Ваш регистрационный номер 9–_____ (указывайте его в левом верхнем углу конверта). Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6, комн. 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать конверт с заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1- декабрь; Задание 2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель. Телефоны для справок: 465-80-25; 462-33-20 (с 1100 до 1500 ). Задания и решения смотрите на сайте: http//mm.unn.ru (Математическая школа) ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9-го КЛАССА (2014-2015 учебный год) Задание 1 2,00000000003 2,00000000004 или ? 2 1,00000000003 2,00000000003 1,00000000042 2,00000000004 2) Составить две прогрессии, арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов, такие, что если сложить одноименные члены обеих прогрессий, получатся числа 31, 21, 17, 16. 1) Что больше 3) Решить уравнение x 14 8 х 2 4) Уравнение ax 2 bx 7 0 , где a<0, уравнение ax 8 bx 4 7 0 . 5) Медиана DM треугольника DEF образованных при пересечении стороны треугольника DEF. x 7 6 x 2 7. имеет одним из своих корней число x=4. Решите равна половине стороны EF. Один из углов, EF биссектрисой DL, равен 63 градуса. Найти углы Задание 2 1) Вместо звездочек подставьте цифры так, чтобы семизначное число 70*0*07 делилось на 19. 2) Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ? 3) Решить уравнение 6 х 6 х . 4) При каких значениях а неравенство имеет единственное решение? x 2 a 11x 11a 2a 2 3 x 0 5) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Из точки D проведены прямые DF перпендикулярно DC и DE параллельно AC, причём точка F принадлежит основанию треугольника или его продолжению, а E лежит на BC. Биссектриса угла B пересекает прямую DE в точке M, DM=1,5. Найти FC. Задание 3 1) Найти сумму 29 первых членов последовательности, если an n3n 5 2n 1 . 2) Имеются три не сообщающихся между собой резервуара, к каждому из которых может быть подключен любой из трех шлангов. После подключения всех шлангов одновременно начинается заполнение резервуаров. Как только какой-либо резервуар наполняется, соответствующий шланг отключается. Заполнение закончено, если наполнены все три резервуара. Первый резервуар имеет объем V и может быть заполнен первым шлангом за 3 часа, вторым – за 4, третьим – за 5 часов. Объем третьего резервуара не меньше объёма второго. При самом быстром способе подключения заполнение закончится через 6 часов. Если б все резервуары сообщались, заполнение окончилось бы через 4 часа. Найти объемы второго и третьего резервуаров. x y 2 x 4 y 2 4 3) Решить систему . x 2 y 2 x 2 y 2 2 2 4) Корни уравнения x 2 ax b 1 0 являются натуральными числами. Докажите, что a 2 b 2 - составное число. 5) Найти диагонали четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних углов параллелограмма со сторонами 10 и 4. Задание 4 1) Постройте график функции y x x 4 2 . 2) Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния, второй – 30% меди и 70% магния, третий – 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве? xyz x y 2 xyz 1,2 . 3) Решить систему yz xyz 1,5 z x 1 3 2 x ay 3 a 1 4) Найти все значения а, при которых система 2 x 3 ax 2 y xy2 1 имеет хотя бы одно решение и всякое её решение удовлетворяет уравнению x+y=0. 5) В параллелограмме площадью 25/3 лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Найти отрезки сторон параллелограмма от вершин до точки касания. Задание 5 1) Садовник должен в течение четырёх дней посадить 11 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день? 2) Группа студентов, состоящая из 25 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма полученных оценок равна 87, причём «четверок» больше, чем «пятерок», но меньше, чем «троек». Кроме того, число «четвёрок» делится на 4, а число «пятёрок» - нечётное. Определить, сколько каких оценок получили студенты группы. 3) Решите систему уравнений x 2 xy y 2 13 2 2 x xz z 7 y 2 yz z 2 19 4) Найдите такие вещественные числа a, b, p, q, чтобы равенство 2 x 120 ax b20 x 2 px q 10 выполнялось при любых х. 5) Две окружности радиусов 8 и 6 касаются друг друга внутренним образом в точке А. Отрезок АВ является диаметром большей окружности. Хорда BD большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Найти биссектрису угла BAD.