 от -1 до 1 слева направо с равным
интервалом.
Посмотрите интерактивную иллюстрацию движения свободной частицы в
различных представлениях.
Задача 2. Из закона движения частицы в среде с линейной диссипацией (5.2’)
следует (покажите самостоятельно), что фазовыми траекториями в обычном
фазовом пространстве x, p являются наклонные прямые линии p = -(x - x∞).
Точнее говоря, это отдельные лучи, лежащие в областях положительного и
отрицательного импульса и оканчивающиеся на оси x, где p = 0. Вдоль оси x,
как и в предыдущей задаче, расположены отдельные состояния безразличного
равновесия p = 0.
Примечание. Соотношение p = -(x - x∞) можно получить и непосредственно из уравнений
движения, записанных в форме уравнений первого порядка в том же масштабе dx/dt = p; dp/dt =
-p. Достаточно разделить второе уравнение на первое и проинтегрировать результат.
Расширенное фазовое пространство частицы в вязкой среде расслаивается на
поверхности первого интеграла уравнения движения p0 = pet. В свою очередь,
поверхности первого интеграла расслаиваются на отдельные фазовые
траектории x = -p0e-t + x∞. Каждая из таких траекторий отвечает одному из
значений второго интеграла движения частицы в вязкой среде x∞ = x + p.
На рисунке приведены три поверхности фазовых траекторий, соответствующие
значениям первого интеграла p0 = -1 (зеленый), 0 (серый), 1 (бирюзовый). На
каждой из поверхностей изображено 7 фазовых траекторий, отвечающих
значениям интеграла x∞ от 0 до 2 при p0 = 1, от -1 до 1 при p0 = 0 и от -2 до 0 при
p0 = -1 с равным интервалом слева направо.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
42
Попытайтесь самостоятельно изобразить на листе бумаги эти фазовые
траектории в различных проекциях и при различных начальных условиях
движения.
Посмотрите интерактивную иллюстрацию.
Задача 3. В задаче о движении частицы в поле тяжести уравнения фазовых
траекторий в пространстве z, p запишем в форме закона сохранения энергии
p2/2 + z = E. Это параболы, отвечающие различным значениям полной энергии
E. То есть, обычное фазовое пространство в данном случае расслоено на
параболические нити. Вершины парабол (p = 0) находятся в точках остановки,
где частица достигает максимальной для данной полной энергии высоты и где
полная энергия становится равной потенциальной.
В расширенном фазовом пространстве различные значения первого интеграла
движения – энергии отвечают различным поверхностям. Интегрирование
первого интеграла z 2 2  z  E позволяет получить второй интеграл движения
(найдите его явное выражение)
dz
.
t0  t  
2E  z 
Значения t0 «нумеруют» фазовые траектории z = -(t – t0)2/2 + E на каждой
поверхности E = const (говорят, эргодической поверхности) расширенного
фазового пространства. Момент времени t0 отвечает точке остановки, т.е. точке,
в которой скорость обращается в ноль.
На рисунке изображены три поверхности с энергиями E = 0.5 (зеленая), 0
(серая) и –0.5 (бирюзовая). На каждой из них показано по 7 фазовых траекторий
с равноотстоящими значениями второго интеграла t0 в интервале от –1 до 1.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
43
Попытайтесь самостоятельно изобразить на листе бумаги эти фазовые
траектории в различных проекциях и при различных начальных условиях
движения.
Совершим преобразование фазовых координат, отражающее переход в
равномерно ускоренную систему отсчета – падающий лифт (см. примечание в
предыдущем разделе). Пусть z  ~
z  t 2 / 2; p  ~
p  t . Тогда уравнение движения
p  0 .
примет вид уравнения движения свободной частицы ~
Посмотрите иллюстрацию.
Задача 4. Фазовое пространство φ, pφ свободной частицы на окружности
отличается от задачи о свободной частице на прямой линии тем, что движение
по окружности замкнуто. Ведь точки с координатами φ и φ + 2nπ совпадают.
Это означает, что по линиям φ = 0 и φ = 2π фазовое пространство склеено в
«трубку» – цилиндр.
Если замкнуть время по периоду вращения частицы T, то в расширенном
фазовом пространстве φ, t, pφ каждому значению момента импульса pφ = const
(первый интеграл движения задачи) будет соответствовать пространственновременной двумерный тор (цилиндрическая трубка, склеенная по торцам).
Координатами на этом торе будут углы 2πt/T, φ, а каждая фазовая траектория
будет замкнутой кривой φ = pφt + φ0 со своим значением второго интеграла
движения φ0 = φ - pφt.
Посмотрите иллюстрацию.
Задача 5.
Фазовые траектории в обычном фазовом пространстве q, p задачи о движении
частицы по вращающемуся стержню удовлетворяют уравнению E = p2/2 – q2/2.
Таким образом, обычное фазовое пространство оказывается расслоенным на
гиперболы. В предельном случае E = 0 имеется положение неустойчивого
равновесия q = 0; p = 0 и лучи p = ±q.
Расширенное фазовое пространство расслоено на эргодические поверхности E =
const. Каждая из этих поверхностей в свою очередь расслоена вторым
интегралом движения (посчитайте интеграл)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
44
t0  t  

dq
2 E  q2 / 2

на отдельные фазовые траектории.
На рисунке приведены поверхности первого интеграла при E = -0.5 (зеленый), 0
(серый), 0.5 (бирюзовый) и фазовые траектории на них, отвечающие различным
значениям второго интеграла t0.
Попытайтесь самостоятельно изобразить на листе бумаги эти фазовые
траектории в различных проекциях и при различных начальных условиях
движения.
Посмотрите иллюстрацию.
Задача 6.
Обычное фазовое пространство x, p одномерного гармонического осциллятора E
= p2/2 + x2/2 расслаивается на устойчивое положение равновесия в начале
координат и концентрические окружности (или эллипсы, в зависимости от
выбора масштабных коэффициентов) с центром в начале координат.
Расширенное фазовое пространство расслоено на эргодические поверхности E =
const. Это цилиндры. Каждая из эргодических поверхностей в свою очередь
расслоена вторым интегралом движения (посчитайте интеграл)
dx
t0  t  
2E  x 2 / 2 
на отдельные фазовые траектории.
Переменные «действие-угол» - канонические фазовые координаты
Если замкнуть расширенное фазовое пространство осциллятора по временному
измерению через период колебания T, то цилиндр, соответствующий заданной
энергии, склеится по торцам t = 0; t = T в тор. Таким образом, расширенное
фазовое пространство осциллятора топологически будет таким же, как в задаче
4 о частице, равномерно вращающейся по окружности. Это наводит на мысль,
что вместо фазовых координат x, p более естественным было бы ввести другие
фазовые координаты, подобные углу и моменту импульса в задаче 4.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
45
Из аналитической геометрии мы знаем, что уравнения некоторых кривых
выглядят значительно проще, если использовать для их записи систему
координат, отличную от декартовой системы координат. Например, уравнение
окружности радиуса R имеет вид x2 + y2 = R2 в декартовых координатах. В
полярных координатах r, φ то же уравнение выглядит совсем просто r = R.
Используем эту аналогию в нашей задаче для перехода к новым фазовым
координатам. Отметим, что проекции всех фазовых траекторий на x, p в нашей
задаче это окружности (или эллипсы, отличающиеся от окружностей выбором
масштабов, т.е. деформацией осей). Во всяком случае, это замкнутые кривые,
ограничивающие некоторую площадь. Площадь эта зависит только от энергии и
определяется формулой  pdx . Здесь интегрирование осуществляется по всем
состояниям за полный цикл колебания. Введем вместо фазовых координат x, p
такие, что одна из них w будет углом поворота вдоль фазовой траектории, т.е.
фазой колебаний пружинки, а вторая J будет пропорциональна площади,
ограниченной фазовой кривой. Новые фазовые координаты J, w называют
каноническими, или переменными «действие-угол». Потребуем (оправдание
этому требованию будет дано позже), чтобы в новых фазовых координатах w, J
площадь под замкнутой траекторией определялась по той же формуле, что и в
прежних координатах x, p
2
 pdx   Jdw  J  dw  2J .
0
1
pdx .
2 
Достоинство переменных действие-угол в том, что любая фазовая траектория
осциллятора описывается уравнением J = const на отрезке w  [0;2 ] . То есть,
фактически это окружность на цилиндре. Ведь точки с углами w = 0 и w = 2π
совпадают и лежат на шве, по которому склеивается поверхность w, J. То же
имело место в задаче 4 о частице, свободно движущейся по окружности, где J =
pφ; w = φ .
Постоянное действие J в данном случае легко выразить через сохраняющуюся
энергию. Ведь уравнение фазовой траектории в переменных x, p имеет вид E =
p2/2 + x2/2. Это окружность радиуса
2E и ее площадь равна 2πE.
Следовательно, координата «действие» в нашем масштабе равна просто полной
энергии.
Используя это соотношение, легко написать явные формулы, связывающие
прежние x, p и новые w, J фазовые координаты. Действительно, зависимость
прежних фазовых координат от времени имеет вид x = acos(t – t0); p = -asin(t –
t0). Так как J = E = a2/2, а w = t – t0, то имеем
x( w, J )  2 J cos w; p( w, J )   2 J sin w .
Обратные соотношения J(x,p) = p2/2 + x2/2; w(x,p) = -arctan(p/x).
Можно вернуться к исходным, не фиксированным масштабам. Для этого
запишем размерную формулу действия [J] = [p][D] = [M][D]2/[T]. Так как
размерность энергии [E] = [M][D]2/[T]2, то [J] = [E][T]. Единицей нашего
масштаба времени является [T] = 1/ω. Следовательно, в произвольном масштабе
J = E/ω.
Тот же результат получим, рассмотрев всю задачу с самого начала в
произвольном масштабе. Имеем E = p2/2m + kx2/2. Здесь фазовая траектория
Отсюда новый «импульс» действие имеет вид J 
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
46
является эллипсом с полуосями a  2mE и b  2 E / k . Его площадь равна
ab  2E m / k  2E /  , где ω - частота колебаний осциллятора. Отсюда,
вновь получаем действие гармонического осциллятора в виде J = E/ω. Вторая
фазовая координата «угол» в произвольном масштабе имеет вид w = ωt + w0.
Связь между прежними и новыми фазовыми координатами в произвольном
масштабе так же получается из закона движения гармонического осциллятора x
= acosω(t – t0); p = -amωsinω(t – t0) и выражения E = ma2ω2/2.
А именно (посчитайте самостоятельно),
x(w, J )  2 J m cos w; p(w, J )   2 Jm sin w ,
w(x,p) = arctan[-p/(mωx)]; J(x,p) = p2/(2mω) + mωx2/2.
Итак, закон движения гармонического осциллятора в новых фазовых
координатах w, J выглядит проще, чем в прежних: угол (новая координата)
меняется равномерно со временем w = ω(t – t0) = ωt + w0, а действие (новый
импульс) остается постоянным J = const. Расширенное фазовое пространство
осциллятора расслаивается на торы. Каждому значению первого интеграла –
действия J = const отвечает свой тор. В свою очередь, каждый тор расслаивается
на отдельные фазовые траектории. Каждому значению второго интеграла –
начальному значению угла w0 = w – ωt отвечает отдельная фазовая траектория
на торе.
Замечание. Фазовое пространство не является «обычным» евклидовым
пространством, с евклидовой метрикой, определенным расстоянием между
точками и углами между векторами. Поэтому переменные действие-угол w, J не
являются, в полном смысле слова, теми полярными координатами евклидова
пространства, с которыми мы их сравнивали. Однако роль «расстояния» в
геометрии фазового пространства принимает на себя площадь. При переходе от
x, p к новым каноническим переменным w, J мы использовали требование
сохранения формулы площади  pdx   Jdw . Подобно этому, совершая поворот
(ортогональное преобразование) в евклидовом пространстве, мы требовали
сохранение формулы расстояния.
Посмотрите иллюстрацию.
Задача 7.
Обычное фазовое пространство φ, pφ плоского математического маятника
расслаивается на кривые вида E = p2/2 - cosφ. Оно замкнуто по координате φ. По
прямым линиям φ = -π и φ = π пространство φ, pφ склеено в «трубку» - цилиндр.
Среди фазовых кривых имеется две особые кривые – точки устойчивого φ = 0;
pφ = 0 и неустойчивого φ = π; pφ = 0 равновесия. В области E < 1 фазовые кривые
замкнуты, маятник колеблется. Кривые образуют замкнутые циклы на
поверхности цилиндра. При больших энергиях маятник вращается, и фазовые
кривые замкнуты благодаря замкнутости самого фазового пространства. Это
также циклы на поверхности цилиндра, но при этих энергиях они замыкаются
благодаря замкнутости самого пространства. Так это выглядит в проекции на
развернутый цилиндр фазового пространства φ, pφ (желтая кривая отвечает
одному из низкоэнергетических колебаний при E < 1).
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
47
Наличие замкнутых циклов позволяет, по примеру предыдущей задачи, перейти
от обычных фазовых координат φ, pφ к каноническим координатам «действиеугол» w, J . Условие сохранения формулы площади и постоянство J требует,
чтобы действие (новый импульс) имело тот же вид, что и в предыдущей задаче
1
J
p d .
2 
Можно записать действие как функцию полной энергии. Для этого выразим pφ
через E p  2E  cos   и подставим под интеграл
1
2( E  cos  )d .
(6.1)
2 
Интегрирование следует распространить от одной точки остановки φmin до
другой φmax и обратно при E < 1 (область колебаний). В случае вращения
интегрировать следует от -π до π. Точки остановки φmin,max при колебаниях
зависят от полной энергии как корни уравнения E + cosφ = 0.
Выражение (6.1) является фактически соотношением между двумя интегралами
уравнения движения маятника – энергией E и «действием» J, подобно
соотношению E = Jω для линейного осциллятора предыдущей задачи. Только в
данном случае мы не можем записать явно в элементарных функциях
зависимость J(E). Но, найти эту функцию численно, конечно, можно. Так
выглядит графически зависимость J = J(E) в случае плоского математического
маятника.
J
(Подумайте, как объяснить разрыв при E = 1).
В случае гармонического осциллятора (частица на пружинке) производная
dE/dJ равна частоте колебаний ω. Оказывается, что и в случае маятника
производная dE/dJ является частотой нелинейных колебаний маятника.
Действительно, продифференцируем обе части выписанного выше соотношения
(6.1) по J. В левой части мы получим, очевидно, единицу. Интеграл
дифференцируем по параметру E и умножаем на искомую производную dE/dJ.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
48
После дифференцирования по E интеграл примет вид периода нелинейных
колебаний (либо периода вращения при E > 1), деленного на 2π (5.8):

1 max
d
dE T dE
(6.2)
1


  min 2E  cos   dJ 2 dJ
Примечание
Зависимость пределов интегрирования от полной энергии не повлияет на этот результат, так как
пределы являются нулями подынтегральной функции.
Итак, dE/dJ = ω, где ω - частота колебаний, либо вращения маятника. Именно с
этой частотой меняется фазовая координата, канонически сопряженная
действию – угол w = ωt + w0.
Таким образом, переход от обычных фазовых координат к каноническим
координатам w, J представляет колебания и вращения нелинейного маятника,
подобно колебаниям линейного осциллятора задачи 6, в исключительно
простом виде свободного вращения частицы по воображаемой окружности с
сохраняющимся моментом импульса J = const и равномерно меняющимся углом
w = ωt + w0.
Расширенное фазовое пространство плоского математического маятника при
замкнутом за период колебаний или вращения времени так же расслаивается на
торы, каждый из которых соответствует определенному значению первого
интеграла J (или полной энергии). Вторым интегралом является начальный угол
w0 = w – ωt.
Замечание
Не путайте угол w c обычным углом φ отклонения маятника от вертикали! Во-первых, угол φ
меняется неравномерно в отличие от угловой координаты w, а во-вторых, при колебаниях угол φ
меняется в ограниченных пределах (φmin; φmax), тогда как угол w всегда меняется во всем
интервале замкнутого цикла [0;2π].
Все выглядит так же, как в предыдущей задаче о гармоническом осцилляторе и
в задаче 4 о свободном движении частицы по окружности. Отличие лишь в том,
что частота ω = 2π/T(E) изменения угла w в задаче 7 зависит от полной энергии,
то есть от того, на каком торе находится траектория. Кроме того, в отличие от
предыдущей задачи о гармоническом осцилляторе функции, связывающие
новые фазовые координаты w, J с прежними координатами φ, pφ, не являются
элементарными.
Посмотрите иллюстрацию.
Задача 8.
Обычное фазовое пространство φ, pφ заряда на окружности опять, как и в
предыдущей задаче, образует цилиндр, склеенный по прямым линиям φ = 0, 2π.
Кривые, на которые расслаивается поверхность цилиндра, замкнуты при всех
энергиях и удовлетворяют закону сохранения энергии E = pφ2 /2 + 1/[2sin(φ/2)].
В точке φ = π; pφ = 0 расположено устойчивое положение равновесия.
Колебания нелинейные. Лишь в непосредственной близости от устойчивого
положения равновесия при энергиях заряда близких к минимальному значению
Emin = ½ колебания можно считать гармоническими, а фазовые кривые близки к
эллипсам.
Так выглядят фазовые траектории (желтый пунктир) при некоторых значениях
полной энергии на развернутом цилиндре (серый цвет фона темнеет по мере
уменьшения энергии)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
49
Как и в предыдущих задачах с замкнутыми фазовыми траекториями, удобно
перейти от φ, pφ к каноническим переменным «действие-угол» w, J. При этом
выражение сохраняющегося действия через энергию имеет вид


1
d .
2 E 
2 sin  2 

Численный расчет дает график J(E) в виде
J
1
2
1
 p d  2 
Так же, как и в предыдущих задачах, производная полной энергии по
переменной «действие» равна частоте колебаний заряда на окружности.
(Докажите самостоятельно непосредственным вычислением подобно
предыдущей задаче).
Расширенное фазовое пространство задачи при замкнутом за период колебаний
или вращения времени расслаивается на торы, каждый из которых
соответствует определенному значению первого интеграла J (или полной
энергии). Вторым интегралом – является начальный угол w0 = w – ωt. Все так
же, как в задачах 4, 6 и 7.
Интерактивные иллюстрации позволят лучше понять смысл приведенных
вычислений.
Задача 9.
В этой задаче имеет смысл рассматривать только расширенное фазовое
пространство в целом. Здесь первый интеграл движения является
нестационарной (явно зависящей от времени) функцией. Ни энергия, ни
импульс не сохраняются. Поэтому проекция на обычное фазовое пространство
x, p не имеет вид расслоения на нити, как это было в предыдущих задачах.
Уравнение движения p  cos t можно интегрировать, непосредственно беря
интеграл от обеих частей равенства. Это даст p = sint + p0. Таким образом,
первый интеграл задачи о движении частицы в гармонически меняющемся поле
имеет вид p0 = p – sint. Он расслаивает расширенное фазовое пространство x, t, p
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
50
задачи на отдельные поверхности. Повторное интегрирование уравнения
x  sin t  p0 приводит к решению x = -cost + p0t + const. Второй интеграл const =
x + cost - p0t расслаивает каждую из поверхностей p0 на отдельные фазовые
траектории.
На рисунке изображены три поверхности p0 = 1 (бирюзовая), 0 (серая), -1
(зеленая) с семью фазовыми траекториями x + cost - p0t = 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2
на каждой из них.
Здесь уже нет смысла переходить к фазовым координатам «действие-угол», так
как движение инфинитное и нет замкнутых циклов. Однако уравнение
движения задачи существенно упрощается, если совершить иное
x  x  cos t ; ~
p  p  sin t . В этом случае
преобразование координаты и импульса ~
p  0 (покажите это самостоятельно).
уравнение движения приобретает вид ~
Фактически речь идет о переходе в систему отсчета, в которой наблюдатель
колеблется вместе с источником поля. С точки зрения этого наблюдателя
частица выглядит свободной.
Посмотрите интерактивную иллюстрацию фазового пространства этой задачи.
Примечание к приложениям
Во всех приложениях к задачам 1-3, 5 и 9, посвященных фазовому пространству, создание
фазового портрета в расширенном фазовом пространстве сопровождается трехмерным
изображением в перспективной проекции. После создания портрета нажатие и поддержание в
нажатом состоянии левой кнопки переводит изображение из перспективной проекции в
ортографическую проекцию. Вы сможете осмотреть накопленные фазовые траектории в
произвольных ракурсах, перемещая мышку с нажатой левой кнопкой.
Выводы и комментарии
1. В описании движения удобно использовать представление о пространстве
состояний, или фазовом пространстве. В этом пространстве каждое
частное решение уравнений движения изображается в виде фазовой
траектории.
2. Различают обычное фазовое пространство из точек с координатами q, p и
расширенное фазовое пространство, где точки имеют координаты q, p, t.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
51
3. Важнейшим свойством фазовых траекторий является то, что они не
пересекаются. Тем самым частные решения уравнений движения
расслаивают фазовое пространство (в общем случае расширенное) на
отдельные непересекающиеся кривые, подобные линиям тока. Поэтому всю
совокупность фазовых траекторий часто называют фазовым потоком.
4. В задаче с диссипацией (задача 2) фазовый поток сжимается, концентрируя
состояния на пространстве с меньшей размерностью (p = 0). В остальных
задачах этого не происходит.
5. Среди фазовых траекторий есть те, которые в проекции на обычное фазовое
пространство имеют вид точки (в расширенном фазовом пространстве это
прямые, параллельные оси времени). Это состояния равновесия.
6. Каждая механическая система обладает своим фазовым пространством,
структура которого, или, как говорят, фазовый портрет, полностью
определяет поведение системы.
7. При описании движения важно использовать те фазовые координаты,
которые наилучшим образом отражают структуру фазового пространства. В
частности для систем с финитным движением или вращением, когда
фазовые траектории образуют замкнутые циклы, удобно использовать в
качестве фазовых координат канонические переменные w, J, или переменные
«действие-угол».
8. Наличие у механической системы закона сохранения, то есть соотношения
вида F(q, p, t) = const, приводит, как мы видели, к расслоению расширенного
фазового пространства на двумерные поверхности. Этот факт связан с
интегрируемостью уравнений движения. Каждая из указанных
поверхностей является геометрическим местом точек, отвечающих
конкретному значению 1-ого интеграла движения F(q, p, t) = const. В общем
случае уравнения движения вида q  f q (q, p, t ); p  f p (q, p, t ) соответствуют
расширенному фазовому пространству, фазовые траектории которого не
формируют какие-либо регулярные двумерные поверхности. Другими
словами, хотя расширенное фазовое пространство всегда расслаивается на
отдельные фазовые траектории (одномерные «поверхности»), но оно не
всегда, а лишь в исключительных случаях расслаивается на какие-либо
регулярные поверхности размерности больше единицы.
1.
2.
3.
4.
Вопросы для самоконтроля
Что такое фазовое пространство и фазовые траектории?
Каким важным свойством и почему обладают фазовые траектории?
Какова структура фазового и расширенного фазового пространства в
рассмотренных задачах?
Что такое канонические переменные, в каких задачах они вводятся и зачем?
7. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа
Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа
У всех систем, которые мы здесь обсуждаем, есть потенциальная энергия.
Исключение составляет лишь частица в вязкой среде, где диссипативной силе
нельзя сопоставить потенциальную энергию. Таким образом, уравнения
движения для всех задач, кроме задачи 2, могут быть, в общем случае, записаны
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
52
dp
U
, где p импульс или момент импульса (говорят, обобщенный

dt
q
импульс), q декартова координата или угол (говорят, обобщенная координата), а
U потенциальная энергия. Заметим, что производная кинетической энергии
частицы по скорости равна импульсу dT/dv = d(mv2/2)/dv = p. Кинетическая
энергия не зависит от координаты T  T (q ) , а потенциальная - от скорости U =
U(q, t). Поэтому, если ввести функцию
(7.1)
L  L(q, q , t )  T  U
то записанное выше уравнение движения примет форму
d  L  L
 
(7.2)
0
dt  q  q
Функция координат, скорости и времени (7.1) называется функцией Лагранжа,
а уравнения движения, записанные в форме (7.2) уравнениями Лагранжа. В
наших задачах уравнение Лагранжа одно, так как мы рассматриваем системы с
одной степенью свободы (системы, положение которых в пространстве
описывается одной независимой координатой). Но, в общем случае, уравнений
Лагранжа столько, сколько у системы степеней свободы, т.е. столько, сколько
независимых координат требуется для однозначного описания положения
системы в пространстве.
Внешне уравнения Лагранжа (7.2) имеют довольно сложную форму. Аналогии
из элементарного курса могут облегчить понимание этой формы. Если
координата q является декартовой координатой x, то ∂L/∂x имеет смысл xL
 p x - x-компонента импульса. Поэтому уравнение
компоненты силы Fx, а
x
Лагранжа (7.2) имеет вид уравнения dpx/dt = Fx, известного из элементарного
курса. Если координата q является углом φ, то ∂L/∂φ имеет смысл z-компоненты
L
момента силы Kz, считая, что осью вращения является ось z. При этом
 Mz

- z-компонента момента импульса. В этом случае уравнение Лагранжа (7.2)
имеет вид уравнения dMz/dt = Kz, так же известного из элементарного курса.
Используя формулу (7.1), запишем функции Лагранжа рассматриваемых систем
1. Свободная частица на прямой линии L(v) = mv2/2.
3. Частица в поле тяжести L(v,z) = mv2/2 - mgz.
4. Свободная частица на окружности L( )  mR 2 2 / 2 .
5. Частица на вращающемся стержне L(q, q )  mq 2 / 2  m 2 q 2 / 2 .
6. Частица на пружинке L(x,v) = mv2/2 – kx2/2.
7. Плоский математический маятник L( ,  )  ml 2 2 / 2  mgl cos  .
8. Заряд на окружности L( ,  )  mR 2 2 / 2  ke2 / 2R sin(  / 2) .
9. Частица в гармонически колеблющемся поле
L( x, x , t )  mx 2 / 2  xf0 cos( t ) .
Если изменить систему отсчета, то изменится в общем случае и функция
Лагранжа. В частности, функция Лагранжа свободной частицы изменится даже,
если провести преобразование Галилея, связывающего две системы отсчета,
движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
x  Vt , где V – скорость системы отсчета. Тогда
Действительно, пусть x  ~
в виде
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
53
mv 2 mv~ 2
mV 2
. Однако, подставив эту функцию в уравнение

 mv~V 
2
2
2
d  L  L
Лагранжа
 0 , получим тот же результат, что и в неподвижной
 
dt  v~  ~
x
системе отсчета mv~  0 (проверьте!).
Замечание
L
Функция
Лагранжа
свободной
частицы
в
релятивистской
механике
имеет
вид
Lrel  mc 2 1  v 2 / c 2 . Покажите самостоятельно, что a) при малых скоростях частицы v<<c
эта функция переходит в нерелятивистскую функцию Лагранжа, и b) выражение Lreldt является
инвариантным относительно преобразований Лоренца.
Можно доказать, что добавление к функции Лагранжа любой функции,
которую можно представить в виде полной производной по времени какойлибо функции координат и времени, не изменяет уравнений движения.
Пусть Φ(q,t) некоторая, практически произвольная, функция координаты и
времени. Подставим ее полную производную по времени вместо функции
Лагранжа в уравнение Лагранжа (7.2) и посчитаем все входящие туда
производные. Покажите самостоятельно, что
d    d(q, t )     d(q, t ) 
 
  
 0,
dt  q  dt   q  dt 
т.е. это тождественный ноль.
Заметим также, что любая функция времени является полной производной по
времени от своего интеграла. Другими словами, в частности, добавка к
функции Лагранжа любой функции, зависящей только от времени не меняет
уравнений движения.
Возвращаясь к системам отсчета, заметим, что переход в неинерциальную
систему отсчета меняет существенно функцию Лагранжа свободной частицы
Действительно, возьмем, к примеру, равномерно ускоренную, прямолинейно
x  wt 2 / 2 . Получаем функцию Лагранжа
движущуюся систему отсчета x  ~
mv 2 mv~ 2
mw2 t 2
L

 mv~wt 
. Последнее слагаемое зависит только от
2
2
2
времени, поэтому может быть отброшено. Второе слагаемое можно
преобразовать, используя цепочку равенств
d~
x d (mw~
xt)
mv~wt  mwt

 mw~
x.
dt
dt
Отбрасывая выделенную полную производную, получим окончательно
функцию Лагранжа свободной частицы в равномерно ускоренной
mv~ 2
 mw~
x . Постоянная сила
прямолинейно движущейся системе отсчета L 
2
инерции -mw, возникающая в неинерциальной системе отсчета, соответствует
потенциальной энергии mw~
x.
Использование функции Лагранжа значительно упрощает получение уравнений
движения в независимых координатах, то есть в тех системах, где есть связи.
Дело в том, что вместо подстановки в уравнения движения в зависимых
координатах системы со связями неопределенных сил реакции и последующего
их исключения, как это мы делали в разделах 2 и 3, достаточно записать
функцию Лагранжа в зависимых координатах, а затем преобразовать эти
координаты к независимым.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
54
Для иллюстрации, вернемся к нашим задачам со связями 4, 5, 7, 8 и проделаем
все необходимые выкладки.
Задача 4. В начале запишем функцию Лагранжа для свободной частицы в
плоскости L  m( x 2  y 2 ) / 2 . Теперь учтем, что частица может двигаться только
по окружности, и введем полярные координаты R, φ (угол φ отсчитываем от
обратного направления оси y). Выразим декартовые координаты через полярные
x = Rsinφ; y = -Rcosφ и найдем производные по времени
x  R cos  ; y  R sin  .
Подставив в функцию Лагранжа, получим L  mR 2 2 / 2 .
Задача 5. Здесь мы также должны исходить из функции Лагранжа свободной
частицы на плоскости
L  m( x 2  y 2 ) / 2 .
Выражения декартовых координат x, y через координату q на вращающемся
стержне (угол поворота ωt отсчитываем от оси x) имеют вид x = qcos(ωt); y =
qsin(ωt). Отсюда, декартовые компоненты скорости
x  q cos( t )  q sin(  t ); y  q sin(  t )  q cos( t ) .
Подставляя их в функцию Лагранжа, получим
L  mq 2 / 2  mq 2 2 / 2 .
Задача 7. Запишем функцию Лагранжа для частицы в вертикальной плоскости в
поле тяжести
L  m( x 2  y 2 ) / 2  mgy .
Учитывая связь в виде стержня длины l, перейдем к углу φ, отсчитываемому от
направления вертикально вниз, то есть обратного оси y.
Имеем x = l sinφ; y = - l cosφ.
Соответствующие компоненты скорости
x  l cos  ; y  l sin 
подставим в функцию Лагранжа. Получим
L  ml 2 2 / 2  mgl cos  .
Задача 8. Заряд в плоскости в поле другого заряда, находящегося на расстоянии
r, описывается функцией Лагранжа L  m( x 2  y 2 ) / 2  ke2 / r .
Выражая x, y через угол φ, отсчитываемый от направления на закрепленный
заряд, получим
x = Rsinφ; y = -Rcosφ; r = 2R sin(φ/2).
После вычисления производных и подстановки их в функцию Лагранжа,
получим
mR 2 2
ke2
.
L

2
2R sin(  / 2)
Рассмотрим функцию Лагранжа частицы в гармонически меняющемся поле
(задача 9). Ранее мы отмечали, что эта задача в колеблющейся системе отсчета
сводится к движению свободной частицы. Проведем этот переход в функции
Лагранжа.
Запишем функцию Лагранжа задачи 9 в масштабе [M] = m; [T] = 1/γ; [F] = f0
L( x, x, t )  x 2 / 2  x cos( t ) .
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
55
Далее совершаем переход в колеблющуюся систему отсчета x  ~
x  cos t , так
~
что x  x  sin t и
L  x 2 / 2  x cos t 
 x 2 / 2  x cos t  ~
x 2 / 2  ~
x sin t  sin 2 t / 2  ~
x cos t  cos 2 t .
x cos t  d ( ~
x sin t ) / dt  ~
x sin t .
Заметим, что cost = d(sint)/dt. Следовательно, ~
Таким образом (закончите доказательство самостоятельно), функцию Лагранжа
частицы в гармонически колеблющемся поле можно записать в виде
L( ~
x )  ~
x 2 / 2 .
Другими словами, функция Лагранжа частицы в гармонически колеблющемся
поле может быть записана как функция Лагранжа свободной частицы, но в
колеблющейся системе отсчета.
В конце первой главы «Механики» Ландау Л.Д., Лифшица Е.М. имеется ряд
полезных задач на определение функций Лагранжа систем со связями.
Рекомендую их решить.
Принцип наименьшего действия
Уравнения движения, записанные в форме уравнений Лагранжа (7.2), могут
быть получены как следствие необходимого условия минимума функционала
действия
B
S   Ldt (7.3)
A
Другими словами, существует утверждение, известное как принцип
наименьшего действия.
Закон движения механической системы с функцией Лагранжа L отвечает
минимуму функционала действия.
Это означает, что, подставляя в заданную функцию Лагранжа механической
системы L(q, q , t ) различные функции q = q(t), проходящие в фиксированные
моменты времени tA, tB через фиксированные точки qA, qB, и вычисляя
указанный интеграл, мы будем получать различные числа. Каждое из этих чисел
будет соответствовать некоторой функции q(t) и минимальное из них будет
соответствовать закону движения системы, описываемой данной функцией
Лагранжа.
Для примера рассмотрим функцию Лагранжа свободной частицы (задача 1)
единичной массы L  x 2 2 . Запишем известный нам закон движения свободной
частицы в виде x = v0t + x0. Здесь x0, v0 координата и скорость в момент t = 0.
Легко найти такие значения этих постоянных, при которых частица проходит
через две фиксированные точки xA(tA=0) = 0; xB(tB=1) = 1 пространства событий
x, t. Это x0 = 0; v0 = 1. Подставив полученный закон x = t в функцию Лагранжа,
получим L = ½. Отсюда действие для выбранной траектории в пространстве
1
событий равно S   1 / 2dt  1 / 2 . Принцип наименьшего действия утверждает,
0
что для свободной частицы, проходящей через указанные фиксированные точки
пространства событий, это значение минимально. Оно отвечает истинному
закону движения, - в данном случае прямой линии. В частности, через
выбранные нами точки A, B проходит бесчисленное множество параболических
траекторий вида x = at2 + (1 – a)t с произвольным значением параметра a. Им
отвечает значение действия S = ½ + a2/6 > ½ (посчитайте самостоятельно).
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
56
В качестве упражнений посчитайте значения действия в задачах 3 – 6 и 9 для
истинных траекторий, проходящих через заданные выше точки A, B.
Используйте для этого масштабированные функции Лагранжа. В тех же задачах
найдите значение интеграла действия вдоль каких-либо «траекторий», не
совпадающих с истинными траекториями, но проходящих в пространстве
событий через те же точки A и B.
Замечание. Опыт показывает, что утверждение принципа наименьшего действия является,
строго говоря, приближенным. На самом деле «правильными» траекториями в пространстве
событий являются все функции, вдоль которых действие отличается от минимального не
намного больше значения постоянной Планка. Ясно, однако, что столь малые (ħ ≈ 10-34 Дж•сек)
в макроскопическом масштабе отличия имеет смысл учитывать лишь в том случае, когда
минимальное значение интеграла действия в поставленной задаче порядка постоянной Планка.
Если это так, то наблюдаемый объект перестает удовлетворительно описываться классической
моделью поведения. Для его описания используется аппарат квантовой механики. Квантовый
объект не подчиняется ни принципу детерминизма, ни принципу наименьшего действия в его
классической формулировке и у него отсутствует какая-либо траектория движения.
Вывод уравнений Лагранжа из принципа наименьшего действия дается в §2
«Механики». Рекомендую внимательно ознакомиться с этим выводом.
Ковариантность уравнений Лагранжа
Изменение системы отсчета, как мы знаем, описывается преобразованием
координат q  q (q~, t ) . При этом функция Лагранжа системы в общем случае
меняется
~
L(q, q , t )  L qq~, t , q q~, q~ , t , t  L (q~, q~ , t ) .
~
Функции L и L являются, вообще говоря, разными функциями своих
аргументов. Однако форма действия остается неизменной
B
~
~
S   L q~, q~ , t dt .





A
Поэтому форма уравнений Лагранжа так же не изменяется
~
~
d  L  L
 
 0.
dt  q~  q~
Уравнения Лагранжа (7.2) остаются ковариантными
произвольных преобразований систем отсчета.
относительно
Законы сохранения обобщенного импульса и энергии
Из уравнений Лагранжа (7.2) следует, что если функция Лагранжа не зависит
d  L 
   0.
от координаты q, т.е. если ∂L/∂q = 0, то равна нулю и производная
dt  q 
Следовательно, значение обобщенного импульса
L
,
(7.3)
p
q
будучи заданным, в начальный момент времени, остается постоянным в
процессе движения. Сохранение обобщенного импульса мы наблюдали в
задачах 1 и 4. В первом случае это была компонента px обычного импульса, а во
втором – компонента момента импульса Mz ≡ pφ вдоль оси z, перпендикулярной
плоскости окружности.
Покажите самостоятельно, что импульс релятивистской свободной частицы
имеет вид p = mvγ.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
57
Указание. Используйте функцию Лагранжа свободной релятивистской частицы
в виде Lrel  mc 2 1  v 2 / c 2 .
Оказывается, что если функция Лагранжа не зависит явно от времени, т.е. ∂L/∂t
= 0, то сохраняется полная энергия. Приведенное ниже доказательство этого
факта имеется в §6 «Механики» для произвольного числа степеней свободы.
Полная производная функции Лагранжа по времени как функции трех
переменных q, q , t имеет вид
dL L dq L dq L
.



dt q dt q dt t
Используя тождественное равенство
L dq d  L 
d  L 
  q   q   ,
q dt dt  q 
dt  q 
и, вынося за скобки общий множитель q , получим выражение
 L d  L   d  L  L
dL
 q       q  
.
dt
 q dt  q   dt  q  t
Первое слагаемое равно нулю, так как пропорционально левой части уравнения
d
L  L
 L  q  
Лагранжа. Второе слагаемое перенесем в левую часть
.
dt 
q  t
Отсюда ясно, что если система консервативная, то есть функция Лагранжа не
зависит явно от времени, то в процессе движения остается неизменным
значение функции
L
(7.4)
E (q, q )  q
 L,
q
являющейся по определению полной энергией механической системы. В
качестве упражнения рекомендуется посчитать эту функцию для всех
рассмотренных выше лагранжевых систем (задачи 1, 3 – 9).
Покажите самостоятельно, что энергия релятивистской свободной частицы
равна E = mc2γ.
Выводы и комментарии
1. Механической системе без трения соответствует функция Лагранжа (задачи
1, 3 - 9). Это функция обобщенных координат, скоростей и времени, то есть
функция состояния. Она равна разности кинетической и потенциальной
энергий в инерциальной системе отсчета.
2. Для систем со связями (задачи 4, 5, 7, 8) функция Лагранжа определяется
следующим образом
- в начале записывается функция Лагранжа, равная разности кинетической и
потенциальной энергий; она пишется без учета связей в декартовой системе
координат;
- затем вводятся независимые координаты (в наших задачах была лишь одна
такая координата), достаточные для описания положения системы в
пространстве с учетом связей;
- декартовые координаты и компоненты скорости выражаются через
независимые координаты и скорости и подставляются в функцию Лагранжа;
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
58
-
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
добавление к функции Лагранжа любой функции, сводящейся к полной
производной по времени некоторой функции координат и времени, не
изменяет уравнений движения, то есть не меняет физических свойств
системы. Поэтому в результирующей функции Лагранжа все такие добавки
могут быть отброшены. В частности можно отбросить аддитивную
постоянную, любую функцию, зависящую только от времени (см. в связи с
этим решение задачи 9).
Наличие у системы законов сохранения связано со свойствами симметрии
функции Лагранжа. Функция Лагранжа всегда зависит, по крайней мере, от
скорости. Однако она может не зависеть от координаты. Тогда сохраняется
соответствующий обобщенный импульс. Если функция Лагранжа не
зависит от времени, то сохраняется полная энергия.
В общем случае функция Лагранжа меняется при изменении системы
отсчета. В то же время, изменения функции Лагранжа не будут
сказываться на уравнениях движения, если сводятся к полной производной
по времени от некоторой функции координат и времени. Смотрите в связи
с этим преобразование к равномерно движущейся системе отсчета в задачах
1 и 4.
Имея функцию Лагранжа, можно записать уравнения движения системы.
Для этого необходимо функцию Лагранжа подставить в уравнения
Лагранжа (7.2). Это обыкновенные дифференциальные уравнения второго
порядка, в которых неизвестной функцией является зависимость координат
от времени q(t).
Уравнения Лагранжа могут быть получены как следствие условия
стационарности действия. Действие является интегралом по времени от
выражения для функции Лагранжа между двумя фиксированными
событиями (qA, tA), (qB, tB). При вычислении действия в выражение для
функции Лагранжа подставляются различные функции q(t), проходящие
через эти события. Эти функции иногда называют «траекториями» (не
путать с обычными траекториями тел в пространстве, которые определяют
зависимости между разными координатами, а не координатой и временем).
Получаемые при интегрировании числа являются значениями функционала
действия для различных траекторий. Принцип наименьшего действия
Гамильтона утверждает, что значение действия минимально для
траектории, совпадающей с законом движения механической системы.
Вопросы для самоконтроля
Что представляет собой функция Лагранжа, и какие механические системы
не являются лагранжевыми?
Каков «алгоритм» определения функции Лагранжа системы со связями?
Как определяется обобщенный импульс и энергия через функцию Лагранжа,
и как связаны законы сохранения обобщенного импульса и энергии со
свойствами функции Лагранжа?
Какие преобразования функции Лагранжа не меняют уравнений движения
системы?
Сформулируйте принцип наименьшего действия Гамильтона. Что из него
следует?
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
59
8. Функция Гамильтона. Канонические уравнения
Функция Гамильтона и уравнения Гамильтона
Мы знаем, что уравнения движения могут быть записаны либо в форме
уравнений второго порядка для неизвестной зависимости координаты от
времени (таковы, в частности, уравнения Лагранжа (7.2)), так и в форме
системы уравнений первого порядка для двух неизвестных функций времени –
координаты и импульса. Например, уравнения движения задач 1, 3 - 9 имеют
общий вид (проверьте)
dq T dp
U
.

;

dt p dt
q
Здесь, как и раньше, T - кинетическая энергия, а U - потенциальная энергия.
Если ввести функцию
H(q, p, t) = T + U
(8.1)
то эти же уравнения примут вид
H
H
(8.2)
q 
; p  
p
q
Функция (8.1) называется функцией Гамильтона. Уравнения движения,
записанные в форме (8.2), называются каноническими уравнениями, или
уравнениями Гамильтона.
Сразу отметим, что канонические уравнения (8.2) не меняются, если добавить к
функции Гамильтона произвольную функцию времени. Говорят, функция
Гамильтона механической системы определена с точностью до аддитивной
функции времени.
Как и функция Лагранжа, функция Гамильтона имеет смысл лишь для систем
без диссипации. Как и функция Лагранжа, функция Гамильтона является
функцией состояния системы. Функция Гамильтона вычисляется как полная
энергия, выраженная как функция координат, импульсов и времени.
Функции Гамильтона рассматриваемых нами систем
- Задача 1. H = p2/2m.
- Задача 3. H = p2/2m + mgz.
p2
- Задача 4. H 
.
2mR 2
- Задача 5. H = p2/2m – mω2q2/2.
- Задача 6. H = p2/2m + kx2/2. В переменных «действие – угол» функция
Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид H = ωJ.
p2
- Задача 7. H 
 mgl cos  . Функция Гамильтона в канонических
2ml 2
переменных зависит только от действия J. В отличие от случая
гармонического осциллятора эта зависимость может быть записана лишь в
неявном виде (см. раздел «Фазовое пространство»)
1
J
2ml 2 ( H  mgl cos  )d .

2
2
p
ke2

- Задача 8. H 
. В канонических переменных имеем
2mR 2 2 R sin(  / 2)
неявное выражение J = J(H)
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
60


ke2

d .
2
mR
H





2
R
sin

2


2
Задача 9. H = p /2m – x f0 cos(γt).
1
J
2
-
2
Связь функций Лагранжа и Гамильтона
Из выражения для закона сохранения энергии (7.4) видно, что функции
Лагранжа и Гамильтона связаны соотношением
(8.3)
H  qp  L .
Смысл его заключается в следующем. Если нам дана функция Лагранжа,
зависящая от аргументов q, q , t , то из определения импульса (7.3) следует
выразить скорость q  q (q, p, t ) и подставить ее в правую часть (8.3) (как в
функцию Лагранжа, так и в первое слагаемое). Получим функцию Гамильтона
от q, p, t. Обратно, если задана функция Гамильтона, то из первого из
канонических уравнений (8.2) следует выразить импульс p  p(q, q , t ) и
подставить в H и qp выражения (8.3). Тогда получается функция Лагранжа в ее
переменных q, q , t . Преобразование (8.3), связывающее функцию Лагранжа и
функцию Гамильтона, является частным случаем так называемого
преобразования Лежандра.
Найдите функцию Гамильтона свободной релятивистской частицы. Покажите,
что в пределе бесконечной скорости света она имеет вид классической функции
Гамильтона.
Получение канонических уравнений из принципа наименьшего
действия
Канонические уравнения, как и уравнения Лагранжа, можно получить из
принципа наименьшего действия. Покажем это.
Из (8.3) следует также, что подынтегральное выражение функционала действия
Ldt может быть записано в виде
dS = Ldt = pdq – H(q, p, t)dt.
(8.4)
B
Потребуем, чтобы интеграл S   dS , взятый между точками A(qA, pA, tA) и B(qB,
A
pB, tB), был минимален при интегрировании вдоль некоторой кривой фазового
пространства p(t); q(t), проходящей через эти точки. Здесь точки A, B
фиксированы лишь значениями своих координат и моментов времени qA, tA и qB,
tB, в то время как значения импульсов pA, pB являются произвольными и не
фиксированными.
Функционал действия S является функцией кривых, проходящих через эти
точки. Необходимым условием минимума функционала является обращение в
ноль его первой вариации. Это то же, что дифференциал обычной числовой
функции. Но так как аргументами функционала являются функции, то и его
вариация соответствует бесконечно малым изменениям аргументов-функций
δq(t), δp(t).
Итак, необходимо посчитать первую вариацию функционала действия и
приравнять ее нулю.
B
H
H
 S   ( pdq  p dq 
 qdt 
 pdt )
q
p
A
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
61
Операции варьирования и дифференцирования можно проводить в
произвольном порядке, поэтому pδdq = pdδq = d(pδq) – δqdp.
Так как в граничных точках значения qA, qB фиксированы, то их вариации равны
нулю
B
 d ( p q)  p
B
 q B  p A q A  0 .
A
Поэтому требование равенства нулю вариации действия выполняется лишь
тогда, когда обращается в ноль интеграл
B
H
H
A  p(dq  p dt )   q(dp  q dt )  0 .
Это возможно в общем случае лишь при равенстве нулю подынтегрального
выражения. Подынтегральное выражение состоит из двух слагаемых с
независимыми вариациями δq(t), δp(t) в качестве сомножителей. Поэтому в ноль
независимо должны обращаться коэффициенты перед этими вариациями. Это и
есть канонические уравнения (8.2).
Связь законов сохранения со свойствами функции Гамильтона
Мы знаем о существовании связи между законами сохранения обобщенного
импульса и энергии со свойствами функции Лагранжа. Такая же связь законов
сохранения есть и с функцией Гамильтона.
Если функция Гамильтона не зависит явно от координаты, то сохраняется
соответствующий обобщенный импульс. Это следствие второго из
канонических уравнений (8.2).
Теперь посчитаем полную производную функции Гамильтона по времени
dH H
H
H
.

q 
p 
dt
q
p
t
Заменим в правой части скорость и производную импульса по времени
производными функции Гамильтона согласно уравнениям Гамильтона (8.2).
Получим равенство
dH H

.
dt
t
Из него сразу следует, что если функция Гамильтона не зависит явно от
времени, то она же и является интегралом движения – энергией.
Переменные действие-угол и канонические уравнения
В задачах 6 - 8 мы вводили в качестве фазовых координат переменные
«действие-угол». Эти переменные являются такой же парой канонических
переменных, как и обычные координата и импульс/момент импульса. При этом
действие J играет роль импульса и имеет размерность момента импульса, а угол
w – роль координаты. Поэтому канонические уравнения в этих переменных
имеют вид
H 
H
w 
;J  
.
J
w
Особенность новых переменных в том, что функция Гамильтона (смотри –
сохраняющаяся в задачах 6 - 8 полная энергия) зависит только от J, но не
зависит от w. Поэтому из второго уравнения следует, что J = const. Отсюда и из
первого из записанных уравнений следует постоянство скорости изменения
угловой координаты w (ведь производная ∂H/∂J зависит только от J и,
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
62
следовательно, является постоянной величиной). Правда, выражение функции
Гамильтона через J выглядит просто лишь в случае гармонического
осциллятора H = ωJ (задача 6). В двух других задачах 7 и 8, где имело смысл
вводить переменные «действие-угол», можно записать в виде интегралов лишь
обратные выражения J = J(H).
Из описанных свойств переменных «действие-угол» можно заключить, что это
такие фазовые переменные, в которых функция Гамильтона зависит лишь от
одной из них J и не зависит от другой w, что и упрощает вид закона движения.
Канонические преобразования
Ранее отмечалось, что изменение функции Лагранжа на полную производную
любой функции координат и времени не меняет уравнений движения.
Действительно, если к интервалу действия dS (8.4) добавить полный
дифференциал некоторой функции координат и времени dΦ(q,t), то интеграл
действия S изменится на разницу значений этой функции в предельных точках
Φ(qB, tB) - Φ(qA, tA). Так как вариация действия производится при
фиксированных значениях qA, tA, qB, tB, то вариация величины Φ(qB, tB) - Φ(qA, tA)
равна нулю тождественно. Следовательно, добавка к интервалу действия
полного дифференциала любой функции в пространстве событий не меняет
уравнений движения.
Вводя переменные «действие-угол», мы записали выражение для переменной
действие J так, чтобы интеграл вида  pdx не изменял своего вида после замены
переменных, то есть оставался равным
 Jdw . Теперь можно пояснить, с чем
связано такое требование.
Нам уже известно, что уравнения движения в форме уравнений второго порядка
(3.10) и в форме уравнений Лагранжа (7.2) ковариантные относительно
произвольного выбора системы отсчета, т.е. преобразований координат.
Известно так же, что уравнения движения в форме (3.12) уравнений 1-ого
порядка также ковариантные относительно произвольных преобразований
фазовых координат q, p.
Ограничим всевозможные преобразования фазовых координат следующим
p, t ), p  p(q~, ~
p, t )
условием. Потребуем, чтобы преобразования q  q(q~, ~
сохраняли канонические уравнения в той же форме (8.2), что и прежде
~
~
H
~ H ~
q  ~ ; p   ~ .
p
q
Найдем условия, которым должны удовлетворять эти преобразования.
Канонические уравнения (8.2) являются следствием принципа наименьшего
B
действия. Само действие S имеет вид интеграла S   pdq  Hdt в прежних
A
фазовых
координатах.
Если
после
подстановки
преобразования
q  q(q~, ~
p, t ), p  p(q~, ~
p, t ) под интеграл действие сохранит в новых фазовых
B
~
~
pdq~  Hdt , то из условия его экстремальности
координатах свою форму S   ~
A
~
S  0 будут получены те же уравнения, что и прежде. На самом деле нет
~
~
pdq~  Hdt и
необходимости в том, чтобы интервалы действия в новых dS  ~
прежних dS = pdq – Hdt фазовых координатах в точности совпадали. Будет
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
63
достаточным, если интервалы действия отличаются, но не более чем на полный
дифференциал некоторой функции пары независимых переменных из числа
прежних q, p и новых q~ , ~
p фазовых координат и, вообще говоря, времени. Ведь
интеграл от полного дифференциала функции F определяется значениями этой
функции в конечных точках интегрирования A, B. А эти значения не
~ ,t , q , q
~ ,t
варьируются (значения
на краях интегрирования
qA , q
A A
B
B B
фиксированы) и, следовательно, не дают вклада в условие экстремальности
действия.
Например, выражение
~
pdq  Hdt  ~
pdq~  Hdt  dF
предполагает, что функция F зависит от координат q, q~ и, возможно, времени
(если функция F зависит от времени, то, как следует из равенства, функция
~
Гамильтона H в новых переменных отличается от прежней функции
F
~
Гамильтона H соотношением H  H 
).
t
Так как интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен
нулю, то сформулированное выше условие преобразования фазовых координат
эквивалентно требованию равенства контурных интегралов от действия по
любой замкнутой кривой в пространстве событий в прежних и новых
координатах
~
(8.5)
  pdq  Hdt    ~pdq~  Hdt .




Это так называемый интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
В частном случае стационарного преобразования (F не зависит от времени)
~
H  H , и требование каноничности эквивалентно равенству (относительный
интегральный инвариант Пуанкаре)
 pdq   ~pdq~ .
p  J ; q~  w
Преобразование к каноническим переменным «действие-угол» ~
является стационарным. И это требование сохранения относительного
интегрального инварианта Пункаре выполнялось
 pdq   Jdw .
Примером нестационарного канонического преобразование являлся переход в
колеблющуюся систему отсчета в задаче 9
p2
p2
~ ~
x~
x  cos t ; p  ~
p  sin t; H 
 x cos t; H 
.
2
2
Докажите самостоятельно, что действительно при этом выполняется условие
сохранения интегрального инварианта Пуанкаре-Картана (8.5).
В общем случае, преобразования фазовых координат, удовлетворяющие
требованию неизменности интегрального инварианта Пуанкаре-Картана (8.5),
называются каноническими преобразованиями. Важнейшим свойством
канонических преобразований является то, что они сохраняют каноническую
форму (8.2) уравнений движения (инвариантность уравнений движения и
функции Гамильтона не требуется).
Замечание
Канонические преобразования в фазовом пространстве аналогичны ортогональным
преобразованиям в евклидовом пространстве. Запишем формально систему дифференциальных
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
64
уравнений первого порядка вида xi 
f
, где xi – координата в некоторой ортонормированной
xi
системе координат K обычного евклидова пространства. Если перейти к некоторой новой
~
dxi  aij d~
x j , то в общем случае записанные уравнения
~
f
T
~

изменятся и примут вид aki aij x j  ~ (покажите самостоятельно). Лишь в специальном
xk
системе координат K преобразованием
случае ортогонального преобразования, когда
akiT aij   jk , уравнения останутся в прежнем
виде.
Геометрия фазового пространства называется симплектической. Метрическая матрица
симплектической
геометрии
кососимметрическая.
Каноническим
(еще
говорят
симплектическим) является преобразование, при котором метрическая матрица
симплектической геометрии остается неизменной, так же как метрическая матрица евклидовой
геметрии остается неизменной при вращении и метрическая матрица пространства
Минковского (описывающая так называемую псевдоевклидовую геометрию) при
преобразованиях Лоренца. В этом смысле все три рассмотренных нами типа замечательных
преобразований – вращения, преобразования Лоренца и канонические преобразования являются
инвариантными преобразованиями своих геометрий.
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы для самоконтроля
Как определяется функция Гамильтона механической системы, и для каких
систем она существует?
Что представляют собой канонические уравнения?
Как связаны свойства функции Гамильтона с законами сохранения импульса
и энергии?
В чем особенность фазовых координат «действие-угол»?
Что такое канонические преобразования фазовых координат, и каким
условиям они должны удовлетворять?
9. Функция действие. Уравнение Гамильтона-Якоби
Действие, как функция координат и времени. Уравнение
Гамильтона-Якоби
Выражение dS = pdq – H(q, p, t)dt для интервала действия можно рассматривать
как дифференциал функции q, t, если известны p = p(q, t) и H = H(p, q, t).
Поэтому можно поставить задачу об определении конечного интервала
действия при перемещении системы из исходной точки q0, t0 пространства
событий в некоторую точку q, t.
S
S
Из вида дифференциала имеем p 
. Следовательно, имеет место
;H  
q
t
уравнение
 S

S
  H  , q, t 
(9.1)
t
 q

Уравнение (9.1) называется уравнением Гамильтона-Якоби. Это уравнение, в
отличие от всех предыдущих, является уравнением в частных производных.
В качестве упражнения запишите уравнения Гамильтона-Якоби для всех
гамильтоновых систем этого цикла, а также для свободной релятивистской
частицы на прямой x.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
65
Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и определение
закона движения
Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби называется решение,
зависящее от двух постоянных, по одной на каждый аргумент q, t.
Так как в (9.1) действие входит только через свои производные, то решение
должно иметь аддитивную постоянную. Ведь, если S решение, то S + const
также решение.
Имея полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, можно найти закон
движения механической системы. Объяснить это можно следующим образом.
Интервал действия между точками A, B имеет вид интеграла, который мы уже
B
записывали раньше S   dS . Если кривая, вдоль которой происходит подсчет
A
интервала, фиксирована, то S является функцией начальной qA, tA и конечной qB,
tB точек маршрута. Если исходная точка маршрута A фиксирована, то
дифференциал функции S(qB, tB) имеет вид dS = pBdqB - HBdtB. Если, наоборот,
фиксирована конечная точка маршрута B, то дифференциал функции S(qA, tA)
имеет тот же вид, но обратный знак dS = -pAdqA + HAdtA. Действительно, чтобы
сделать точку A конечной, достаточно переставить пределы интегрирования,
что приведет к изменению знака.
Таким образом, полный дифференциал действия, как функции начальной
(будем обозначать q0, t0) точки и текущей точки q, t, имеет вид
dS = pdq – Hdt – p0dq0 + H0dt0
(9.2)
Если найден полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то для
определения закона движения следует использовать зависимость полного
интеграла от постоянных. Из выражения (9.2) мы видим, что, если, например,
входящая в полный интеграл постоянная есть, по своему смыслу, начальная
координата q0, то верным будет соотношение
S
p0  
(9.3)
q 0
Так как полный интеграл S, а, следовательно, и его производная по q0 зависит от
координат текущей точки q, t, то равенство (9.3) есть ничто иное, как неявное
выражение закона движения q = q(t; q0, p0).
В том случае, когда постоянная, входящая в полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби имеет смысл, например, t0, из (9.2) получаем соотношение
S
H0 
, которое также является неявным выражением закона движения q =
t 0
q(t; t0, H0).
Примечание
Из выражения (9.2) для полного дифференциала действия видно, что действие как функция
начального события S (q0, t0) удовлетворяет тому же уравнению Гамильтона-Якоби (9.1), что и
действие как функция конечного события. Предположим, что найден полный интеграл
уравнения (9.1) в форме Send = S (q, t, α), где α – некоторая (не адитивная) постоянная величина.
Естественно, этот же интеграл Sstart = S (q0, t0, α) имеет место и для действия как функции
начального события. С одной стороны, соотношение (9.2) является полным дифференциалом
действия S = S (q, t, q0, t0), как функции начального и конечного событий. С другой стороны, это
же соотношение (9.2) можно рассматривать как разность дифференциалов полных интегралов
Send = S (q, t, α) и Sstart = S (q0, t0, α) уравнения Гамильтона-Якоби. Отсюда следует, что
производные
S start
S end
и
должны совпадать. Это равенство производных позволяет


выразить α через переменные q, t, q0, t0 и, тем самым, получить явное выражение для действия S
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
66
= S (q, t, q0, t0), как функции и начального и конечного событий. В качестве упражнения найдите
действие для свободной частицы как функции начального и конечного событий в пространствевремени (см., также, следующие разделы).
Определение полного интеграла методом отделения переменных
Метод отделения переменных состоит в поиске полного интеграла в виде
суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одного аргумента. В
некоторых случаях такое отделение возможно.
Мы пока рассматривали системы с одной степенью свободы, функция действия
которых зависит от двух переменных – одной координаты и времени. Поэтому
поясним суть метода отделения переменных на примере возможного отделения
зависимостей от координаты и времени. При отделении переменных мы
предполагаем, что решение представляется в виде суммы двух функций, каждая
из которых зависит только от одной переменной S(q, t) = S0(q) + S1(t). Это
выражение подставляется в уравнение Гамильтона-Якоби (9.1), где
S dS1 S dS 0
учитывается, что
.

;

t
dt q
dq
dS
dS1
Следовательно,
  H ( q, 0 , t ) .
dt
dq
Левая часть выражения не зависит от координаты. Если функция Гамильтона в
конкретной задаче не зависит от времени, то равенство возможно лишь в том
случае, когда обе части равны постоянной. Смысл этой постоянной ясен полная энергия с обратным знаком. Отсюда получаем два независимых
уравнения в полных производных
dS
dS1
  E ; H ( q, 0 )  E .
dt
dq
Первое из них сразу интегрируется S1(t) = -Et + const, а решение второго
уравнения
H(q, dS0/dq) = E
(9.4)
для укороченного действия S0(q) зависит от конкретной функции Гамильтона.
Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для системы с
постоянной энергией имеет вид
S(q, t; E) = S0(q, E) – Et + const
(9.5)
Использование зависимости полного интеграла от энергии для
определения закона движения
В качестве постоянной это решение содержит ни q0 и ни t0, рассмотренные
выше, но полную энергию E. Чтобы понять, как использовать такой полный
интеграл для определения закона движения, вернемся к выражению для полного
дифференциала действия (9.2).
Учитывая, что H0dt0 = d(H0t0) – t0dH0, перепишем (9.2) в виде dS = pdq – Hdt –
p0dq0 + d(H0t0) – t0dH0. Перенесем полный дифференциал d(H0t0) из правой части
~
в левую часть соотношения и учтем, что функция S  S  H 0 t 0 также является
решением, поскольку отличается от S только на аддитивную постоянную.
Одним из аргументов нового действия будет полная энергия E = H0, а не
начальное время t0. При этом закон движения можно получить из соотношения
S
 t 0
(9.6)
E
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
67
Определение законов движения методом Якоби-Гамильтона в
рассмотренных задачах
В начале решим для этих задач уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного
действия (9.4). Затем найдем закон движения, используя полный интеграл (9.5)
и соотношение (9.6).
Задача 1. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия в случае
свободной частицы на прямой имеет вид
2
1  dS 0 

 E.
2m  dx 
Отсюда, S 0 ( x, E )  2mE x  const . Подставляя это выражение в общее
выражение (9.5) для полного интеграла одномерной, консервативной системы и
отбрасывая аддитивную постоянную, получим действие свободной частицы на
прямой
S ( x, t ; E )  2mE x  Et
Подставим эту функцию в выражение (9.6)
S
m
 t  x
 t 0 и найдем
E
2E
2E
(t  t 0 ) .
m
Задача 3. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия частицы в
поле тяжести имеет вид
2
1  dS 0 

  mgz  E .
2m  dz 
Поэтому укороченное действие равно
S 0 ( z , E )   2m( E  mgz) dz  const .
закон движения в явном виде x 
Добавим к этому выражению - Et и продифференцируем по полной энергии,
используя формулу (9.6)
S
mdz
1 2
 t  
 t 
( E  mgz)  t0 .
E
g m
2( E  mgz)
Отсюда находим закон движения частицы в поле тяжести z = - g(t – t0)2/2 + E/mg.
Задача 4. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия свободной
частицы на окружности имеет вид
2
1  dS0 

 E.
2mR2  d 
Решение выглядит просто
S 0 ( , E )  2mR 2 E  const .
Добавив - Et до полного действия и продифференцировав по E, получим
S
mR2

  t  t0 .
E
2E
Отсюда, закон движения частицы на окружности
2E

(t  t0 ) .
mR2
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
68
Задача 5. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия частицы на
вращающемся стержне имеет вид
2
1  dS 0 
m 2 q 2

 
E.
2m  dq 
2
Поэтому укороченное действие имеет вид интеграла

m 2 q 2 
dq  const .
S 0 (q, E )   2m E 
2 

Добавив - Et и продифференцировав по полной энергии, получим
S
mdq
 t  
 t 0 .
E

m 2 q 2 

2 E 
2 

В качестве упражнения получите отсюда закон движения в явном виде при
различных значениях полной энергии.
Задача 6. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия частицы на
пружинке имеет вид
2
1  dS 0 
kx2
 E.

 
2m  dx 
2
Получаем укороченное действие в виде интеграла
S 0 ( x, E )   ` 2mE  kx2 2dx  const .
Добавив - Et и продифференцировав по полной энергии, получим
S
m dx
 t  
 t 0 .
E
2E  kx 2 2
Найдите явную зависимость x = x(t; E, t0).
В канонических переменных уравнение Гамильтона-Якоби для гармонического
осциллятора имеет вид (см. выше соответствующую функцию Гамильтона)
S
S


.
w
t
После подстановки в это уравнение выражения S(w, t) = S0(w) – Et получим
уравнение ωdS0/dw = E для укороченного действия S0(w; E). Решение выглядит
исключительно просто S0(w) = wE/ω + const = Jw + const. Таким образом,
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для гармонического
осциллятора в переменных «действие-угол» имеет вид
S(w, t; E) = Jw – Et + const.
Интересно, что функция действия в переменных «действие-угол» имеет такой
же вид для любой консервативной интегрируемой системы, совершающей
ограниченное движение.
Запишем последнее выражение для функции действия как функцию
постоянного импульса – действия J. Для этого подставим в нее E = Jω
S(w, t; J) = Jw – Jωt + const.
Производная функции S по постоянному импульсу J должна быть равна другой
постоянной – начальной координате w0 (см. (9.2))
S
 w0
J
Это дает нам закон движения w(t) = ωt + w0.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
69
Задача 7. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия плоского
математического маятника имеет вид
2
1  dS 0 

  mgl cos   E .
2ml 2  d 
Отсюда, укороченное действие равно
S 0 ( , E )   2ml 2 ( E  mgl cos  )d  const .
Добавляя - Et до полного действия и дифференцируя по полной энергии,
получим
S
ml 2 d
 t  
 t 0 .
E
2( E  mgl cos  )
В элементарных функциях интеграл не выражается, поэтому закон движения
остается в этом неявном виде.
Мы не можем записать в явном виде уравнение Гамильтона-Якоби в
переменных «действие-угол», но мы можем записать его полный интеграл
(необычная ситуация, когда уравнение выглядит сложно, а решение просто;
чаще бывает наоборот – уравнение простое, а решение сложное). В отличие от
предыдущей задачи, в случае математического маятника есть только неявное
выражение функции Гамильтона от переменной «действие» J для
математического маятника
1
J
2ml 2 ( H  mgl cos  )d
2 
Чтобы записать полное уравнение Гамильтона-Якоби для действия S(w,t) в этом
случае нам пришлось бы заменить функцию Гамильтона производной -∂S/∂t.
Пришлось бы также учесть, что в области колебаний от H зависит не только
подынтегральное выражение, но и пределы интегрирования. Переменная
действие при этом заменяется производной ∂S/∂w. Уравнение для укороченного
действия S0(w) выглядит проще, так как в нем функция Гамильтона равна
просто постоянной энергии
dS 0
1

2ml 2 E  mgl cos  d .
dw 2 
Оно сразу интегрируется S0(w) = Jw + const. Поэтому полный интеграл имеет
вид S(w,t) = Jw – Et + const. Результат по форме тот же, что в предыдущей
задаче о гармоническом осцилляторе. Однако связь между постоянными J и E
другая. Если в качестве независимой постоянной выбрать J, то закон движения
получится из условия
S
E
 w
t  w0 .
J
J
Выше (6.2) было показано, что ∂E/∂J = ω – частота колебаний (или вращения)
маятника. Следовательно, угловая координата в случае нелинейного маятника
меняется по тому же закону w(t) = ω(J)t + w0, что и в случае гармонического
осциллятора. Только частота зависит от начальных условий – значения действия
J или энергии E.
Задача 8. Уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия заряда на
окружности имеет вид
1
2mR 2
2
 dS 0 
e2

  k
 E.
2 R sin(  / 2)
 d 
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
70
Отсюда, укороченное действие равно
S 0 ( , E )   2mR 2 ( E  ke2 / 2 R sin(  / 2)) d  const .
Добавляя - Et до полного действия и дифференцируя по полной энергии,
получим
mR 2 d
S
 t  
 t 0 .
E
2( E  ke 2 / 2 R sin(  / 2))
В элементарных функциях интеграл не выражается, поэтому закон движения
остается в этом неявном виде.
Как и в предыдущей задаче о математическом маятнике, мы можем получить
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в переменных «действие-угол».
Рассуждения и результат идентичны
S(w, t; E) = Jw – Et + const.
Отличие лишь в зависимости E(J). Так же, как и в предыдущей задаче, закон
движения в переменных «действие-угол» имеет вид w(t) = ω(J)t + w0, но, опять
же, со своей зависимостью частоты колебаний ω(J) от начальных условий.
Замечание. Метод отделения переменных, использованный в задачах 1, 3-8, нельзя применить
при решении задачи 9 о движении в осциллирующем поле, так как функция Гамильтона этой
задачи зависит явно от времени. Но переход в колеблющуюся систему отсчета
x~
x  cos t ; p  ~
p  sin t
превратит задачу 9 в задачу о свободной частице на прямой линии, которая тут же
интегрируется.
Канонические преобразования. Производящие функции
В предыдущем разделе мы рассматривали канонические преобразования
фазовых координат. Это такие преобразования, при которых соотношения
p должно
между прежними фазовыми координатами q, p и новыми q~ , ~
подчиняться условию
~
pdq  Hdt  ~
pdq~  Hdt  dF ,
(9.7)
где F – произвольная функция координат, остающихся фиксированными на
краях интервала действия. Задавая функцию F, мы фактически задаем
преобразование, поэтому функция F называется производящей функцией. Вот
как это выглядит.
Предположим, что функция F зависит от переменных q, q~, t . Тогда из
выписанного соотношения сразу следует, что каноническое преобразование
будет иметь вид
F ~
F
(9.8)
p
;p ~ .
q
q
Из того же выражения (9.7) следует, как это уже отмечалось выше, что прежняя
и новая функции Гамильтона связаны формулой
F
~
H H 
.
t
Рассмотрим важный пример: движение есть каноническое преобразование.
Сравним выражение (9.7) с полным дифференциалом действия (9.2)
dS = pdq – Hdt – p0dq0 + H0dt0
Пусть «новыми» фазовыми координатами в выражении (9.7) являются
p  p0 , а «новой» функцией Гамильтона
начальные фазовые координаты q~  q0 ; ~
– начальная функция H0. Тогда левая часть условия каноничности (9.7) примет


©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
71
вид pdq – (H – H0)dt – p0dq0. Если отсчитывать энергию H от начального уровня
H0, то H0 = 0. Тогда выражение для полного интеграла действия (9.2) совпадает
с условием каноничности (9.7). Поэтому действие S = S(q0, q, t) является
производящей функцией канонического преобразования, соответствующего
движению механической системы. Новые фазовые координаты выбираются
таким образом, чтобы состояние движущейся системы было в них неизменным
и совпадающим с начальным состоянием q0, p0.
Не всегда производящая функция канонического преобразования может
зависеть от прежних и новых координат. Действительно, из выражений (9.8)
следует, что, если в качестве независимых переменных выбирать прежние и
новые координаты, то каноническое преобразование примет вид функций
p  p(q, q~ ); ~
p~
p (q, q~) , где независимыми переменными являются прежние и
новые координаты. Для явного получения из этих соотношений новых
координат и импульсов через прежние, либо прежних через новые требуется,
чтобы производные q~ p и ~
p q не равнялись нулю. В то же время, для
p~
p (q, p) требуется неравенство
обратимости преобразований q~  q~(q, p); ~
нулю якобиана
 q~ q~ 


q p 
det  ~
 0.
p
 p ~
 q p 


~
Но неравенство нулю производных q p, ~
p q не является, как мы видим,
необходимым для этого условием. Другими словами, производные q~ p, ~
p q
могут равняться нулю, но преобразование все-таки будет каноническим, хотя
его и нельзя будет записать, выбирая в качестве независимых переменных
прежние и новые координаты.
p  p . Оно,
Пример очень прост – тождественное преобразование q~  q; ~
естественно, каноническое, его якобиан не равен нулю (посчитайте
самостоятельно), но отмеченные выше производные q~ p, ~
p q равны нулю.
~
Поэтому q и q не могут служить независимыми переменными при
тождественном
преобразовании.
Другими
словами,
тождественное
преобразование не может быть получено из производящей функции, зависящей
от прежних и новых координат.
Производящая функция тождественного преобразования все же существует.
pdq~  d ( ~
pq~ )  q~d~
p в
Для того чтобы найти ее, произведем преобразование ~
~
~
левой части соотношения (9.7) и, перенеся полный дифференциал d ( pq ) в
p  F . Получим новую форму условия
правую часть, обозначим   q~~
каноничности преобразований
~
pdq  q~d~
p  H  H dt  d (9.9)
Производящую функцию Φ естественно считать зависящей от переменных
q, ~
p , t . Тогда каноническое преобразование примет вид
 ~ 
p
; q  ~ (9.10).
q
p
Покажите, что производящей функцией тождественного канонического
p с точностью до аддитивной функции времени.
преобразования является   q~
Последняя несущественна, так как ведет лишь к добавке функции времени к


©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
72
функции Гамильтона и, тем самым, не влияет на уравнения движения. Ответьте
на вопрос, каким условиям должны удовлетворять преобразования, чтобы
производящая функция зависела от переменных q, ~
p?
Теперь найдем производящую функцию уже встречавшихся нам
преобразований перехода в произвольную систему отсчета q~  f (q, t ) . Такое
преобразование называется точечным. При точечном преобразовании меняется,
вообще говоря, функция Лагранжа
~
L(q , q, t )  L ( f (q, q , t ), f (q, t ), t )
и импульс
~
~
L L f L f ~ f
.
p
 ~
 ~
p
q q q q q
q
Подставляя эти соотношения в (9.10), получаем производящую функцию
точечного преобразования в виде (опять же с точностью до аддитивной
функции времени)
 ( q, ~
p , t )  f ( q, t ) ~
p.
Наконец, для полноты картины, получим производящую функцию
преобразования к фазовым координатам «действие-угол».
Будем искать ее в переменных q, J – «старая координата – новый импульс».
Согласно (9.9) имеем
~
pdq  wdJ  H  H dt  d
Отсюда получаем два уравнения для производящей функции Φ(q, J):


 p;
 w . (9.11)
q
J
Интегрируя первое из них, получаем
   pdq  F ( J , t ) . (9.12)


Первое слагаемое в правой части есть уже знакомая нам функция – укороченное
действие S0(q) (см. (9.4)). Выражение для импульса под интегралом p = p(q,E)
содержит полную энергию, которая, в свою очередь есть функция J. Поэтому
первое слагаемое имеет вид функции
S 0 (q, J )   pq, E ( J ) dq . (9.13)
Подставим функцию Φ (9.12) во второе уравнение (9.11). Это даст
 S 0 F


 w.
J
J J
Займемся первым слагаемым
S 0
p
p E
.
  dq  
dq
J
J
E J
Используя канонические уравнения
~
H
H
 w    const ;
 q ,
J
p
получаем
S 0
w
w dq

dq  
  dw  w .
J
E p
q
Следовательно, функция F в выражении (9.12) не зависит от J, а может зависеть
только от времени. Добавка функции времени к производящей функции Φ не
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
73
существенна. Отсюда заключаем, что производящей функцией перехода к
каноническим переменным w, J является укороченное действие (9.13).
И последнее. Добавление к функции Лагранжа полной производной по времени
df (q, t )
~
произвольной функции координат и времени L  L 
также является
dt
каноническим преобразованием. При этом (покажите!) q~  q; ~
p  p  f q .
Найдите производящую функцию этого преобразования в переменных q, ~
p.
Вопросы для самоконтроля
1. Что представляет собой уравнение Гамильтона-Якоби?
2. Что такое полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, и как, найдя этот
интеграл, можно найти закон движения системы?
3. Найдите закон движения в задачах 1, 3 - 8, используя метод ЯкобиГамильтона.
4. Что такое производящая функция канонического преобразования?
5. Как выглядят производящие функции движения, тождественного
преобразования, точечного преобразования и перехода к переменным
«действие-угол»?
Здесь, выбрав курс «Механика», Вы найдете тесты по циклу 0.
Комментарии и выводы к циклу 0
1. Механическая система полностью определена своими уравнениями
движения. Это, согласно принципу детерминизма, дифференциальные
уравнения в обыкновенных производных второго порядка относительно
неизвестной координаты как функции времени q  f (q, q , t ) . Такие
уравнения могут быть записаны также в виде пары уравнений первого
порядка относительно двух независимых величин - координаты и импульса,
как функций времени q  f q (q, p, t ); p  f p (q, p, t ) .
2. Решение уравнений движения, то есть собственно процесс движения
механической системы удобно рассматривать как перемещение абстрактной
точки в некотором пространстве координат, импульсов и, в общем случае,
времени. Удобство в том, что кривые, которые описывает точка-состояние в
пространстве q, t, p, не имеют точек пересечения. Так что пространство q, t,
p расслоено на отдельные кривые. Такое пространство именуют
пространством состояний механической системы, или фазовым
пространством.
Обычно фазовым пространством называют пространство с координатами q,
p, а фазовое пространство с осью времени называют расширенным фазовым
пространством.
3. В случае, когда движение консервативной одномерной системы сводится к
колебаниям или вращению (задачи 4, 6 – 8), то удобно в качестве фазовых
координат выбирать канонические переменные, или переменные
1
pdq , играющее
«действие-угол». Удобство в том, что действие J 
2 
роль нового импульса, остается неизменным в процессе вращения или
колебания. При этом вторая фазовая координата – угол w меняется с
постоянной скоростью, равной угловой скорости колебаний или вращения
системы. Канонические переменные отражают свойство цикличности
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
74
движения в задачах 4, 6 - 8 и соответствующую циклическую структуру
фазового пространства. Эти переменные можно сравнить с полярными
координатами в евклидовом пространстве. Будучи постоянным, действие J
играет роль постоянного радиуса окружности «длиной» 2J   pdq . В
расширенном фазовом пространстве в случае колебаний и вращения время
можно считать замкнутым. Тогда фазовые траектории лежат на отдельных
торах J = const расширенного фазового пространства. «Координатами»,
определяющими положение частицы на таком торе, являются углы w и 2πt/T.
В канонических переменных частица движется равномерно, описывая
полный цикл за период колебания/вращения.
4. Каждое бесконечно малое смещение δq, δp, δt = ε вблизи состояния q, p, t
определяется уравнениями движения δq = εfq(q, p, t); δp = εfp(q, p, t). С одной
стороны такое преобразование можно рассматривать как пассивное
преобразование фазовых координат, или преобразование системы отсчета,
сопровождающей движение механической системы. В общем случае такое
преобразование локально. Это означает, что функции fq и fp не сводятся к
постоянным величинам, но зависят от точки фазового пространства. С
другой стороны, указанное преобразование можно рассматривать как
активное движение, или фазовый поток частиц. Фазовый поток
воспроизводит поведение механической системы при различных начальных
условиях движения. Повторим еще раз, что важнейшим свойством фазового
потока является то, что траектории движения частиц в потоке не
пересекаются. Все траектории, взятые вместе, образуют фазовое
пространство. Именно свойства фазового пространства отличают одну
механическую систему от другой, или один класс механических систем от
другого.
5. Образуем бесконечно малую площадку в фазовом пространстве и обозначим
ее площадь dq^dp. После бесконечно малого преобразования движения
q~  q  q; ~
p  p  p мы получим площадь dq~  d~
p в новых фазовых
координатах. Связь между этими площадями можно найти по формуле,
p  Jdq  dp . Здесь J - якобиан преобразования
известной из анализа dq~  d~
(не путать с «действием»!), равный
f q
f q 
 q~ q~  



 1 

q

p

q

p

  1    f q  f p  .

J  ~
~
 q p 
f p 
 p p   f p


1 

 q p   
q
p 

 
Существует особый класс механических систем, для которых
преобразование движения не изменяет площади в фазовом пространстве, то
есть, фазовый поток оказывается не сжимаемым. Для таких систем должно
f q
f p
выполняться условие
, обращающее в ноль второе слагаемое в

q
p
выражении для якобиана. Это гамильтоновы системы. Каждая из них
определяется одной функцией состояния, функцией Гамильтона H(q, p, t).
Функции fq, fp очень просто выражаются через функцию Гамильтона
H
H
fq 
; fp  
, автоматически удовлетворяя записанному выше
p
q
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
75
условию не сжимаемости фазового потока. (Посчитайте записанный якобиан
для задачи с диссипацией).
6. Условие не сжимаемости фазового потока эквивалентно условию
каноничности
преобразования
фазовых
координат.
Движение
гамильтоновой
системы
может
рассматриваться
как
пассивное
преобразование одних фазовых координат q, p, описывающих состояние
системы в настоящем, к другим q0, p0 - представляющим состояние системы
в начальный момент времени. Производящей функцией движения является
действие S(q, q0, t), как функция текущего события и начального положения.
Мы встречались и с другими примерами канонических преобразований. Так,
каноническим является также преобразование от обычных фазовых
координат q, p к переменным «действие-угол» J, w. Производящей функцией
является укороченное действие S0(q, J). Другой пример канонического
преобразования – переход в колеблющуюся систему отсчета в задаче 9. Это
частный случай точечного преобразования. В общем, каноническим
является любое неособенное преобразование фазовых координат, при
котором система остается гамильтоновой.
Механическая система задачи 2 не относится к гамильтоновым системам. Ее
закон движения является примером не канонического преобразования. В ней
фазовый поток сжимается до нуля, так как все состояния стягиваются в
прямую линию p = 0. Другими словами, при диссипации размерность
фазового пространства системы уменьшается. Системы остальных задач
нулевого цикла являются гамильтоновыми.
7. Гамильтоновы системы позволяют ввести в рассмотрение действие,
интервал которого в пространстве событий имеет вид dS = pdq – Hdt.
Примечание. В расширенном фазовом пространстве существует ось времени, как одна из
координат. Этой новой «координате» t можно сопоставить «импульс», который мы
обозначим p0. Можно доказать строго, что этим импульсом является функция Гамильтона с
обратным знаком. Вот это доказательство.
Рассматривая время, как равноправную координату гамильтоновой системы, мы должны
записать уравнения движения в виде




t 
(1); p 0  
(2); q 
(3); p  
(4)
p 0
t
p
q
Мы обозначили Ω новую «функцию Гамильтона». Функция Ω = Ω(q, p, t, p0) зависит уже не
только от состояния q, p, t, но и от «импульса» p0. Найдем эту функцию из условия
соответствия выписанных уравнений обычным уравнениям движения.
Из (1) получаем t  1 
состояния.
Из (3) получаем
q 

. То есть, Ω = p0 + f(q, p, t). Здесь f пока произвольная функция
p 0
H  f
. То есть, f = H + φ(q, t), где φ пока произвольная


p
p p
функция координат и времени.
Из (4) получаем
p  
Отсюда
( p0  H   )
H



.
q
q
q

 0 . То есть, функция φ зависит на самом деле только от времени. Таким
q
образом, Ω = p0 + f = p0 + H + φ(t).
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
76
Отсюда полная производная по времени
p 0  

f
.

t
t
d
df
 p 0 
. Из уравнения (2) следует, что
dt
dt
Подставляя это в предыдущее выражение, получим
d
f df f
f
H
H
 

q 
p 
q 
p  0 .
dt
t dt q
p
q
p
Следовательно, Ω = const и p0 = - H - φ(t) – const = - H + F(t), что и требовалось доказать.
Отличие p0 от - H на функцию времени вносит лишь несущественное изменение в

выражение для dS, добавляя к нему полный дифференциал d F (t ) dt . Последнее, как
известно, не меняет значение интеграла по замкнутому контуру.
Примечателен также тот факт, что «функция Гамильтона» Ω расширенной системы
сохраняется всегда, в отличие от обычной функции Гамильтона H (энергии), которая
сохраняется лишь для стационарных систем (из канонических уравнений следует, что
dH H

).
dt
t
B
8. Требованию
стационарности
действия
S [q (t )]   dS
между
A
фиксированными точками A, B пространства событий удовлетворяет та
пространственно-временная траектории движения системы, которая
является решением уравнений движения в канонической форме
d  L  L
H
H
 
, а также в форме уравнений Лагранжа
 0.
q 
; p  
dt  q  q
p
q
Функция Лагранжа
dS
L(q, q , t ) 
 p (q, q , t )q  H (q, p (q, q , t ), t )
dt
зависит, в отличие от функции Гамильтона, не от импульса и координаты, а
от координаты и скорости.
9. Действие S, будучи рассмотрена как функция текущего положения q, t
механической системы в пространстве-времени при заданном начальном
положении q0, t0, удовлетворяет так называемому уравнению ГамильтонаS
S
Якоби
  H ( q, , t ) .
t
q
Полный дифференциал действия как функции начального и текущего
положений в пространстве-времени имеет вид dS = pdq – Edt – (p0dq0 –
E0dt0). Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби содержит (в случае
одной степени свободы) две постоянные. Одна из них аддитивна (если S
решение уравнения, то S’ = S + const также является решением). Зная
полный интеграл, можно найти закон движения.
Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби особенно просто выглядит в
переменных «действие-угол», если система консервативная и ее
пространство замкнуто (задачи 4, 6 – 8). В этом случае действие является
простейшей линейной функцией равномерно меняющихся величин w и t
вида S(w, t) = Jw – Et + const . Другими словами, действие меняется линейно
в зависимости от специально выбранных координат пространства-времени
w, t. Оказывается, что и в общем случае консервативной интегрируемой
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
77
системы с несколькими степенями свободы действие линейно зависит от
«углов» в переменных «действие-угол».
10. В общем случае уравнения движения механической системы не являются
аналитически интегрируемыми. Однако, наличие в некоторых конкретных
случаях интегралов движения (законов сохранения) позволяет найти
решение в общем, аналитическом виде. Все рассмотренные задачи имеют
такие интегралы движения.
В задачах 1 и 4 уравнения движения не содержат координат. Это системы с
однородным пространством. В задаче 1 сохраняется импульс, а в задаче 4 –
момент импульса.
Системы 1, 3 - 8 являются консервативными. Их уравнения движения не
содержат явно времени, их время однородно и их энергия сохраняется. Они
стационарны, поэтому в их описании достаточно использовать обычное
фазовое пространство q, p. Сохраняющаяся энергия при каждом своем
значении E задает фазовую кривую E = E(q, p). Это кривые, на которые
расслаивается обычное фазовое пространство, и поверхности, на которые
расслаивается расширенное фазовое пространство консервативной системы.
Система 2 является диссипативной. Закон движения можно записать в виде x
= -p0e-t + x∞; p = p0e-t. Здесь явно присутствует две постоянных, которые
собственно и являются интегралами движения – функциями состояния
системы, не меняющимися со временем. Так, постоянная p0 = pet является
первым интегралом движения. Сохранение этой функции связано с
однородностью пространства этой задачи (уравнения движения не зависят
от координаты). С однородностью времени связано сохранение другой
функции (в данном случае, зависящей от первой) E0 = p02/2 = Ee2t –
начальной энергии. В расширенном конфигурационном пространстве
каждое значение первого интеграла p0 = pet отвечает поверхности, на
которой лежат фазовые траектории. Уравнения этих траекторий
определяются значениями второго интеграла движения x∞ = x + p0e-t = const.
Эта постоянная имеет смысл конечного значения координаты при
неизбежной полной остановке системы. Обычное фазовое пространство
частицы, движущейся в среде с линейной диссипацией, расслаивается на
прямые наклонные лучи x + p = x∞ = const, начинающиеся как угодно далеко
от оси p = 0, но оканчивающиеся всегда на оси p = 0.
Система 9 является нестационарной, так как уравнения движения явно
зависят от времени – ее время неоднородно. Из закона движения x = p0t –
cost + x0 + 1, p = p0 + sint видно, что есть два интеграла движения x0 и p0.
Первый интеграл p0 = p – sint. Он связан с однородностью пространства
задачи и определяет семейство поверхностей в расширенном фазовом
пространстве, на которые это пространство расслаивается. Второй интеграл
x0 = x - p0t + cost – 1 определяет различные фазовые траектории на этой
поверхности.
Подумайте самостоятельно над задачей 3, пространство которой также
однородно. Импульс в поле тяжести естественно не сохраняется. А что
сохраняется в связи с однородностью пространства в этой задаче?
Таким образом, решение вопроса об аналитической интегрируемости
уравнений движения механических систем связано с геометрическими
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
78
свойствами фазового пространства этой системы. Свойства эти проявляются
в симметрии, или ее отсутствии, уравнений движения относительно
преобразований фазовых координат, включая время. При достаточной
симметрии фазовое пространство расслаивается на отдельные поверхности
(линии в простейшем случае одномерной стационарной системы и обычного
фазового пространства) и уравнения движения оказываются аналитически
интегрируемыми.
Основываясь на изложенном материале, можно подвести следующее
Резюме
1. Понятие «механическая система» эквивалентно конкретным уравнениям
движения вида q  f (q, q , t ) или q  f q (q, p, t ); p  f p (q, p, t ) .
2. Каждое частное решение уравнений движения есть закон движения q = q(t;
q0, p0, t0); p = p(t; q0, p0, t0) при заданном начальном состоянии q0, p0, t0.
3. Закон движения представляет собой фазовую траекторию в пространстве
состояний с координатами q, p, t.
4. Фазовые траектории не имеют точек самопересечения и образуют в целом
фазовое пространство механической системы.
5. Фазовое пространство индивидуально для конкретных уравнений движения
и, тем самым, для конкретной механической системы. Понятие
«механическая система» является эквивалентным понятию «фазовое
пространство».
6. Масштабы координат фазового пространства q, p, t произвольны и
определяются тремя независимыми масштабами массы, длины и времени.
Изменение этих масштабов не влияет на структуру фазового пространства,
но лишь деформирует фазовые траектории (превращая, например,
окружность в эллипс и т.п.). Выбор масштабов обусловлен значениями
параметров реальной механической системы. Фиксация масштабов
превращает задачи нулевого цикла в задачи без параметров.
7. Механические системы подразделяются на гамильтоновы и не
гамильтоновы. У гамильтоновых систем фазовые траектории образуют
несжимаемый фазовый поток. Другими словами, объем, который
занимали состояния механической системы в начальный момент времени,
остается неизменным в процессе движения систем. Речь идет здесь о
совершенно одинаковых механических системах, имеющих различные
начальные условия движения.
8. Гамильтоновы системы описываются функцией Гамильтона H = H(q, p, t) и
их уравнения движения имеют вид канонических уравнений
H
H
.
q 
; p  
p
q
9. Подпространством фазового пространства является конфигурационное
пространство-время с координатами q, t, или пространство событий.
Вблизи каждой точки пространства событий гамильтоновой системы может
быть введена скалярная функция dS(q, t) = pdq – Hdt – интервал действия.
10. Интервал действия можно записать в виде dS (q, t )  L(q, q , t )dt .
Тогда
L(q, q , t )  p(q, q , t )q  H (q, p(q, q , t ), t ) функция Лагранжа.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
79
Гамильтонова система, в которой между обобщенным импульсом,
L
координатой и скоростью существует соотношение p 
, является
q
лагранжевой системой.
11. Канонические уравнения гамильтоновой системы эквивалентны уравнениям
d  L  L
 
Лагранжа
 0 лагранжевой системы. Это уравнения движения
dt  q  q
в форме дифференциальных уравнений второго порядка для неизвестной
функции q = q(t).
12. Канонические уравнения, равно как и уравнения Лагранжа, могут быть
получены как следствие утверждения, известного как принцип
наименьшего действия Гамильтона. Интеграл действие
B
tB
A
tA
 dS   Ldt ,
взятый между двумя фиксированными точками (вообще говоря, достаточно
близкими) A и B конфигурационного пространства-времени имеет
минимальное значение вдоль кривой q = q(t), отвечающей закону движения
лагранжевой системы.
13. Действие S = S(q, t), посчитанное вдоль закона движения при фиксированной
начальной точке пространства-времени, является функцией конечной точки
q, t. Из вида дифференциала этой функции следует уравнение ГамильтонаS
S
Якоби H (q, , t )   . Это дифференциальное уравнение в частных
q
t
производных для неизвестной функции действия.
14. Полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби есть решение уравнения,
содержащее две постоянных α, const (мы рассматриваем системы с одной
степенью свободы!) S = S(q, t, α) + const. Постоянная const является
аддитивной. Дифференцируя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
по неаддитивной постоянной α, и приравнивая результат новой постоянной
β, получим закон движения механической системы q = q(t; α, β) в виде
S (q, t ; )
  . Если неаддитивной постоянной α (как в случае одномерной

консервативной системы) является энергия, то постоянная β имеет смысл –
t0 .
15. Преобразования фазовых координат q, p, t, оставляющие систему
гамильтоновой, называются каноническими преобразованиями. Движение
гамильтоновой системы является основным примером канонического
преобразования. Другими примерами канонических преобразований
является переход к переменным «действие-угол» в задачах 6 – 8 и переход в
колеблющуюся систему отсчета в задаче 9. Эквивалентными критериями
каноничности преобразования фазовых координат являются сохранение
фазового объема в прежних и новых координатах, сохранение канонической
формы уравнений движения и равенство интегралов
~
  pdx  Hdt    ~pd~x  Hdt


Последний интеграл называют интегральным инвариантом ПуанкареКартана. Каждому каноническому преобразованию отвечает производящая
функция.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
80
16. Целью канонических преобразований (как и вообще целью выбора
специальных координат) является использование симметрии механической
системы, заложенной в ее уравнениях движения. Эта симметрия проявляет
себя в специфической структуре фазового пространства, которое в ряде
случаев оказывается расслоенным не просто на отдельные фазовые
траектории, но на подпространства (поверхности). Уравнения этих
поверхностей есть интегралы движения, или законы сохранения. Так,
например, закон сохранения энергии консервативной системы E(q, p) = const
есть поверхность в фазовом пространстве (в одномерном случае обычного
фазового пространства – кривая), на которой находятся все фазовые
траектории заданной энергии (эргодическая поверхность).
17. Использование симметрии системы очень важно при выборе системы
координат или, в общем случае, системы отсчета. Так, выбрав
неинерциальную систему отсчета для описания движения свободной
частицы, мы получим верные, но неоправданно сложные уравнения
движения. Решив эти уравнения, мы найдем верный, но сложный закон
движения. Так, сравнительно простое движение планет вокруг Солнца
выглядит очень запутанным с точки зрения земного наблюдателя,
связанного с движущейся Землей. Понадобилась не одна сотня лет, чтобы
люди поняли, что запутанность траекторий планет связана лишь с
неудачным выбором системы отсчета, но не с реальной сложностью законов,
управляющих этим движением. С другой стороны, переход в
неинерциальную систему отсчета может упростить решение некоторых
задач. Так, переход в систему отсчета падающего лифта приводит к тому,
что частица, движущаяся в поле тяжести, ведет себя как свободная частица.
Переход в колеблющуюся систему отсчета в задаче 9 о движении в
гармонически колеблющемся поле так же делает частицу свободной.
Преобразования систем отсчета в этих задачах являются частными
примерами точечных канонических преобразований.
©Фомин Георгий Викторович. Теормех. ЮФУ. 2009. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm