Порядок расчета

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
№ 3452
621.38
Ф 505
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ
Методические указания
к расчетно-графической работе
для студентов дневного отделения ЭМФ
по теме «Расчет датчика мощности»
НОВОСИБИРСК
2008
УДК 621.38 : 53(07)
Ф 505
Составители:
А.М. Погорельский,
О.Ю. Рубцова,
В.В. Христофоров
Рецензент проф. Л.А. Борыняк
Работа подготовлена на кафедре общей физики
 Новосибирский государственный
технический университет, 2008
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ
Методические указания
к расчетно-графической работе
Редактор Т.П. Петроченко
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова
Подписано в печать 29.02.2008. Формат 60  84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз.
Уч.-изд. л. 0,93. Печ. л. 1,0. Изд. № 272. Заказ №
. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
2
Цель работы – рассчитать преобразователь мощность–напряжение
на основе эффекта Холла и коэффициент передачи согласующего
устройства датчика с вольтметром.
1. ДАТЧИК МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Эффект Холла заключается в том, что при протекании
электрического тока i x вдоль прямоугольной пластины (рис. 1),
помещенной в поперечное магнитное поле B , носители заряда
отклоняются на верхнюю и нижнюю грани пластины. При этом
возникает холловское напряжение:
U x = Rx
iB
,
d
(1)
где d – толщина пластины; Rx – постоянная Холла, определяемая
параметрами материала пластины.
i
B
d
Рис. 1
3
Если параметры Rx , i x и d не зависят от внешних факторов, то
U x =  B B и, следовательно, такая пластина является линейным
измерительным преобразователем – датчиком магнитного поля.
Толщина пластины d не зависит от внешних условий. При питании
датчика от генератора тока (рис. 2) постоянной, не зависящей от
внешних условий, будет и сила тока ix = const . Тогда для выполнения
условия  B = const необходимо, чтобы постоянная Холла не зависела
от внешних условий Rx = const . Выясним, как этого добиться.
Uх
Рис. 2
В общем случае постоянная Холла определяется концентрациями и
подвижностями носителей заряда. Так, в полупроводниках с двумя
типами носителей заряда, когда подвижность определяется в основном
рассеянием на фононах:
n 2n - p 2p
3

Rx =
,
2
8
e (nn + p p )
(2)
где n – концентрация электронов; p – концентрация дырок;  n –
подвижность электронов;  p – подвижность дырок; å – элементарный
заряд. Поскольку как концентрация, так и подвижность являются
функциями температуры, то и Rx зависит от температуры. Однако
если, например ( n > p ), то
Rx = A ,
en
4
(3)
где A определяется механизмом рассеяния носителей заряда и в
широком диапазоне не зависит от температуры. Таким образом, для
получения Rx = const , необходимо, чтобы концентрация не зависела
от температуры. Это условие выполняется в металлах, однако из-за
больших значений концентрации n 1027 м–3 постоянная Холла в них
оказывается очень малой – Rx = 6 ×10- 9 ì 3 Êë и коэффициент
преобразования даже при сравнительно больших токах i x и малых
значениях d получается небольшим, что делает использование
металлических датчиков нецелесообразным.
Зависимость логарифма концентрации электронов от обратной
температуры для полупроводников n-типа приведена на рис. 3.
ln n
N2 >N1
N2
N1
III
I
II
1/Tmax
1/Tmin
1/T
Рис. 3
Эта зависимость имеет три области.
I – область активации примесей, где концентрация носителей
заряда зависит от температуры, II – область истощения примесей, где
концентрация практически не зависит от температуры, и III – область
собственной проводимости, где
ln n = ln n0 – E .
2kT
Здесь E – ширина запрещенной зоны; k –
T – абсолютная температура, причем в
Следовательно, с точки зрения постоянства
областью может являться только область
5
(4)
постоянная Больцмана;
этой области n  p .
величины Rx рабочей
истощения примесей.
Следует отметить, что области I и II перемещаются на графике вверх,
если увеличивать концентрацию примесных атомов N в собственном
полупроводнике. Это позволяет смещать точку пересечения области II
и III влево путем увеличения концентрации примеси (рис. 3).
Температура Tmin при использовании материалов с достаточно
малой энергией активации обычно не выше 50 K, что гораздо ниже,
чем рабочая область температур датчиков. Поэтому расчет ведется
только по температуре Tmax . Для этого определяется концентрация в
точке пересечения двух прямых на графике (рис. 3), вычисленная по
формуле (4) для области собственной проводимости и n = const для
области истощения примесей. Чтобы определить n0 , можно
использовать выражение для концентрации собственных носителей:
- E
ni = n0e 2kT .
(5)
Основные параметры широко используемых полупроводниковых
материалов германия и кремния следующие:
Ge:   0,36 м2/В  с, ni 0 = 31019 м–3 при T0 = 300 K, E = 0,72 эВ;
Si:   0,1 м2/В  с, ni 0 = 41016 м–3 при T0 = 300 K, E = 1,1 эВ.
Из (5) с учетом указанных параметров полупроводниковых материалов
определяем
+ E
n0 = ni 0 e 2 kT0
и, подставляя в (5), получим концентрацию перехода от области
истощения примеси к области собственной проводимости при
заданной температуре Tmax :
ni = ni 0e
ö
E æ
ç1- 1 ÷
÷
÷
2k ççèT0 Tmax ø
.
(6)
Если найденная нами концентрация носителей заряда для данного
собственного полупроводника, соответствующая температуре Tmax ,
будет равна концентрации носителей заряда, даваемых примесью,
содержащейся в этом собственном полупроводнике, при температуре
Tmin , то (рис. 3) в диапазоне температур от Tmin до Tmax мы получим
6
область насыщения примеси, где концентрация носителей заряда, а
следовательно Rx , не зависит от температуры. Концентрацию
носителей заряда в области примесной проводимости и в области
истощения примеси можно увеличивать, повышая концентрацию
примесных атомов в собственном полупроводнике. Кроме того, при
увеличении концентрации примесных атомов точка пересечения
области II и III смещается влево. Поэтому для надежного выхода на
горизонтальный участок концентрацию, найденную по (6),
увеличивают
в 100 раз, т.е.
nòð ³ 100ni 0e
ö
E æ
ç1- 1 ÷
÷
2 k ççèT0 Tmax ÷
ø
,
(7)
где nòð – требуемая рабочая концентрация носителей заряда.
Обычно для датчика выбирают отношение длины к ширине
пластины l b ³ 3 , а толщина полупроводниковой пленки составляет
d  10 мкм. Чувствительность датчика можно повысить, увеличив ток
i x через датчик, однако он не должен приводить к саморазогреву
i
датчика. Для этого плотность тока j x = x не должна превышать
bd
4 А/мм2, т.е. iï ðåä = 4bd . Генератор тока имеет предельное
напряжение на выходе U max , таким образом, iï ðåä =
U max
= 4bd ,
Rä
откуда сопротивление датчика не должно быть более чем
Rä £
U max
.
4bd
(8)
Сопротивление датчика определяется как параметрами материала,
так и его размерами:
Rä =  l =  l ,
S
bd
где  = 1 = 1 , следовательно, возникает еще одно условие:
 en
7
£
U max bd U max
=
4bd l
4l
или
n³
4l
.
eU max
(9)
Таким образом, при проектировании датчика магнитного поля для
получения максимального коэффициента преобразования выбирают
максимальную длину датчика (она не должна превышать области, где
поле можно считать однородным) и подсчитывают концентрацию как
по формуле (7), так и по формуле (9). Из двух значений выбирают
наибольшее, а затем определяют ток через датчик и коэффициент
преобразования.
2. ДАТЧИК ТОКА
Поскольку любой проводник с током I создает магнитное поле,
пропорциональное этому току B  I , датчик Холла, помещенный в это
магнитное поле, может являться бесконтактным датчиком тока. Для
передачи больших токов используются шины – проводники
прямоугольного сечения (рис. 4), у которых ширина значительно
превосходит толщину.
h
Рис. 4
Индукция магнитного поля вблизи шины в вакууме или воздухе по
величине равна
B = 0 I = KI ,
2h
0
– коэффициент пропорциональности между индукцией Β
2h
и силой тока I . Тогда
где K =
8
i B
i  I
U x = Rx x = Rx x 0 =  I I ,
d
2hd
i 
где  I = Rx x 0 – коэффициент преобразования по току.
2hd
При малой силе тока для соединения генератора с потребителем
электроэнергии используют провод круглого сечения. С целью
увеличения B можно в некотором месте цепи из этого провода
изготовить длинный соленоид относительно малого диаметра, внутри
которого индукция равна
B = 0 N I = KI ,
lc
N
–
lc
внутри
где N – число витков соленоида; lc – длина соленоида; K = 0
коэффициент пропорциональности между индукцией B
«бесконечного» соленоида и силой тока I в его витках. Тогда
i B
i  N
U x = Rx x = R x x 0 I =  I I ,
d
dlc
(10)
i  N
где  I = Rx x 0
– коэффициент преобразования по току. Расчет
dlc
ведется аналогично расчету датчика магнитного поля.
3. ДАТЧИК ПОТРЕБЛЯЕМОЙ МОЩНОСТИ
Для измерения активной мощности, передаваемой от генератора к
потребителю, используют датчик тока, включенный по схеме рис. 5.
Здесь балластный резистор R1 и датчик Холла с сопротивлением Rä
включены между токопроводами, идущими дальше к потребителю.
Из закона Ома следует
ix =
U 0 cos t
,
R1 + Rä
9
если R1  Rä , то
U cos t
i B U cos t
ix @ 0
и U x = Rx x = 0
Rx KI 0 cos(t + ) ,
R1
d
R1d
где K – коэффициент пропорциональности между B и I (см. выше);
 – сдвиг фаз между напряжением и силой тока в цепи. Тогда
U I
U x = KRx R0 d0 cos t (cos t cos  - sin t sin )=
1
U I
(
)
= KRx R0 d0 cos 2 t cos  - cos t sin t sin  .
1
R1
~
E = U0cost
Uх
Rд
Рис. 5
Если теперь проинтегрировать это выражение по времени, то
получим
ö
U 0 I0 æ
1T
1T
1T
2
÷
ç
U
dt
=
KR
cos

t
cos

dt
+
=
ç
ò x
ò cos t sin d cos t ÷
x Rd ç ò
÷
÷
T 0
T 0
ø
1 èT 0
KRx
= 1
U I cos ,
2 R1d 0 0
где U 0 I 0 cos  = Pà – активная мощность.
Для измерения реактивной мощности используют датчик тока,
включенный по схеме рис. 6.
10
C
~
E=U0cost
Rд
Рис. 6
Ток, протекающий через датчик, ix = E Z . Здесь E = U 0 cos t или
в комплексном виде E = U 0e jt , где j – мнимая единица;
j
– комплексное сопротивление (импеданс). При
Z = Rä C
1  R ток в датчике Холла равен
ä
C
æ
ç
ö
÷
jççt + ÷
÷
U e jt
2ø
.
ix = 0
= jCU 0e jt = CU 0e è
j
C
Переходя к вещественной форме этого выражения, получаем
ix = - CU 0 sin t . Тогда холловское напряжение равно
i B - CU 0 sin t
U x = Rx x =
Rx KI 0 cos (t + )=
d
d
- CKRx
=
U 0 I 0 sin t (cos t cos  - sin t sin ) =
d
CKRx
=
U 0 I 0 - sin t cos t cos  + sin 2 t sin 
d
и после интегрирования
(
)
1
1 CKRx U I sin  ,
ò U x dt =
0 0
2 d
T
где U 0 I 0 sin  = Pð – реактивная мощность.
11
Таким образом, если дополнить схему, представленную на рис. 5
или 6, интегратором и усилителем с коэффициентом усиления K ó
(рис. 7), то получим
U âû õ = p P ,
1 KK ó Rx
– для датчика активной
2 R1d
CKK ó Rx
p =
– для датчика реактивной мощности.
2d
где
p =
Ux
Усилитель
Ку
1
 U x dx
T
мощности
и
Uвых
Рис. 7
Исходными данными для расчета датчика мощности являются:
– напряжение сети U ;
– частота сети  ;
– наибольшая измеряемая мощность Pmax ;
– максимальная рабочая температура Tmax ;
– максимальное выходное напряжение U âû õ max .
ПОРЯДОК РАСЧЕТА
P
1. Определяют максимальный ток нагрузки в амперах I max = max
.
U
2. Выбирают длину датчика Холла равной: для шины l = 0,1h ,
а для соленоида, намотанного из провода, l = 0,1D, где D – диаметр
соленоида, его берут равным 2 см.
3. Ширину датчика выбирают равной b = l 3 .
4. Оценивают ток через датчик ix = 4bd , где d » 10 мкм. В этой
формуле размеры датчика берутся в миллиметрах, при этом сила тока
получается в амперах.
12
5. Определяют величину сопротивления балластного резистора в омах
(R1 » U ix ) для датчика активной мощности или величину емкости
(
i
)
конденсатора в фарадах C » Ux для датчика реактивной мощности.
6. Принимают сопротивление датчика активной мощности
Rä = 0,01R1 или сопротивление датчика реактивной мощности
.
Rä = 0,01
C
7. Определяют
=
Rä bd
l
удельное
сопротивление
материала
датчика
[Ом · м].
8. Для германия и кремния определяют требуемые для обеспечения
1 м–3.
найденного  концентрации носителей тока n = e
9. Для германия и кремния определяют по заданному tmax
ö
E æ
ç1- 1 ÷
÷
2K ç
èT0 Tmax ø
,
e
требуемое значение концентрации nòð = 100ni 0
где при
расчете по пп. 8 и 9 необходимо учесть следующие табличные данные:
Ge:   0,36 м2/В  с, ni 0 = 31019 м–3 при T0 = 300 K, E = 0,72 эВ;
Si:   0,1 м2/В  с, ni 0 = 41016 м–3 при T0 = 300 K, E = 1,1 эВ;
k = 1,3810–23 Дж/К.
Здесь  – подвижность носителей тока; ni 0 – концентрация носителей
при температуре T0 ; E – ширина запрещенной зоны; k – постоянная
Больцмана.
10. Имея по два значения концентрации для германия, полученные
в пп. 8 и 9, выбирают из них наибольшее. Затем делают это же для
кремния. Выбрав из четырех значений два, из этих двух берут
меньшее. Это делается для того, чтобы получить датчик с большей
величиной постоянной Холла Rx , которая обратно пропорциональна
концентрации. Сделав выбор концентрации n , рассчитывают по ней
1,17
постоянную Холла Rx =
, где e = 1,6 ×10- 19 Кл.
en
11. Максимальное значение магнитной индукции для шины
шириной h равно
13
Bmax =
0 I max
2h
= KI max ,
а для длинного соленоида, навитого из провода,
Bmax = I max lN 0 = KI max ,
c
где отношение числа витков к длине соленоида связано с диаметром
провода соотношением N lc = 1 dï ð . Диаметр провода можно
выбрать, используя известную в электротехнике формулу
dï ð = I max  , где диаметр провода измеряется в миллиметрах, а
сила тока – в амперах. Учитывая вышесказанное, определяют


коэффициент K = 0 для шины или K = 0 для соленоида
dï ð
2h
(провода).
12. Рассчитывают
U x max =
1 KRx
Pamax
2 R1d
– для активной мощности или
U x max =
1 CKRÕ
Ppmax
2
d
– для реактивной.
13. Определяют требуемый коэффициент усиления усилителя
K ó = U âû õ max U x max .
ЗАДАНИЕ
Определите, пользуясь изложенным выше порядком расчета,
основные параметры датчика мощности на основе эффекта Холла:
1) геометрические размеры; 2) материал; 3) удельное сопротивление;
4) коэффициент усиления усилителя.
В отчете должны быть представлены результаты расчетов по
всем пунктам (см. пп. 1–13). Исходные данные приведены в таблице.
14
Номер варианта определяется по двум последним цифрам вашей
зачетной книжки, которые указаны рядом с номером варианта.
Исходные данные для расчета
№
варианта
Напряжение Частота t
Тип
max , U
(цифры в Pmax , Вт
сети U,
сети,
âû õ max , В
токопровода
С
зачетной
В
Гц
книжке)
1
10000
Шина,
500
0
100
10
(01, 21, Активная
h = 8 ñì
41, 61,
81)
2
1500
Провод
220
50
140
1,5
(02, 22, Активная
42, 62,
82)
3
1500
Провод
115
400
140
1,5
(03, 23, Реактивная
43, 63,
83)
4
20000
Шина,
380
50
60
2,0
(04, 24, Активная
h = 8 ñì
44, 64,
84)
5
3000
Шина,
27
0
120
3,0
(05, 25, Активная
h = 5 ñì
45, 65,
85)
6
100000
Шина,
500
0
40
10
(06, 26, Активная
h = 2 cì
46, 66,
86)
7
1000
Провод
27
1000
150
1,0
(07, 27, Активная
47, 67,
87)
8
1000
Провод
27
1000
120
1,0
(08, 28, Реактивная
48, 68,
88)
9
4000
Провод
110
400
100
4,0
(09, 29, Реактивная
15
49, 69,
89)
10
(10, 30,
50, 70,
90)
11
(11, 31,
51, 71,
91)
12
(12, 32,
52, 72,
92)
№
варианта
(цифры в
зачетной
книжке)
13
(13, 33,
53, 73,
93)
14
(14, 34,
54, 74,
94)
15
(15, 35,
55, 75,
95)
16
(16, 36,
56, 76,
96)
17
(17, 37,
57, 77,
97)
18
(18, 38,
58, 78,
98)
50
Активная
Провод
27
1000
50
5,0
50
Активная
Провод
220
50
120
5,0
200
Реактивная
Провод
220
50
140
2,0
Pmax , Вт
Тип
токопровода
700
Активная
Провод
110
400
100
7,0
60000
Активная
Шина
h = 8 ñì
600
0
120
6,0
200
Активная
Провод
220
50
150
2,0
250
Реактивная
Провод
110
400
70
2,5
1000
Активная
Провод
220
50
90
1,0
1500
Реактивная
Провод
380
50
100
1,5
Напряжение Частота t
max , U
сети U,
сети,
âû õ max , В
С
В
Гц
16
19
(19, 39,
59, 79,
99)
20
(20, 40,
60, 80,
00)
800
Активная
Провод
110
400
140
8,0
15000
Реактивная
Шина
h = 6 ñì
27
1000
150
1,5
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1978. – Т. 2 (см. также
более поздние издания этого курса).
2. Епифанов Г.И. Физика твердого тела. – М.: Высш. шк., 1966 (см. также
более поздние издания этого курса).
17