Для любых 2ух неконцентрических окружностей множество

Московский химический лицей №1303
Исследовательский проект
ученицы 11 ф/м класса ГОУ лицея №1303
Беловой Дарьи Юрьевны
по теме: «Теорема принцессы Елизаветы и другие обобщения некоторых утверждений о
геометрических местах».
Научный руководитель – кандидат физ.-мат. наук
А.А. Привалов
Россия, г. Москва, 2011
e-mail: flaque@mail.ru
тел.: 8(905)751-45-07
«Теорема принцессы Елизаветы и другие обобщения некоторых утверждений о
геометрических местах».
В книге Г.С.М. Коксетера и С.Л. Грейтцера «Новые встречи с геометрией»
([2]
,стр 43) приводится история о теореме принцессы Елизаветы. Эту теорему можно
сформулировать так: Множество точек, для которых отрезки касательных
проведенных к двум неконцентрическим окружностям равны, лежат на прямой,
перпендикулярной линии центров этих окружностей.
Далее, традиционно, под ГМТ будем понимать геометрическое множество точек
М(х,у), удовлетворяющее тем или иным условиям.
Хорошо известно, что
1. ГМТ М(х,у), равноудаленных от двух заданных точек O1 и O есть срединный
перпендикуляр ( медиатриса) отрезка [O1, O].
2. ГМТ М(х,у), сумма (абсолютная величина разности) расстояний которых от двух
заданных точек O1 и O постоянна называются эллипсом (гиперболой), и ГМТ
М(х,у) равноудаленных от заданной точки и заданной прямой – параболой.
3. ГМТ М(х,у), из которых данный отрезок [O1, O] виден под заданным углом есть
две части окружностей.
Неконцентрическими называются окружности с разными центром.
В этой работе речь пойдет о некоторых обобщениях этих фактов, а именно, замене
точек окружностями с заданными радиусами. При этом, слово «расстояние» заменим на
длину отрезка касательной. Один из первых результатов относится к теореме
принцессы Елизаветы (задаче поставленной Декартом), а именно, ГМТ М(х,у)
проведенным к двум неконцентрическим окружностям равны, является прямой,
перпендикулярной линии центров этих окружностей. Очевидно, что если окружности
имеют общий центр, то это ГМТ будет пусто (ГМТ = ). Этот результат легко вытекает
из определения степени точки (степенью точки относительно окружности называется
величина d2 – R2, где R – радиус окружности, а d – расстояние от данной точки до центра
окружности) и ее свойства – теоремы о касательной и секущей: "Квадрат касательной
равен произведению секущей на ее внешнюю часть" (рис.1).
AB2=BD*BC
рис.1
{По преданию:
Молодая принцесса, высланная из Богемии, применяя метод координат выполнила решение одной
геометрической задачи. Елизавета была ученицей Рене Декарта (в честь которого декартовы
координаты получили свое название). Она доказала следующую теорему: Множество точек, для
которых степени относительно двух неконцентрических окружностей равны, является прямой,
перпендикулярной линии центров этих окружностей.}
Для любых двух окружностей с центрами О1 и О введем систему координат так, что
О1(-с; 0) и О(с;0) и а>0 – некоторое число.
Найдем геометрическое место точек M такое, что MP + MQ=a или MP – MQ=a, где
MP и MQ –касательные к данным окружностям (рис.2).
Пусть точка М имеет координаты (х,у). r1 и r2 – радиусы окружностей с центрами в
точках (-с,0) и (с,0). Для определенности будем считать, что r2≥ r1.
рис.2
Тогда координаты точек М(х,у) множества {M: |MP ± MQ| = a} удовлетворяют
уравнению:
(1)
Сделав преобразования:
,
,
придем к следующему уравнению:
(2)
Очевидно, что множество точек (х,у), координаты которых удовлетворяют этому
уравнению, содержит множества {M: |MP ± MQ| = a}.
Далее будем считать, что а>0, т.к. случай а=0 тривиален или доказан, а P и Q будем
обозначать точки касания прямых (MP) и (MQ) окружностей
.
Очевидно, что если с=0, то искомые ГМТ будут окружностями (рис. 3):
и
r1=30, r2=50, a=100, c=0
50
yc1
yc2
Y( u)
 Y( u)
0
y1
 50
 50
0
50
xc1 xc2 u u x1
рис.3
В этом случае длины отрезков касательных выражаются по формулам:
,
и если
, то MP+MQ=a, а если
, то MP-MQ=a.
Это означает, что в первом случае (для a, r1 и r2, удовлетворяющих неравенству
) множество точек М: |MP-MQ|=a, будет пустым, а во втором случае –
{M | MP+MQ=a}=.
Пусть теперь c>0.
Рассмотрим случай 4с2–а2=0, тогда а=2с и уравнение (2) приводится к виду:
или
(3)
которое при r1 = r2 = r определяет две прямые: y = ±r, т.е. две касательных к
окружностям (рис.4).
r1=r2=30, c=40, a=80
50
yc1
yc2
Y( u)
 Y( u)
0
y1
 50
 50
0
50
xc1 xc2 u u x1
рис.4
Пусть P и Q – точки касания прямой y = r. Очевидно, что точки М, на этой прямой,
лежащие между P и Q будут удовлетворять уравнению MP+MQ=a, а вне отрезка PQ –
| MP - MQ |=a.
Пусть r2>r1, тогда уравнение (3):
является уравнением параболы, ветви которой направлены в сторону большего круга
(рис.5):
r2=5, r1=4, a=8, c=4
yc1
10
yc2
y
y
0
y1
 10
 10
0
10
xc1 xc2 xxx1
рис. 5
Ее фокус F и уравнение директрисы имеют вид:
,
,
а вершина в точке
.
Пусть координаты точки (х,у) удовлетворяют уравнению (3). Определим функции
и
, где переменная y определяется
уравнением (3). Тогда
1 ( x)  ( x  c) 2  y 2  r12  x 2  2cx  c 2 
r22  r12
(r 2  r 2 ) 2 r 2  r 2
x  2 12  2 1  r12 
2c
2
16c

r2  r2 
(r 2  r 2 ) 2 r 2  r 2
r2  r2
 x 2  2 x c  2 1   c 2  2 12  2 1  x  c  2 1
4c 
2
4c
16c

Аналогично, найдем
. Отсюда следует, что если
, то |ρ1(х) – ρ2(х)|=2с=а и , если
или
, то ρ1(х) + ρ2(х)
= а.
Далее, так как область изменения х очевидно определяется уравнением (3):
. Из этого следует, что, если
, т.е.
,то уравнение параболы определяет
множество точек М, абсолютная величина разности отрезков MP и MQ касательных,
проведенных к двум окружностям, равна а.
Если числа a, r1 и
(т.е.
r2 выбраны так, что
)
, то линейная функция
изменит знак и при
получим
равенство ρ1(х)+ρ2(х)=а. При этом следует заметить, что если ρ2(х)=0, то
соответствующая точка (х,у) принадлежит окружности
, т.е. парабола
(3)
касается
этой
окружности.
Аналогично
рассматривается
случай
, т.е.
.
Итак, получаем следующие выводы:
1. если
, то парабола (3) есть множество {M: | MP - MQ |=a}
2. если
, то окружности
и
вписаны в параболу (3) и точки М отрезка параболы между точками касания
таковы, что MP+ MQ =a
3. если
, то окружность
касается параболы
(3) и точки М, лежащие на ней правее точки касания удовлетворяют условию: |
MP - MQ |=a, остальные точки параболы (3) таковы, что MP+ MQ =a.
Перейдем теперь к случаю 4с2–а2≠0 и пусть сначала а>2с, тогда уравнение (2) легко
привести к виду:
2

c(r 2  r 2 ) 
 x  22 12 
a  4c 
(r12  r22 ) 2
r12  r22
y2
1





 k2
2
2
2
2
2 2
2
2
4 4(a  4c )
a
a  4c
2(a  4c )
Это уравнение определяет эллипс с полуосями ak и
(4)
и центром в точке
(рис.6).
100
a=100, c=40, r1=30, r2=50
yc1
yc2
Y( u)
 Y( u)
0
y1
 100
 100
0
100
xc1xc2u u x1
рис.6
Исследуем полученное уравнение. Как и выше введем функции
и
, где
– определяется из уравнения (2). Тогда
Аналогично найдем
.
Применяя рассуждения идентичные рассуждениям исследования уравнения (3), к
уравнению (4), делаем следующие выводы: если хотя бы одна из точек с абсцисой
или
попадают на эллипс (4), то они будут являться
точками касания эллипса и окружностей
или
, а
эллипс (4) разбивается на части, в точках М, которых поочередно выполняются
равенства: | MP - MQ |=a и MP+ MQ =a
Пусть теперь а 2с, тогда добавив и отняв в правой части уравнения (4) величину
, приводим его к виду:
(5)
Если числа а, с, r1 и r2 выбраны так, что один из множителей р равенн 0, то это
уравнение определяет две, пересекающиеся в точке С
, прямые(рис. 7, 8).
c=5, r2=2, r1=4, a=8
c=5, r2=9, r1=3, a=8
10
5
yc1
yc1
yc2
yc2
Y( u)
Y( u)
 Y( u)
0
0
 Y( u)
y1
y1
5
 10
5
0
 10
5
0
xc1 xc2 u u x1
10
xc1 xc2 u u x1
рис. 7
рис.8
В противном случае уравнение (5) является уравнением гиперболы с полуосями
, если р>0, или
и
и
, если р<0, и центром С (рис.9, 10).
c=6,2, r2=5,r1=4,a=8
c=r2=5, r1=4, a=8
10
10
yc1
yc1
yc2
yc2
Y( u)
Y( u)
 Y( u)
0
 Y( u)
0
y1
y1
 10
 10
 10
0
xc1 xc2 u u x1
рис.9
10
 10
0
10
xc1 xc2 u u x1
рис.10
Исследование этих случаев проводится аналогично предыдущим
Заметим, что полученные эллипс и гипербола, при р>0, подобны эллипсу и
гиперболе, имеющих уравнения
(случай, когда
).
{Напомним, что две фигуры называются подобными, если между их точками можно установить
взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами
точек равно одной и той же постоянной. Из «нашего» подобия следует интересный факт: как бы мы
не изменяли радиусы окружностей, все равно получившиеся эллипсы и гиперболы будут подобны.}
Таким образом доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Для любых двух окружностей ГМТ М, если только не является пустым,
таких, что сумма длин отрезков касательных, проведенных к этим окружностям,
равна постоянной величине, может быть эллипсом или его частями; частями
гиперболы или параболы или отрезками прямых.
Теорема 2. Для любых двух окружностей ГМТ М, если только не является пустым,
таких, что абсолютная величина разности длин отрезков касательных, проведенных к
этим окружностям, равна постоянной величине, может быть гиперболой или её
частями; параболой или частями; прямыми или частями; частями эллипса.
{ Стоит отметить, что решениями поставленной задачи являются все конические сечения }
Далее рассмотрим задачу, когда MP∙MQ=a.
Координаты точек М(х,у) множества {M: MP∙MQ=a } удовлетворяют уравнению:
(10)
Сделав преобразование:
,
придем к следующему уравнению 4-й степени:
(11)
или
Выражая здесь у через х, можно строить графики этих кривых. Например:
r1=1 r2=5 c=2 a=5
12
8
4
yb
yc1
0
yc2
yk
4
8
 12
 12
8
4
0
4
8
12
tt xc1 xc2 xk
рис. 11
r1=2 r2=0.7 c=2 a=5
6
4
yb
2
yc1
yc2
0
yk
2
4
6
6
4
2
0
2
4
6
tt xc1 xc2 xk
рис. 12
Отдельно рассмотрим случай а = с2, как у лемнискаты Бернулли. Тогда графики
функции(11) будут выглядеть примерно так:
126
96
84
64
yb
yc1
yc2
yk
yb
42
yc1
0
yc2
32
0
yk  32
 42
 64
 84
 126
 126  84
 42
 96
 96
0
42
84
 64
 32
126
0
32
64
96
tt xc1 xc2 xk
tt xc1 xc2 xk
рис.13
рис.14
При а≠с2 эти кривые могут быть и выпуклыми и разбиваться на две кривые (рис.15,
16).
90
60
yb
yc1
50
yb
yc2
30
0
yk  30
0
 60
 50
 50
 90
 90
0
50
 60
 30
0
30
60
90
tt xc1 xc2 xk
tt
рис.15
рис.16
Те кривые, которые получаются, не подходят под определения овалов Кассини.
Овалами Кассини называются множества точек, произведение расстояний которых до
двух данных точек, есть постоянная величина. Эти кривые были введены астрономом и
инженером Кассини, который считал, что эти кривые более точно определяют орбиту
Земли, чем эллипс. Уравнение овалов Кассини (случай r1= r2=0) имеют вид:
Если продифференцировать это уравнение, то видно, что эти кривые ограничивают
невыпуклую область или две непересекающиеся выпуклые области. А «наши» кривые
могут ограничивать выпуклую область.
Теперь рассмотрим такую задачу: «Найти множество точек М, из которых будет
видна система из двух не вложенных друг в друга окружностей под заданным углом»
(на рис. это точки G1, E, F)
рис.17
Иначе эту задачу можно сформулировать так: Пусть АВ хорда окружности и точка
С движется по этой окружности. На фиксированных продолжениях прямых АС и ВС
строится параллелограмм СLMK, где L лежит на прямой (СВ), K – на (АС), длины
отрезков СL и СK заданы. Найти траекторию движения точки М (рис.18).
1
yp
0
ys
0
1
2
1
0
1
xp xs u
рис.18
{эта формулировка задачи вытекает из дальнейших рассуждений и доказательства теоремы 3.}
Теорема 3. Множество точек М, из которых система из двух не вложенных друг в
друга окружностей видна под заданным углом, есть часть улитки Паскаля.
Доказательство: Пусть М- точка на искомой траектории, α – заданный угол, а –
расстояние между центрами окружностей, MP – отрезок касательной к окружности с
центром О и радиусом r1, а ML – отрезок касательной к окружности с центром в точке
A(а, 0) и радиусом r2.
Из центров окружностей проведем прямые OL и OA параллельно MP и ML. Тогда
KP||ML, KL||MP, где K – точка пересечения этих прямых (рис.19).
рис.19
Далее, углы PKL и OKА равны как вертикальные и равны α, т.к. KLMP –
параллелограмм. Точка K при движении точки М будет двигаться по окружности.
Радиус R этой окружности можно найти по теореме синусов:
. Обозначим ее
центр О1 (рис.20)
рис. 20
Положим l1=KL, l2=PK, KOA = t, MKL = φ. Тогда, очевидно, что радиусвектор точки М определяется равенством.
Пользуясь теоремой синусов, найдем
к векторной форме найдем вектор
. Отсюда, переходя
:
где последнее равенство, очевидно, вытекает из рис 21.
рис.21
Таким образом, мы получили параметрическое уравнение нашей кривой. Т.е.
уравнение для множества точек М, из которых система из двух не вложенных друг в
друга окружностей видна под заданным углом.
Теперь "настроим" улитку Паскаля.
Уравнение улитки Паскаля в полярной системе координат имеет вид
где b и с – некоторые числа (рис. 22).
,
рис.22
Сместим параметр t этой кривой на δ. Тогда ее уравнение примет вид:
и ,переходя к декартовым координатам, получим
Теперь повернем ее на угол β, умножая вектор
на матрицу поворота
, и перенесем ее на некоторый вектор
. Получим следующий вид
этой кривой:
Из формул синуса суммы и косинуса суммы получаем (примерное смещение показано
на рис. 23):
рис.23
А теперь сравним полученное параметрическое уравнение улитки Паскаля с
параметрическим уравнением «нашей» кривой. Для этого запишем оба уравнения в
одной системе координат и сравним их:
Уравнение «нашей» кривой:
Уравнение улитки Паскаля:
Легко видеть, что «наша» кривая является улиткой Паскаля (рис. 24), введенные
нами параметры которой, находим из системы уравнений:
200
y
y1
y2
0
yy
 200
 200
0
200
xx1 x2 xx
рис.24
Теорема доказана.
Заметим, что искомая кривая состоит из двух частей улиток Паскаля – нижней и
верхней, т.к. точки М, из которых можно видеть окружности, имеют крайние
положения, вне которых невозможно увидеть окружности. На рисунке 25 указаны
крайние точки M' и М" для верхнего сегмента. Они лежат на общей касательной
окружностей. Соответственно параметр t здесь будет изменяться в пределах:
рис.25
Далее следует заметить, что для любой точки построенной улитки Паскаля одна из
пар, проведенных к двум окружностям, касательных, будет образовывать угол, равный
α или (π – α).
В работе изучен ряд геометрических мест точек, аналогичных известным
в классической геометрии, с помощью замены точек на окружности, а расстояний —
на длины касательных. Вначале сформулированы классические результаты. Затем
последовательно формулируются и доказываются теоремы о ГМТ, для которых: 1),2)
сумма или разность длин касательных постоянна, 3) две окружности видны под
заданным углом. В первых двух случаях используются уравнения в декартовой
плоскости, в третьем — векторы и тригонометрия. Для построения графиков
использовались компьютерные программы(MathCAD, Corel Draw, «Живая Геометрия»).
Также была написана программа для построения изученных в работе ГМТ (на языке
Quick BASIC 4.5).
При подготовке этой работы использованы следующие материалы
[1] А.В. Акопян, А.А. Заславский «Геометрические свойства кривых второго
порядка», Москва, издательство МЦНМО, 2007
[2] Г.С. М. Коксетер, С.Л. Грейтцер «Новые встречи с геометрией», перевод с
английского А.П. Савина и Л.А. Савиной, издательство «Наука», Москва, главная
редакция физико-математической литературы, 1978
[3] М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» шестнадцатое
издание, издательство «Наука», Москва 1965г.
[4]
«Математика. Школьная Энциклопедия.» под редакцией С.М.Никольского,
издательство «Большая Российская Энциклопедия», Москва, 1996
Автор выражает признательность за помощь, оказанную при работе над проектом,
А.Г. Мякишеву и А.А. Привалову, благодарит А.А. Заславского за важные данные,
предоставленные в ходе работы, а также В.М. Бусева за помощь в обработке
результатов.
Д.Ю. Белова