С. Элементы планиметрии 2

СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1
Тема 2
Элементы планиметрии
Теоремы синусов, косинусов.
Решение косоугольных треугольников
Тема 3
Трапеция, ромб, квадрат, параллелограмм.
С.
2
9
11
Решение задач
Ответы
19
1
Тема 1 Элементы планиметрии.
Геометрия - это наука о свойствах геометрических
фигур.
Планиметрия - это раздел геометрии, в котором
изучаются фигуры на плоскости.
Основные геометрические фигуры на плоскости точка и прямая.
Точки обозначаются: А, В, С, … ; прямые – а, b, с, … .
Рис 1
Отрезок – часть прямой, которая состоит из всех
точек этой прямой, лежащей между двумя данными
точками.
Рис 2
Полупрямая или луч – часть прямой, ограниченной
точкой.
Рис 3
Углом называется фигура, которая состоит из точки –
вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих
из этой точки, сторон угла.
Обозначается
Рис 4
2
 A или BAC .
Виды углов:
Рис 5
Треугольником называется фигура, которая состоит
из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех
отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Точки называются вершинами треугольника, а
отрезки – его сторонами.
Обозначают: ∆АВС
Вершина: А, В, С.
Стороны: АВ, ВС, АС или а,в,с.
Рис 6
Виды треугольников: а) разносторонний,
б) равносторонний, в) равнобедренный, г) прямоугольный,
д) тупоугольный (косоугольный).
а)
б)
д)
Рис 7
3
в)
е)
В
геометрии
рассматриваются
элементы
треугольника: стороны, углы, периметр, площадь,
биссектрисы, медианы, высоты и др.
Высотой треугольника, опущенной из данной
вершины, называется перпендикуляр, проведенный из
этой вершины к прямой, содержащей противолежащую
сторону треугольника (рис. 8).
Рис 8
Биссектрисой треугольника, проведенной из
данной вершины, называется отрезок, делящий угол
пополам.
Рис 9
Медианой треугольника, проведенной из данной
вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину
с серединой противолежащей стороны треугольника.
Рис 10
Периметр – это сумма всех сторон треугольника.
В треугольнике должны выполнятся следующие
условия:
1) углы треугольника положительны и в сумме
составляют 1800 А > 0, В > 0, С > 0, А + В + С = 1800 ;
2) стороны треугольника положительны и всякая
сторона меньше суммы двух других сторон:
a>0, b>0, c>0 a < b + c, b < a + c, c < a + b/
4
Задачи
1. Определить величину другого смежного угла, если
один составляет 600.
Решение:
α = 600 α + β = 1800 β = 1800 - α
β = 1800 - 600 = 1200
Рис 11
2.В прямоугольном треугольнике один из углов равен
500.Найти остальные углы.
Решение:
A  50 0 C  90 0
A  B  C  1800
B  1800  A  C
B  180 0  50 0  90 0  40 0
Рис 12
Площадь треугольника – положительная величина,
которая измеряется в м2, см2, дм2, км2.
Следует помнить:
1 км = 1000 м;
1 дм = 10 см;
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм;
1 см = 10 мм.
5
Формулы для вычисления площади треугольника:
1.
2.
S 
1
ah
2
1
S   cb sin A
2
Формула Герона
3.
4.
S   p( p  a)( p  b)( p  c) ,
abc
где p 
2
a2 3
S 
4
5.
S 
1
ab
2
6.
S 
abc
4R
7.
S   pr , где p 
abc
2
6
3. Определить площадь треугольника по трем
сторонам: 5, 5, 6.
Решение.
S   p( p  a)( p  b)( p  c) , где p 
abc
2
а = 5, b = 5, c = 6.
556
 8,
2
S  8(8  5)(8  5)(8  6)  8  3  3  2  4  3  12
p
Находим
4. В прямоугольном треугольники катеты 6 см и 7
см. Найти площадь.
1
ab a = 6 см, b = 7 см
2
S 
S 
1
 6cм  7см  21cм 2
2
Рис 13
5. Найти площадь треугольника по сторонам 8см и
9см. Угол между ними – 300.
1
S   cb sin A , c = 8см, b = 9 см.
2
1
1
S    8см  9см  sin 300  36  см 2  18см 2
2
2
Рис 14
Задания для самостоятельной подготовки
Определить площадь треугольника, если:
1. a = 13, b = 14, c =15.
2. a = 10, b = 5, С = 900.
3. a = 6, b = 10, С = 450.
4. a = 16, h = 10/
7
Тема 2 Теоремы синусов, косинусов.
Решение косоугольных треугольников
2.1. Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
a
b
c


sin A sin B sin C
Рис 15
2.2. Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2  b 2  c 2  2bc  cos A
c 2  a 2  b 2  2ab  cos C
b 2  a 2  c 2  2ac  cos B
Рис 16
2.3. Решение косоугольных треугольников
Задачи
Найти неизвестные элементы треугольника, если:
1) a = 5, B = 300, C = 450;
2) b = 8, C = 600, a = 12;
3) a = 12, b = 5, A = 1200;
4) a = 2, b = 3, c = 4.
Решение
1) A  180 0  30 0  450  1050
a
b
c


;
sin A sin B sin C
b
a  sin B
;
sin A
8
5  sin 300
5  0,5
2,5
2,5
b



 2,59
0
0
0
0
sin 105
sin( 90  15 ) cos 15
0,9659
a  sin C
c
sin A
5  sin 450 5  sin 450 5  0,7071
c


 3,66
sin 1050
cos 150
0,9659
Ответ: А = 1050, b  2,59 , c  3,66
2
2
2
2) c  a  b  2ab  cos C
c 2  144  64  2  12  8  cos 600  112 , c  10,58
a
c
a  sin C
12  sin 600

 0,9822
, sin A 
, sin A 
sin A sin C
c
10,58
A = arcsin 0,9822 = 790 09/
B = 1800 – 600 – 790 09/ = 400 51/
3)
a
b
b  sin A

, sin B 
,
sin A sin B
a
5  sin 1200 5  cos 300 5  0,8660
sin B 


 0,3608
12
12
12
B = arcsin 0,3608 = 210 09/;
C = 1800 – 1200 – 210 09/ = 380 51/ ;
c
a
sin C  a

c
;
;
sin C sin A
sin A
sin 38051  12 0,6273  12

 8,69
sin 1200
0,8660
Ответ: B = 210 09/; C = 380 51/ ; c  8,69 .
c
9
2
2
2
4) a  b  c  2bc  cos A , cos A 
b2  c2  a2
,
2bc
9  16  4 21 7

  0,875 ,
2 3 4
24 8
A = arccos 0,875 = 28057/
a2  c2  b2
b 2  a 2  c 2  2ac  cos B , cos B 
,
2ac
4  16  9 11
cos A 

 0,6875
224
16
B = arccos 0,6875 = 46034/;
C = 1800 – 28057/ – 46034/ = 104029/;
Ответ: A = 28057/; B = 46034/; C = 104029/.
cos A 
Задания для самостоятельной подготовки
Найти неизвестные элементы треугольника, если:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a = 20, A = 750, B = 600 .
a = 7, b = 23, C = 1300 .
a = 2, b = 4, A = 600 .
a = 7, b = 2, с = 8 .
a = 35, B = 400, C = 1200 .
a = 24, c = 18, B = 150 .
a = 6; b = 8; A = 300 .
10
Тема 3 Трапеция, ромб, квадрат, параллелограмм.
Решение задач
Четырехугольник – это фигура, состоящая из
четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих
их отрезков.
Точки – вершины четырехугольника, отрезки – стороны.
B
и
D,
A
и
C
–
противолежащие вершины.
AC и BD – диагонали
четырехугольника.
BC и AD, AB и CD –
противолежащие стороны
ABCD – выпуклый
Рис 17
четырехугольник.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого
противолежащие стороны параллельны.
Рис 18
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам KO = OM, NO = OL.
У параллелограмма противолежащие стороны равны,
противолежащие углы равны. AB = CD, BC = AD; B = D,
A = C.
Сумма углов A и D равна 1800.
Сумма всех углов параллелограмма равна 3600.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого
все углы прямые.
Рис 19
Диагонали прямоугольника равны. AС = ВD
11
Свойства
параллелограмма
присущи
и
прямоугольнику.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны
равны.
AB = BC =CD = AD
Рис 20
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Свойства параллелограмма присущи ромбу.
Квадрат – это прямоугольник, у
которого все стороны равны.
AB = BC =CD = AD.
Квадрат
–
это
и
ромб,
и
параллелограмм и их свойства относятся
Рис 21 и к квадрату.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две
противолежащие стороны параллельны.
A = 900
AB = CD, A = D
а)общего вида б) прямоугольная в) равнобедренная
Рис 22
AB и CD – боковые стороны трапеции. AD и BC –
основания: AD – нижнее основание, BC
- верхнее
основание.
BL – высота трапеции.
Отрезок МN, соединяющий середины
боковых сторон, называется средней
линией трапеции.
MN AD и
MN BC.
12
MN 
AD  BC
2
Рис 23
Площади четырехугольников
1.
S пар  a  h
2.
S пар  AB  AD  sin A
3.
S прям  AB  AD
4.
S ром б  a  h
5.
S ром б 
6.
S кв  a 2
7.
S кв 
8.
S трап 
9.
S трап  MN  h
1
AС  ВD
2
1
AС  ВD
2
1
( a  b)  h
2
13
Задачи
1. Четырехугольник ABCD – параллелограмм с
периметром 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная что
периметр треугольника ABD равен 8 см.
Решение
Дано: ABCD – параллелограмм,
AB + BC + CD + AD = 10,
AB + BD + AD = 8
Найти: BD.
Рис 24
AB = CD, BC = AD. Значит 2(AB + AD) = 10, AB + AD = 5.
Тогда AB + BD + AD =(AB + AD) +BD = 8.
ВD =8 – 5 = 3
Ответ: BD = 3.
2. Один из углов параллелограмма равен 400.
Найдите остальные углы.
Решение
0
Пусть А = 40 , тогда и С = 400.
А + D = 1800, D = 1800 – А, D = 1800 – 400= 1400,
В = 1400.
Ответ: С = 400, D = 1400, В = 1400.
3. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит
сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр
прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
Решение.
Дано: ABCD – прямоугольник,
ВАF = FAD/
BF = FC, AB = 10 см.
Найти: Р.
Рис 25
Рассмотрим ABF: В = 900, тогда ВАF = 450 = АFВ.
Это равнобедренный треугольник. Значит, АВ = BF =10 см.
Следовательно, ВС = BF·2 =20 и АD = 20.
Р = 2АВ + 2 ВС; Р =2  10 + 2  20 = 60 (см)
Ответ: Р = 60 см.
14
4. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите
угол ромба.
Решение.
Дано: ABCD –ромб,
AB = BC = CD = AD = ВD,
Найти: А, В , С, D.
Рассмотрим ABD – равносторонний,
тогда А = 600 и С = 600, а А + D =
1800,
Рис 26
D = 1800 – 600 = 1200 ; D = В =1200.
Ответ: А = С = 600, D = В =1200.
5. Дан квадрат, сторона которого – 1 м, диагональ его
равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ
второго квадрата.
Рис 27
Решение:
Дано: АВСD – квадрат, АВ = 1 м,
BDML – квадрат.
Найти: ВМ.
У ромба диагонали в точке
пересечения делятся пополам, тогда
ВМ = 2 АВ = 2 · 1 = 2 м.
Ответ: 2 м.
6. В равнобокой трапеции большее основание равно
2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними – 600.
Найдите меньшее основание.
Решение:
Дано: АВСD – трапеция, АВ =
СD, АD = 2,7 м,
А =600.
Найти: ВС.
ВК  АD. Рассмотрим ABК –
прямоугольный, ABК=300,
Рис 28
15
тогда AK 
1
AB , АК = 0,5 м. Аналогично, LD = 0,5 м.
2
Тогда, ВС = КL = 2,7 - 20,5 = 1,7(м).
Ответ: ВС = 1,7 м.
7. Найдите площадь ромба, если его высота равна –
10 см, а острый угол - 300
Решение:
Дано: АВСD –ромб, ВК
 АD, ВК = 10 см, А
=300.
Найти: Sромба
Sромба = АD  ВК
Рис 29
Рассмотрим ABК – прямоугольный, BK 
1
AB .
2
Следовательно, АВ = 2 ВК, АВ = АD = 20 см, Sромба =
20  10 = 200 (см2).
Ответ: Sромба = 200 см2
8. Найдите площадь параллелограмма, если его
стороны равны 2 м и 3 м, а один из углов равен - 700.
Решение:
Дано: АВСD –параллелограмм, АВ
= 2 м, АD = 3 м, А =700.
Найти:
S пар .
S пар  AB  AD  sin A .
Рис 30
 
S пар  2  3  sin 700  6  0,9397  5,6382  5,64 м 2 .
 
Ответ: S пар  64 м 2 .
16
Задачи для самостоятельного решения
1. Может ли один угол параллелограмма быть равным
400, а другой – 500.
2. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из
них больше другого на 500.
3. В параллелограмме
ABCD – перпендикуляр,
опущенный из вершины В на сторону АD, делит её
пополам. Найдите диагональ ВD и стороны
параллелограмма, если известно, что периметр
параллелограмма равен
3,8 м, а периметр
треугольника АВD равен 3 м.
4. В прямоугольный треугольник, каждый катет
которого равен 5 см, вписан прямоугольник,
имеющий с треугольником общий угол. Найдите
периметр прямоугольника.
5. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна
диагонали другого квадрата. Найдите сторону
последнего.
6. В равнобедренный прямоугольный треугольник,
каждый катет которого 2 м, вписан квадрат,
имеющий с ним общий угол. Найдите периметр
квадрата.
7. В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание
17
на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основание
трапеции.
8. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя
линия равна 5 м. Найдите основания.
9. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из её
оснований больше другого на 4 см. Найдите
основание трапеции.
10. Чему равны стороны прямоугольника, если они
относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
11. Чему равны стороны прямоугольника, если его
периметр 74 дм, а площадь 3 м2?
12. Как изменится площадь квадрата, если каждую его
сторону увеличить в 3 раза?
13. Длины сторон прямоугольника равны 72 и 8 м.
Найдите длину сторон равновеликого ему квадрата.
14. Определить площадь ромба, длины диагоналей
которого равны 72 и 40 см.
15. Определить площадь равнобедренной трапеции, в
которой длины оснований равны 42 и 54 см, а
величина угла при большем основании равна 450.
18
Ответы
Тема 1. 1) 84. 2)50. 3) 15 2 . 4)80.
Тема 2.
1) b = 17,93; c = 14,64; C = 450.
2) c = 28,02; A = 11002/; B = 38058/.
3) решений нет.
4) A = 53035/; B = 13018/; C = 11307/.
5) A = 200; b = 65,78; c = 88,62.
6) A = 129050/; C = 35010/; b = 8,09.
7) c = 11,4; B = 41049/; C = 108011/; c = 2,46.
Тема 3.
1) нет.
2) 650; 1150.
3) 1,1м; 1,1 м; 0,8 м.
4) 10 см.
5) 2 м.
6) 4 м.
7) 24 см; 36 см.
8) 4 см; 6 см;
9) 5 см; 9 см.
10) 8 см; 18 см.
11) 2,5 м; 1,2 м.
12) увеличится в 9
раз.
13) 24 м.
14) 1440 м2.
15) 6804 см2
19
Основные слова и словосочетания
Тема 1
1 Геометрия
2 Планиметрия
3 Точка
4 Прямая
5 Плоскость
6 Отрезок
7 Полупрямая
8 Луч
9 Угол
10 Фигура
11 Вершина
12 Сторона
13 Треугольник
14 Элементы треугольника
15 Равнобедренный
16 Прямоугольный
17 Тупоугольный
18 Остроугольный
19 Равносторонний
20 Периметр
21 Площадь
22 Биссектриса угла
23 Медиана
24 Высота
25 Перпендикуляр
26 Формула Герона
27 Полупериметр
Тема 2
1 Косоугольный треугольник
2 Теорема синусов
3 Противолежащие углы
4 Теорема косинусов
20
Тема 3
1 Четырехугольник
2 Диагональ
3 Противолежащие стороны
4 Противоположные углы
5 Параллелограмм
6 Прямоугольник
7 Ромб
8 Квадрат
9 Трапеция
10 Нижнее (верхнее) основание
11 Средняя линия трапеции
21
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ
УКАЗАНИЯ
по самостятельному изучению
курса "Математика"
Раздел:
«ЭЛЕМЕНТЫ ПЛАНИМЕТРИИ»
для студентов подготовительного отделения
факультета по работе с иностранными гражданами
Ответственный за выпуск В.А. Клименко
Редактор И.В. Лисогуб
Компьютерная обработка О.О.Баги
Подписано в печать
09.02.2009, поз.
Формат 60х84/16. Бумага офс. Гарнитура Times New Roman Cyr. Печать офс.
Усл.-печ. л. 3,26. Уч.-изд. л.
Тираж
100 экз. Себестоимость изд.
Заказ №
Издательство СумГУ при Сумском государственном университете
40007, г. Сумы, ул. Р.- Корсакова, 2
Свидетельство о внесении субъекта издательского дела в Государственный реестр
ДК № 3062 от 17.12.2007.
Напечатано в типографии СумГУ
40007, г. Сумы, ул. Р.- Корсакова, 2
22