Лекция 5. Кручение

Лекция 5. Кручение
Кручение – это вид деформации, характеризующийся взаимным
поворотом поперечных сечений под действием крутящих моментов,
действующих в этих сечениях.
При кручении в поперечных сечениях возникают только внутренние
крутящие моменты.
Mx  0
Остальные пять силовых факторов равны нулю.
Кручение круглого вала. Правило знаков
Рассмотрим вал, нагруженный системой внешних крутящих моментов и
находящийся в равновесии.
M4
M2
X
M3
M1
Кручение. Метод сечений
M4
M2
Mx
X
X
Mx
M3
x
Запишем условие равновесия левой части вала:
 M4  M3  M2  M x  0 ;
M x  M 4  M 3  M 2  M1 ,
так как вал находится в равновесии, т.е.
 M 4  M 3  M 2  M1  0
M1
Построение эпюр крутящих моментов
Практическое правило. Крутящий момент M x в любом поперечном
сечении вала равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов,
действующих с одной стороны от сечения, взятой с обратным знаком.
Рассмотрим вал, находящийся в равновесии:
m  4m  2m  m  0
m
0
x1
4m
x2
2m
x3
m
x4
x
Построение эпюр крутящих моментов
(продолжение)
Воспользуемся практическим правилом.
M x  m
M x  m  4m  3m
M x   m  4m  2m  m
m
4m
x1
0
Mx
x2
2m
x3
при
при
при
m
x4
x
3m
m
0
0  x  x1
x1  x  x2
x 2  x  x3
m
x
Напряжения и деформации при кручении
Задача решается при следующих допущениях:
1. Вал остается прямолинейным. Его ось не искривляется.
2. Справедлива гипотеза плоских сечений: Поперечное сечение вала,
нагруженного крутящими моментами, поворачивается в своей
плоскости, как жесткий диск. Радиусы сечения не искривляются.
3. Расстояния между поперечными сечениями вала не изменяются,
т.е. длина бруса при кручении остается неизменной.
Система координат
r
t
Mx
x
M1
Ось t - это касательная к окружности в точке пересечения
радиуса с окружностью.
Из принятых допущений следует, что все деформации, за
исключением деформации сдвига  xt , равны нулю.
При кручении изменяются прямые углы между направлениями x и t
 xt   tx  0 .
 xt   tx  0
Кольцевой элемент
Двумя плоскостями, нормальными к оси бруса, вырежем диск
толщиной dx . Двумя соосными цилиндрическими плоскостями,
d , вырежем из диска кольцо радиусом  и
отстоящими на
толщиной
d
.
d

dx
Деформация кольца
bb   xt dx  d
d
 xt  
.
dx
(5.1)
Деформации и напряжения при кручении
Введем относительный угол закручивания
d

dx
.
(5.2)
Тогда
 xt   .
(5.3)
Теперь, с учетом закона Гука  xt  G xt , запишем
 xt  G .
(5.4)
Из уравнений (5.3) и (5.4) следует, что касательные напряжения xt
и сдвиги  xt прямо пропорциональны расстоянию
рассматриваемой точки сечения.

от оси вала до
Деформации и напряжения, продолжение
Вычисление крутящего момента в сечении
dM x   xt dF
Суммарный крутящий момент равен
M x    xt dF   G 2 dF  GI p ,
F
где
Ip
(5.5)
F
- полярный момент инерции сечения, равный
I p    2 dF .
F
(5.6)
Вычисление угла закручивания вала
d M x
 
,
dx GI p
(5.7)
GI p - жесткость сечения при кручении.
L
M x dx

,
GI
p
0
M xL

GI p .
(5.8)
(5.9)
Вычисление напряжений при кручении
 xt M x
G 


Ip
Mx
 xt 
 .
Ip
(5.10)
Mx
max M x
 xt 
R
Ip
Wp ,
(5.11)
Wp
- полярный момент сопротивления кручению
Wp 
Ip
R
.
(5.12)
Эпюра касательных напряжений
Полярные моменты инерции
dF  2d
R
I p    dF   2 d 
2
F
Wp 
Ip
R
Для трубы

0
3
R
2
3

R 4
2

D 4
(5.13)
.
32
D 3
16
I
p 
(5.14)
.

 D4  d 4
W p 

32

,
 D4  d 4
16 D
(5.15)

.
(5.16)
Условный предел текучести при кручении
 xt  
 0,3
D
D  0,3
 0,3  0,3 
2
2 L
6 L 3

10
D
 0,3 
 0,3  0,003
M 0,3
Wp
.
Расчет на прочность и жесткость при
кручении
Расчет на прочность
  
 0,3
n
 max   
Расчет на жесткость
   
 
 
или
    ,
 и 
где
- допускаемый в конструкции абсолютный или
относительный угол закручивания.
Кручение эллиптического вала
a b
Напряжения при кручении эллиптического
вала – трехмерный график
T
Напряжения при кручении эллиптического
вала – контурный график
T
Кручение вала прямоугольного сечения
a b
Напряжения при кручении прямоугольного
вала – трехмерный график
T1
Напряжения при кручении прямоугольного
вала –контурный график
T1