Lec_1

Спасибо Антону за помощь, со всех остальных нам
. гыгы
Механические колебания
Виды:
1. свободные – система, выводящаяся из положения равновесия, колеблется под действием
внутренних сил.
2. Вынужденные – под действием внешней периодической силы (качели)
Гармонические колебания: амплитуда, период, частота, циклическая частота.
Гармонические колебания – происходят по законам синуса или косинуса.
xt   A cost  0 
А – амплитуда (максимальное значение колеблющейся величины)
Фаза – выражение, однозначно определяющееся положением системы  .
  t   0
Период Т – время одного колебания
Частота  – число колебаний за единицу времени
1
T

 Гц   1с
Циклическая частота – число колебаний за 2 секунды
2
  2 
Т
 
Пружинный маятник: вывод дифференциального уравнения, его решение.
ma  kx
a  x
mx  kx  0 / : m
k
x  x  0
m
k
 2
m
m
T  2
k
2
x   x  0 - уравнение колебаний груза на пружине
Решения нет!
Преобразование энергии при свободных колебаниях груза на пружине.
Физический маятник: вывод дифференциального уравнения, его решение,
период колебаний, приведенная длина.
Физический маятник - твердое тело, ось вращения не проходит через центр масс
  8 - Колебания гармонические
Основной закон динамики вращательного движения
J  M
   
M  Fd  mgd sin 
sin   
J   mgd  0
mgd
  
0
J
mgd
 2
J
    2  0
2
J

mgd
Приведенная длина физического маятника
J
L
md
Решения нет!
T
 2
Математический маятник
– мат точка на невесомой нерастяжимой нити.
J  ml 2
mgl g
2  2 
ml
l
l
T  2
g
5.
Колебания в LC контуре: вывод дифференциального уравнения, его
решение. Векторная диаграмма.
А вот нету никуя >.<
Преобразование энергии при свободных колебаниях в LC контуре.
q2
q2
 0 cos 2 t
2C 2C
LJ 2 L 2 q02
Wм 

sin 2 t
2
2
2
Lq 0
Wм 
sin 2 t
2 LC
q 2 LJ 2
W  Wм  Wэ  0  0
2
2C
Wэ 
Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты. Сложение
однонаправленных колебаний близких частот.
При сложении колебаний одинаковой частоты получаются колебания (гармонические) той же частоты.
Если частоты разные – суммарные колебания не гармонические.
x1  A1 cos(t  1 )
x2  A2 cos(t   2 )
x  x1  x2 
 A cos(t   )
A2 | OB |2  | OC |2 
 ( A1 cos 1  A2 cos  2 ) 
 ( A1 sin 1  A2 sin  2 )
A sin 1  A2 sin  2
tg  1
A1 cos 1  A2 cos  2
Сложение колебаний
2  1    1
1  100 Гц
2  100,5 Гц
 x1  A cos 1t


 x2  A cos 2t
x1  x2 
 A(cos 1t  cos 2t )
2  1
 2 A cos
2
t*
0

  1  
* cos 1
t =>
2
x  2 A cos

t cos 1t - уравнение биения.
2

t - циклическая частота биения.
2
2 * 2
Tб 

циклическая
частота колебаний
1
2
Tк 
1
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот.
При сложении взаимно перпендикулярных кратных частот получаются фигуры Лиссажу (используют
для измерения частот и разности фаз колебаний.
I) 1   2
x  A cos   t
y  B sin   t   
x
 cos   t
A
y
 cos t  sin   sin t  cos 
B
y x
x2
  sin   1  2  cos 
B A
A
x2 
y x
 
2
  sin    1  2   cos 
B
A
A

 

2
2
y
x
xy
 2  sin 2   2 
 sin  
2
B
A
AB
x2
2
cos   2  cos 2 
A
2
2
y
x
2 sin 
 2
 xy  cos 2 
2
B
A
AB
2
Частные случаи:
1)   0
x  A cos t
y  B cos t
x A

y B
B
y x
A
2)   
x  2 cost   
y  3 cos t
x  2 cos t
3
y x
2

 
2
3)
x  A cos t


y  B cos t  
2

2
x
 cos 2 t
A2
y2
 sin 2 t
2
B
x2 y2

1
A2 B


2
II) 1   2
 0
x  3 cos200t  


3 2 cos 2 100t   1
y  2 cos100t 
 y2 
x  3  1
 2

3
x  y2  3
2
Затухающие колебания груза на пружине: вывод дифференциального
уравнения, его решение.

 
ma  Fy  Fc
ma  mx
Fy  kx
Fc  r
r – Коэффициент сопротивления
Fc  r  rx
mx  rx  kx  0 / : m
r
k
x  x  x  0
m
m
Где
r
 2
m
,  -коэффициент затухания
L
m ,  - частота свободных колебаний
2
x  2x  0 x  0
Решение ду методом характеристических уравнений:
x  e t
x   e  t
x  2 e t
2et  2et  0 2et  0
0 2 
2  2  0 2  0
1, 2     2  0 2
А) если
  0 то:
 2   0 2  i
1, 2     i
xR
x  c1e 1t  c 2e 2t
c1  c 2*
A
c1  0 e i 0
2
:
A0 i 0
e
2
A
xt   x  0 e t ei t  0   e i t  0 
2
 t
xt   A0 e cost   0 
c2 


 2  0 2   2
. - частота затухающих колебаний
Б) 0   , тогда
x  C1e1t  C2e 2t
1, 2  R
Колебания затухают по экспоненте: частота колебаний комплексная – колебаний нет.
Колебания апериодические; энергия меньше чем за период переходит во внутреннюю.
xt   A0 e  t cost   0 
A  A0 e  t
Преобразование энергии при затухающих колебаниях.
Энергия:
W0  Wn max 
kx2

2
kA2 kA0 e 2 t

2
2
2 t
W0  Wначe
2
dW  Wнач (2 )e 2 t dt
При малом затухании
dt  T
W  Wнач (2 )e 2 t T 
 2W0T  2W0
W - убывание энергии за Т

W   2W0
Q
Где Q – добротность.
Добротность

Q

W0

W
W (t )
2
W (t )  W (t  T )
Добротность равна отношению энергии системы к убыли энергии за период, умноженному на 2  .
Характеризует способность системы сохранять энергию колебаний.
Q  2
Затухающие электромагнитные колебания в LCR контуре: вывод
дифференциального уравнения, его решение.
U C U R   L
q
UC 
C
U R  Rq
 L  Lq
1
Lq  Rq  q  0 / : L
C
R
1
q  q 
q0
L
LC
R
 2
L
1
0 2 
LC
2
q  2q   0 q  0
Решение ду методом характеристических уравнений:
x  e t
x   e  t
x  2 e t
2et  2et  0 2et  0
2  2  0 2  0
1, 2     2  0 2 :
А) если   0 то:
 2   0 2  i
1, 2     i
xR
x  c1e 1t  c 2e 2t
c1  c 2*
A
c1  0 e i 0
2
A
c 2  0 e i  0
2
A
xt   x  0 e t ei t  0   e i t  0 
2
 t
xt   A0 e cost   0 


 2  0 2   2
 -частота затухающих колебаний
Б) 0   , тогда
x  C1e1t  C2e 2t
1, 2  R
Период колебаний,
Период – время одного колебания.
1
T

Период груза на пружине
m
T  2
k
Период физического маятника
2
J
T
 2

mgd
Период математического маятника
l
T  2
g
Формула Томсона
2
T
 2 LC

Коэффициент затухания
  1 


1
A0
 e   e
A
- коэффициент затухания обратен времени, за которое А уменьшается в e раз.

1  Гц
c

Логарифмический декремент затухания
A(t )
A(t  T )
Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды к
амплитуде через период.
A0 e
1
  ln
= ln  t  ln e T   T
e
A0 e   (t  T )
  T
1

N
Обратен числу колебаний, за который амплитуда уменьшается в е раз
  ln
Апериодические колебания.
Колебания апериодические – энергия меньше чем за период переходит во внутреннюю.
xt   A0 e  t cost   0 
A  A0 e  t
Вынужденные электромагнитные колебания в контуре: вывод
дифференциального уравнения, его решение. Векторная диаграмма.
Вынужденные колебания – происходят под действием внешней периодической силы.
U R  UC   L  
q
UC 
C
U R  Rq
 L  Lq
   0 cos t - внешняя частота
1
q   0 cos t
C

R
1
q  q 
q  0 cos t
L
LC
L
2
q  2q  0 q  f 0 cos t
Lq  Rq 
Решение
q(t )  q1 (t )  q2 (t )
2
q  2q  0 q  0
q1 (t )  q0 e  t cos t - частное решение
q2 (t )  A cos(t   0 )
Происходит колебание с частотой внешней периодической силы.
Найдем амплитуду и начальную фазу методом векторных диаграмм.
q   A sin t 

A cos(t  )
2
q   A2 cos t 
A2 cos(t   )
d 2q
dq
2
 2
 0 q 
2
dt
dt
f 0 cos(t )
q(t )  A cos(t   0 )
A 2 ( 0  2 ) 
2
4  2 2 A 2  f 0
A

2
f0
(0   )  4  2 2
2
2 2
0
L
tg 0 
 f0
- амплитуда вынужденного колебания
2
0 2  2
Резонанс
Возрастание амплитуды при определенной для данной системы частоте.
Если:
  0 , то
0
Aрез 
2  L 0
1
- собственная частота
0 
LC
tg рез
0 2  2  2


 рез  0 2  2 2 - резонансная частота
0
- резонансная амплитуда
Aрез 
2
2L 0   2
Aрез 
0
- резонансная амплитуда
2 L
Переменный ток в полной цепи.
Цепь переменного тока:
Протекание переменного тока – установившиеся вынужденные колебания.


J t   qt  =  q0 sin t   0  = J 0 cos t   0  
2

0
qt   q0 cost   0  - заряд на конденсаторе.
J 0  q0  ;

0   0  ;
2
U 0  RJ 0
Емкостное, индуктивное и полное сопротивление.
Напряжение на конденсаторе:
q q
U c   0 cost   0 
C C
1



J 0 cos t   0  
C
2

U c0  X c J 0
1
- емкостное сопротивление.
C
Напряжение на катушке:
dJ
U L  L

dt


LJ cos t   0  
2

U L0  X L J 0
XC 
X L  L - индуктивное сопротивление.
U0  J0
1 

R   L 

C 

2
2
2
1 

Z  J 0 R 2   L 
 - полное сопротивление цепи.
C 

Состоит из активного (R) сопротивления и реактивного ( L 
Сопротивление минимально при: 0   
1
).
C
1
; ZR
LC
Векторная диаграмма.
Мощность в цепи переменного тока.
Мгновенная мощность:
Pмгн  UJ
T
1
UJdt
T 0
среднее значение
P
Мощность на резисторе:
T
1
P   J 0U 0 cos 2 t   0 dt
T0
JU
P 0 0
2
Эффективное значение тока и напряжения:
P  J эфU эф
J0
2
U
 0
2
J эф 
U эф
T
P
T
1
1
1
2
J 0U 0 cost  0 sin t  0 dt = J 0U 0  sin
t  0 dt

T0
T
20 0
Мощность на конденсаторе и катушке:
При зарядке конденсатора мощность поглощается, при разряде выделяется.
На катушке: при возрастании тока мощность поглощается, при уменьшении выделяется.
Связанные колебания
Число степени свободы – количество независимых переменных, однозначно определяющих
положение системы.
Материальная точка: r x, y, z 
x  l sin 
Связи (механические и электрические):
Ограничения, накладываемые на систему, уменьшают число свободы.
y  0 связь r ( x, z)
Синфазные механические колебания.
Параллельные колебания в одном направлении.
J  М тяж
J  ml 2
d 2

dt2
mgl sin 
 mgl
1
  sin  ,  - малый угол.
c  A cosct 
М тяж  
d 2
 mgl  0
dt 2
q
d 2 q
   0 , где C2 
2
l
dt
l
2
   C  0
ml 2
Антифазные механические колебания.
Не параллельные колебания в противоположные стороны.
J  М тяж  М упр
М упр  Fупр d sin( 90   )  Fупр d cos
   kx2d  2kd 2 sin
  ...


1

d
 mgl  2kd 2  0 : ml 2
2
dt
2
ml 2
d 2 q
2kd 2
 
 0
dt 2 l
ml 2
 q 2kd 2 
d 2
 
0


2 
dt 2
l ml

a2
a2 - частота антифазных колебаний.
c 
q
l
a 
q 2d 2 k

l
ml 2
a  c
Биение
При сложении синфазных и антифазных колебаний или при сложении  -х параллельных колебаний с
близкими частотами.
Уравнение биения:
A cos(ct )  A cos(at ) 
   c 
   c 
A2 cos a
t cos a
t
 2 
 2 
 a  c
 б - частота биения
2
 a  c
  - частота колебаний
2
При биении энергия передается от одного маятника к другому и обратно.
Связанные электрические колебания.
Индуктивная связь:
Емкостная связь:
L  L1  L2
C1  C2  C3
C3 - емкость связи
1-й закон Кирхгофа:
J1  J 2 J 3
q1  q2  q3
2-й закон Кирхгофа:
I) U1  U 3   L
II) U 2  U 3   L
 q1 q3
d 2 q1



L
_   1

dt 2
 C C3

2
 q2  q3   L d q2 _   2
 C C3
dt 2
q1  q2
d2
  L 2 (q1  q2 )
C
dt
2
d
1
(q1  q2 ) 
(q1  q2 )  0
2
dt
LC

1)
c2
c2 - частота антифазных колебаний.
q1  q2  q0 cos(at ) - решение уравнения.
2)
q1  q2
q q
d2
 2 1 2   L 2 (q1  q2 )
C
C3
dt
 1
d2
2 
(q1  q2 )  0
(q1  q2 ) + 

2
dt
LC
LC
3 

q1  q2  q cos(ct )
c ~ a
C3  C
Спектральный анализ колебаний.
Любую периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье
N
f (t )  a0   an sin( nt   n ) ,  n - спектр частот
n 1
где  n - гармоники, из которых состоит колебание.
Для увеличения точности представления увеличивают число слагаемых.
Амплитудная модуляция.
f (t )  A(t ) sin( t   0 )
   A
106 Гц  103 Гц
Частотная модуляция
f (t )  A sin  (t )t   0 