Кручение - Сопротивление материалов

Основные понятия деформации кручения
Под кручением понимают такой вид деформации, при котором в
поперечном сечении бруса действует только один силовой фактор - это
крутящий момент
Брус в поперечном сечении, которого действует
крутящий момент, называется валом.
М кр1
М кр2
М кр3 Крутящий момент в рассматриваемом
сечении равен алгебраической сумме всех
внешних скручивающих моментов,
приложенных к брусу по одну сторону от
этого сечения.
М кр1
T1   M кр1  M кр 2
М кр2 Т1
Крутящий момент считается
положительным, если при взгляде в торец
вала со стороны сечения момент направлен
по ходу часовой стрелки.
Момент Т1 – отрицательный
Закон Гука при кручении
Основные допущения:
1.Поперечные сечения вала, плоские и нормальные к его оси до деформации,
остаются плоскими и нормальными к оси, и после деформации.
2.Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.
3.Расстояния между поперечными сечениями не изменяются.

При кручении наблюдается плоское
напряженное состояние чистого сдвига и
соблюдается закон Гука при сдвиге:
  G ,
Т
Т
d
Рассмотрим особенности деформации
бруса при кручении
d
  dz  d  
  G    G   

dz

d

  
dz
В поперечных сечениях вала возникают касательные напряжения,
направление которых, в каждой точке перпендикулярно к радиусу,
соединяющему эти точки с центром сечения, а величина прямо
пропорциональна расстоянию точки от центра.
Напряженное состояние при кручении

T
3
1

3
1

1   ;
 2  0;
1
3
1
мин

макс

 3  
3
1
Возможны следующие варианты разрушения образцов
Продольные
трещины
От действия главных напряжения в
плоскости наклоненной под 450 к
оси образца.
Хрупкие материалы (чугуны,
закаленные стали)
От действия касательных
напряжения в плоскости
поперечного сечения
Пластичные материалы
От действия касательных напряжений в
плоскости параллельной образующей
Анизотропные материалы (древесина)
Напряжения при кручении
T
 

Ip
max
max
Полярный момент инерции характеризует, влияние размеров и
форма поперечного сечения вала на его способность
сопротивляться угловым деформациям
4
4
Ip 
d 4
32
, Для круглого сечения
Ip 
d 1  
2

d /2

3
d  I p
0
Для трубчатого сечения
32
здесь a = d1 /d, d1 –внутренний диаметр трубы, d – наружный диаметр трубы
Полярный момент инерции выражается в м4 (мм4, см4).
Полярный момент сопротивления характеризует влияние геометрических
размеров и формы поперечного сечения вала на его прочность.
Wp 
d 3
16
Для круглого сечения
Wp 
d 3 1   4 
16
Wp 
Ip
 макс
Для трубчатого сечения
Максимальные касательные напряжения max прямо пропорциональны крутящему моменту T в
опасном сечении и обратно пропорциональны полярному моменту сопротивления сечения Wp:
 max
T

Wp
Условие прочности при кручении
Наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом брусе не
должны превышать соответствующих допускаемых значений
  по 3 теории прочности




кр
T
2
Допускаемые
  макс   кр
Wp
напряжения
 
по 4 теории прочности
 кр 
3
 
 
Из условия прочности вытекает три типа задач при кручении
. Задача проектного
расчета
d 3
d 3
. Задача
проверочного
расчета
. Определение
допускаемого момента
16Tм акс
  р 
16Tмакс
 1 4  р

 
 
Tмакс

  кр
Wp
T    кр W p
Для круглого сечения
Для трубчатого сечения
Деформации при кручении.
Условие жесткости при кручении
При кручении различают угол закручивания  и относительный угол закручивания 
  G    G   
Закон Гука при кручении
Напряжения при кручении
T
 
Ip
Угол закручивания
Условие жесткости при кручении.

T

GI p
Tl

GI p
Наибольший относительный угол закручивания, возникающий в скручиваемом брусе не должен
превышать соответствующих допускаемых значений
 max   
Где [] – допускаемы относительный угол закручивания. []=0,0045….0,02 рад/м
Потенциальная энергия деформации
T   T Tl
T 2l
U
 

2
2 GI p 2GI p
Полная потенциальная энергия деформации
Удельная потенциальная энергия (полная)


1
u
 12   22   32  2  1 2   2 3   1 3 
2E

1
1   2
2
2
u
2  2  

2E
E

Удельная потенциальная
энергия изменения объема
1  2 2
uV 
 1   22   32
6E



Удельная потенциальная энергия
изменения формы
1  2
 1   22   32   1 2   2 3   3 1 
3Е
1 
 1   2 2   2   3 2   3   1 2

6Е
1 
1  2
uф 
2 2   2 

3E
E
 2  0;
 3  

uф 



При кручении
1   ;

