Матрицы, действия над матрицами.

Федеральное агенство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Новгородский государственный университет имени
Ярослава Мудрого
Институт электронных и информационных систем
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания
Великий Новгород
2004
УДК 512.643, 512.644
Печатается по решению
РИС НовГУ
Рецензент
Доктор. физ. - мат. наук, профессор
Панов Е.Ю.
Элементы линейной алгебры; Метод. указания; / Авт. – сост. О. Н.
Барсов; НовГУ им. Ярослава Мудрого – Великий Новгород, 2004 – 43 с.
В пособии разобраны основные понятия и результаты из теории матриц, определителей и линейных систем.
Предназначено для студентов первого курса инженерных специальностей
УДК 512.643, 512.644
Новгородский государственный
университет, 2004
 Барсов О.Н.
составление 2004
2
§ 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы
Матрицей размерности mn называют прямоугольную таблицу из
чисел, которые расположены в m строках и n столбцах
 a11

 a 21


 a m1
 a1n 

 a 2n 
.
 

 a mn 
a12
a 22

a m2
Числа, образующие матрицу называются элементами матрицы. Матрицы, у которых число строк равно числу столбцов, называют квадратными,
а число строк такой матрицы называют её порядком. Например, матрица
 a11 a12 

 является квадратной матрицей второго порядка. Матрицы будем
 a21 a22 
обозначать большими латинскими буквами: A,B,C...
В матрицах общего вида их элементы снабжают двумя индексами и
пишут a ij или  A ij - элемент матрицы A, расположенный в i-ой строке и jом столбце.
Квадратная матрица порядка n называется единичной, если у неё
a11  a22  ...  an n  1 , а все остальные элементы равны нулю. Обозначается еди1, i  j
ничная матрица буквой E. Иначе говоря, ( E ) ij  
для всех
0, i  j
i, j = 1, 2, 3, ... , n. Например, единичные матрицы второго и третьего по 1 0 0
 1 0 

рядков имеют вид 
 ,  0 1 0 соответственно. Элементы матриц A и
 0 1 

 0 0 1
B, расположенные в строках и столбцах с одинаковыми номерами называются соответствующими.
Матрицы A и B называют равными, если они имеют одинаковые размерности и все их соответствующие элементы равны, т.е. A = B  aij  bij
для всех i =1,2,...,m ; j =1,2,...,n.
Действия над матрицами
1) Умножение матрицы на число.
Пусть  - число, A - матрица размерности mn. Произведением числа 
и матрицы A называют матрицу А, определяемую равенствами
1 2 1
 2 4 2
= 
.
 4 5 
 6 8 10 

 A ij =  aij , i=1,2,...,m; j=1,2,...,n. Например, 2  3
3
Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент
матрицы умножить на это число.
2) Сложение матриц.
Пусть A, B - матрицы размерности mn. Суммой матриц A и B называется матрица A + B, определяемая равенствами  A  B ij  aij  bij , для всех
i =1,2,...,m ; j =1,2,...,n.
Иначе говоря, чтобы сложить две матрицы нужно сложить все соответствующие элементы этих матриц. Например,
5
 3 1  4

 

 2 0  +  3 2  =


 
 1 5   1 4
 7 4


 1 2 .


 0 1
3) Умножение матриц.
Пусть A -матрица размерности mk, B - матрица размерности kn. Произведением матрицы A на матрицу B называют матрицу AB размерности
mn, определяемую равенством  ABij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    aik bkj 
k
a
l 1
b .
il lj
Следовательно, чтобы получить элемент матрицы AB, расположенный в iтой строке и j-том столбце, нужно сложить произведения всех элементов
i-той строки на соответствующие элементы j-того столбца. Например,
3  5  11
3  6  1  ( 4)   19 16 14
 3 1
 3  4  1 7

  4 5 6 
 

 2 3   7 1 4 =  2  4  ( 3)  7 2  5  ( 3)  1 2  6  ( 3)  ( 4) =  13 7 24 .



 

 1 1 
 1  4  ( 1)  7 1  5  ( 1)  1 1  6  ( 1)  ( 4)   3 4 10
Свойства действий над матрицами
Из определений действий над матрицами вытекают следующие свойства этих действий. Пусть ,  - числа, а A,B,C – матрицы. Тогда: 1) A + B
= B + A; 2) (A + B) + C= A + (B + C); 3) (A) = ()A; 4) ( + )A = A
+ A; 5) (A+ B) = A + B; 6) (AB)C = A(BC); 7) (A + B)C = AC + BC
(предполагается, что все указанные действия выполнимы; например, все
матрицы квадратные одинакового порядка); 8) АЕ = ЕА, где A - любая
квадратная матрица, а Е - единичная матрица такого же порядка.
Докажем, например, свойство 7). Пусть матрицы A и B имеют размерности mk, а матрица C имеет размерность kn. Элемент матрицы
(A + B)C, расположенный на пересечении i – той строки и j – того столбца
k
[(A + B)C] ij =
 ( A  B)ir  crj =
r 1
k
 (air  bir )  crj =
r 1
k
 (aircrj  bir crj ) =
r 1
k
 air crj 
r 1
k
b c
r 1
ir rj
=
(AC) ij + (BC) ij = (AC + BC) ij для любых i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. Следовательно, все соответствующие элементы матриц (A + B)C и AC + BC равны, поэтому равны и сами матрицы.
4
 2 1
,
 1 3
Отметим, что, вообще говоря, AB  BA. Пусть, например, A = 
 3 2
 2 1  3 2
 5 4
 , тогда AB = 
 = 
 
 ,
 1 0
 1 3  1 0
 6 2
B = 
 4 9
 2 1
 . Очевидно, что

 = 
 2 1
 1 3
 3 2

 1 0
а BA = 
 5 4  4 9
.

 
 6 2  2 1
Матрицу, полученную из матрицы A заменой строк столбцами с теми же
номерами, называют транспонированной к A и обозначают A T . Элементы
транспонированной матрицы определяются равенствами
AT ij  ( A) ji .
 3 2 1 


0
4  2
 3


0
3

1


Например, если A    2 3 7 4  , тогда AT  
.
4
7  3
 1 1  3 1 




 2 4

1


Определители
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное
число, которое вычисляется по определённым правилам по элементам
матрицы. Это число называют определителем (детерминантом) матрицы A
и обозначают detA. Если же требуется указать элементы матрицы, то
определитель записывают так
a11
a12
 a1n
a 21
a 22
 a2n



a n1
an2
 a nn

Порядком определителя det A называют порядок матрицы A. Если матрица А порядка 1 и состоит из одного элемента a11 , то определитель такой
матрицы считают равным этому числу, т.е. detA = a11 . Далее будем считать, что порядок матрицы n > 1.
Определение. Минором M ij элемента a ij матрицы А называется определитель порядка n-1, который образуют элементы матрицы A, оставшиеся после вычёркивания в ней i-ой строки и j-ого столбца. Например, минором
 1 2 3


M 13 матрицы  4 5 6 является определитель


 7 8 9
4 5
7 8
.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента a ij матрицы A
называют число Aij = (1) i  j M ij .
Из определения видно, что алгебраическое дополнение Aij = M ij , если i+j чётное число, и Aij = - M ij , если i+j - нечётное число.
5
 a11

a
Определение, Определителем матрицы A =  21


 a n1
a12
a 22

an2
 a1n 

 a2n 
называется
 

 a nn 
число
n
detA = a11 A11  a12 A12  a1n A1n   a1k A1k .
k 1
1. Определитель второго порядка.
Из определения следует, что
мер,
a11
a12
a 21
a 22
= a11 A11  a12 A12  a11a 22  a12 a 21 . Напри-
2 1
= 2  (2)  (1)  3  4  3  1.
3 2
2. Определители третьего порядка.
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
= a11 A11  a12 A12  a13 A13  a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13 = a11
a 31 a 32 a 33
a12
a 21
a 31
a 23
a 21
 a13
a 31
a 33
a 22
a 32
a 22
a 32
a 23

a 33
 a11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (a21a 33  a 23 a 31 )  a13 (a 21a32 
a11a22 a33  a12 a 23 a 31  a13 a 21 a32  a11 a 23 a32  a12 a 21 a33  a13 a 22 a 31 .
Назовём главной диагональю ту диагональ квадратной матрицы, которая проходит из левого верхнего угла в правый нижний, а вторую диагональ назовём вспомогательной диагональю. Тогда определитель третьего
порядка равен сумме (шести слагаемых, состоящих из произведения трёх
элементов), в которой произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями параллельными главной диагонали, входят со своими знаками, а
произведение элементов вспомогательной диагонали и произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями параллельными этой диагонали, входят с противоположными знаками. Напри1 2 3
мер, 4 1 2 = 1(1)(-5) + (-2)2(-2) + 4(3)(3) - 3(1)(-2) - (-2)(4)(-5) - 2(3)1 =
2 3 5
-5 +8 + 36 + 6 - 40 - 6 = -1.
3. Определители более высокого порядка.
Умение вычислять определители третьего порядка и определение позволяют вычислять определители 4-ого, 5-ого и т.д. порядков.
1 2
Например.
1 0
2 1 3
3
1
2
0 1
2 1 1
= 1  A11  2  A12  1  A13  M 11  2  M 12  M 13 
2
6
1 3 2
2 3 2
2 1 2
 1 0 1  2  3 0 1  3 1 1  (0  3  2  0  6  1)  2  (0  6  6  0  18  2) 
1 1 2
2 1 2
2 1 2
 (4  2  6  4  6  2)  2  2  (16)  30 .
Определитель, у которого все элементы, расположенные над или под
главной диагональю, равны нулю, называется определителем диагонального вида. Из определения следует, что
0
0

0
a 21 a 22
0

0
 
  
a 11
0
0

0
a 32 a 33
0

0

  
a 22
 a11 
a n1 a n2 a n3  a nn

 a11 a 22 
a n2 a n3 a n4  a nn
a33 0
a43 a44
0
0


0
0
   
an3 an 4 an5  ann

 a11  a 22    a nn . Таким образом, определитель диагонального вида равен
произведению элементов главной диагонали. Например,
2 0
3 4
0
0 
5 2 3
2  4  (3)  24 .
Свойства определителей
Пусть A - квадратная матрица порядка n.
n
1) Для любого i (1  i  n) detA  a i1 Ai1  a i 2 Ai 2    a i n Ai n   a i k Ai k ;
k 1
n
для любого j (1  j  n) detA  a1 j A1 j  a 2 j A2 j    a n j An j   a k j Ak j .
k 1
Иначе говоря, определитель равен сумме произведений элементов i-ой
строки (j-того cтолбца) на свои алгебраические дополнения.
2) det A  det A T , или иначе
a11
a12
 a1n
a 21
a 22
 a2n



a n1
an2
 a nn

=
a11
a 21
 a n1
a12
a 22
 a n2



a 1n
a 2 n  a nn

.
Заметим, что из этого свойства определителей следует равноправие
строк и столбцов определителя. Иначе говоря, если какое-то свойство
справедливо для строк определителя, то оно справедливо и для столбцов
(и наоборот). Поэтому будем формулировать свойства определителей для
столбцов.
3) Общий сомножитель у элементов какого-либо столбца матрицы можно
вынести за знак определителя, то есть
7
  a11 a12  a1n
  a 21 a 22  a 2 n




 
  a n1 a n 2  a nn
a11
a12
 a1n
a 21
a 22
 a2n



a n1
an2
 a nn

.
Следствие 1. Определитель, имеющий нулевой столбец (строку) равен нулю.
a11 0 a13
Например, a 21 0 a 23  0 .
a 31 0 a 33
4) Определитель матрицы, у которой какой-либо столбец есть сумма двух
столбцов, равен сумме двух соответствующих определителей, то есть
p1  q1
a12
 a1n
p2  q 2
a 22
 a2n



pn  q n
an2
 a nn


p1
a12
 a1n
p2
a 22
 a2n



pn
an2
 a nn


q1
a12
 a1n
q2
a 22
 a2n



qn
an2
 a nn

.
5) Если в матрице A поменять местами два столбца, то её определитель
изменит знак.
Например,
a11 a12 a13
a 13 a 12 a 11
a 21 a 22 a 23   a 23 a 22 a 21 .
a 31 a 32 a 33
a 33 a 32 a 31
Следствие 2. Определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца,
равен нулю. Действительно, из свойства 5) имеем det A   det A , а значит
det A  0 .
Следствие 3. Из свойств 3), 5) следует, что определитель матрицы, имеющей два пропорциональных столбца, равен 0.
Следствие 4. Определитель не изменится, если к какому-либо столбцу
матрицы прибавить другой столбец, умноженный на число, то есть
a11   a12
a12
 a1n
a 21   a 22
a 22
 a2n



a n1   a n 2

a n 2  a nn

a11
a12
 a1n
a 21
a 22
 a2n



a n1
an2
 a nn

6) Для любых i, j = 1,2,...,n , i  j справедливы равенства
n
a
ki
 Ak j  0 . Ина-
k 1
че говоря, сумма произведений элементов какого-либо столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна
нулю.
7) Если A и B квадратные матрицы порядка n, тогда det AB = (det A)(detB).
8
Обратная матрица
Определение. Обратной к квадратной матрице A называют матрицу B такую, что AB = BA = E, где E -- единичная матрица.
Матрицу обратную к A принято обозначать A 1 . Из определения следует
единственность обратной матрицы. Действительно, если B и B  являются
обратными к матрице A, тогда AB  BA  E и AB   B A  E . Отсюда имеем
B   B E  B  ( AB )  (B A)B  EB  B .
Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда, и только тогда, когда detA  0; при этом
 A11

1  A12
1
A 

det A  

 A1n
A21  An1 

A22  An 2 
,
  

A2 n  Ann 
(1)
где Aij - алгебраические дополнения элементов a ij матрицы A. Иначе говоря,
( A 1 ) i j 
Aji
det A
, i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n.
Доказательство.  Пусть матрица A имеет обратную A 1 . Тогда
а
значит,
по
свойству
7)
определителей,
A  A 1  E ,
1
1
det( A  A )  det A  det A  det E  1. Откуда следует, что det A  0 (если бы det A  0 ,
тогда было бы 0  0  det A1  1 , что невозможно).
 Пусть det A  0 . Убедимся в том, что равенство (1) определяет матрицу,
обратную к A:
n
1
1  det A, i  j  1, i  j
  a k j  Ak i 


i  j  0, i  j
det A k 1
det A  0,
k 1
k 1 det A
Следовательно, A 1  A  E . Аналогично, убеждаемся, что A  A 1  E .
 2 1
Пример. Найдём A 1 , если A  
 . detA = 6 + 1 = 7  0. Следовательно,
1 3 
n
n
( A 1 A) i j   ( A 1 ) i k  a k j  
A 1
существует.
A11  3,
Ak i
ak j 
Найдём
алгебраические
A21   M 21  1, A12   M 12  1,
дополнения
A22  2 . Следовательно,
матрицы
A:
1  3 1
A 1   
.
7  1 2
1  2 1  3 1 1  7 0  1 0
 
  
 
.
7  1 3   1 2 7  0 7  0 1
Проверка: AA 1   
 1 1 0 


Пример. Найдём A , если A   2 3 1  . detA = -6 + 0 + 0 + 0 - 4 + 1 = -9,


 0 1 2
1
9
A11  M 11 
3
1
1 2
 5, A21  2, A31  1,
A12   M 12  
2
1
0 2
 4, A22  2, A32  1,
 5 2 1

1 
A13  M 13 
 2, A23  1, A33  5 . Следовательно, A     4 2 1 .
0 1
9 

 2 1 5 
2
3
1
 1 1 0   5 2 1
 9 0 0 






1
1
Проверка: AA 1     2 3 1    4 2 1     0 9 0 
9 
9 
 


 0 1 2  2 1 5 
 0 0 9
 1 0 0


  0 1 0 .


 0 0 1
Понятие ранга матрицы
Определение. Пусть A - матрица размерности mn. Выберем k любых
строк и k столбцов матрицы A. Определитель, составленный из элементов
матрицы, расположенных на пересечении выбранных k строк и k столбцов
называют минором порядка k матрицы A.
Определение. Минор порядка k матрицы A называют базисным, если он
отличен от нуля, а все миноры порядка k+1 равны 0 или не могут быть составлены.
Определение. Рангом матрицы A называют порядок базисного минора.
Ранг матрицы A обозначают r ( A) или Rg A.
1 2 1
 1 2 1 3


Например, в матрице B   0 2 5 7 минор третьего порядка 0 2 5 явля

0 0 4
 0 0 4 6
ется базисным, так как он равен 8, а миноры большего порядка не могут
быть составлены. Следовательно, r (B)  3 . Отметим, что матрица B имеет
1 2 1
1 2 3
1 1 3
2 1 3
четыре минора третьего порядка: 0 2 5 , 0 2 7 , 0 5 7 , 2 5 7 и
0 0 6
0 0 4
0 4 6
0 4 6
все они являются базисными.
Линейная зависимость строк и столбцов матрицы
Любую строку матрицы A размерности mn можно рассматривать
как матрицу из одной строки и n столбцов, а любой столбец - как матрицу
из m строк и одного столбца. Следовательно, для столбцов и строк опре a1 j 
 
a
делены правила сложения и умножения на число. Например, если Pj   2 j 

 
 am j 
10
 a1i 
 
a2 i
и
Pi    - j-ый и i-ый столбцы матрицы A,  - число, тогда

 
 ami 
 a1 j  a1i 
   a1i 




a2 j  a2 i 
  a2 i 


,  Pi  
.
Pj  Pi  
 
 




 am j  ami 
   a mi 
Определение. Пусть c1 , c2 , ... , c k - действительные числа, Pi , Pi , ... , Pi столбцы матрицы A. Выражение c1 Pi  c2 Pi    ck Pi называют линейной
комбинацией столбцов Pi , Pi , ... , Pi с числами c1 , c2 , ... , c k .
Определение. Будем говорить, что k столбцов Pi , Pi , ... , Pi - матрицы A
линейно зависимы, если существуют числа c1 , c2 , ... , c k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация столбцов с этими числами является
нулевым столбцом, то есть
c1 Pi  c2 Pi    ck Pi  0 .
(2)
Если же последнее равенство возможно лишь при c1  c2    ck  0 , то
столбцы Pi , Pi , ... , Pi называются линейно независимыми.
Критерий линейной зависимости. Столбцы Pi , Pi , ... , Pi матрицы А ли1
1
1
2
2
k
1
2
k
k
1
1
2
2
2
k
k
k
1
2
k
нейно зависимы  один из этих столбцов является линейной комбинацией остальных.
Доказательство. Пусть столбцы Pi , Pi , ... , Pi линейно зависимы. Тогда
существуют числа c1 , c2 , ... , c k , не все равные нулю, такие, что выполняется
равенство (2). Пусть, для определенности, c1  . Тогда из равенства (2) по1
лучаем Pi = 
1
2
k
с
с2
с
Pi2  3 Pi3    k Pik . В обратную сторону. Пусть теперь выс1
с1
с1
полнено равенство Pi = c2 Pi    сk Pi . Тогда Pi - c2 Pi    сk Pi = 0, а коэффициент при Pi равен 1. Следовательно, рассматриваемые столбцы линейно зависимы.
1
2
k
1
2
k
1
Свойства линейной зависимости
1). Система столбцов, содержащая нулевой столбец линейно зависима.
Действительно, если столбец P1 = 0, тогда линейная комбинация столбцов 1  P1  0  P2    0  Pk  0 (k  n) , а коэффициенты этой линейной комбинации не все равны 0. Следовательно, столбцы P1, P2 , , Pk линейно зависимы.
11
2). Система столбцов, содержащая два одинаковых столбца, линейно зависима.
Пусть, для определенности, P1  P2 . Тогда линейная комбинация
1  P1  P2  0  P3   0  Pk  0 , а коэффициенты этой линейной комбинации не
все равны 0. Следовательно, столбцы P1, P2 , , Pk линейно зависимы.
3). Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть подсистема P1, P2 , , Pk (k < n) системы столбцов P1, P2 , , Pn линейно зависима. Тогда существуют числа c1 , c2 ,..., c k , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство c1P1    ck Pk  0 . Из этого равенства следует, что c1P1    ck Pk  0  Pk 1  0  Pn  0 , а система столбцов P1, P2 , , Pn линейно зависима.
4). Если система столбцов P1, P2 , , Pn линейно независима, тогда любая её
подсистема тоже линейно независима.
Действительно, если бы какая-либо подсистема данной системы столбцов была линейно зависима, тогда, по свойству 3), была бы линейно зависима и вся система, что противоречило бы условию.
 a11 
 a12 
 
 
a
 a21 
5). Пусть дана система столбцов P1   , P2   22  ,…, Pk


 
 
a 
 am1 
 m2 
 
 a1k 
 
 a2 k 
   матрицы А.

 
 am k 
 
Систему столбцов P1' , P2' , , Pk' , полученную из данной отбрасыванием у всех
столбцов P1, P2 , , Pk элементов нескольких строк, назовем укороченной системой, соответствующей данной системе. Например, столбцы P1, P2 , , Pk
могут быть укорочены отбрасыванием элементов первых двух строк у всех
столбцов одновременно. Справедливо следующее свойство.
Если система столбцов P1, P2 , , Pk линейно зависима, тогда любая соответствующая ей укороченная система P1' , P2' , , Pk' тоже линейно зависима.
Пусть, для определенности, укороченная система P1' , P2' , , Pk' получена из
данной системы отбрасыванием последних m-s (s < m) строк, то есть
 a11 
 
 a21 
'
P1   , P2'

 
 as1 
 
 a12 
 
a 
  22  ,…, Pk'

 
a 
 s2 
 a1k 
 
 a2 k 
 .

 
 as k 
 
Столбцы P1, P2 , , Pk линейно зависимы. Следовательно, существуют числа
c1 , c2 ,..., c k , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство
c1P1    ck Pk  0 . Последнее равенство эквивалентно системе из m равенств
12
 c1a11  c2 a12    ck a1k  0
c a c a c a  0
 1 21 2 22
k 2k
.








c1am1  c2 am 2    ck amk  0
В частности, первые s равенств этой системы эквивалентны следующему
равенству для укороченных столбцов
 a11 
 a1k 
 a12 
 
 
 
 a21 
 a2 k 
 a22 
c1     c2       ck    0 ,



 
 
 
a 
 as1 
 as k 
 s2 
 
 
где не все числа c1 , c2 ,..., c k равны нулю. Следовательно, укороченные
столбцы линейно зависимы.
6). Если укороченные столбцы P1' , P2' , , Pk' , соответствующие столбцам
P1 , P2 , , Pk матрицы, линейно независимы, тогда линейно независимы и сами столбцы P1, P2 , , Pk .
Это свойство выводится из предыдущего рассуждением от противного.
Докажем теперь одно важное свойство базисного минора матрицы.
Теорема (о базисном миноре). Любой столбец ( строка ) матрицы A является линейной комбинацией всех столбцов ( строк ) этой матрицы, образующих базисный минор.
Доказательство. Пусть, для определенности, базисный минор имеет порядок k и расположен в левом верхнем углу матрицы A (на пересечении
первых k строк и k столбцов).
a11  a1k
 k =     0.
a k 1  a kk
Докажем, что для любого столбца Pj матрицы A существуют числа
c1 , c2 , ... , c k такие, что Pj  c1P1    ck Pk или
 a12 
 a11 
 a1k 
 a1 j 
 
 
 
 
a 22 
 a21 
 a2 k 
 a2 j 

  = с 1    + с 2    +    + с k   .
 
 
 
 
a 
 am1 
 am k 
a


m2
 mj 
 
 
Последнее равенство для столбцов матрицы эквивалентно системе равенств для соответствующих элементов этих столбцов
 a1 j  c1a11  c2 a12    ck a1k
a  c a c a c a
 2j
1 21
2 22
k 2k
.








amj  c1am1  c2 am 2    ck amk
13
Таким образом, необходимо доказать, что aij  c1ai1  c2ai 2    ck aik , где
i  1,2,, m , а числа c1 , c2 , ... , c k не зависят от i . Для этого составим определитель порядка k+1
i 
a11  a1k
a1 j
  
ak1  akk

.
akj
ai1  aik
aij
Если i > k и j > k, тогда определитель  i является минором порядка k+1
матрицы А, а значит  i = 0. Если же i  k или j  k, тогда этот определитель
имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца, следовательно,
 i = 0. Разложив этот определитель по последней строке, получим равенство
 i  ai1B1  ai 2 B2    aik Bk  aij  k  0,
в котором числа B1, B2 ,, Bk ,  k являются алгебраическими дополнениями
элементов последней строки определителя  i . Заметим, что эти алгебраические дополнения получаются из определителя  i вычеркиванием последней строки и потому не зависят от элементов этой строки (не зависят
от i). Выражая из последнего равенства элемент aij , получаем
B1
B
B
ai1  2 ai 2    k aik
k
k
k
B
B
B
для всех i  1,2,, m и числа c1   1 , c2   2 ,  ck   k не зависят от i. Что
k
k
k
aij  
и требовалось доказать.
Из этого свойства базисного минора выводятся три важных следствия.
1) У квадратной матрицы detA = 0 тогда, и только тогда, когда столбцы
(строки) матрицы A линейно зависимы.
Доказательство.  Пусть матрица A имеет порядок n и det A = 0. Тогда
базисный минор матрицы имеет порядок k < n, а следовательно, хотя бы
один столбец матрицы не входит в базисный минор. По теореме о базисном миноре этот столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы, образующих базисный минор, а поэтому является линейной комбинацией всех остальных столбцов матрицы A (столбцы, не входящие в базисный минор берутся с нулевыми коэффициентами). Следовательно,
столбец матрицы, не входящий в базисный минор, является линейной
комбинацией всех остальных столбцов матрицы, что доказывает линейную зависимость столбцов матрицы.
Пусть, для определенности, первый столбец матрицы есть линейная
14
комбинация остальных столбцов, то есть P1  c2 P2    cn Pn . Тогда, по свойствам определителей, будем иметь detA = det( P1 P2  Pn ) 
det(c2 P2   cn Pn P2  Pn ) = c2 det( P2 P2  Pn ) + c3 det( P3 P2  Pn ) +  
cn det( Pn P2  Pn )  0 , так как все определители в правой части равенства
имеют два одинаковых столбца и поэтому равны нулю.
2). У квадратной матрицы det A  0 тогда и только тогда, когда столбцы
(строки) матрицы A линейно независимы.
Это следствие выводится из предыдущего рассуждением от противного.
3). Столбцы (строки) матрицы A, образующие базисный минор, линейно
независимы.
Доказательство. Пусть базисный минор порядка k расположен на пересечении первых k строк и столбцов матрицы A размерности mn
a11  a1k
 k =     0.
a k 1  a kk
 a11   a12 
 a1k 
   
 
 a21   a22 
a 
Тогда, по следствию 2, укороченные столбцы   ,   ,…,  2 k  , образую


   
 


 a k1  a
 ak k 
   k2 
 
щие базисный минор  k , линейно независимы. Следовательно, по свой a11   a12 
 a1k 
   
 
 a21   a22 
a 
ству 6) линейной зависимости, столбцы   ,   ,…,  2 k  матрицы A так


   
 
 am1   a 
 amk 
   m2 
 
же будут линейно независимы.
4). Ранг матрицы A равен максимальному числу линейно независимых
столбцов (строк). Максимальное число линейно независимых столбцов
равно максимальному числу линейно независимых строк.
Доказательство. Если матрица A является нулевой, тогда Rg A = 0 и
максимальное число линейно независимых столбцов равно нулю. Пусть
матрица А  0, Rg A = k (k > 0). Тогда матрица A имеет базисный минор
порядка k, а k столбцов, образующие этот минор, линейно независимы по
следствию 3). Докажем теперь, что любая система из k+1 столбца матрицы A линейно зависима. Эти столбцы образуют матрицу B размерности
m(k+1). Все миноры порядка k+1 этой матрицы являются минорами матрицы A того же порядка и поэтому равны 0. Следовательно, порядок базисного минора матрицы B меньше k+1 и один из столбцов этой матрицы
не входит в базисный минор. По теореме о базисном миноре, этот столбец
является линейной комбинацией столбцов, образующих базисный минор,
15
а поэтому является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы
B (столбцы, не входящие в базисный минор, берутся с нулевыми коэффициентами). Следовательно, столбцы матрицы B линейно зависимы. Таким
образом, максимальное число линейно независимых столбцов равно k =
Rg A (любая система, содержащая более k+1 столбца, линейно зависима,
так как содержит линейно зависимую подсистему).
Аналогично доказывается, что максимальное число линейно независимых строк равно рангу матрицы А.
Элементарные преобразования матриц и их свойства
Элементарными преобразованиями называют следующие действия
над строками и столбцами матрицы A:
1) перестановку местами двух строк или столбцов матрицы;
2) умножение строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;
3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, то
есть, если матрица B получена из матрицы A элементарными преобразованиями, то r ( A)  r (B) .
Доказательство. 1). При перестановке местами двух столбцов матрицы
максимальное число линейно независимых столбцов не меняется, а значит,
не меняется и её ранг.
2). Пусть матрица B получена из матрицы A умножением i- ой строки на
число t  0 и r(A) = k. Очевидно, любой минор матрицы B, не содержащий
i- тую строку, равен соответствующему минору матрицы A, а любой минор матрицы B, содержащий i-тую строку, равен соответствующему минору матрицы A умноженному на число t. Следовательно, минор порядка k
матрицы B, соответствующий базисному минору матрицы A, будет отличен от нуля, а все миноры порядка k+1 матрицы B, как и все миноры порядка k+1 матрицы A, будут равны нулю. А это значит, что r(B)= k = r(A).
3). Пусть матрица B получена из матрицы A прибавлением i- ой строки к jтой строке и r(A) = k. Миноры порядка k+1 матрицы B, не содержащие jтую строку, будут равны соответствующим минорам матрицы A, и поэтому равны нулю. Миноры порядка k+1 матрицы B, содержащие i- тую и jтую строки, будут равны сумме двух нулевых определителей. Один из
этих определителей содержит две одинаковых строки (в j-той строке расположены элементы i –той строки), а второй определитель является минором порядка k+1 матрицы A и поэтому равен нулю. Миноры порядка k+1
матрицы B, содержащие j-тую строку, но не содержащие i-тую строку, будут равны сумме двух миноров порядка k+1 матрицы A и поэтому тоже
будут равны нулю. Следовательно, все миноры порядка k+1 матрицы B
равны 0 и r(B)  k = r(A).
16
Пусть матрица C получена из матрицы B умножением i –той строки на
(-1). Тогда матрица A получается из матрицы C прибавлением i –той строки к j-той строке и умножением i–той строки на (-1). Следовательно, как
было доказано выше, будет r(A)  r(C) = r(B). Таким образом, одновременно справедливы неравенства r(B)  r(A) и r(A)  r(B) откуда следует, что
r(A) = r(B).
Это свойство элементарных преобразований используют на практике
для вычисления ранга матрицы. Для этого, при помощи элементарных
преобразований, приводят данную (ненулевую) матрицу A к трапецевидной форме, то есть к виду
 b11 b12

 0 b22
 
B= 
0
 0
 0
0

 
 b1n 

 b2 k  b2 n 
   
,
 bkk  bkn 
 0  0

   
 b1k
где элементы bii  0 для всех i = 1,2,...,k; элементы bij  0 для всех i > j и
i > k. Очевидно, что r(B) = k, то есть ранг матрицы B равен числу ненулевых строк. Это следует из того, что минор порядка k матрицы B, расположенный на пересечении первых k строк и столбцов, является определителем диагонального вида и равен b11b22 bkk  0 ; а любой минор порядка k+1
матрицы В содержит нулевую строку, а значит, равен 0 (либо, если k = n,
таких миноров нет вообще).
Теорема. Любую ненулевую матрицу A размерности mn можно привести к трапецевидной форме при помощи элементарных преобразований.
Доказательство. Так как A  0, то существует элемент матрицы aij  0 .
Переставив местами первую и i-тую строки, первый и j-тый столбцы, переместим элемент aij в левый верхний угол матрицы и обозначим b11  aij .
Затем к i-той строке полученной матрицы (i = 2,3, …,m) прибавим первую
строку, умноженную на число 
ai1
. В результате этих элементарных преb11
образований получим матрицу
 b11 b12 

0 c22 
A 1  
  

0 c

m2

Если все элементы cij (i  2, j  2) матрицы
b1n 

c2 n 
.


cmn 
A 1 равны нулю, то теорема доказана. Если же существует элемент cij  0 , то, перестановкой второй и iтой строк, второго и j-того столбцов матрицы A 1 , переместим элемент cij
17
на место элемента c22 и обозначим b22  сij (если c22  0 , тогда сразу обозначим b22  с22 ). Затем к i-той строке полученной матрицы (i = 3, …,m) прибавим вторую строку, умноженную на число 
сi 2
. В результате получим
b22
матрицу
 b11 b12 b13

 0 b22 b23
A2   0 0 c33

  
0 0 c
m3






b1n 

b2 n 
c3n  .


cmn 
Продолжив этот процесс, за конечное число шагов получим матрицу B, то
есть приведем матрицу A к трапецевидной форме.
Пример. Вычислим ранг матрицы
 0 3 7 2
 1 2 3 3
 1 2 3 3
 1 2 3 3








1 2 3 3
0 3 7 2
0 3 7 2
0 3 7 2








A
 2 4 4 1
2 4 4 1
2 4 4 1
0 0 10 5 








 2 1 5 4 
 2 1 5 4 
0 3 9 3 
0 1 3 1 
1

0
0

0
2 3 3
1


3 7 2
0

0
1 3 1


0 2 1
0
2 3 3

3 7 2
. Стрелками обозначены следующие эле0 2 1

0 0 0
ментарные преобразования: 1) переставили местами первую и вторую
строки; 2) прибавили к четвертой строке третью; 3) прибавили к третьей
строке первую, умноженную на -2, и четвертую строку поделили на 3; 4)
поделили третью строку на 5 и переставили местами третью и четвертую
строки; 5) к третьей строке, умноженной на -3, прибавили вторую строку и
к четвертой строке прибавили третью. Видно, что матрица, полученная из
матрицы А указанными элементарными преобразованиями, имеет трапецевидную форму с тремя ненулевыми строками. Следовательно, r(A) = 3.
Упражнения к §1
Упражнение 1. Докажите следующие свойства операции транспонирования матриц
T
1) AT   A; 2) cAT  c( A)T ; 3) ( A  B)T  AT  BT ; 4) ( AB)T  BT AT .
Упражнение 2. Докажите следующее свойство операции обращения матриц ( AB) 1  B 1 A1.
Упражнение 3. Докажите перестановочность операций транспонирова1
T
ния и обращения квадратных матриц AT   A1  .
18
Упражнение 4. Докажите, пользуясь определением произведения матриц,
что любой столбец матрицы AB является линейной комбинацией столбцов
матрицы A, а любая строка матрицы AB является линейной комбинацией
строк матрицы B.
Упражнение 5. Докажите, используя правило треугольников, все свойства
определителей для определителей третьего порядка.
Упражнение 6. Докажите, используя результат четвертого упражнения,
что ранг произведения двух матриц не превосходит ранга каждого из
сомножителей, то есть r(AB)  r(A) и r(AB)  r(B).
Указание. Для доказательства первой части упражнения составьте матрицу C, у которой первые k столбцов являются столбцами матрицы А, а последние n столбцов являются столбцами матрицы AB.
Упражнение 7. Пусть матрица C порядка n имеет блочный вид, то есть
A 0
 , где A является матрицей порядка k, а матрица В имеет поряC = 
 0 B
док n – k; элементы сij  0, если i  k и j  k ; сij  0, если i  k и j  k . Докажите, что det(C) = det(A) det(B).
Указание. Докажите, что матрица C равна произведению матриц
A 0
E 0
 и B1  
 , где Е – единичные матрицы порядка n – k и k.
A1  
 0 E
 0 B
Упражнение 8. Распространите результат предыдущего упражнения на
случай, когда матрица C состоит из конечного числа блоков.
§ 2. Линейные алгебраические системы
Общие понятия
Равенства вида
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n 
a x  a x    a x 
 21 1
22 2
2n n






a m1 x1  a m2 x 2    a mn x n 
где a ij ( i = 1,2,...,m; j = 1,2, ...,n ), bk ( k = 1,2,
b1
b2

,
(3)
bm
...,m ) - заданные действительные числа, называют системой m линейных алгебраических уравнений
с n неизвестными x1 , , x n .
Числа a ij ( i = 1,2,...,m; j = 1,2, ...,n ) называются коэффициентами системы,
а числа bk ( k = 1,2, ...,m ) - свободными членами системы (3). Матрицы
19
 a11

a
А =  21


 a m1
a12
a 22

a m2
 a1n 
 a11


 a 2n 
a 21
A = 
и

 


 a mn 
 a m1
a12
a 22

a m2
a1n b1 

 a 2 n b2 
, составленные из коэф  

 a mn bm 

фициентов и свободных членов системы, называют соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы (расширенная матрица системы получается из матрицы системы добавлением к ней столбца свободных членов). Если ввести одностолбцовые матрицы неизвестных X =
 x1 
 b1 
 
 
 x 2  и свободных членов B =  b2  , то система (3) в матричной форме, с
 
 
 
 
 xn 
 bm 
учетом действий над матрицами, примет вид
А X = B.
(4)
Если в системе (3) b1  b2    bm  0 , то такая система называется однородной
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  0
a x  a x    a x  0
 21 1
22 2
2n n





 
a m1 x1  a m2 x 2    a mn x n  0
(5)
Определение. Упорядоченный набор чисел  1 , 2 , ... ,  n называется решением системы (3), если после подстановки этих чисел в каждое уравнение системы вместо неизвестных x1 , , x n получаются числовые равенства,
то есть
 a11 1  a12 2    a1n n  b1
a   a     a   b
 21 1
22 2
2n n
2





 
a m1 1  a m2 2    a mn n  bm
(6)
Из последнего определения следуют некоторые простейшие свойства
решений линейных алгебраических систем:
1) если  1 , 2 , ... ,  n — решение однородной системы (5), С — число, тогда С 1 ,С 2 , ... , С n — решение этой системы;
2) если  1 , 2 , ... ,  n и  1 , 2 , ... ,  n являются решениями однородной
системы (5), тогда  1 +  1 ,  2 +  2 , ...,  n +  n — решение этой системы;
3) однородная система (5) всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное ) решение x1  x2    xn  0 ;
4) из свойства 1) следует, что однородная система (5) имеет нетривиальное (ненулевое) решение  система (5) имеет бесконечно много решений;
20
5) если  1 , 2 , ... ,  n — решение однородной системы (5), а  1 , 2 ,..., n —
решение неоднородной системы (3), то  1 +  1 ,  2 +  2 , ...,  n +  n — решение неоднородной системы (3);
6) если  1 , 2 , ... ,  n и  1 , 2 , ... ,  n — решения неоднородной системы
(3), то  1 -  1 ,  2 -  2 , ...,  n -  n — решение однородной системы (5).
Докажем только последнее свойство, а остальные свойства решений доказываются аналогично.
Доказательство 6). Из того, что  1 , 2 , ... ,  n является решением системы (3) следует выполнение числовых равенств (6), а из того что числа
 1 , 2 , ... ,  n -- решение системы (3), следует выполнение числовых равенств
 a111  a12  2 
a   a  
 21 1
22 2


 
am11  am 2  2 
 a1n  n 
 a2 n  n 
b1
b2



 amn  n  bm
(6*)
Вычитая из равенств (6) равенства (6*) (из первого равенства (6) вычитаем
первое равенство (6*) и. т. д.), получим m числовых равенств
 a11 (1  1 ) a12 ( 2   2 ) 
 a (   ) a (   )
 21 1
1
22
2
2




am1 (1  1 ) am 2 ( 2   2 )
 a1n ( n   n ) 
 a2 n ( n   n ) 
0
0



 amn ( n   n )  0.
(6**)
Из равенств (6**) и определения решения следует, что набор чисел  1  1 ,  2 -  2 , ...,  n -  n является решением однородной системы (5).
Линейные системы n уравнений с n неизвестными ( m = n )
1.Однородные системы. В этом пункте рассмотрим линейную однородную систему (5) в случае, когда число уравнений системы равно числу неизвестных. В этом случае матрица системы A является квадратной матрицей; условимся обозначать определитель det A этой матрицы буквой 
( дельта ), то есть  = det A.
Теорема 1. Линейная однородная система (5) имеет ненулевое решение
 определитель системы (определитель матрицы системы)  = 0.
Доказательство.  Пусть система (5) имеет ненулевое решение  1 , 2 ,
... ,  n (хотя бы одно из чисел  i отлично от нуля). Тогда справедливо равенство
21
 a 1n 
 a 11 
 a 12 
 0
 
 
 
 
a 2n 
a 21 
a 22 
0



 1    +  2    +    +  n    =    ,




 
 
 
 
 a n1 
 a n2 
 0
an n 
(7)
из которого следует, что столбцы матрицы A системы (5) линейно зависимы. А значит, определитель этой матрицы det A = .
 Пусть теперь определитель системы . Тогда столбцы матрицы А
системы линейно зависимы и, по определению линейной зависимости,
существуют числа  1 , 2 , ... ,  n , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство (7). А это означает, что  1 , 2 , ... ,  n есть ненулевое решение системы (5).
Следствие. Однородная система (5) имеет только нулевое решение 
 .
2. Неоднородные системы. Теорема Крамера
В этом пункте рассмотрим неоднородную систему (3) с m = n. Вместе с
определителем  системы будем рассматривать определители  j , получающиеся из  заменой j - того столбца столбцом свободных членов, то
есть
=
 a1n
 a2 n
a11
a21
a12
a22

 
a n1
an 2  an n

, j
a11  a1 j 1 b1 a1 j 1  a1n
a
 a 2 j 1 b2 a 2 j 1  a 2 n
= 21
.
      
a n1  a n j 1 bn
Отметим, что по свойству определителей  j =
n
b
k
a n j 1  a n n
Ak j , где Ak j — алгебра-
k 1
ические дополнения элементов j - того столбца матрицы А.
Теорема 2 ( Крамера ). Неоднородная система (3) имеет единственное
решение  определитель системы . При этом решение системы
определяется формулами Крамера: x1 
1


, x2  2 ,  , xn  n .



Доказательство.  Пусть система (3) имеет единственное решение
 1 , 2 , ... ,  n . Если бы определитель , то однородная система (5),
соответствующая неоднородной системе, имела бы ненулевое решение
 1 , 2 , ... ,  n . Тогда, по свойству 5) решений линейных систем, их сумма
 1 +  1 ,  2 +  2 , ...,  n +  n была бы решением системы (3), отличным от
решения  1 , 2 , ... ,  n . Но это противоречило бы единственности решения. Следовательно, предположение  приводит к противоречию, а
значит .
22
 Пусть определитель системы . Докажем, что набор чисел
1  2

,
, , n является решением системы (3). Подставив эти числа в i - тое
 

уравнение системы, получим
ai 1 
n
n
1


1 n
1 n
1 n
 ai 2  2    ai n  n   ai j  j   ai j  bk Ak j   bk  ai j Ak j 



 j 1
 j 1 k 1
 k 1 j 1
1 n
 bk   k i    bi ,
 k 1
факт, что
n
a
j 1
ij
где
1, k  i
. При этом был использован тот
0, k  i
 ki  
, k  i
Ak j  
 0, k  i
как сумма произведений элементов i - ой
строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов k - ой
строки определителя  системы.
Докажем теперь единственность решения. Пусть система (3) имеет два
решения  1 , 2 , ... ,  n и  1 , 2 , ... ,  n . Тогда, по свойству 6) решений
линейных систем, разность  1 -  1 ,  2 -  2 , ...,  n -  n этих решений будет
являться решением соответствующей однородной системы (5) с отличным
от нуля определителем. Следовательно, по следствию из теоремы 1, будет
 1 -  1 = 0,  2 -  2 = 0, ...,  n -  n = 0, а значит  1 =  1 ,  2 =  2 , ...,  n =  n .
Пример. Решить по теореме Крамера следующую систему
1 2 1
 x 1  2 x 2  x 3  4

5 = -10 - 40 - 21 - 8  3x1  2 x 2  5x 3  2 . Определитель системы   3 2
4 x  7 x  5x  5
4 7 5
2
3
 1
30 +35 = - 74  0. Следовательно, рассматриваемая система имеет единственное решение. Вычислим определители  1 ,  2 ,  3 . Имеем
4 2 1
1 4 1
2 5 = 40 + 50 - 14 + 10 - 20 - 140 = - 74,  2  3 2 5 = - 10 1  2
5 7 5
4 5 5
1 2 4
80 - 15 - 8 - 60 + 25 = - 148,  3  3 2 2 = - 10 - 16 + 84 +32 -30 +14 = 74.
4 7 5



74
148
74
 1, x 2  2 
 2, x 3  3 
 1 —
Таким образом, x1  1 

74

74

74
решение данной системы.
3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Если
определитель матрицы системы (3)  = det A  0, то матрица A системы
имеет обратную A 1 . Умножив матричное равенство (4) слева на A 1 , получим равенство A 1 AX  A 1 B или ( так как A 1 A  E , EX  X ) X  A 1 B .
Следовательно, столбец неизвестных равен произведению A 1 на столбец
свободных членов.
Пример. Решить систему
23
 2 x1  2 x 2  3 x 3  4
 2 2 3 



3x1  2 x 2  4 x 3  11. . Матрица системы A   3 2 4 , а её определитель


 x  x  6 x  11
 1 1 6 
2
3
 1
det A = 24 + 8 - 9 - 6 +36 - 8 = 45. Найдем обратную матрицу A 1 . Имеем
A11  8,
A12  22,
A13  5,
A21  9,
A22  9,
A23  0,
A31  2,
 8 9 2


1
22 9 17 , а
A32  17. Следовательно, A 1 =

45 

A33  10.
 5 0 10
 x1 
 8 9 2  4 
 45
 



1 
1 
1
столбец неизвестных  x 2  = X  A B   22 9 17  11 =  0  =
45 

 45 

 
 5 0 10  11 
 90 
 x3 
 1
 
 0.
 
 2
Таким образом, числа x1  1, x2  0, x3  2 являются решением данной системы.
Общие линейные системы
1. Теорема Кронекера - Капелли. Рассмотрим теперь общую линейную
систему m уравнений с n неизвестными (3). Для этой системы справедливо
утверждение.
Теорема. Система (3) совместна  ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы этой системы, то есть r(A) = r( A ). При этом, если
обозначить k = r(A) = r( A ), справедливы следующие утверждения:
а) система (3) имеет единственное решение  k = n (n - число неизвестных);
б) система (3) имеет бесконечное множество решений  k < n.
Доказательство.  Пусть система (3) совместна, то есть существует
набор чисел  1 , 2 , ... ,  n такой, что выполнены равенства (6) или
 a 11 
 a12 
 a 1n 
 b1 
 
 


 
a 21 
a 22 
a 2n 
b



 1    +  2    +    +  n    =  2  .




 
 


 
 bm 
 a m1 
am2 
am n 
(8)
Равенство (8) означает, что последний (n +1) - вый столбец расширенной
матрицы A системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A
этой системы. Следовательно, максимальное число линейно независимых
столбцов матриц A и A будет одинаковым, а поэтому будет r(A) = r( A ).
Пусть теперь выполнено равенство r(A) = r( A ) = k. Следовательно, базисный минор порядка k ( k  n ) матрицы А будет также базисным минором расширенной матрицы A . Тогда, по свойству базисного минора, столбец свободных членов ( n+1 - вый столбец расширенной матрицы системы) будет линейной комбинацией k столбцов матрицы A, образующих ба-
24
зисный минор, а значит и линейной комбинацией всех столбцов матрицы
A
(столбцы матрицы A, не входящие в базисный минор, берутся с нулевыми
коэффициентами). Таким образом, найдутся числа  1 , 2 , ... ,  n такие, что
выполняется равенство (8), а значит и равенство (6). Следовательно, система (3) совместна.
а)  Если k = n, то базисный минор матрицы A содержит все n столбцов этой матрицы. Следовательно, по свойствам базисного минора, столбцы матрицы A линейно независимы. Пусть  1 , 2 , ... ,  n и  1 , 2 , ... ,
 n являются решениями системы (3). Тогда их разность  1 -  1 ,  2 -  2 , ...,
 n -  n будет решением однородной системы (5), то есть будут выполнены
равенства
 a11 ( 1   1 )  a12 ( 2   2 ) 
 a (   )  a (   ) 
 21 1
1
22
2
2




a m1 ( 1   1 )  a m2 ( 2   2 ) 
  a1n ( n   n ) 
0
  a 2 n ( n   n ) 
0



  a mn ( n   n ) 
0
или равенство
 a 11 
 a12 
 a 1n 
 0
 
 


 
a 21 
a 22 
a 2n 
0



( 1 -  1 )   + ( 2 -  2 )   +    + ( n - n )   =   ,




 
 


 
 0
 a m1 
am2 
am n 
которое возможно только в случае  1 -  1 = 0,  2 -  2 = 0, ...,  n -  n = 0 или
 1 =  1 ,  2 =  2 , ...,  n =  n ( в силу линейной независимости столбцов
матрицы А ). Следовательно, решение системы (3) единственно.
б)  Пусть k < n и базисный минор  k матрицы A (он же является базисным минором расширенной матрицы системы A ) расположен, для
определённости, в левом верхнем углу матрицы A, то есть
a11  a1k
 k =     0.
a k 1  a kk
Из свойств базисного минора следует, что все строки матрицы A с номерами большими k являются линейными комбинациями первых k строк
матрицы. Это означает, что все уравнения системы (3), начиная с k+1- го,
являются следствием первых k уравнений, то есть набор чисел  1 , 2 , ... ,
 n , удовлетворяющий первым k уравнениям системы, будет удовлетворять и остальным уравнениям. Запишем k первых уравнений системы (3) в
виде
25
 a11 x1    a1k x k  b1  a1k 1 x k 1    a1n x n

         
(9)

 a x a x b a
kk k
k
k k 1 x k 1    a k n x n .
 k1 1
Переменные x1 , x2 ,  , x k , из коэффициентов при которых образован базис-
ный минор, назовём базисными, а остальные переменные x k 1 , x k 2 ,  , xn
назовём свободными. Из теоремы Крамера следует, что систему (9) можно
однозначно разрешить относительно базисных переменных x1 , x2 ,  , x k
 x1  p1  r1 k 1 x k 1    r1 n x n

(10)
       
 x  p r
k
k k 1 x k 1    rk n x n .
 k
Придавая свободным переменным x k 1 , x k 2 ,  , xn произвольные числовые
значения C1 , C2 ,, Cn  k и выражая базисные переменные x1 , x2 ,  , x k по
формулам (10), получим бесконечное множество решений системы (3)











x1  p1  r1 k 1C1    r1 n Cn  k
     
x k  pk  rk k 1C1    rk n Cn  k
x k 1  C1
x k  2  C2
     
x n  Cn  k .
Обратные утверждения пунктов а) и б) теоремы очевидным образом
выводятся из доказанных утверждений рассуждением от противного.
 x1  2 x 2  x 3  x 4  3
 2x  x 
x 4  1

1
2
Пример. Исследовать линейную систему 
.
 x1  7 x 2  3x 3  4 x 4  10
 3x1  4 x 2  x 3  3x 4  5
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к трапецевидной
форме:
 1 2 1  1 3 
 1  2 1 1 3 
 1 2 1 1 3






2 1 0 1 1
0 5 2 3  7 
0 5 2 3  7 



A =


= B.
 1 7 3 4 10
0 5 2
3 7 
0 0
0
0 0






0
0 0
 3 4 1 3  5 
 0 10 4 6  14
0 0
Выполнены следующие элементарные преобразования над строками: 1) ко
второй строке прибавили первую строку, умноженную на - 2; из третьей
строки вычли первую строку; к четвертой строке прибавили первую,
умноженную на - 3; 2) к третьей строке прибавили вторую; к четвёртой
строке прибавили вторую, умноженную на - 2. Видно, что матрицы B и B
имеют по две ненулевых строки. Следовательно, r(A) = r( A ) = 2 и рассмат-
26
риваемая система совместна. Так как 2 = k < n = 4, то система имеет бесконечное множество решений.
2. Метод Гаусса. Для практического отыскания решений линейных систем чаще всего используется метод Гаусса. Этот метод состоит из следующих трех этапов.
1) Записываем расширенную матрицу A системы (3) и сверху над каждым столбцом записываем неизвестные, из коэффициентов при которых
образован этот столбец
x1
x2

 a11

a 21
A= 


 a m1
a12

xn
a1n b1 

 a 2 n b2 
.
  

 a mn bm 
a 22

a m2
2) С помощью элементарных преобразований над строками матрицы A
и перестановки местами столбцов матрицы A (вместе с неизвестными)
приводим расширенную матрицу системы к трапецевидной форме с матрицей B . Отметим, что элементарным преобразованиям 1), 2), 3) над
строками расширенной матрицы A системы соответствуют следующие
преобразования самой системы (3): перестановка местами двух строк
расширенной матрицы системы эквивалентна перестановке местами двух
соответствующих уравнений этой системы; умножение строки матрицы на
число, отличное от 0, эквивалентно умножению соответствующего уравнения системы (3) на это число; прибавление к одной строке матрицы другой строки эквивалентно сложению двух соответствующих уравнений системы. Следовательно, матрица B , полученная из матрицы A указанными
преобразованиями, является расширенной матрицей системы, эквивалентной исходной системе.
3) При этом возможны три случая: а) матрица B содержит хотя бы одну строку, в которой все элементы, расположенные в первых n столбцах,
равны нулю, а элемент, расположенный в последнем столбце свободных
членов, отличен от нуля. Тогда r(A)  r( A ) и система несовместна;
б) Матрица B имеет следующий вид
 b11 b12

 0 b22
 
B = 
0
 0
 0
0

 
где
 b1k
 b1n
 b2 k  b2 n
   
 bkk  bkn
 0  0
   
<
n;
27
а
(11)
все bij  0 для i  j
и
i  k (i  1,2,..., m; j  1,2,..., n ) ; d i  0 при i  k . В этом случае r(A) = r(B) = k и
k
bii  0 , i  1,2,..., k ,
d1 

d2 

,
dk 
0 


k < n. Следовательно, по теореме Кронекера - Капелли, система совместна
и имеет бесконечное множество решений. Предположим, для простоты,
что матрица B получена из A без перестановки местами столбцов. Тогда
минор порядка k, расположенный в левом верхнем углу,
k 
b11
b12
 b1k
0
b22
 b2 k

  
0
0
= b11  b22 bkk  0 и является базисным минором матри-
 bkk
цы B , а неизвестные x1 , x2 ,  , x k - базисные переменные. Из k – той строки
матрицы B , которой соответствует уравнение bkk x k  bk k 1 x k 1    bkn xn  d k ,
выражаем x k через свободные переменные x k 1 , x k  2 ,  , x n и получаем
xk  d k 
bk k 1
bkk
x k 1   
bkn
x n . Далее, из (k - 1) - го уравнения выражаем x k 1
bkk
через свободные переменные. Продолжив этот процесс, выразим, наконец,
x1 .
из первого уравнения
Обозначив свободные переменные
x k 1  C1 , x k  2  C2 ,, x n  Cn  k , получим множество всех решений системы (3)
 x1  p1  r1 k 1C1    r1 n Cn  k

     

 x k  p k  rk k 1C1    rk n Cn  k

в виде  x k 1  C1
 x C
2
 k 2


   

 x C .
n k
 n
где C1 , C2 ,, Cn  k — любые действительные числа.
в) Матрица B имеет вид (11), где k = n, то есть
 b11 b12

 0 b22
 
B = 
0
 0
 0
0

 
 b1n
 b2 n
 
 bnn
 0
 
d1 

d2 

.
dn 
0


В этом случае система имеет единственное решение, которое находится
так: из n - го уравнения bn n xn  d n имеем xn 
dn
; из (n - 1)- го уравнения
bn n
bn1n1 xn1  bn1n xn  d n1 находим x n1 и, продолжив этот процесс, найдём x1
из первого уравнения b11 x1  b12 x2    b1n xn  d1 .
Замечание. В случае, когда в системе число уравнений равно числу неизвестных ( m = n ), матрица B не будет содержать нулевых строк, а будет
28
 b11 b12

 0 b22
B =  

0 0
0 0

 b1n
 b2 n
 
 bn 1n
 bnn
d1 

d2 
 .

d n 1 
d n 
В этой матрице ( так как все элементы главной диагонали bii  0 ) можно с
помощью элементарных преобразований получить нули над главной диаго
налью. В столбце с номером n нули получаются так: к i – той строке прибавляется n – тая строка, умноженная на число 
bi n
bn n
, i  1,2,, n  1. Чтобы
получить нули в (n-1)- ом столбце, к i – той строке прибавляется (n-1) – ая
строка, умноженная на число 
bi n 1
bn 1 n 1
 b11 0

 0 b22
цесс, получим матрицу D =   

0 0
0 0

, i  1,2, , n  2. Продолжив этот про-
 0
с1 

 0
с2 
    . Поделив i – тую строку

 0 сn 1 
 bnn cn 
последней матрицы на число bii  0 , получим расширенную матрицу сиp1 
1 0  0


p2 
0 1  0
стемы, эквивалентной исходной, следующего вида       , из


 0 0  0 pn 1 
0 0  1
pn 

которой находим решение системы x1  p1, x2  p2 , , xn  pn .
Пример. Исследовать и решить методом Гаусса систему
 x2  2 x3  x4  2
 2 x  x  x  x  1
 1
2
3
4
.

3x1  2 x 2  3x 3  x 4  5
 x1  x 2  x 3  3x 4  3
Приведем расширенную матрицу системы к трапецевидной форме.
29
A
=
 0 1 2 1 2 


 2 1 1 1  1 
 3 2 3
1 5 


3 3 
 1 1 1
 1 1 1 3 3 


 2 1 1 1  1 
 3 2 3
1 5 


1 2 
 0 1 2
 1  1 1 3 3 


 0 1 3 7  7 
 0 5 0 8  4 


1 2 
 0 1 2
3 3 
3 3 
 1 1 1
 1 1 1
 1  1 1 3 3 






3 7  7
0 1
3 7  7
0 1 3 7  7
0 1




.
 0 0 15 27 31 
0 0 5
8 9 
0 0 5
8 9 






8 9 
3 4 
 0 0 5
 0 0 15 27 31 
0 0 0
Следо-
вательно, ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, а поэтому система имеет единственное решение.
4
(так как 3x4  4 ), из третьей
3
4
5
1
строки получаем 5x 3  8 x 4  9 или 5x3  9  8 x4  9  8    , а x 3  ; из
3
3
3
4
второй строки получаем уравнение x2  3x3  7 x4  7 и находим x 2  ;
3
4 1
4 2
наконец из первой строки получаем x1  3  x 2  x 3  3x 4  3    3   .
3 3
3 3
2
4
1
4
Следовательно, x1  , x 2  , x 3  , x4  есть единственное решение дан3
3
3
3
Из последней строки матрицы находим x 4 
ной системы. Чтобы убедиться в правильности решения сделаем проверку,
то есть подставим найденное решение в каждое уравнение системы:
4
1 4 424 6
2 4 1 4 4  4  1  4 3
2
4
 2  
  2, 2     

 1, 3   2  
3
3 3
3
3
3 3 3 3
3
3
3
3
1 4 6  8  3  4 15
2 4 1
4 2  4  1  12 9
3  

 5,
   3 
  3.
3 3
3
3
3 3 3
3
3
3
Воспользуемся теперь замечанием и продолжим преобразования расширенной матрицы системы
 1  1 1 3 3 
1



0
1
3

7

7

  0
0
 0 0 5
8 9 



0
3 4 
0 0 0

3

3
0
0

2
3
0

 

 
0 3 0 0 4  0 3
0 0 3 0 1   0 0

 
0 0 0 3 4  0 0

 
 1  1 0  1  1  1  1
 
3
9 0 7  0 3 9

0  15 0  5   0 0
3
 
0
0 3 4   0 0 0
0 0 2   1 0 0 0 2 3
 

0 0 4   0 1 0 0 4 3

.
3 0 1 0 0 1 0 1 3 
 

0 3 4   0 0 0 1 4 3 
0  1

0 7

0 1

3 4 
Здесь первая стрел-
ка соответствует следующей последовательности элементарных преобразований: 1) из первой строки вычли четвертую строку; 2) ко второй строке,
умноженной на 3, прибавили четвертую строку, умноженную на 7; 3) к
третьей строке, умноженной на 3, прибавили четвертую строку, умножен30
ную на –8. Вторая стрелка соответствует делению третьей строки на –5.
Третья стрелка соответствует преобразованиям: 1) к первой строке, умноженной на 3, прибавили третью строку; 2) ко второй строке прибавили
третью строку, умноженную на –3. Четвертая стрелка соответствует прибавлению второй строки к первой, а пятая – делению всех строк на 3.
2
3
4
3
1
3
4
3
Из последней матрицы находим решение системы x1  , x2  , x3  , x4  .
Пример. Исследовать и решить систему
x 4  2
 x1  2 x 2  3 x 3 
2 x  x 
x3  2 x4  3
 1
2

 x1  7 x 2  10 x 3  5x 4  9
 x1  6 x 2  8 x 3  6 x 4  10
Приведем расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:
 1 2 3 1 2
 1 2 3 1 2
 1 2 3 1 2






2 1 1 2
3
0 5 7 4
7
0 5 7 4
7



A =
 
 

 1 7 10 5 9
0 5 7 4 7
0 8 11 7 12 






 1 6 8 6 10 
 0 8 11 7 12 
 0 5 7 4 7
 1 2 3 1 2


 0 5 7 4 7  = B . Так как r(A) = r( A ) = 3 < 4, то данная система име0 0
1 3 4


0 0 0
0 0
ет бесконечное множество решений. Так как для приведения расширенной
матрицы системы к трапецевидной форме не пользовались перестановкой
столбцов, то из третьей строки матрицы B получаем x3  4  3x4 . Из второй
строки получаем уравнение 5x2  7  7 x3  4 x4 = 7  7  (4  3x4 )  4 x4  35  25x4
или x2  7  5x4 . Из первой строки получаем x1  2  2 x2  3x3  x4 
 2  2  (7  5x4 )  3  (4  3x4 )  x4  0 . Обозначив x 4 = C, запишем множество
 x1  0
 x  7  5C
всех решений системы  2
, где C - любое действительное число.
x

4

3
C
3

 x4  C
Пример. Исследовать и решить систему
x2 
x4 
0
 x1 
 2 x  x  2 x  x  2
 1
2
3
4


x

2
x

3
x

5
x
7
2
3
4 
 1
 3x1  x 2 
x 3  6 x 4  3.
Приводим расширенную матрицу системы к трапецевидной форме:
31
 1 1 0 1 0 
 1 1 0 1 0 
 1 1 0 1 0 






2 1 2 1 2
0 3 2 3 2
0 1 3 6 7



A =
 
 

 1 2 3 5 7 
0 1 3 6 7
0 3 2 3 2






 3 1 1 6 3
0 4 1 3 3 
0 4 1 3 3 
1
0 
 1 1 0


3
6
7 
0 1

 0 0 11 21 23


 0 0 11 21 25
1
0 
 1 1 0


3
6
7 
0 1
. Из последнего уравне 0 0 11 21 23


0
0
2 
0 0
ния полученной матрицы имеем 0 = -2, что невозможно. Значит, рассматриваемая система несовместна.
3. Использование метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.
Пусть A – квадратная матрица порядка n и detA  0. Тогда обратная к
ней матрица удовлетворяет равенству A  A1  E , которое эквивалентно
n равенствам
A  pi  ei ,
(12)
1
i  1,2,, n , где pi есть i – тый столбец матрицы A , а ei является i – тым
столбцом единичной матрицы E . Следовательно, столбец pi матрицы
A1 является решением линейной системы (12) с матрицей системы А и
расширенной матрицей системы (А | ei ). Система (12) имеет единственное решение, так как detA  0. Решим эту систему методом Гаусса, приведя элементарными преобразованиями расширенную матрицу системы
к виду (Е | pi ). Таким образом, в системе, эквивалентной исходной системе (12), на месте столбца свободных членов ei будет находиться решение системы (12) – столбец pi матрицы A1 . Все столбцы p1, p2 ,  , pn
обратной матрицы можно найти одновременно, так как набор элементарных преобразований ( А | ei )  ( Е | pi ) полностью определяется
матрицей A и не зависит от i. Для этого матрицу (А | e1 e2  en ) = (А | E)
элементарными преобразованиями над строками приводим к виду
(E | p1, p2 ,  , pn ) = ( E | A1 ).
Пример. Найдем методом Гаусса обратную матрицу к матрице
 2 1 0


A    1 3 4  . Для этого составим матрицу (А | E) и применим метод
 3 2 0


Гаусса. Имеем
32
 2 1 0 1 0 0  2 1 0

 
 1 3 4 0 1 0   0 7 8
 3 2 0 0 0 1   0 11 12

 
1
0 0    14
2 1 0

 
 0 7 0  21 0 14    0
 0 0  4  11  1 7   0

 
2
0
1 
1 0 0


0
2 .
0 1 0  3
 0 0 1 11 / 4 1 / 4  7 / 4 


1
4
1
0 0
1 0 0  2 1 0
 

1 2 0   0 7 8
1
2 0 
0 3 1   0 0  4  11  1 7 
0 0  28 0 14 

7 0  21 0 14  
0  4  11  1 7 
Следовательно,
0
1 
 2


A =  3 0
2 =
11 4 1 4  7 4 


1
 8 0  4


  12 0 8  . Здесь первая стрелка соответствует прибавлению вто 11 1  7 


рой строки, умноженной на 3, к третьей строке и прибавлению ко второй строке, умноженной на 2, первой строки. Вторая стрелка соответствует прибавлению к третьей строке, умноженной на 7, второй строки,
умноженной на –11. Третья стрелка соответствует прибавлению ко второй строке третьей строки, умноженной на 2. Четвертая стрелка соответствует прибавлению к первой строке, умноженной на –7, второй
строки. Пятая стрелка соответствует делению первой строки на –14,
второй строки на 7, а третьей строки на –4.
Упражнение. Пользуясь теоремой Кронекера – Капелли докажите,
что линейная система (3) в случае m = n несовместна или имеет бесконечное множество решений   = 0. При этом: а) система (3) несовместна   = 0, а хотя бы один из определителей 1,  2 ,  ,  n отличен
от нуля; б) система (3) имеет бесконечное множество решений   = 0,
и все определители 1,  2 ,  ,  n равны нулю.
§ 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы
 x1 
 
x
Условимся называть одностолбцовые матрицы вида x   2  n - мерны
 
 xn 
ми векторами или просто векторами. Пусть дана квадратная матрица А
порядка n.
Определение. Число  называется собственным числом матрицы А,
если существует отличный от нуля вектор x (хотя бы одно число xi  0, i  1,2,, n ) такой, что выполняется равенство
(13)
Ax   x ,
33
а вектор x  0 называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу .
Из определения собственных чисел и собственных векторов следует
практический способ их отыскания. Действительно, преобразуем равенство (13) следующим способом: Ax   x = 0 или Ax  E x = 0 (так как E x =
x ) или
( A  E) x = 0,
(14)
где Е — единичная матрица порядка n. Равенство (14) является матричной
формой записи линейной однородной системы
a12 x 2 
(a11   ) x1 
 a x 
(a 22   ) x 2 
 21 1




 a n1 x1 
an2 x2 
 a11

a
с матрицей системы A   E =  21


 a n1
a12
 a11  

a 22  
 a 21
 


an2
 a n1






a1n x n  0
a2n xn  0

(15)
  (a n n   ) x n  0
a12
a 22

an2
 a1n 

 a2n 
—
 

 a nn 
 1 0  0


0 1  0

 
=
   


 0 0  1


 . Из предыдущего параграфа известно, что од


a1n
a2n

 an n
нородная система (15) имеет ненулевое решение тогда, и только тогда, когда её определитель равен нулю. Следовательно, матрица A имеет собственные числа и собственные векторы тогда и только тогда, когда
det (A - E) = 0.
(16)
Равенство (16), которое является алгебраическим уравнением степени n,
называется характеристическим уравнением для матрицы А. Из сказанного выше следует, что число  является собственным числом матрицы А тогда и только тогда, когда  есть корень характеристического уравнения
(16), а вектор x - собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу  тогда, и только тогда, когда x является решением линейной однородной системы (15) для этого .
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
 0 1 0


А =  3 4 0 . Составим характеристическое уравнение det (A - E) =


  2 1 2

1
0
3 4  
0
= (2   )  (   4 )  3  = ( 2   )(  2  4  3 ) = 0. Сле2
1 2
34
довательно,  1 = 2,  2 = 3,  3 = 1 есть собственные числа данной матрицы.
Теперь для каждого собственного числа найдем соответствующие им собственные векторы. 1)
 2 x1  x 2  0

Для  1 = 2 система (15) имеет вид 3x1  2 x 2  0
 2 x  x  0
1
2

(подставили
 = 2). Расширенная матрица этой системы равна
 2 1 0 0


 3 2 0 0 


 2 1 0 0
 2 1 0 0


 0 1 0 0 . Использованы следующие преобразования:


 0 0 0 0
из третьей строки вычли первую строку; из второй строки, умноженной на
2, вычли первую строку, умноженную на 3. Из последней матрицы находим x 2  0, x1  0 , а неизвестная x 3 может принимать любые значения. Обозначив x 3  t , запишем множество всех собственных векторов, соответ 0
 0
 
 
ствующих собственному числу  1 = 2, в виде x   0  t   0 , где t - любое
 
 
t
 1
действительное число. 2) Для  2 = 3 система (15) имеет следующий вид
  3x1  x2  0

.
  3x1  x2  0
 2 x  x  x  0
1
2
3

 3 1 0 0


 2 1 1 0 


 3 1 0 0
Расширенная
матрица
системы
 3 1 0 0


 3 1 0 0 


 2 1 1 0
 3 1 0 0


 0 1 3 0 . Из второй строки последней матрицы


 0 0 0 0
находим x 2  3x 3 , а из первой строки следует, что 3x1   x2  3x3 или
x 2  3x 3 , x1  x 3 . Следовательно, собственные векторы, соответствующие
t
 1
 
 
этому собственному числу, имеют вид x   3t   t   3 ,
 
 
t
 1
где t  x 3 - любое действительное число. 3) Для  3 = 1 система (14) имеет
вид
 1

0

0
  x1  x 2  0
 1 1 0 0



 3x1  3x 2  0 , а расширенная матрица этой системы  3 3 0 0 


 2 x  x  x  0
 2 1 1 0
1
2
3

1 0 0
 1 1 0 0



0 0 0   0 1 1 0 . Откуда находим x 2  x 3 , x1  x 2 . Следова


1 1 0
0
0 0
35
 t
 1
 
 
тельно, искомые собственные векторы x   t   t   1 , где t - любое дей 
 
 t
 1
ствительное число.
Упражнение 1. Докажите, что собственные векторы, соответствующие
различным собственным числам матрицы A, тоже различны. То есть, если
x, y собственные векторы, соответствующие собственным числам ,  и 
   x  y.
Упражнение 2. Докажите, что у неособенной матрицы все собственные
числа отличны от нуля. То есть, если detA  0 и  - собственное число матрицы A  .
Упражнение 3. Докажите, что  - собственное число матрицы А  собственное число матрицы A1 (detA  0).
Упражнение 4. Докажите, что множества собственных чисел матриц A и
T
A cовпадают.
Упражнение 5. Докажите, что собственные векторы, соответствующие
различным собственным числам, линейно независимы.
Упражнение 6. Матрица A называется положительно определенной, если для любого вектора x  0 справедливо неравенство xT A x  0 . Докажите,
что у положительно определенной матрицы все собственные числа положительны.
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Вычислите определители четвертого порядка двумя способами:
а) разложением по строке или столбцу, получив предварительно в этой
строке или столбце максимально возможное число нулей; б) приведя
предварительно определитель к диагональному виду.
1
2
1)
0
2
1
3
1  2
1
1
2
3
3 0 1
2 2 1
5)
1 3 2
0
1  2 1 1
0
3
3
3 1  7 0
1 2
, 2)
, 3)
1
1
2
1 1
2 2
2
0
2
1
4
1
2
, 6)
4
0
2
1
3
1 2  3  2
 4 3 13
3
1
0
6
8
1
1
 2 1 2 1
1
0
0 1 1
, 4)
,
0
1 4 2 0
2 3
3
1 4
9
1 1
5
3 1 0
1 2 4 4
1 4
1 1 2 5
1 2 1
0
, 7)
, 8)
,
2 0
1 3 2  5
2 3 2 1
1 4 0 2
5
4 2 1
1
2  7 1 17
3
9)
, 10)
3 2 2 5
0
2
5
4
0
3
3
1
2
1 5 3
3
2
1
.
3
2
36
1
3
4
3 2
4
2
Задание 2. Найдите матрицу обратную к матрице A двумя способами: а) с
помощью алгебраических дополнений; б) с помощью элементарных преобразований (методом Гаусса).
1 
 3 0
1 2
 2 1 3 





1)А=  0  1 1  , 2) А=  1 2  1 , 3) А=  0 1
 4 0
 2 1  2
0  3 4 





1 
2 1 3 
1 2
 1





5)А=  1 0  2  , 6) А=  4  1 0  , 7) А=  1
0 3 1
 2 1  2
2





2 
  2 5 1
 4 1




9)А=  2 3 1  , 10) А=   1  1 1  .
 1 0  2
 3
1  2 



0 

1  , 4) А=
 2 
3 2

1 1
1 2

3  2
4


 1 1  , 8) А=  1
0
1  2 

 2

3 ,
 1 
3 1

1 2 ,
1 2 
Задание 3. Решите указанные матричные уравнения.
1)X
 0

 3
 2

 1 0  1
 1 1 2 




– 3AX = E, если A =  2 1 1  ; 2) XAE = B, если A =  0 2 1  , B =
 0 3  1
  3 0  1




2 2
 4 1 0 
 27 12 





1  1 ; 3) AX = B, если A =  1 2  1 , B =   1  6  ; 4) AX  2X =
3 0 2 
 20 6 
0 3 




1 
 5 0 
 1 0




B, если A =  2 1  2  , B =  2  3  ; 5) 2X +
 8 10 
 3 1 4 




4 0 3


 11 1 7 
 ; 6) XA = B, если A
  1 1 2  , B = 
19  7 5 
 0 2  1


 1 0  1


 4 1 2

 ; 7) XA + 2X = B, если A =  2 3 1  , B =
11 4 5 
0 1 2 


XA = B, если A =
 0 2  1


= 1  3 2  , B =
 4 1 3 


 1  3 6

 ; 8) 3X 
 4 11 6 
0 3
 2  1
 5
 , B = 
 ; 9) 3XA + X = B, если A =
1
  3  11 7 
2AX = B, если A = 
3
 1 0  2


5 
  23 2
 1 2
 ; 10) XA + X = B, если A = 
 , B =
 3 1  1  , B = 
 27  5  15 
 1 3
 2 1 1 


 4 14 


 0 10  .
  10 2 


Задание 4. Вычислите ранг следующих матриц.
37
4 
 3 1  1
1 2 3




2 0 0 
 0 1 1  2
1)A = 
, 2) A = 
, 3) A =
1 2 3 
3  1 12 4 




 4 3  3
1
2 0  5 



0 1 3 
 4 1 1 2 
 2





2  1
3
6 2 0 
 3 2
, 5) A = 
, 6) A = 
5 1


2
1
0 1
3
1





 8 3  1
 2
 0
1
2
4 




4 
1 2 3
 0  2 1  1
 1





 0 1 1  2
3 1  2 5 
 3
 3  1 12 4  , 8) A =  4 3  3 8  , 9) A =   2





1
1 2
 3
2 0  5 
1
5 



0 2  3 1 


 2 1 2  2
.
3 2
4
2 


5 3
3
1 

2

0
1

1

4
0
1
2
2
0
3
1
2  3

1
1 
, 4) A =
3 2 

0
0 
2 1 

2  2
, 7) A =
1  3

3  1 
2  1

0
2
, 10) A =
3 1 

1
1 
Задание 5. Выделите максимальную линейно независимую систему (базис) в данной системе векторов.
 5 
  3
 1 
  2
 2
5
 
 
 
 
 
 
0
 2 
 1 
  4
0
  1
1) a 1 =   , a 2 =   , a 3 =   , a 4 =   , a 5 =   ; 2) a 1 =   , a 2 =
3
4
2
1
7
16
 
 
 
 
 
 
  4
 2 
 1 
 3 
 3
2
 
 
 
 
 
 
 3 
  3
 2 
0
6
6
  1
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 4 
  3
7
  1
2
4
 2  , a 3 =  1  , a 4 =   2  , a 5 =  4  ; 3) a 1 =  3  , a 2 =  1  , a 3 =  2  , a 4 =
 
 
 
 
 
 
 
  2
 2 
 4 
1
4
 1
2
 
 
 
 
 
 
 
 2 
  5
 3 
 1 
  3
3
1
 
 
 
 
 
 
 
  2
 3 
 0 
 4 
 4 
5
0
  1 , a 5 =  4  ; 4) a 1 =  3  , a 2 =   2  , a 3 =   2  , a 4 =   3  , a 5 =   2  ; 5) a 1 =
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 1
 1 
 6 
 3 
2
 4
 
 
 
 
 
 
 
 5 
3
2
 5 
 3 
  1
1


 
 


 
 
 
  17 
19 
 24 
 3 
 2 
3
2
 4  , a 2 =  4  , a 3 =  2  , a 4 =  7  , a 5 =   14  ; 6) a 1 =  5  , a 2 =   4  , a 3 =


 
 


 
 
 
  16 
14 
 15 
 6 
 0 
0
 1


 
 


 
 
 
  2
 1 
 1 
 2 
2
5
2
 
 
 
 
 
 
 
 1
 3 
  4
 0 
4
  1
  1
 5  , a 4 =  4  , a 5 =  1  ; 7) a 1 =  2  , a 2 =  4  , a 3 =  3  , a 4 =  5  , a 5 =
 
 
 
 
 
 
 
 1 
  4
 2 
  3
 1
3
  1
 
 
 
 
 
 
 
38
 1
 5 
 3 
3
 
 
 
 
 3 
  2
 1 
0
 1  ; 8) a 1 =   1  , a 2 =  2  , a 3 =  2  , a 4 =
 
 
 
 
  5
  4
  2
 1
 
 
 
 

2
1

3
 
 
 
 6 
 
 
 
 
2
 3 
 4 
 5 
a 2 =   , a 3 =   , a 4 =   , a 5 =   ; 10)
4
4
2
1
 
 
 
 
  3
 1 
 4 
 5 
 
 
 
 
  2
 4 
 
 
4
 6 
a 4 =   , a 5 =   ;
4
1
 
 
  3
 2 
 
 
 4 
 5 
 
 
  3
  4
 3  , a 5 =  3  ; 9) a 1 =
 
 
 2 
 2 
 
 
 5 
3
 
 
1
 2 
a 1 =   , a 2 =   , a 3 =
0
5
 
 
  3
3
 
 
 6 
 
 2 
  3 ,
 
 5 
 
1
 
4
 2 ,
 
 1
 
Задание 6. Решите заданные системы двумя способами: а) по теореме
Крамера; б) записать систему в матричной форме и решить её с помощью
обратной матрицы.
 5 x1  2 x2  x3  4  7 x1  x2  x3  3
 x1  3x2  x3  1
 x1  2 x2  x3  3




1)  x1  x2
 3 2) 
2 x2  3x3  6 3) 2 x1  x2  2 x3  3 4) 3x1  x2  2 x3  9
 x  3x  x  2,  2 x  x  x  2,
 3x  x  x  0,
 x  x  x  2,
2
3
3
3
 1
 1 2
 1 2 3
 1 2
 x1  2 x2  x3  2  2 x1  2 x2  x3  3
 x1  2 x2  x3  1
 3x1  x2  x3  3



5)  3x1  4 x3  3 6)  x1  3x2  2 x3  9 7)  x1  x2  2 x3  2 8)  x1  4 x2  2 x3  0
2 x  x  2 x  0,  4 x  x  3x  2,  x  2 x  x  2,

2 x1  x2  2,
3
3
2
3
 1 2
 1 2
 1

  x1  x2  2 x3  1
 x1  2 x2  x3  3

9)  x1  3x2  4 x3  2 10) 3x1  x2  2 x3  9
 2 x  x  x  4,
 x  x  x  2,
1
2
3
3

 1 2
Задание 7. Решите данные линейные системы методом Гаусса.
 4 x1  2 x2  x3  12 x4  5  3x1  x2  x3  2 x4  10
3x1  2 x2  4 x3  x4  14
 2 x  3x  x  5 x  6
 2 x  3x  x  9 x  0
 x x x
2

 1
1
2
3
4
2
3
4
1) 
2) 
3)  1 2 3
  x1  5 x3  13x4  15
  x1  4 x2  2 x3  9 x4  6  5 x1  6 x2  2 x3  x4  4
5 x1  2 x2  4 x3  25 x4  10 4 x1  5 x2  3x3  5 x4  20   2 x1  3x2  5 x3  12
 x1  2 x2  x3  0
 x1  x2  2 x3  2
  6 x1  4 x2  x3  3x4  4
4 x  x  3x  2
 3x  x  3x  1
 2 x  3x  4 x  7 x  0
3
3
1
2
3
4
4)  1 2
5)  1 2
6) 
  3x1  x2  x3  1
 x1  2 x2  x3  0
  3x1  4 x2  5 x3  x4  1
  x1  4 x2  x3  0
 4 x1  3x2  x3  2
5 x1  20 x2  10 x3  24 x4  5
 x1  2 x2  x3  x4  0
 x1  x2  x3  2 x4  2
 x1  x2  2 x3  x4  0
 2 x  x  x  3x  0
 3x  x
  x  2 x  3x  3
 4 x4  3
 1 2
 1 2
3
4
2
4
7) 
8) 
9)  1
  x1  3x3  2 x4  0
 2 x1  4 x2  x3  x4  1
 x1  x2  x3  x4  4
3x1  5 x2  2 x3  x4  0
3x1  4 x2  x3  2 x4  2
 x1  3x2  x3
3
39
 3x1  x2  3x3  8 x4  5
2 x  3 x  2 x  9 x  7
2
3
4
10)  1
  x1  4 x2  x3  x4  2
4 x1  5 x2  4 x3  7 x4  3
Задание 8. Пусть предприятие производит n видов продукции, используя
для этого m видов сырья. Обозначим aij - количество сырья i – того вида
необходимое для производства одной единицы продукции j – того вида;
b j - запасы сырья j – того вида на предприятии; xi - количество продукции
i–то
го
вида,
выпускаемое
предприятием.
Матрицу
A =
 a11

 a 21


 a m1
a12
a 22

a m2
 a1n 

 a 2n 
называют матрицей затрат,
 

 a mn 
вектором ресурсов, а вектор
 b1 
 
b
вектор b =  2  называют

 
b 
 m
 x1 
 
x
x =  2  называют планом производства.

 
x 
 n
Требуется определить план производства, исчерпывающий все имеющиеся
на предприятии ресурсы. Очевидно, что план производства x удовлетворяет системе m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b
 21 1
22 2
2n n
2





 
a m1 x1  a m2 x 2    a mn x n  bm
или матричному уравнению Ax = b.
Найдите методом Гаусса план производства, если заданы матрица затрат A
и вектор ресурсов x.
3

2
1)A = 
4

1

4 1
 25 

 
5 2
30
, b =   ; 2) A =

1 3
21

 



1 4
 18 
 3 3 2 2


 25 
 
4 1 5 1
31
b =   ; 4) A =  5 6 1 3  , b =


30
 
1
2
4
4


 21 
 
 2 4 3 2


 4 3 2
17 
3


 

1 1 5
 14 
5
 5 2 3  , b = 17  ; 3) A =  0


 

 2 1 4
 13 
3


 

 26 
3 2 4 1
 


 33 
 2 3 3 2
 39  ; 5) A =  5 1 1 3  , b =
 


 23 
 4 5 5 2
 24 
1 6 7 5
 


40
4 0

3 2
,
4 7

1 4 
 27 
 
 29 
 32  ;
 
 45 
 55 
 
6

3
6)A = 
2

4

2 2

1 4
,b=
3 3

1 1 
 22 
 
25
b =   ; 9) A =
23
 
7
 
2

0
3

4

 22 
 
 17 
 19  ; 7) A =
 
 13 
 
0 3

4 6
,b=
1 3

5 7 
0

3
5

3
0

1
4
1
2
4
2
3
1
2
1
1

0
3 , b =

0
1 
 17 
 
 22 
 22  ; 10) A =
 
 42 
 
5

4
2

1

9
 
 20 
 13  ; 8) A =
 
 13 
 12 
 
2 3

3 1
,b=
3 2

4 3 
3

2
4

1

3 4

5 1
,
2 5

1 3 
 25 
 
 20 
 16  ;
 
 17 
 
Задание 9. Найдите собственные числа и собственные векторы указанных
матриц.
1  7
 1  6 6
0 1 7 
 2






1) A =  1 0  1  , 2) A =   1 2 1  , 3) A =   5  4 5  , 4) A =
 2  4 7
1 1  2
 5 1
0 





 3 1 1 
 1 1  3
 1 1  2
5 6  8








  1 5  1 , 5) A =  4 3 4  , 6) A =  3 2 3  , 7) A =   6 2  4  ,
 1 1 3 
  7 2  3
 6
 6 6  2
1
7 







1 
 0 1 0
  2 1 1
0 1






8) A =  0  1 1  , 9) A =  0 0 1  , 10) A =   1 0 1  , 11) A =
 0 0 3
  5 5 3
 7 1  2






1
0 
0 1 0 
 1 3 3 
 3






 0 0 1  , 12) A =   2  6 13  , 13) A =   4  1 0  .
 1 1 1
 1  4 8 
 4  8  2






Библиография
1. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, «Наука», 1975.
2. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971.
3. И. В. Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре, М.,
«Наука», 1970.
4. Л. И. Головина, Линейная алгебра и некоторые её приложения,
«Наука», 1971.
5. Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, «Наука», 1976.
41
Оглавление
§ 1. Матрицы и определители ……………………………………………… 3
Понятие матрицы, действия над матрицами………………………..3 – 5
Определители, свойства определителей……………………………..5 –8
Обратная матрица…………………………………………………….9- 10
Понятие ранга матрицы…………………………………………………10
Линейная зависимость строк и столбцов матрицы, свойства
линейной зависимости…………………………………………..…10 –13
Теорема о базисном миноре и следствия из неё…………………..13 -16
Элементарные преобразования матриц и их свойства………… 16 -17
Приведение матрицы к трапецевидной форме и вычисление
её ранга…………………………………………………………… 17 –18
Упражнения к § 1…………………………………………… ……18 -19
§ 2. Линейные алгебраические системы…………………………………….19
Общие понятия ………………………………………………………19 -20
Линейные системы n уравнений с n неизвестными………… …. .21-24
Общие линейные системы. Теорема Кронекера-Капелли
и метод Гаусса………………………………………………………..24-32
Применение метода Гаусса для отыскания обратной
матрицы…………………………………………………………………32
Упражнения к § 2………………………………………………………..33
§ 3. Собственные числа и собственные векторы матрицы……. ……... ….33
Упражнения к§ 3…………………………………………………………36
Задания для самостоятельной работы………………………………….36
Библиография…..…………………………………………………………… 43
42
Учебно-методическое издание
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания
Автор-составитель
Барсов Олег Николаевич
Редактор
Лицензия ЛР №020815 от 20.09.93
Подписано в печать
Формат 60х841/16 Уч.-изд. л. 2,75
Тираж 300 экз. Заказ№
Издательско-полиграфический центр
Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003,
Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.
43