Document 3714584

1
ЛЕКЦИЯ 15. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если понятие определенного интеграла обобщить на случай, когда
областью интегрирования является некоторая кривая, то такой интеграл
называется криволинейным.
15.1 Криволинейный интеграл I рода
Пусть функция f  x, y  задана вдоль непрерывной кривой AB на
плоскости Oxy . Разобьем кривую AB произвольно на n частей (рис.80)
точками
A  M 0 , M 1 , M 2 ,, M i 1 , M i ,, M n  B .
Рисунок 80
Обозначим через  l i длину дуги M i 1 M i ,  - наибольшую из длин
частичных дуг M i 1 M i (т.е.   max  l i ). Выберем на каждой дуге
1i  n
M i 1 M i произвольную точку M i* и составим сумму
 f M i*    l i .
n
(15.1)
i 1
Сумма (15.1) называется
и н т е г р а л ь н о й с у м м о й для
функции f  x, y  по кривой AB .
Если существует конечный предел интегральных сумм (15.1) при
  0 , не зависящий ни от способа разбиений кривой, ни от выбора точек
в них, то этот предел называется к р и в о л и н е й н ы м
и н т е г р а л о м п е р в о г о р о д а от функции f  x, y  по кривой
AB и обозначается
 f M  dl или  f x, y  dl .
AB
AB
Тогда, по определению имеем

AB
f M i*    l i .

 0
f x, y  dl = lim
n
i 1
(15.2)
Теорема. Если функция f  x, y  непрерывна в каждой точке гладкой
кривой, то криволинейный интеграл первого рода существует.
2
15.2 Основные свойства криволинейного интеграла I рода
 f x, y  dl =  f x, y  dl , т.е. криволинейный интеграл I рода не
1)
AB
BA
зависит от направления пути интегрирования.
2)   f1 x, y   f 2 x, y dl   f1 x, y  dl 
AB
3)
AB
 с  f x, y  dl  с   f x, y  dl , где с  const .
AB
4)
AB
 f 2 x, y  dl .
AB
 f x, y  dl   f x, y  dl   f x, y  dl ,
AB
AC
где кривая AB состоит
CB
из двух кривых AC и CB .
5) Если f1  x, y   f 2  x, y  для всех точек кривой AB , то
 f1 x, y  dl   f 2 x, y  dl .
6)
 f x, y  dl 
AB
AB
f (C )  l , где точка C лежит на кривой AB , l -
AB
длина кривой AB (теорема о среднем).
15.3 Вычисление криволинейного интеграла I рода
Для вычисления криволинейного интеграла I рода используют одну
из следующих формул:
1) если кривая AB задана уравнением y    x  , x  a, b , то
b
f x, y  dl   f x,  ( x)  1    x  dx ;

AB
2
(15.3)
a
2) если кривая AB задана параметрически x  xt  , y  y t  ,
t   ,   , где xt  и y t  - непрерывно дифференцируемые функции по t ,
то


f x, y  dl   f x(t ), y (t ) 

AB
3)
xt 2   y t 2 dt ;
(15.4)
если кривая AB задана уравнением     ,   1 ,  2 , то
2
2
2
 f x, y  dl   f  cos ,  sin       d .
(15.5)
1
AB
Замечание. Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной
в некоторой пространственной области функции f M   f  x, y, z  по длине
дуги определяется аналогично, т.е.

L
f M i*    l i , где   max  l i .

 0
1i  n
f M  dl = lim
n
i 1
3
Если кривая L задана параметрическими уравнениями x  xt  ,
y  y t  , z  z t  , t   ,   , то

2
2
2
 f M  dl   f x(t ), y(t ), z (t ) xt    y t   z t  dt .
(15.6)

L
Пример 15.1. Вычислить интеграл
 x
2
L

 y 2 dl , где L - отрезок


прямой, заключенный между точками O(0,0) и A 1, 8 .
Решение.
Найдем уравнение прямой L : y  8 x .
При движении от точки O к точке A x меняется от 0 до 1. По
формуле (15.3) имеем:
 x
2

1

 y dl   x 
2
L
2

8x

2
0


3 1

x

1   8 x  dx  27  x 2 dx  27 
3


0
Пример 15.2. Вычислить интеграл
2
y
1
2
 9.
0
dl , где L - арка циклоиды
L
x  a t  sin t  , y  a 1  cos t  , причем 0  t  2 .
Решение.
Так как
dl 
xt 2   yt 2
 a 2 1  cos t   a 2 sin 2 t dt  a 2  2 cos t  2a sin
2
то по формуле (15.4) имеем
y
2
2
dl   a 1  cos t 
2
L
2
0
2
t
dt ,
2
2
2
t
t
t
3
5 t
3
 2a sin dt  2a  4 sin
dt  8a  sin 4  sin dt 
2
2
2
2
0
0
2
2
t 
t
t 1
t
256 3

t 2
 16a  1  cos2  d  cos   16a 3   cos3  cos5  
a .
2
2
2
3
2
5
2
15






0
0
3
Пример 15.3. Вычислить интеграл
 x
2

 y 2 dl , где L - контур
L
окружности x  y  2 x .
Решение.
2
2
Перейдем к полярным координатам по формулам перехода
x   cos , y   sin  .
Тогда уравнение данной окружности примет вид   2 cos ,
dl   2     d  4 cos2   4 sin 2  d  2 d .
2
Угол  меняется от 

до

, т.к. окружность расположена в I и
2
2
IV четвертях. По формуле (15.5) имеем
4
 x
2

2


2

2
1  cos 2
d 
2
0
 y 2 dl  2    d  2   4 cos2  d  16  

2

2
L



2
1


 8     sin 2   4.
2

0
15.4 Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
1) Длина кривой
Длина l кривой AB вычисляется по формуле
l   dl .
(15.7)
AB
2) Площадь цилиндрической поверхности
Если образующая поверхность параллельна оси OZ и ее
направляющей является кривая AB , лежащая в плоскости OXY , то
площадь поверхности, задаваемой функцией z  f  x, y  , находится по
формуле
S   f ( x, y)dl .
AB
3) Масса кривой
 x, y 
Если материальная кривая AB имеет плотность
точке M  x, y  , то её масса вычисляется по формуле
в
m   ( x, y)dl .
AB
4) Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей Ох и Оу соответственно
равны
 y  ( x, y)dl ,
M x
AB
M y
 x  ( x, y)dl
,
AB
а координаты центра тяжести вычисляются по формулам:
x
My
m

 x  ( x, y)dl
AB
 ( x, y)dl
AB
,
M
y x 
m
 y  ( x, y)dl
AB
 ( x, y)dl
AB
.
5
5) Моменты инерции
Моменты инерции I x , I y , I o материальной кривой AB
относительно осей Ох и Оу , начала координат О0,0 соответственно
равны
I x   y 2  ( x, y )dl ,
AB
Iy 
x
2
 ( x, y )dl ,
AB
2
I o   ( x  y 2 )( x, y )dl .
AB
Пример 15.4. Найти координаты центра тяжести однородной дуги
циклоиды
 x  a(t  sin t ),
если 0  t  2 (рис.81).

y

a
(
1

cos
t
)

Плотность считать равной единице в каждой точке кривой (   1).
Рисунок 81
Решение.
Учитывая симметрию кривой относительно
получаем абсциссу центра тяжести: х  а .
Найдем сначала массу кривой
m

dl 
OA
2
2

a 2 (1  cost )2  a 2 sin 2 t dt 
0
2
2
t
t
 2a  1  cos t dt  2a  sin dt   4a cos
 8a .
2
2
0
0
0
Тогда
y
 ydl
OA
m
2

 a (1  cos t ) a
2  1  cos t dt
0
8a
a 2 3 t
  sin
dt 
2 0
2
2
t

cos3 

2
t 
t
t

2   4a .
 a  1  cos2 d  cos   a cos 
2 
2
2
3 
3

0



0
прямой
х  а ,
6
4а 

Итак, искомый центр тяжести дуги – точка М  а,  .
3 

15.5 Криволинейный интеграл II рода
Пусть на кривой AB в плоскости OXY определены две
ограниченные функции Р х, у  и Q x, y  . Разобьём кривую AB на n
частей точками:
M 0  A, M 1 , M 2 ,  , M i 1 , M i ,  , M n  B .
_______
Обозначим проекции вектора М i 1 M i на оси координат через  x i
и  y i . На каждой частичной дуге М i 1 M i возьмем произвольную точку
M i и составим сумму для функций Р х, у  и Q x, y  :
*
n

(15.8)
 P(M  xi   Q(M *i )   yi  .
i 1
 i 1

Сумма (15.8) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й
д л я ф у н к ц и и Р х, у  по переменной х (для функции Q x, y  по
переменной у ).
Введем обозначения:
 l i - длина дуги М i 1 M i ,
  max  l i.
n
*
i) 
1i n
Если существует конечный предел интегральных сумм (15.8) при
  0 , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от
выбора точек в них, то его называют к р и в о л и н е й н ы м
и н т е г р а л о м в т о р о г о р о д а от функции Р х, у  ( Q x, y  )
по кривой AB и обозначают


 Р( х, у )dx   Q( х, у )dy  .
 АВ

AB
Обычно рассматривают сумму интегралов по координате х и по
координате у :
(15.9)
 Р( х, у) dx  Q( x, y) dy   P( x, y) dx   Q( x, y) dy .
АВ
AB
Интеграл (15.9) называют о б щ и м
интегралом второго рода.
AB
криволинейным
Теорема. Если функции Р х, у  и Q x, y  непрерывны на гладкой
кривой AB , то криволинейный интеграл существует.
Криволинейные интегралы второго рода обладают теми же
свойствами, что и криволинейные интегралы первого рода, только они
зависят от выбора направления кривой (от А к В или от В к А ): если
7
изменить направление обхода, то интеграл меняет знак, т.е.
 Р( х, у)dx  Q( x, y)dy    P( x, y)dx  Q( x, y)dy .
АВ
BА
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от
выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
Условимся называть направление п о л о ж и т е л ь н ы м , если
область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к
точке, совершающей обход.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L , пробегаемому
в положительном направлении, часто обозначают символом
 Р( х, у)dx  Q( x, y)dy .
L
15.6 Вычисление криволинейного интеграла II рода
Криволинейные интегралы второго рода сводятся к определенным
интегралам.
Для вычисления криволинейного интеграла второго рода
пользуются одной из следующих формул:
а) если кривая AB задана уравнением у   х  и при перемещении
из точки А в точку В х меняется от а до b , то

АВ
b
Рdx  Qdy   [ P( x, ( x))  Q( x, ( x))  ( x)]dx .
(15.10)
a
б) если кривая AB задана параметрическими уравнениями х  х(t ) ,
у  у (t ) и при перемещении из точки А в точку В параметр t меняется от
 до  , то

АВ

Рdx  Qdy   [ P( x(t ), y(t ))  x / (t )  Q( x(t ), y(t ))  y / (t )]dt .
(15.11)

Аналогично
определяется
криволинейный
интеграл
от
непрерывных функций в некоторой пространственной области функций
Р х, у, z  и Q x, y, z  по координатам вдоль дуги пространственной
кусочно-гладкой кривой L , расположенной в этой области:
 Р( х, у, z)dx  Q( x, y, z, )dy  R( x, y, z)dz .
L
Если кривая L задана параметрическими уравнениями х  х(t ) ,
у  у (t ) , z  z (t )   t   , то
 Р( х, у, z)dx
 Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz 
L

  [ P( x(t ), y (t ), z (t ))  x (t )  Q( x(t ), y (t ), z (t ))  y (t )  R( x(t ), y (t ), z (t ))  z (t )] dt .

8
Замечание. Криволинейные интегралы первого и второго рода
связаны соотношением:
 Рdx  Qdy   ( P cos  Q cos)d ,
АВ
AB
где  и  - углы, образованные касательной к кривой AB в точке M  x, y 
с осями Ох и Оу соответственно.
Пример 15.5. Вычислить
 х
2



 2 xy dx  у 2  2 xy dy , где L - дуга
L
параболы y  x , пробегаемая от точки А(1, 1) до точки В(1, 1) (рис.82).
2
Рисунок 82
Так как при движении из точки А в точку В x меняется от  1 до
1 , то по формуле (6.1) имеем
1
2
2
 2
2
2 2
2
2 
 ( x  2 xy ) dx  ( y  2 xy ) dy    x  2 x  x  x  2 x  x  x  dx 
L
1

  


1
 х3 х 4 х 6 4 x5 
2
3
5
4
 
  x  2 x  2 x  4 x dx     
3 2

3
5
1

 1
1 1 1 4 1 1 1 4
14
         .
3 2 3 5 3 2 3 5
15
1


15.7 Формула Грина
Между двойным интегралом по области D и криволинейным
интегралом по границе L этой области существует связь, определяемая
формулой Грина.
Пусть L - кусочно-гладкий контур на плоскости OXY , а D ограниченная этим контуром замкнутая область.
Теорема. Если функции Р х, у  и Q x, y  непрерывны в области D
и имеют в этой области непрерывные частные производные, то
справедлива формула
 дQ дР 
(15.12)
  дх  ду  dxdy   P( x, y ) dx  Q( x, y ) dy .

D 
L
9
Формула (15.12) называется ф о р м у л о й Г р и н а .
Пример 15.6. С помощью формулы
криволинейный интеграл
2
2
2
 2 х  у dx  x  y  dy ,

Грина
вычислить

L
где L - контур треугольника с вершинами в точках А(1, 1) ,
С (1, 3) (рис.83).
В(2, 2) и
Рисунок 83

Решение.
Применим формулу Грина (7.1). В данном случае Р  2 x 2  у 2 ,



2
Q  x  y , поэтому
дQ
дР
 2 ( х  у) ,
 4у .
дх
ду
Тогда получаем
2
2
 2 ( x  y )dx  x  y  dy   [2( x  y)  4 y]dxdy 
2
L
D
2
4 x
1
x
 D  ( х, у) : 1  х  2, х  у  4  x  2 dx  ( x  y) dy 
2
  ( x  y)
1
2 4 x
x
4
dx   ( x  2)
3
32
1
4
 .
3
15.8 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от
пути интегрирования
Плоская область D называется о д н о с в я з н о й , если для
любого замкнутого контура L , лежащего в этой области, ограниченная им
часть плоскости целиком принадлежит области D .
10
Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл
 P dx  Q dy
не
L
зависел от пути интегрирования в односвязной области D , в которой
функции Р х, у  и Q x, y  непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой
области выполнялось условие
дР дQ
.
(15.13)

ду дх
Если выполнено условие (15.13) и L - замкнутый контур, то
(15.14)
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy  0 .
L
Если выполнено условие (15.13), то выражение
 P dx  Q dy
L
является полным дифференциалом некоторой функции, определенной в
области D , т.е.
Р( х, у)dx  Q( x, y)dy  dU ( x, y) .
Пример 15.7. Вычислить интеграл

L
x dx  y dy
x y
2
2
, где L - окружность
( х  1)  ( у  1)  1 .
2
2
Решение.
Здесь P 
x
x2  y2
, Q
y
. Получаем
x2  y2
2 ху
дР дQ
.


2 2
2
ду дх
х у


Так как условие (15.13) выполняется и контур L замкнутый, тогда
по формуле (15.14) данный интеграл равен нулю.
15.9 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
1) Площадь плоской области
Площадь S плоской области D , расположенной в плоскости OXY и
ограниченной замкнутой линией L , находится по формуле
1
(15.15)
S   xdy  ydx ,
2L
где направление обхода контура L выбрано так, что область D все время
слева от пути интегрирования.
11
2) Работа силы



Работа, совершаемая переменной силой F  P( x, y )  i  Q( x, y )  j
вдоль кривой L , находится по формуле
(15.16)
А   P( x, y)dx  Q( x, y)dy .
L



Пример 15.8. Вычислить работу силы F  xy  i  ( x  y )  j при
перемещении материальной точки по прямой y  x из точки О0,0 в
точку M 1, 1 .
Решение.
Из формулы (15.16) следует, что
А
1
 хуdx  ( x  y )dy   ( x
ом
0
1
2
 x  x)dx   ( x
0
1
2
 x3

1
4
 2 x)dx    x 2    1  .
3
3
0 3