Kontrolnye raboty

Примерные варианты контрольных работ
для подготовки к контрольным работам, проводимым в 1-м семестре по
дисциплине «Высшая математика»
Контрольная работа № 1 (Раздел I, темы 1.1 и 1.2)
Вариант 1
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  2 : 3 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (1;0;1), b (1;2; 1) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  2 p  q и b  p  3q , если
| p |  2 , | q |  1 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (1; 2;3), b  (4;7;2), c  (6;4;2) ,
d  (14;18;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N(2; –3)
равнялось бы 5.
6. Определить площадь параллелограмма, три вершины которого есть точки
А(–1; 2), В(2; –3) и С(–2; 1).
7. Определить, при каких значениях т и п две прямые тх+4у+n=0 и
х+ту–1=0 1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.
8. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; 6), а
также уравнения высоты х–7у+15=0 и биссектрисы 7х+у+5=0, проведённых
из одной вершины.
9. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла
треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки
пересечения этой прямой с осями координат.
Вариант 2
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  1: 4 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (3;0; 3), b (1;4;1) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  2 p  q и b  p  3q , если | p |  1,
| q |  2 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (2; 1;11), b  (1;1;0), c  (0;1;2) ,
d  (2;5;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Площадь треугольника S=4 кв.ед., две его вершины есть точки A(2; 1) и
B(3; –2), а третья вершина С лежит на оси Ох, Определить координаты
вершины С.
6. Определить, при каких значениях а и b две прямые аx–y–1=0 и 3x–2y–b=0
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.
7. Определить угол  , образованный двумя прямыми:
х 3 +у 2 -2=0
и
х 6 -3у+3=0.
8. На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность расстояний её до точек
М(-3; 2) и N(2; 5) была наибольшей.
9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; 3), а
также уравнения биссектрисы x+2у–5=0 и медианы 4x+13y –10=0,
проведённых из одной вершины.
Вариант 3
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  2 :1 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (1; 1;0), b (1; 1;2) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  2 p  3q и b  p  q , если
| p |  2 , | q |  2 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (8;2;3), b  (4;6;10), c  (3; 2;1) ,
d  (7;4;11) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами
M1(1; 1), М2(0; 2) и M3(2; –1) тупой угол.
6. Составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и
проходящей посредине между ними: 3х–2у–1=0 и 3х–2у–13=0.
7. Определить, при каком значении т две прямые mx+(2m+3)y+m+6=0 и
(2m+1)x+(m—1)y+m–2=0 пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
8. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхугольника A(–2; 0),
B(1; 3), С(7; –1) и D(3; –6). Определить точку пересечения его диагоналей.
9. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(–1; 0). Составить уравнение прямой,
проходящей через точку Р параллельно отрезку PQ.
Вариант 4
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  3: 2 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (5;3;2), b (1;5; 2) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  3 p  q и b  p  2q , если | p |  1,
| q |  1 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (10;3;1), b  (1;4;2), c  (3;9;2) ,
d  (19;30;7) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Площадь параллелограмма S=12 кв. ед.; две его вершины находятся в точках
А(–1; 3) и В(–2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при
условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M1(2; -3) параллельно
прямой: 3х–7у+3=0.
7. Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые
5x+3y-7=0,
3x–y+3=0,
х-2у-4=0;
8. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что
длина её отрезка, заключённого между прямыми 2x–y+5=0 и 2х–у+10=0,
равна 10 .
9. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин
В(–4; –5) и уравнения двух высот
5х+3у–4=0 и 3x+8y+13=0.
Вариант 5
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  3: 4 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (3;0;3), b (1; 2;1) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  p  3q и b  p  2q , если | p |  3 ,
| q |  1 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (2;4;1), b  (1;3;6), c  (5;3;1) ,
d  (24;20;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Q(l; –3). Вычислить
его площадь.
6. Определить, при каких значениях т и п прямая
(т+2п–3)х+(2т–n+1)y+6m+9=0 параллельна оси абсцисс и отсекает на оси
ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать
уравнение этой прямой.
7. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.
8. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма её расстояний до точек
М(1; 2) и N(3; 4) была наименьшей.
9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; –7),
а также уравнения высоты 3х+у+11=0 и медианы x+2y+7=0, проведённых из
различных вершин.
Вариант 6
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  2 : 5 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (2;2;0), b (2;2; 4) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  2 p  3q и b  p  q , если
| p |  2 , | q |  2 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (1; 3; 3), b  (4;7;8), c  (9;1;3) ,
d  (2; 4;4) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Длина отрезка MN равна 13; его начало в точке М (3; –2), проекция на ось
абсцисс равна –12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что
он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.
6. Дана прямая x+2у+3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку M0(1; –1) под углом 30° к данной прямой.
7. Даны две вершины треугольника М1(-10; 2) и М2(6; 4); его высоты
пересекаются в точке N (5; 2). Определить координаты третьей вершины М3.
8. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2х–3у+5=0,
3х+2у-7=0 и
одна из его вершин A(2; –3). Составить уравнения двух других сторон этого
прямоугольника.
9. Известны уравнения сторон четырехугольника x  2 y  2  0, x  2 y  10  0,
x  4 y  8  0, x  4 y  8  0. Найти его площадь.
Вариант 7
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  3:5 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (5;2;3), b (1;2; 5) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  p  2q и b  4 p  q , если
| p |  2 , | q |  1 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (3;2;2), b  (2;3;1), c  (1;1;3) , d  (5;1;11) .
Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Даны две смежные вершины квадрата А(2; –5) и В(–1;3). Вычислить его
площадь.
6. Даны вершины треугольника A(1; –1), В(-2; 1) и С(3; 5). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану,
проведённую из вершины В.
7. Даны уравнения сторон треугольника 3х+4у–1=0, х–7у-17=0, 7x+y+31=0.
Доказать, что этот треугольник равнобедренный.
8. Определить угол  , образованный двумя прямыми:
х 2 –у 3 -5=0
и (3+ 2 )х+( 6 – 3 )у+7=0.
9. Через точки М1(-1; 2) и М2(2; 3) проведена прямая. Определить точки
пересечения этой прямой с осями координат.
Вариант 8
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  5: 2 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (6;0;6), b (2; 8; 2) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  p  2q и b  4 p  q , если
| p |  1, | q |  2 , ( p , q ) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (7;1;3), b  (2;5;4), c  (3;1;2) ,
d  (3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Даны три вершины А(2; 3), В(4; –1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти
его четвёртую вершину D.
6. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхугольника A(–3; –1),
B(3; 9), С(7; 6) и D(–2; –6). Определить точку пересечения его диагоналей.
7. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 3х–4у–12=0 от
координатного угла.
8. Даны вершины треугольника М1(2; 1), M2(–1; –1) и M3(3; 2). Составить
уравнения его высот.
9. Определить, при каких значениях а и b две прямые аx–2y–1=0 и 6x–4y–b=0
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны; 3) совпадают.
Вариант 9
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  5:3 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (2; 2;4), b (2;2;0) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  3 p  2q и b  4 p  q , если
| p |  3 , | q |  2 , ( p , q) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (1;2;4), b  (1; 1;1), c  (2;2;4) ,
d  (1; 4; 2) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4; –1), а
также уравнения высоты 2х–3y+12=0 и медианы 2х+3y=0, проведённых из
одной вершины.
6. Точка A(5; 1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит
на прямой
4 x  3 y  7  0 . Составить уравнения прямых, на которых лежат
остальные стороны квадрата.
7. Даны вершины треугольника A(1; –2), B(5; 4) и С(–2; 0). Составить
уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
8. Определить угол  , образованный двумя прямыми: 3х-у+5=0,
2х+у-7=0.
9. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла
треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки
пересечения этой прямой с осями координат.
Вариант 10
1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC  3: 7 .
Разложить вектор AK по векторам a  AB и b  AC .
2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a (2;5;1), b (2;3;5) .
3. Найти скалярное произведение векторов a  3 p  2q и b  2 p  q , если
| p |  1, | q |  4 , ( p , q ) 

3
.
4. Найти базис системы векторов a  (7;1;3), b  (2;5;4), c  (3;1;2) ,
d  (3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.
5. Найти проекцию точки Р(–8; 12) на прямую, проходящую через точки
A(2; –3) и B(–5; 1).
6. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(4; –1)
и уравнения двух биссектрис x – 1 = 0 и х – у– 1=0.
7. Две смежные вершины квадрата A(2; 0), B(1; 4). Составить уравнения его
сторон.
8. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника,
если
дана вершина прямого угла C (3; 1) и уравнение гипотенузы 3x–y+2=0.
9. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(2; 3) и
отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый
отрезок от начала координат.
Контрольная работа № 2 (Раздел I, темы 1.4 и 1.5)
Матрицы. Системы линейных уравнений и неравенств
Задание.

В задаче 1 каждого варианта выполнить указанные действия над матрицами.

В задаче 2 вычислить определитель, используя свойства определителей и теорему о
разложении по элементам строки или столбца.

В задаче 3 решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера.

В задаче 4 найти матрицу, обратную данной и результат проверить умножением.

В задаче 5 исследовать данную систему на совместность и, в случае совместности,
решить ее.

В задаче 6 решить данное матричное уравнение.

В задаче 7 найти ранг матрицы А в зависимости от значения параметра .

В задаче 8 построить фундаментальную систему решений данной однородной
системы линейных уравнений.
Вариант 1
1 1 2 
1. f ( x)  2 x  3x  5, A  1 3 1,


4 1 1
2
2.
2 5 1 2
 3 7 1 4
5
4
9
6
2
1
7
2
.
2 3
7
4. A   5  3 2.


10  11 5
f ( A)  ?
7 x1  2 x2  3x3  15, 

3. 5 x1  3x2  2 x3  15, 
10 x1  11x2  5 x3  36.
2 x1  3 x2  x3  x4  3  0, 
3 x1  x2  2 x3  4 x4  8  0, 
5.

x1  x2  3 x3  2 x4  6  0,
 x1  2 x2  3 x3  5 x4  3  0.
 2 7 3
  1 3
6. 3 9 4 X    1 5.




1 5 3
 2 3
8.
2
3
4
1
7. A   2  4  6  8.


 0
0

0 
2 x1  3 x2  x3  x4  0, 

x1  x2  x3  4 x4  0.
Вариант 2
1.
2.
 5 2
f ( x)  x 2  8 x  7, A  
,
4
3


3
5
4
7
9
8
3
2
6
7
5 3 2
8  4 5
.
f ( A)  ?
2 x1  x2  5, 

3. x1  3x3  16, 
5 x2  x3  10.
2 1 0 
4. A  1 0 3 .


0 5  1
 0, 
2 x1  x2  3 x3  x4  2, 
5.

 x1  2 x2
 3 x4  8, 
3 x1  x2  x3  x4  2.
 5 1 6
  2


6.  3 1 4 X   0 .


 
 1 0 1
 3 
1 1 5
7. A   2 2 

 0 0 0
8.
x1  x2  x3
5 
10  .

0 
x1  2 x2  x3  x4  2,

2 x1  3 x2  x3  x4  1.
Вариант 3
1
1
3 6
1 0 3 2 
, B
, X    . AB  ?, X BBX  ?
1. A  


0
2 1
0 1 1 1 
 
 1
2.
3 3 5 8
3 2
4 6
2 5 7 5
4 3
5 6
x1  x2  2 x3  6, 

3. 2 x1  3x2  7 x3  16,
5 x1  2 x2  x3  16.
.
1 1  2 
4. A  2 3  7.


5 2 1 
3 x1  2 x2  5 x3  4 x4  2, 
6 x1  4 x2  4 x3  3 x4  3, 
5.

9 x1  6 x2  3 x3  2 x4  4, 
15 x1  10 x2  7 x3  5 x4  7.
 2 2 3
3 11 11 
.
6. X  1  1 0  

 2  3  1
 1 2 1
0  0 0
7. A   2 1 3 1 .


 2 1 3 0 
8.
x1  2 x2  x3  x4  2 x5  0,

2 x1  3 x2  x3  x4  x5  0. 
Вариант 4
3 6
1
,
Y

1. A  

 1 , X  Y AAY  ?
2
1


 
2.
2
3
5
4
4
7
3
5
4 9 8 5
3 2 5 3
.
5 x1  8 x2  x3  2, 

3. 3x1  2 x2  6 x3  7,
2 x1  x2  x3  5. 
1
5 8
4. A  3  2 6 .


2 1  1
3 x1  5 x2  2 x3  4 x4  2, 
7 x1  4 x2  x3  3 x4  5, 
5.

5 x1  7 x2  4 x3  6 x4  3, 
10 x1  9 x2  3 x3  7 x4  7.
1  1 3
  2


6. 2 3 5 X   3 .


 
1 4 1
 0 
 
 1
7. A  
 2

  1
0 1 0
2  3 1
.
4  6 2

2  2 1
2 x1  3x2  x3  x4  0, 

8. x1  x2  2 x3  x4  0,
3x1  2 x2  x3  2 x4  0.
Вариант 5
 3 6
1. f ( x)  x 2  4 x  9, A  
,
 2 1
2.
3 3 2 5
2 5
4
6
5
4
5
4
8
5
7
6
.
2 x1  3x2  x3  7, 

3. x1  4 x2  2 x3  1, 
x1  4 x2
 5.
2 x1  3x2  5 x3  7 x4  1, 

5. 2 x1  3x2  11x3  15 x4  1, 
4 x1  6 x2  2 x3  3x4  2.
2  3 1 
4. A  1 4 2.


1  4 0
2 1  1
2 2 


6. 2  1 2 X  1  3.




3 0 1 
1  1
8.
f ( A)  ?

7. A   1

 0
2
3
2
3
0
0
4 
4 .

0 
x1  2 x2  x3  x4  0,

2 x1  x2  x3  3x4  0. 
Вариант 6
 3 2
 1 2 
6  4
1. A  
,
B

,
C

. AB  BA  C 2  ?





 2 3
 2  1
9  6
2.
3 5 2 2
4 7
4 4
4
2
9 3 7
6 3 2
.
4 x1  2 x2  x3  0, 

3. x1  2 x2  x3  1, 
x2  x3  3.
9 x1  3x2  5 x3  6 x4  4, 

5. 6 x1  2 x2  3x3  x4  5, 
3x1  x2  3x3  14 x4  8.
4 2  1
4. A  1 2 1 .


0 1  1
 1 2 1
6. X  1 3 4   2  3 0.


 3 5 1 
8.
 1 2 3 4
7. A   1 1 2 1 .


 0 3 5  
x1  x2  x3  x4  x5  0, 

2 x1  2 x2  3 x3  x4  2 x5  0.
Вариант 7
1 1
1 1
1. C  
,
D


1 1,

1

1




2.
3
5
2
4
3
4
5
3
5 7 7 5
8 8 5 6
6  4
A
. CD  DC  A2  ?

9  6
2 x1  x2
.
3.
 0, 

x1  2 x2  x3  2,
x2  x3  5.
2  1 0 
4. A  1 2  1.


0 1
1 
4 x1  2 x2  x3  2 x4  3, 

5. 3x1  2 x2  3x3  4 x4  1, 
2 x1  3x2  2 x3  3x4  2.
2 3 1 
1 1 2 
.
6. X 7 9 5  

 1 2  1
3 4 4

7. A  2

 0
8.
x1  x2  x3  x4  x5  0, 

2 x1  2 x2  3 x3  4 x4  x5  0.
 1 2
0  2 4.

0  0
0
Вариант 8
3 0 1
 1 1 
1


1. A  2  1 0 , B   2  2, C   . ABC  ?




 1
3 0 1
 5
0 
2.
1
1
2
4
0 1
2 2
.
0 0 3
2 3 1
0
3
x1  x2  2 x3  0,

3. x1  x2  2 x3  2,
x1  x2  4 x3  2. 
1  1 2 
4. A  1 1  2.


1 1
4 
x1  2 x2  2 x3  1, 
2 x1  3 x2  x3  4,
5.

3 x1  x2  3 x3  7, 
x1  x2  2 x3  2. 
 3  3 2 
3
1   1 2 5.
6. X  3


 1
2  1
0 1 5  1 
7. A  0  10  2.


0 0 0 0 
8.
x1  x2  x3  x4  0,

x1  2 x2  3 x3  x4  0.
Вариант 9
3 1 2
0 1  2


1. A  2 3 1 , B  2 0  3. AB  ?




 1 0  2
3 4 5 
2.
2
3
1
2
2 3 3
0 1 2
3
1
4
0
6
1
 x3  1, 

3.  x1  2 x2  3x3  3,
2 x1  4 x2  x3  1.
3x1
.
 3 0 1
4. A   1 2 3.


 2 4 1
 2 x1  2 x2  x3  7,
x1  3 x2  x3  6, 
5.

3 x1  x2  2 x3  7, 
4 x1  2 x2  3 x3  13. 
1  1 0 
0 4 
6. 2 4  1 X  0  2.




0 1
5 7 
2 
 1 0
7. A   2 0

 1 
8.
1 
 4  2.

 2  1
2
x1  2 x2  x3  4 x4  x5  0,

2 x1  4 x2  3 x3  x4  x5  0. 
Вариант 10
1 0 0
1. A  0 1 0,


0 0 1
2.
0 1
1
1
3
0
1
3
1
1
.
4 2
1 2
f ( x)  x 3  5 x 2  7 x  3,
1
2
f ( A)  ?
3x1  5 x2  x3  2, 

3. x1  3x2  2 x3  3, 
6 x1  7 x2  3x3  3.
3x1  x2 
3 5  1
4. A  1  3 2 .


6 7  3
x3  6, 
x1  5 x2  x3  12, 

5. 2 x1  4 x2
 6,
2 x1  x2  3x3  3, 

5 x1
 4 x3  9. 
3  1 0 
 1 2 
0 .
6. 2 1  1 X   1




2  1 4 
 0  1
0  1 2  
7. A  2 1 3   .


2 0 5 0 
8.
x1  3x2  x3  x4  0, 

2 x1  x2  x3  x4  0.
Контрольная работа № 3 (Раздел II, темы 2.2, 2.4)
Предел функции одной переменной. Производная и дифференциал функции одной
переменной.
Вариант 1
1. Найти пределы функций: а) lim
2 x 2  3x  4
x 
x4  1
1  cos 2 x
.
x 0
3x 2
; б) lim
2. Найти производные функций
а) y  3 x 4 
2 1
  3 x;
x3 x
 
б) y  sin3 (2 x) cos 5 x3 ;
в) y  (2x  1) 4x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
y 2  5 x  y, M (4;  4).
4. Получить уравнение касательной к графику функции y  x 2  4 x  2 в точке
x0  1.

5. Найти производную третьего порядка функции y  sin 2 x в точке x0  .
2
6. Найти дифференциал функции y  9  x 2 в точке x0  4 при x  0,2.
Вариант 2
 3x  1 
1. Найти пределы функций: а) lim 

x  3 x  1


2x
, б) lim
x 4
1  2x  3
.
x 2
2. Найти производные функций
2
x
а) y  3 x 4  4 x 3  
4
;
x2
б) y  tg 4 x arcsin(5 x);
в) y  x cos x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
y 2 x 2  x  6 y, M (2;1).
4. Получить уравнение касательной к графику функции
y  x  4 в точке
x0  8.
5. Найти производную третьего порядка функции y  ln(2  x 2 ) в точке x0  0.
6. Найти дифференциал функции y 
x
в точке x0  1 при x  0,1.
x 1
2
Вариант 3
tg x  sin x
x 4  16
1. Найти пределы функций: а) lim 3
, б) lim
.
x 0
x2 x  8
x sin 2 x
2. Найти производные функций
а) y  5 x 
3
2
x3
5
x 3  6;
б) y  tg 3 (2 x) arccos(3x);
в) y  ( x 2  1) ln x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
y  4 x  4e y , M (1; 0).
4. Получить уравнение касательной к графику функции y  x 2  6 x  2 в точке
x0  2.
5. Найти производную третьего порядка функции y  (5x  4) 6 в точке x0  1.
6. Найти дифференциал функции y  2e3x  4x  4 в точке x0  0 при x  0,1.
Вариант 4
x  x cos x
x2  2 x  1
,
б)
.
lim
x0 x 2 tg6 x
x1 2 x 2  x  1
1. Найти пределы функций: а) lim
2. Найти производные функций
4
x
а) y  6 x  
2
 5 x 3  10;
4
x
б) y  8 cos(3x) arctg ( x5 );
в) y  (2 x  1)sin x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
3 y  1  xy 3 , M (2;1).
4. Получить уравнение касательной к графику функции
y
2x  2
в точке
x2
x0  2.
5. Найти производную третьего порядка функции y  x  arctgx в точке x0  1.
6. Найти дифференциал функции y  x ln x в точке x0  1 при x  0,2.
Вариант 5
1  x2
sin 2 x
lim
1. Найти пределы функций: а) lim
, б)
.
x 1 1  3 x
x 0
x  16  4
2. Найти производные функций
а) y 
5 6
  7 x 2  2 4 x 3  3;
2
x
x
б) y  10 sin(7 x) arctg ( x 2 );
в) y  x
x
.
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
xy 2  y 3  4 x  7, M (2;1).
4. Получить уравнение касательной к графику функции
y  x3  2x 2  4x  3 в
точке x0  1.
5. Найти производную третьего порядка функции y  x 2 ln x в точке x0  1.
6. Найти дифференциал функции y  3e x  2 x  1 в точке x0  0 при x  0,1.
Вариант 6
tg x  sin x
.
x 0
2x
1. Найти пределы функций: а) lim x 2  9  x 2  9 , б) lim
x
2. Найти производные функций
а) y  x 2  3x  5 
4
;
( x  1) 2
б) y  cos(3x) ln(2x  3);
в) y  (arctgx)sin x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
x 2  y 3  5, M (2;1).
4. На графике функции y  x 3  4x 2  6x  2 найти точки, в которых касательная
параллельна прямой y  x  9.
5. Найти производную п-го порядка функции y  e5x .
6. Найти приближенно с помощью дифференциала значение
3
Вариант 7
2
x 4  16
 3  7 x 5x
1. Найти пределы функций: а) lim 3
, б) lim 
 .
x 0
x2 x  8
3

x


2. Найти производные функций
а) y  3 ( x  3) 2 
4
;
x2  2
б) y  e2 x  sin(3x);
2
в) y  (cos x) x .
63,5 .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
x  y  5, M (9; 4).
4. На графике функции y  2 x 2  3x  1 найти точки, в которых касательная
параллельна прямой y  5 x  3.
5. Найти производную п-го порядка функции y  sin 3x.
 
6. Найти приближенно с помощью дифференциала значение tg 480 .
Вариант 8
sin(1  x)
x4  1
,
б)
.
lim
x1
x  2 x 4  x 2  1
x 1
1. Найти пределы функций: а) lim
2. Найти производные функций
а) y  3 x 2  2 x  4 
2
;
( x  3) 3
б) y  ( x 2  3) ln(3x  2);
в) y  ( x  2) ln x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
y  x 2 y 2  6, M (1; 2).
4. На графике функции y  2tgx
найти точки, в которых касательная
параллельна прямой y  x  3.
5. Найти производную п-го порядка функции y  ln(2x  3).
6. Найти приближенно с помощью дифференциала значение (2,1)10 .
Вариант 9
x2  4 x  3
 2x 
1. Найти пределы функций: а) lim 2
, б) lim 

x  2 x  3
x1 2 x  x  1


3 x 1
2. Найти производные функций
а) y  4 ( x  2) 3 
3
;
1 x2
б) y 
2x  1
 ln(3x  5);
2x 1
в) y  (arcsin x)3x .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
xy  2  2 cos y, M (2; 0).
4. На графике функции y 
3x  1
3x  2
найти точки, в которых касательная
параллельна прямой y  2  9 x.
5. Найти производную п-го порядка функции y  cos(2x) .
6. Найти приближенно с помощью дифференциала значение
4
620 .
Вариант 10
1. Найти пределы функций: а) lim
x4
1  cos8 x
x4
, б) lim
.
x 0 1  cos x
x2  6 x
2. Найти производные функций
а) y  4 x 2  6 x  10 
5
;
( x  4) 5
б) y  ( x2  3x  11)e2 x ;
в) y  (3x  1)tgx .
3. Найти производную функции, заданной неявно, в указанной точке:
 y
y 2  x  ln , M (1;1).
x
4. На графике функции y  3x 2  5x  11 найти точки, в которых касательная
параллельна прямой y  x  10  0 .
5. Найти производную п-го порядка функции y 
3
.
(2 x  1)
6. Найти приближенно с помощью дифференциала значение (1,9)8 .