4. сдвиг и кручение

доводя последние до предельных, в координатах  -  можем отыскать
некоторые точки, характеризующие данные предельные состояния.
Проведя через эти точки линии, получим некоторую плоскую фигуру,
граница которой и будет описывать совокупность предельных состояний
для данного материала. Формула для эквивалентного напряженного
состояния будет:
σ
 σ  kσ ,
эквV
1
3
где
σ
k= тр
σ тс
 ' σ вр

σ
 вс




.
Здесь ТР , ВР , ТС и ВС - пределы текучести и пределы прочности
материала на растяжение и сжатие. При k=1 критерий Мора совпадает с
критерием наибольших касательных напряжений. Критерий Мора
используется для материалов, разносопротивляющихся растяжению и
сжатию.
Общего критерия для всех материалов в настоящее время не
существует и работа по созданию и совершенствованию критериев
прочности и пластичности сводится как к созданию возможно более
точных гипотез, оправдываемых последующими экспериментами, так и к
наиболее простому и полному описанию совокупности экспериментальных
данных.
4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
4.1. Расчет элементов конструкций, работающих на сдвиг
Если из всех внутренних сил не равна нулю только поперечная сила,
материал испытывает сдвиг. На сдвиг работают шпонки, штифты,
заклепочные, сварные, и другие соединения. При действии нагрузки в
этих соединениях, кроме сдвига, возникает смятие и изгиб. Такое явление
на практике называется срезом. Экспериментально доказано, что
напряжения при сдвиге равномерно распределяются по площади.
Рассмотрим расчет некоторых соединений.
Расчет заклепочных соединений ( рис.4.1 ).
Из
условия
прочности при сдвиге:
d
Q
 max 
t1
Q
 
A
Q
 4Q  ,
A d 2nZ
t
2
Q
где: Q – поперечная сила; n – число
срезов; Z – число заклепок, можно
Рис. 4.1
подобрать либо диаметр заклепки,
либо число заклепок, которое округляется до ближайшего большего целого
числа:
t3
38
Q
получим

4Q ;
nZ
4Q .
d 2n
Кроме сдвига заклепочные соединения
рассчитываются на смятие.
Реальное
распределение напряжений смятия имеет Q
сложный вид ( рис. 4.2 ). Поэтому для
расчетов
эпюру
напряжений,
 см
d
упрощают
и
заменяют
постоянной
величиной, а за площадь смятия приниРис.4.2
мают диаметральное сечение заклепки.
Тогда, из условий прочности при смятии
Q
Q
для крайних листов
см 

 см 
A см d t  t  Z
2
 1
Q
и для среднего листа
см 
 см 
d
Z
Q
 СМ
dt Z
3
можно определить либо диаметр заклепок, либо их число.
Q
Например, для крайних листов d 
; Z

 t  t  Z 
см
2
 1

Q
.
d t  t см 
2
 1
Число заклепок округляют до ближайшего большего целого числа.
В общем случае расчет на смятие проводят как для заклепок, так и
для листов. При этом, если они из разных материалов, то будут разные
 см .


Обычно  см велико, вследствие того, что в возникающем
объемном напряженном состоянии все напряжения практически всегда
отрицательны. Окончательно, из результатов всех расчетов, принимают
для соединения наибольшие значения диаметров или числа заклепок.
Расчет сварных соединений
Соединение встык ( рис. 4.3 ).
Q
Из условия прочности
Q
Q
 св 
   св . ,
t
A св tl
можно найти длину сварного шва
l
l
Q
Рис.4.3
Q
. Из-за непровара по краям шва, его длину увеличивают на 10 мм .
t св 
Соединение внахлест ( рис. 4.4,а ). Наименьшая толщина шва показана
t св  t cos 45  0,7t . Тогда из условия прочности
на рис.4.4,б
Q
Q
Q
l
.


 св 
находим длину сварного шва
0,7t св 
A св t 0,7l
39
Q
l
tсв
Здесь св . и  св  - допускаемые
напряжения для сварных
соединений.
Q
t
а
б
Рис..
а затем увеличиваем ее на 10 мм .
4.2. Чистый сдвиг
Если по граням элемента действуют только касательные напряжения,
то материал элемента испытывает деформацию чистого сдвига.
Рассмотрим некоторое тело единичной толщины ( рис.4.5 ). На грани CD
под действием силы Q возникают
S
касательные напряжения
Q
C
C1
D
1
D1

Q
.
a1
По закону парности касательных напряжений, такие же напряa
l
3
1
l жения возникают на остальных
гранях тела. От действия
τ
верхняя грань CD переместится в
K
B
положение C1D1, сдвинувшись
a
на величину
DD1,
равную
S ,
называемую
абсолютным
Рис.4.5
сдвигом. Все прямые углы элемента
станут тупыми и острыми, изменившись на величину  , называемую углом
S  atg . Так как угол  мал, то tg   и S  a .
сдвига.
Рассмотрим деформацию диагонали BD c двух точек зрения.
С геометрической точки зрения. Свяжем удлинение диагонали BD и
CD1 B  CDB  45 0 .Тогда
абсолютный
сдвиг.
Считаем,
что
BD  S cos 45. Деформация диагонали BD будет
3
BD S cos 45 0 S a 
 BD 



 .
a
BD
2a 2a 2
cos 45 0
С точки зрения напряженного состояния.
Рассматриваемый
элемент испытывает плоское напряженное состояние. Определим
положение главных площадок по формуле ( 3.8 ) .
2 
2
0
0
tg 2 

 ,
откуда 2  90 и   45 .
   
0
40
0
Таким образом, главные площадки расположены под углом 45 к
заданным. Найдем величины главных напряжений по формулам ( 3.9 )
1,3 
   
2

1
2

    4 2 
2

1
4 2   .
2
 2 = 0.
При чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и
противоположны по знаку. Для определения деформации диагонали BD
используем обобщенный закон Гука ( 3.10 )
1
1   2  3   1      1   . Приравняем значения:
E
E
E
E
E
 1   
G

, откуда следует, что  
. Обозначим
.
 BD  1 
21   
Упругая постоянная G называется модулем сдвига, или модулем
поперечной упругости, или модулем упругости второго рода. Из последней
формулы следует, что упругие характеристики материала G , E и 
связаны между собой. Тогда закон Гука при сдвиге запишется
  G .
( 4.1 )
2
21   
E
Найдем потенциальную энергию деформации при сдвиге. Площадь
верхней грани тела ( рис.4.5 ) равна а1 . Сдвигающиеся сила Q  а1 .
Потенциальная энергия деформации данного элемента U равна работе A р
1
1
1
U  A P  QS  aa  a 2 .
внешней силы на перемещении S
2
2
2
Разделив полученную величину на объем V = aа1 тела, найдем удельную
потенциальную энергию деформации

получим   .
G
u
U 1
  . Из выражения ( 4.1 )
V 2
1 

u  
.
2 G 2G
2
Тогда
( 4.2 )
4.3. Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения
Стержень, работающий на кручение, называется валом. При кручении
в поперечном сечении вала возникает одно внутреннее усилие - крутящий
момент М К . М К определяют на каждом участке вала с помощью метода
сечений. М К равен алгебраической сумме всех закручивающих моментов,
взятых по одну или по другую сторону от сечения. При этом, если
смотреть со стороны сечения на рассматриваемую часть вала, то
закручивающий момент, вращающий против часовой стрелки, считается
положительным.
41
Введем следующие допущения, подкрепленные экспериментально для
валов круглого и кольцевого поперечных сечений:
1.Плоские поперечные сечения вала, перпендикулярные его оси до
кручения, остаются плоскими и перпендикулярными оси во время
кручения, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол.
2.Прямые радиусы, проведенные в этих сечениях, остаются прямыми
при кручении.
3. Расстояние между сечениями во время кручения не меняется.
Рассмотрим вал, находящийся в состоянии кручения. ( рис.4.6,а ).
Проведем два плоских сечения, перпендикулярных
оси вала, и
расположенных на расстоянии dz друг от друга. Во время кручения второе
сечение ( рис.4.6,б ) повернется относительно первого, и образующая
AB займет положение AB1 . Радиус повернется на некоторый угол d и
примет положение OB1 . Из ABB1 : BB1  ABtg  dz  .
d
Из треугольника OBB1 : BB1  d . Поэтому d  dz , или  
.
dz
m
A
B
z
а
dz
B1
r
б
d
O
dS
Рис.4.6
d
- относительный угол закручивания. Тогда    .
dz
Из ( рис. 4.6,б ) видно, что материал при кручении испытывает
деформацию сдвига, и по закону Гука при сдвиге касательные напряжения
равны.
  G  G .
( 4.3 )
dA
Mk
Рассмотрим поперечное сечение вала ( рис. 4.7 ).
Выделим площадку dA . Здесь  перпендикулярно  .
Тогда
элементарный
крутящий
момент
будет: dM K  dA .
A
Полный крутящий момент
Рис.4.7
.
M K   dA   GdA  G  2 dA  GI P
Обозначим  
A
A
A
Отсюда находим относительный угол закручивания
42

MK
.
GI P
Подставляем его в ( 5.3 ) и получим формулу для
определения касательных напряжений в сечении вала
при кручении :
GM K M K
  G 

.
( 4.4 )
GI P
IP

Максимальное касательное напряжение  MAX
возникают при    MAX ( рис. 4.8 )
M
MK
M
 MAX  K  MAX 
 K.
( 4.5 )
IP
IP
WP
 MAX
Запишем условие прочности: MAX   .
 MAX
Рис.4.8
MK
  .
WP
Из условия прочности находим формулу для подбора размера
WP 
поперечного сечения вала:
 MAX 
MK
 .
( 4.6 )
3
Для круглого поперечного сечения : WP  0,2d , 0,2d 3 
MK

, d3
MK
0,2
.
Определим перемещение при кручении.
Подставим  
d M K
d
MK

в 
. Тогда
, и
dz GI P
GI P
dz
d 
M K dz
GI P
L
Угол закручивания участка вала длиной ℓ будет:
MK
dz .
GI
P
0
d  
Обычно вал делится на участки, на которых M K  const и жесткость вала
GI P  const , тогда
L
MK
M L
M l
dz  K  dz  K .
GI P
GI P 0
GI P
0

( 4.7 )
В некоторых конструкциях необходимо, чтобы угол закручивания не
превышал допустимый угол закручивания   . Тогда из условия жесткости
вала

MKl
  ,
GI P
IP 
получим
MK l
G
.
Для вала круглого поперечного сечения
I P  0,1d 4 ,
0,1d 4 
MK l
G
,
d4
MK l
0,1dG 
.
43