34_Законы теплового излучения

ГЛАВА 7
КВАНТОВООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ.
ФИЗИКА АТОМА
§ 34. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Основные формулы
• Закон Стефана — Больцмана
Мe=T4
где Me — энергетическая светимость черного тела; Т — термодинамическая температура;  — постоянная Стефана — Больцмана
[ = 5,67*10-8 Вт/(м2*К4)].
• Энергетическая светимость серого тела
Мe=εT4
где ε — коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого
тела.
• Закон смещения Вина
λm=b/T,
где λm — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b—постоянная закона смещения Вина (b=2,9010-3 м*К).
• Формула Планка
2hc 2
где Mλ,T , M,T— спектральные плотно e
 1 сти энергетической светимости черного тела; λ — длина волны;  — кругоh ` 3
1
вая частота; с— скорость света в вакуM  ,T  2 2 h ` /( kT )
4 c e
 1 уме; k — постоянная Больцмана; Т —
термодинамическая температура; h—постоянная Планка; ħ=h/(2π) постоянная Планка, деленная на 2π*.
• Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости от температуры
(Mλ,T)max=CT5,
где С—постоянная [С= 1,30*10-5 Вт/м3*K5)].
M  , 
5
1
hc /( kT )
*Первоначально постоянной Планка называлась величина h=6,63*10-34Дж*с. Позднее
постоянной Планка стали называть также величину ħ=h/(2π)=1,05*10-34 Дж*с. При
дальнейшем изложении в данном пособии все больше будет отдаваться предпочтение
величине ħ.
360
Примеры решения задач
Пример 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ=500 нм Принимая Солнце за
черное тело, определить. 1) энергетическую светимость Me Солнца;
2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.
Решение 1. Энергетическая светимость Me черного тела выражается формулой Стефана — Больцмана
Мe=T4
(1)
Температура излучающей поверхности может быть определена из
закона смещения Вина. λm=b/T. Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в формулу (1), получим
Мe= (bλm)4,
(2)
Произведя вычисления по формуле (2), найдем
Мe =64 МВт/м2.
2. Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению
энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности.
Фе = 4πr2Me ,
(3)
где r — радиус Солнца
Подставив в формулу (3) значения π, r и Мe и произведя вычисления, получим
Фе =3,9*1026 Вт.
3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t=1 с, определим, применив закон пропорциональности
массы и энергии Е=тс2. Энергия электромагнитных волн, излучаемых
за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время Е=Фt. Следовательно, Фе = тс2, откуда т= Фе /с2
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
m = 4,3*109 кг.
Пример 2. Длина волны λm , на которую приходится максимум
энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (Mλ,T)max , рассчитанную на интервал длин волн ∆λ=1нм, вблизи λm.
361
Решение. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости пропорциональна пятой степени температуры
Кельвина и выражается формулой
(Mλ,T)max = СТ5.
(1)
Температуру Т выразим из закона смещения Вина λm =b/Т, откуда
Т=b/λт
Подставив полученное выражение температуры в формулу
(1),
найдем
(Mλ,T)max=C(b/λm)5,
В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный
интервал длин волн ∆λ=1 м. По условию же задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С
в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:
С=1,30*10-5 Вт/(м3К5)=1,30*10-5 Вт/(м2*м*K5) =
=1,30*10-14 Вт/(м2*нм*К5).
Вычисление по формуле (2)
дает
(rλ,T)max=40,6 кВт/(м*нм).
Задачи
Закон Стефана—Больцмана
34.1. Определить температуру Т, при которой энергетическая светимость Me черного тела равна 10 кВт/м2 .
34.2. Поток энергии Фе, излучаемый из смотрового окошка плавильной печи, равен 34 Вт. Определить температуру Т печи, если
площадь отверстия S = 6 см2.
34.3. Определить энергию W излучаемую за время t= 1 мин из
смотрового окошка площадью S=8 см2 плавильной печи, если ее температура T=1,2 кК.
34.4. Температура Т верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК,
Определить поток энергии Фе, излучаемый с поверхности площадью
S=1 км2 этой звезды.
34.5. Определить относительное увеличение ∆ Me/Me энергетической светимости черного тела при увеличении его температуры на
1%.
362
34.6. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость Me возросла в два раза?
34.7. Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его
энергетическую светимость Me и температуру Т его поверхности.
Солнечный диск виден с Земли под углом  =32’. Солнечная постоянная *С=1,4 кДж/(м2*с).
* Солнечной постоянной называется величина, равная поверхностной плотности
потока энергии излучения Солнца вне земной атмосферы на среднем расстоянии от
Земли до Солнца.
34.8. Определить установившуюся температуру Т зачерненной металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным
лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до
Солнца. Значение солнечной постоянной приведено в предыдущей
задаче.
34.9. Принимая коэффициент теплового излучения в угля при температуре T=600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую светимость Me угля; 2) энергию W, излучаемую с поверхности угля с площадью S = 5 см2 за время t=10 мин.
34.10. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре
T=400 К за время t=5 мин излучается энергия W=83 Дж. Определить
коэффициент теплового излучения ε сажи.
34.11. Муфельная печь потребляет мощность Р=1 кВт. Температура Т ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S=25 см2 равна 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как
черное тело, определить, какая часть  мощности рассеивается стенками.
34.12. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело,
находящееся при температуре T=280 К. Определить коэффициент
теплового излучения ε Земли, если энергетическая светимость Me ее
поверхности равна 325 кДж/(м2*ч).
34.13. Мощность Р излучения шара радиусом R= 10 см при некоторой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту температуру,
считая шар серым телом с коэффициентом теплового излучения ε
=0,25.
363
Закон Вина. Формула Планка
34.14. На какую длину волны λm приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости (Mλ,T)max черного тела
при температуре t=0°С?
34.15. Температура верхних слоев Солнца равна 5,3 кК. Считая
Солнце черным телом, определить длину волны λm , которой соответствует максимальная спектральная плотность энергетической светимости (Mλ,T)max Солнца.
34.16. Определить температуру Т черного тела, при которой максимум спектральной плотности энергетической светимости (Mλ,T)max
приходится на красную границу видимого спектра (λ1 =750 нм); на
фиолетовую (λ2=380 нм).
34.17. Максимум спектральной плотности энергетической светимости (Mλ,T)max яркой звезды Арктур приходится на длину волны λm
=580 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, определить
температуру Т поверхности звезды.
34.18. Вследствие изменения температуры черного тела максимум
спектральной плотности (Mλ,T)max сместился с λ1=2,4 мкм на λ2=0,8
мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость Me
тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?
34.19. При увеличении термодинамической температуры. Т черного тела в два раза длина волны λm на которую приходится максимум
спектральной плотности энергетической светимости (Mλ,T)max , уменьшилась на ∆λ =400 нм. Определить начальную и конечную температуры T1 и T2.
34.20. Эталон единицы силы света — кандела — представляет собой полный (излучающий волны всех длин) излучатель, поверхность
которого площадью S = 0,5305 мм2 имеет температуру t затвердевания платины, равную 1063 °С. Определить мощность Р излучателя.
34.21. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости (Mλ,T)max черного тела равна 4,16*1011 (Вт/м2)/м. На какую
длину волны λm она приходится?
34.22. Температура Т черного тела равна 2 кК. Определить:
1) спектральную плотность энергетической светимости (Mλ,T) для длины волны λ=600 нм; 2) энергетическую светимость Me в интервале
364
длин волн от λ1=590 нм до λ2 =610 нм. Принять, что средняя спектральная плотность энергетической светимости тела в этом интервале
равна значению, найденному для длины волны λ=600 нм.
365