Изгиб с кручением - Помощь студентам

Пермский государственный технический университет
Кафедра механики композиционных материалов и конструкций
Курсовая работа
На тему
«Изгиб с кручением»
Выполнил: студент группы ППАМ-08
Проверила: доцент кафедры МКМК
Макарова Елена Юрьевна
Вариант 99
2010
Cведения из теории:
Сочетание изгиба и кручения брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто встречается
при расчете валов, реже других деталей и брусьев некруглого сечения.
Если внешние силы, действующие на вал, не лежат в одной плоскости, например в валах
редукторов, то каждую из них раскладывают на ее составляющие по двум направлениям:
вертикальному и горизонтальному. Затем строят эпюры изгибающих моментов в вертикальной и
горизонтальных плоскостях. Величину суммарного изгибающего момента находят по формуле:
М  М В2  М Г2 .
Для построения эпюры полных изгибающих моментов по вышеприведенной формуле
находят моменты на границах силовых участков и, по ним собственно, строят эпюру. Плоскости
действия этих моментов в разных сечениях вала различны, но ординаты эпюры условно для всех
сечений совмещают с плоскостью чертежа.
Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.
Опасное сечение вала устанавливается с помощью эпюр полных изгибающих моментов М
и крутящих моментов МK по одной из теорий прочности. Если в сечении вала постоянного
диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент МK,
то это сечение является опасным.
Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни
М ни МK не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного
диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют
значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.
В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам
М и МK, необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных
сечениях.
После установления опасного сечения вала находят в нем опасные точки. В сечении
возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные
напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых
во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной
силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и
кручения не учитываются.
Наибольшие напряжения в сечении вала, как нормальные так и касательные, возникают в
точках, расположенных по периметру сечения и они равны:

Мк Мк
М



,
Wр 2W
W ,
где
W ,Wр  соответственно
осевой
и
полярный
моменты
сопротивления
поперечного сечения бруса.
Расчет валов на прочность при изгибе с кручением, как уже отмечалось выше,
производится с применением теорий прочности. При этом расчет валов из пластичных
материалов выполняется на основе третьей или четвертой теорий прочности, а из хрупких — по
теории Мора.
По третьей теории прочности
1  3   :
и2 3  4к2  .
По четвертой теории прочности
 1

2
2
2


1  2   2  3  3  2    :  2  3 2  .
и3
к
 2





Эти условия прочности можно выразить и через моменты
2
2


 расч3  М  М к  ,


W



 расч4 


М 2  0,75 М к2
W

 .


По теории прочности Мора

р  3  р  :
 1 

с 


1 1 К
1 К
 Mприв
M
M 2  M К2  
 p ,

W
W 2
2

где
К
р  ,
с  М
прив
– приведенный момент по теории прочности Мора
Таким образом, расчет вала круглого поперечного сечения на совместное действие изгиба
и кручения по форме совпадает с расчетом на прямой изгиб, но в расчетной формуле роль
изгибающего момента играет приведенный момент, величина которого зависит от изгибающих и
крутящего моментов, а также от принятой теории прочности.
Дано:
σ = 60МПа = 60 ∙ 106 Па, P = 6кВт = 6 ∙ 103 Вт, ω = 48 рад⁄с, Fr1 = 0,4F1,
Fr2 = 0,4F2
Найти:
Определить диаметр вала- d
Решение:
1) Найдем крутящие моменты:
Мк =
Мк1
Р
[Н ∙ м]
𝜔
6 ∙ 103
=
= 0,125[кН ∙ м] = Мк2
48
Мк = 𝐹 ∙ 𝑟 → 𝐹 =
Мк
𝑟
, где 𝑟 =
𝐹1 =
Мк1 0,125
=
= 4,16кН
𝑟1
0,03
𝐹2 =
Мк2 0,125
=
= 1,31кН
𝑟2
0,095
𝑑
2
𝐹𝑟1 = 0,4 ∙ 𝐹1 = 0,4 ∙ 4,16 = 1,66кН
𝐹𝑟2 = 0,4 ∙ 𝐹2 = 0,4 ∙ 1,31 = 0,52кН
2) Находим вертикальные составляющие:
∑ МА = −𝐹𝑟1 ∙ 𝐴𝐶 + 𝑅𝑏𝑦 ∙ 𝐴𝐵−𝐹𝑟2 ∙ 𝐴𝐷 = 0
−1,66 ∙ 0,12 + 𝑅𝑏𝑦 ∙ 0,24 − 0,52 ∙ 0,32 = 0
𝑅𝑏𝑦 = 1,52кН
∑ М𝐵 = −𝑅𝐴𝑦 ∙ 𝐴𝐵 + 𝐹𝑟1 ∙ 𝐶𝐵 − 𝐹𝑟2 ∙ 𝐵𝐷 = 0
−𝑅𝐴𝑦 ∙ 0,24 + 1,66 ∙ 0,12 − 0,52 ∙ 0,08 = 0
𝑅𝐴𝑦 = 0.66кН
Проверка: ∑ 𝑦 = 0
𝑅𝐴𝑦 − 𝐹𝑟1 + 𝑅𝐵𝑦 − 𝐹𝑟2 = 0
0,66 − 1,66 + 1,52 − 0,52 = 0
3) Находим горизонтальные составляющие:
∑ МА = 𝐹1 ∙ 𝐴𝐶 − 𝑅𝐵𝑥 ∙ 𝐴𝐵 − 𝐹2 ∙ 𝐴𝐷 = 0
4,16 ∙ 0,12 − 𝑅𝐵𝑥 ∙ 0,24 − 1,31 ∙ 0,32 = 0
𝑅𝑏𝑥 = 0,33кН
∑ М𝐵 = 𝑅𝐴𝑥 ∙ 𝐴𝐵 − 𝐹1 ∙ 𝐶𝐵 − 𝐹2 ∙ 𝐵𝐷 = 0
𝑅𝐴𝑥 ∙ 0,24 − 4,16 ∙ 0,12 − 1,31 ∙ 0.08 = 0
𝑅𝐴𝑥 = 2,52кН
Проверка: ∑ 𝑥 = 0
𝑅𝐴𝑥 − 𝐹1 + 𝑅𝑏𝑥 + 𝐹2 = 0
2,52 − 4,16 + 0,33 + 1,31 = 0
4) Найдем изгибающие моменты в вертикальной плоскости:
I. (слева)
0 < 𝑧 ≤ 0,12
М1 = 𝑅𝐴𝑦 ∙ 𝑧
𝑀(0) = 0кН ∙ м
М(0,12) = 0,66 ∙ 0,12 ≈ 0,08кН ∙ м
II. (слева)
0,12 < 𝑧 ≤ 0,24
М2 = 𝑅𝐴𝑦 ∙ 𝑧 − 𝐹𝑟1 ∙ (𝑧 − 0,12)
М(0,12) = 0,66 ∙ 0,12 − 1,66 ∙ (0,12 − 0,12) ≈ 0,08кН ∙ м
М(0,24) = 0,66 ∙ 0,24 − 1,66 ∙ (0,24 − 0,12) ≈ −0,04кН ∙ м
I. (справа)
0 < 𝑧 ≤ 0,08
М3 = −𝐹𝑟2 ∙ 𝑧
𝑀(0) = 0кН ∙ м
М(0,08) = −0,52 ∙ 0,08 ≈ −0,04кН ∙ м
5) Найдем изгибающие моменты в горизонтальной плоскости:
I. (слева)
0 < 𝑧 ≤ 0,12
М1 = 𝑅𝐴𝑥 ∙ 𝑧
𝑀(0) = 0кН ∙ м
М(0,12) = 2,52 ∙ 0,12 ≈ 0,3кН ∙ м
II. (слева)
0,12 < 𝑧 ≤ 0,24
М2 = 𝑅𝐴𝑥 ∙ 𝑧 − 𝐹1 ∙ (𝑧 − 0,12)
М(0,12) = 2,52 ∙ 0,12 − 4,16 ∙ (0,12 − 0,12) ≈ 0,3кН ∙ м
М(0,24) = 2,52 ∙ 0,24 − 4,16 ∙ (0,24 − 0,12) ≈ 0,1кН ∙ м
I. (справа)
0 < 𝑧 ≤ 0,08
М3 = 𝐹2 ∙ 𝑧
𝑀(0) = 0кН ∙ м
М(0,08) = 1,31 ∙ 0,08 ≈ −0,1кН ∙ м
6) Находим результирующий изгибающий момент:
𝑀1 = √(𝑀𝑥 )2 + (𝑀𝑦 )2 = √0,32 + 0,082 = 0,31𝐻 ∙ м , в точке С
𝑀2 = √(𝑀𝑥 )2 + (𝑀𝑦 )2 = √0,042 + 0,12 = 0,107𝐻 ∙ м , в точке В
Максимальный результирующий момент находится в точке С. Поэтому это
сечение является самым опасным. Расчетный момент по пятой теории
прочности равен:
Мрасч = √(𝑀1 )2 + 0,75 ∙ (𝑀к1 )2 = √0,312 + 0,75 ∙ 0,1252 ≈ 0,33 кН ∙ м
Необходимый диаметр вала находим по формуле:
3
Мрасч
0,33 ∙ 103
3
√55 ∙ 10−6 = 0,038м = 38мм
𝑑=√
=√
=
6
0,1 ∙ [𝜎]
0,1 ∙ 60 ∙ 10
3
Ближайшее стандартное значение d = 40 мм
Рис 1. Схема вала.
Рис 2. Расчетная схема вала, сил действующих на него и эпюр крутящих и
изгибающих моментов