Элективный курс "Решение задач, содержащих параметры"

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Барнаульский государственный педагогический университет»
Краевое государственное общеобразовательное учреждение лицей-интернат
«Алтайский краевой педагогический лицей»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТРЫ
методический блок для педагогов элективного курса
Автор:
Варкентина Татьяна Ивановна, учитель
математики высшей квалификационной
категории
Барнаул - 2006
АННОТАЦИЯ
1. Минимальные требования к содержанию курса.
Реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное
образование.
Это
требует
не
просто
полноценной
базовой
общеобразовательной подготовки, но и, что более важно, профильной
подготовки учащихся, т.к. все больше специальностей (экономика, бизнес,
финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и
многое другое) требуют высокого уровня математического образования.
Учебный материал, предлагаемый в данном элективном курсе,
систематизирован по темам школьных курсов алгебры (5-9 классы) и алгебры
и начал анализа (10-11 классы) и логически выстроен таким образом, чтобы
решение задач осуществлялось от простых к более сложным. Задачи
предлагаются как примеры задач блоков В и С единого государственного
экзамена.
Курс состоит из задач школьного курса математики среднего и
старшего звена, предусматривающих решение линейных, квадратных,
показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и
неравенств, а также использование свойств функции. Он носит практическую
направленность, поэтому основная часть его – это задачи, а теоретический
материал (который выделен в отдельный блок) носит характер повторения,
обобщения и систематизации уже изученного на уроках. Набор задач,
предложенный в курсе, не выходит за рамки школьной программы и
достаточно разнообразен по формулировкам заданий и по способам решения.
2. Цели курса
Цель данного курса – создание условий для формирования знаний и
умений, необходимых для решения задач, содержащих параметры,
формирования целостного представления о методах их решения,
рассмотрение различных типов заданий, подготовка учащихся к выпускным
экзаменам.
3. Задачи курса:
 систематизировать и обобщить ранее изученный материал и
рассмотреть его на более высоком уровне сложности,
 изучить методы и способы решения различных типов задач,
 формировать у школьников умения применять свои знания из разных
разделов школьного курса математики для конструирования способа
решения задачи в нестандартной ситуации,
 формировать действия самоконтроля у школьников,
 развивать логическое мышление школьников,
 развивать творческие способности школьников при конструировании
способов решения задач высокого уровня сложности,
 воспитывать рациональность и креативность мышления учащихся.
2
4. Взаимосвязь курса с другими дисциплинами учебного плана
Задачи, содержащие параметры, являются своего рода критерием
усвоения учебного материала. Они присутствуют в вариантах выпускных
экзаменов за курс общеобразовательной школы и во вступительных заданиях
по математике. Решение таких задач открывает перед школьниками
значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для
математического образования, которые можно применять в исследованиях на
любом другом учебном материале любых других предметов физикоматематического, химико-биологического, физико-химического, социальноэкономического профилей.
Задачи, рассматриваемые в данном элективном курсе, представляют
также достаточно широкое поле для полноценной учебной деятельности, в
процесс которой включаются такие общеучебные умения и навыки, как
индукция, дедукция, обобщение, конкретизация, анализ, синтез,
классификация, систематизация, абстрагирование, аналогия и т. п.
5. Ожидаемые результаты освоения курса:
В результате изучения курса учащийся должен
- понимать, что такое параметр;
- уметь анализировать условия решаемых задач;
- уметь выбирать наиболее оптимальные способы решения задач;
- уметь применять знания из разных разделов школьного курса математики
для конструирования способа решения задачи в нестандартной ситуации;
- уметь решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения
и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения и
неравенства, содержащие параметры;
- уметь решать уравнения, неравенства, содержащие параметры, с
применением графических представлений, свойств функции, производной;
- иметь представление о типах задач блока С единого государственного
экзамена.
6. Тематический план
Темы
Количество часов
Выполнение Самостоятельная Выполнение Выполнение
практических работа
тестов
итоговой
заданий
работы
Тема 1.
Что такое параметр?
1час
Тема 2.
Решение 3 часа
линейных уравнений
и
неравенств,
содержащих
параметры
0,5 часа
0,5 часа
2 часа
1 час
3
Тема 3.
Решение
квадратных уравнений
и
неравенств,
содержащих
параметры
Тема 4. Свойства
функций
Тема 5. Производная
и ее применения
Тема 6. Параметры в
тригонометрии
Тема 7.
Решение
показательных
и
логарифмических
уравнений
и
неравенств,
содержащих
параметры
Тема 8.
Решение
задач
ЕГЭ,
содержащих
параметры
ИТОГО
4 часа
5 часов
1 час
2 часа
3 часа
1 час
2 часа
3 часа
1 час
3 часа
4 часа
1 час
4 часа
5 часов
1 час
4 часа
6 часов
23 часов
28,5 час
2 часа
6,5 час.
2 часа
4
СТРУКТУРА
МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
ВВЕДЕНИЕ
В каждой теме все задачи разбиты на четыре группы. Первая группа
(«Решение задач») предназначена для совместной работы учителя и ученика.
В этом разделе предложены решения задач. В процессе работы над каждой
задачей ученикам предлагаются вопросы, которые помогут составить
представление о способах и методах работы с такими задачами. При
решении задач предусмотрены также интерактивные ссылки на
соответствующую теорию. После того как работа над заданием завершена, не
следует сразу переходить к следующему. Необходимо еще раз просмотреть
решение с целью: проанализировать способ и метод решения, обратить
внимание на то, что было трудно, сформулировать вопросы и ответы на них с
помощью раздела «Теория» или изложенного решения. Только после этого
можно переходить к решению следующего задания.
Вторая группа («Задания для самостоятельной работы») предназначена
для самостоятельной работы. В этой группе подобраны задачи для
самостоятельной работы, предполагающие самостоятельную проверку
результатов при нажатии на «ОТВЕТ».
В третьей группе («Дополнительные задания») содержится ряд
аналогичных заданий тем, что предлагались в первых двух группах, поэтому
есть возможность закрепить полученные навыки при выполнении подобных
заданий.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
Форма итоговой аттестации – итоговый тест, содержащий задания всех
тем элективного курса.
5
Тема: Что такое параметр?
Продолжительность ___2_____ часа
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для понимания того факта, что параметр хотя и
фиксированное число, но неизвестное;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
- Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция;
- Квадратные уравнения и неравенства.
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
решения
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятии предполагается решение простейших задач, которые
показывают, что параметр – это фиксированное число, но неизвестное
(может принимать различные значения), при этом необходимо уделить
внимание записи ответа (соответствия вывода и требования задачи).
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами.
6
1. Сравнить числа а и –а.
Решение.
Рассмотрим три случая:
o а>0
В этом случае а – число положительное.
Тогда каким числом будет –а?
-а – отрицательное число.
Значит, а > -а (так как любое положительное число больше любого
отрицательного).
o а<0
В этом случае а – число отрицательное.
Тогда каким числом будет –а?
-а – положительное число.
Значит, а < -а (так как любое положительное число больше любого
отрицательного).
o а=0
В этом случае а = 0 и -а = 0.
Значит, а = -а.
Ответ. Если а>0, значит, а > -а,
если а<0, значит, а < -а,
если а = 0, значит, а = -а.
2
2. Решить уравнение ( x  a) x  1  0 .
Решение.
Левая часть уравнения представляет собой произведение.
Когда произведение равно нулю?
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю,
а другой при этом существует.
 x  a  0,
  x  a,
 2
 2
Значит,  x  1  0, т.е.  x  1,
 x 2  1  0,
 x 2  1.


При a   ;1  1; уравнение имеет три корня: а; -1 и 1.
Сколько корней и каких имеет уравнение при других значениях а?
При a   1;1 уравнение имеет два корня: -1 и 1.
Ответ. Если a   ;1  1; , то корни уравнения – а; -1; 1,
если a   1;1 , то корни уравнения – 1; -1.
3. При каких а уравнение (а + 4)х2 + 6х – 1 = 0 имеет единственное решение?
Решение.
При решении данного уравнения обратим внимание на то, что при
а = -4 коэффициент при х2 обращается в нуль, значит, данное уравнение
будет линейным («Квадратные уравнения и неравенства») и, следовательно,
имеет единственное решение: х = 1/6.
При а ≠ -4, данное уравнение является квадратным.
7
В каком случае квадратное уравнение имеет единственный корень?
Квадратное уравнение имеет единственное решение при D = 0
(«Квадратные уравнения и неравенства»).
Вычислите значение а, при котором D = 0.
Заданное уравнение имеет единственный корень при а = -13.
Ответ. -4; -13.
4. При каких значениях параметров а и b прямые ax  2 y  1 и 10 x  6 y  b  3
не имеют общих точек?
Решение.
Запишите уравнения прямых в виде: у = kx + m.
a
1
5
b3
y   x
и y  x
2
2
3
6
Прямые не имеют общих точек, значит, они параллельны.
Сформулируйте
условие
параллельности
прямых,
заданных
уравнениями. («Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция».)
 a 5
 2  3 ,
Данные прямые параллельны при 
 1   b  3 .
 2
6
Решите данную систему.
10

a   ,
3

b  0.
Ответ. Прямые параллельны при a  
10
и b  0.
3
6. Задания для самостоятельной работы.
1. Решите уравнение x  a .
ОТВЕТ.
Если а = 0, то решение уравнения – 0,
если а > 0, то решение уравнения – а и –а,
если а < 0, то уравнение решений не имеет.
2. Решите уравнение x  a .
ОТВЕТ.
Если а = 0, то решение уравнения – 0,
если а > 0, то уравнение решений не имеет,
если а < 0, то решение уравнения – а2.
xa
0.
3. Решите уравнение
x 1
ОТВЕТ.
Если а ≤ 1, то уравнение решений не имеет,
если а > 1, то решение уравнения – а.
2
4. Решите неравенство x  a  0 .
ОТВЕТ.
Если а ≠ 0, то неравенство решений не имеет,
если а = 0, то решение неравенства – 0.
8
 x  3,
5. При каких а система 
не имеет решений?
x  a
ОТВЕТ.
При всех таких а, что а ≤ 3.
6. Найдите все значения а, при которых уравнение ( x  a )( x  9)  0
имеет единственное решение
ОТВЕТ.
При всех таких а, что а = 81 или а < 0.
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №1.
9
Тема: Решение линейных уравнений и неравенств, содержащих
параметры
Продолжительность ___6_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования знаний и умений для решения
различных типов задач, содержащих линейные уравнения и
неравенства с параметрами;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
- Модуль числа и его свойства
- Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция
- Свойства функций
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры решения
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятии предполагается рассмотреть задачи, обозначенные на
предыдущем занятии, но более высокого уровня сложности, и
соответствующие указанной теме.
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает не
только пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами, но и самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения).
10
1. Решить уравнение (а²-1)х = а-1.
Решение.
При решении данного уравнения обратим внимание на то, что при
а = 1 и а = -1 коэффициент при х обращается в нуль, а делить на 0 нельзя.
Рассмотрим три случая:
o а = 1.
В этом случае заданное уравнение примет вид: 0 · х = 0.
Решением этого уравнения является любое действительное число, так как
любое действительное число обращает данное равенство в верное.
o а = -1
Какой вид примет заданное уравнение?
В этом случае заданное уравнение примет вид: 0 · х = -2.
Какие числа являются решениями этого уравнения?
Это уравнение не имеет решений, так как ни одно из действительных
чисел не обращает данное равенство в верное.
1
o а ≠ 1 и а ≠ -1.
Выразим х: x 
.
a 1
Ответ. Если а = 1, то решение - любое действительное число,
если а = -1, то решений нет,
1
если а ≠ 1 и а ≠ -1, то решением является число
.
a 1
2
2. Решить неравенство x  5  1  a .
Решение.
При решении данного неравенства используем свойства модуля
(«Модуль числа и его свойства»).
Рассмотрим два случая:
o 1 – а2 ≤ 0
Какие значения принимает а?
a   ;1  1; . При таких значениях а число (1 – а2) является
неположительным. Значит, по определению модуля, неравенство решений
не имеет.
o 1 – а2 > 0
Какие значения принимает а?
a   1;1 . При таких значениях а число (1 – а2) является положительным.
Значит,
x  5  1  a 2 ,

2
 x  5  (1  a )
x  6  a 2 ,
2
2

значит, x   ;4  a  6  a ;
2
 x  4  a ,

 

Ответ. Если a   ;1  1; , то решений нет,
a   1;1 , то
решения
 ;4  a 2   6  a 2 ;
если
неравенства
-
11
3. Решите неравенство ( x  1) x  a  0
Решение.
Левая часть представляет собой произведение двух множителей.
Когда произведение неотрицательно?
Когда оба множителя неотрицательны или оба множителя
неположительны одновременно.
x  a  0 при любом значении х по определению модуля («Модуль числа и его
свойства»). Значит, x 1 0 , т.е. x  1 .
Обратим внимание на то, что возможны несколько случаев
расположения числа а относительно 1. Рассмотрим их.
Решения неравенства - 1; .
а>1
1
а
х
Решения неравенства - 1; .
а=1
1= а
х
Решения неравенства - 1;  a
а<1
а
1
х
Ответ. Если а ≥ 1, то решения неравенства - 1; ;
если а < 1, то решения неравенства 4.
Найти
все
значения
(a  2) x  (a  3) y  2a  1  0
1;  a.
параметра,
при
котором
прямые
(a  1) x  (2a  6) y  (a  1)  0
и
параллельны.
Решение.
Обратим внимание на коэффициенты при у.
Очевидно, что необходимо рассмотреть два случая:
o а = 3. Какой вид принимают уравнения прямых в этом случае?
5х+5=0 и 2х-2=0 соответственно, т.е. х=-1 и х=1.
Данные прямые являются параллельными.
o а≠3
Запишите уравнения прямых в виде: у = kx + m.
y
a2
2a  1
a 1
a 1
x
x
и y
a 3
a 3
2a  6
2a  6
Сформулируйте условие параллельности прямых, заданных уравнениями.
(«Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция».)
Какое уравнение необходимо решить?

a2
a 1

a 3
2a  6
при а ≠ 3. Решите это уравнение самостоятельно.
Сравните результат.
Ответ. -5; 3.
а = -5.
12
5. Для каждого значения а найдите число корней уравнения x  1  ax  2 .
Решите задание самостоятельно.
ПОМОЩЬ
Первая подсказка. Исследуйте: всегда ли данное уравнение имеет решения?
Помочь себе можно, сделав чертеж графиков функций: y  x  1 и y  ax  2
(«Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция»).
Вторая подсказка. При решении используйте определение модуля числа.
(«Модуль числа и его свойства»).
Третья подсказка.
Решение.
Данное уравнение всегда имеет решение, так как x  1  0 при любом
значении х, значит, график функции y  x  1 лежит не ниже оси Ох, а
график функции y  ax  2 при любых значениях а и х проходит через точку
(0;2), значит, также проходит в первой и третьей координатных
четвертях.
На основании определения модуля («Модуль числа и его свойства»)
рассмотрим два случая: x  1 и x  1 .
1) x  1
x  1  ax  2
3
(1  a) x  3 , значит, x 
1 a
3
 1.
Так как корни должны обращать неравенство x  1 в верное, то
1 a
2a
0.
Значит,
1 a
2a
Выделим интервалы, в которых функция f (a ) 
непрерывна и не
1 a
обращается в нуль, то есть сохраняет свой знак постоянным.(«Свойства
функции», метод интервалов)
+
-2
1
а
-2
-1
а
2a
 0 при a   2;1
1 a
2) x  1
Самостоятельно проведите решение аналогично. Сравните результат.
+
+
2a
 0 при a   ;2  1;
1 a
13
Значит, при a   1;1 уравнение имеет два
a   ;1  1; уравнение имеет один корень.
корня,
а
при
Ответ. Если a   1;1 , то два корня,
если a   ;1  1; , то один корень.
6. Задания для самостоятельной работы.
1.
Решите уравнение (9 - а² )х = а - 3
ОТВЕТ.
Если а = 3, то решение - любое действительное число,
если а = -3, то решений нет,
1
если а ≠ 3 и а ≠ -3, то решением является число 
.
a3
2.
3.
4.
5.
6.
Найти значения а, при которых равенство
верно при всех значениях х.
ОТВЕТ.
-0,25
Указать, при каких значениях параметра а уравнение
0,5(5 x  1)  4,5  2a( x  2) имеет бесконечно много решений
ОТВЕТ.
-1,25
Указать, при каких значениях параметра а уравнение a 2 x  a( x  2)  2
не имеет решений
ОТВЕТ.
0
Решить неравенство x  3  2a .
ОТВЕТ.
Если а = 0, то решения неравенства - 3,
если а < 0, то неравенство решений нет,
если а > 0, то решения неравенства - 3  2a;2a  3
Решить неравенство (a 2  2a  3) x  a  0


a
 ,
ОТВЕТ.
Если a   ;1  3; , то x    ;
(
a

1
)(
a

3
)



7.
3 x  5a
2
 (  3) x  5  x
a
a

;  ,
если a   1;3 , то x  
(
a

1
)(
a

3
)


если а = 3, то решения неравенства – любое число,
если а = -1, то решений нет.
ax  1 ax  1

Решить неравенство
a 1
a
ОТВЕТ.
a


Если a   ;0  0;1 , то решения неравенства -   ;  2  ,
1
a


1

если a  1; , то решения неравенства -   2;  ,
a

если а = 1 и а = 0, то решений нет.
14
котором прямые
(a  2) x  (a  3) y  2a  1  0 и (a  1) x  (2a  6) y  (a  1)  0 сливаются.
ОТВЕТ.
Таких значений параметра нет.
9.
Найти все значения параметра, при котором прямые
(a  5) x  2 y  a  7 и (a  1) x  ay  3a параллельны.
ОТВЕТ.
2; 1
10. Для каждого значения а найдите число корней уравнения
x  1  3  ax .
8.
Найти
все
значения
параметра,
при
Если a   1;1 , то два корня,
если a   ;1  1; , то один корень.
11. Для каждого значения а найдите число корней уравнения
x  2  1  a  2x .
ОТВЕТ.
При любом значении а уравнение имеет один корень.
ОТВЕТ.
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №2.
15
Тема: Решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих
параметры
Продолжительность ___10_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования знаний и умений для решения
различных типов задач, содержащих квадратные уравнения и
неравенства с параметрами;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для развития логического мышления
школьников;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Квадратные уравнения и неравенства
– Свойства функций
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
решения
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятии предполагается рассмотреть задачи, обозначенные на
предыдущем занятии, но более высокого уровня сложности, и
соответствующие указанной теме.
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает не
только пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
16
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами и самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения). В данной теме предусмотрен еще один вид
заданий: представленные блоки решения расставить в логической
последовательности.
a2
16
2
x
1. При каком значении параметра квадратный трехчлен y  ax 
2
a
является полным квадратом?
Решение.
Квадратный трехчлен является полным квадратом, если имеет вид:
(m  n) 2  m 2  2mn  n 2 .
a2
16
x  ) должно иметь вид: (m 2  2mn  n 2 ) .
Значит, выражение (ax 
2
a
2
Сравните эти два выражения и составьте необходимое равенство.
Сравните результат.
2
 a2 
 16 
   a   
a
 4 
Найдите значение а, решив это уравнение.
а = 4 или а = -4
Ответ. -4; 4.
ax 2
 (a  1) 2
2. Решить уравнение
x 1
Выполните задание самостоятельно.
ПОМОЩЬ
Первая подсказка. Найдите область допустимых значений х. Запишите
уравнение в виде: ax  bx  c  0
(«Квадратные уравнения и
неравенства»).
Вторая подсказка. Решите квадратное уравнение относительно переменной
х.
Третья подсказка.
Решение.
Данное уравнение имеет смысл при всех х, отличных от 1.
2
Учитывая это, можно записать уравнение в виде
(«Квадратные уравнения и неравенства»).
ax 2  bx  c  0
ax 2  (a  1) 2 x  (a  1) 2  0 .(*)
При а = 0 уравнение является линейным и имеет корень – 1. Но число 1 не
может быть корнем заданного уравнения.
Решим уравнение (*) при а ≠ 0. («Квадратные уравнения и неравенства»).
Проведите решение самостоятельно. Сравните результат.
D  (a  1) 4  4a(a  1) 2
17
D  (a  1) 2 (a  1) 2
Значит, x  a  1 или x 
Ответ.
а+1;
a 1
a
a 1
a
2
2
3. Найти а, при которых уравнение ax  3x  2a  3  0 имеет только
целые корни.
Решение.
Каков вид данного уравнения?
При а=0 данное уравнение имеет вид 3х – 3 = 0 (т.е. при а=0 уравнение
линейное) и имеет корень – 1 (корень – целое число).
При а≠0 уравнение квадратное. («Квадратные уравнения и неравенства»)
В каком случае квадратное уравнение имеет решения?
Данное уравнение имеет решения при D ≥ 0. («Квадратные уравнения и
неравенства»).
2
Значит, необходимо решить следующее неравенство: 9  4a(2a  3)  0 .
-8а3+12а+9≥0,
-8а3+27+12а+9-27≥0,
-((2а)3-33)+12а-18≥0,
-(2а-3)(4а2+6а+9)+6(2а-3)≥0,
(2а-3)(-4а2- 6а-3)≥0. Решите полученное неравенство.
3
-4а2- 6а-3≤0 при любом значении а, значит, 2а-3≤0, т.е. a 
.
2
Так как корни заданного уравнения должны быть целыми, то их сумма и
произведение также целые числа. Опираясь на теорему Виета
(«Квадратные уравнения и неравенства») составьте равенства.
3
3
Если х1 и х2 корни заданного уравнения, то х1 + х2 =  и х1 · х2 = 2a  ,
a
a
3
то есть числа 
и 2a должны быть целыми. Очевидно, что а может
a
3
3
1 1
быть равно следующим числам:  , -1,  ,
, 1,
. Проверьте при
2
2
2 2
каких значениях а корни заданного уравнения являются целыми числами?
3
1
При а равных 
или
.
2
2
3
1
Ответ.  ; 0;
.
2
2
18
4. Решите уравнение ( x  1) x  a  0 .
Решение.
Левая часть уравнения представляет собой произведение.
Когда произведение равно нулю?
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю,
а другой при этом существует.
 x  a  0,
  x  a,
 2
 2
Значит,  x  1  0, т.е.  x  1,
 x  a  0,
 x  a.


Рассмотрим возможные варианты.
а>1
Корень уравнения - а
-1
1 а
х
а=1
Корень уравнения - 1
-1
1= а
х
-1 < а < 1
Корни уравнения - а; 1
-1
а
1
х
а = -1
Корни уравнения - 1; -1
-1
1
х
а < -1
Корни уравнения - а; -1; 1
а -1
1
х
2
Ответ. Если а > 0, то корень уравнения - а;
если а = 1, то корень уравнения - 1;
если -1 < а < 1, то корни уравнения - а; 1;
если а = -1, то корни уравнения - 1; -1;
если а < -1, то корни уравнения - а; -1; 1.
5. При каких значениях q один из корней уравнения 4 x 2  (3  2q) x  2  0 в 8
раз меньше другого?
Решение.
Задание можно переформулировать следующим образом: при каких
значениях q отношение корней уравнения 4 x 2  (3  2q) x  2  0 равно 8? Данное
уравнение по определению является квадратным. («Квадратные уравнения и
неравенства»)
Найдите корни этого уравнения.
3  2q  4q 2  12q  23
x
8
или
3  2q  4q 2  12q  23
x
8
Составьте отношение корней и найдите, при каких значениях q оно равно 8.
Проверьте некоторые промежуточные результаты.
9  4q 2  12q  23  21  14q
q 2  3q  18  0
q = -6
или
q=3
Ответ.
-6; 3
19
6. Указать все значения параметра, при которых графики функций имеют две
a
6
общие точки, если y  3x 2  ax и y   .
Решение.
Заметим, что при а = 0 графики функций имеют одну общую точку,
а при а > 0 вообще таких точек не имеют. Поэтому будем рассматривать
все отрицательные значения а.
Построим графики функций.
Графиком функции y  3x 2  ax является парабола, ветви которой
направлены вверх. («Квадратные уравнения и неравенства»)
Найдите абсциссу и ординату вершины параболы. («Квадратные уравнения
и неравенства»)
 a
 6
Вершина параболы находится в точке   ;
a2 
.
12 
Найдите точки пересечения параболы с осью Ох.
a
(0; 0) и   ;0 
 3 
Построим теперь график функции
y  3 x 2  ax ,
преобразуя параболу
y  3x 2  ax .
Графиком функции
y
a
6
является прямая, параллельная оси Ох и
a
проходящая через точку  0; 

6
Очевидно, чтобы найти все значения параметра, при которых графики
функций имеют две общие точки, необходимо решить неравенство
a a2
 
. Решите данное неравенство.
6 12
Решение неравенства - (-2; 0).
Ответ.
(-2; 0)
20
9. При каких а множество решений неравенства x 2  a(1  a 2 ) x  a 4  0
содержится в интервале (-3; -1)?
Решение.
Решите задание самостоятельно, а затем расставьте приведенные ниже
части решения в необходимом порядке, записав их номера без запятых и
пробелов в прямоугольнике.
1. В данном случае заданное неравенство решений
не имеет.
2
2 2
o a (1  a )  0
2. Заметим, что a 2 (1  a 2 )2  0 при любом значении а.
Рассмотрим два случая:
o а=0
3. Так как решения заданного неравенства должно находиться в интервале
3
(-3; -1), то рассмотрим отрицательные корни, значит, a  a
х
4. Найдем сначала корни уравнения x  a(1  a ) x  a 4  0
5. D = 0, значит, корень уравнения один и он равен 0.
2
2
(*).
х
0
6. D  a 2 (1  a 2 ) 2  4a 4  a 2  2a 4  a 6  a 2 (1  a 2 ) 2 .
7. D  0 , уравнение (*) имеет два корня: а и а3.
8. Значит, значения а должны являться решением системы:
a   3 3 ,
a 3  3,

т.е. 
a


1
;
a  1.

3
Ответ.  3;1 .


Ответ: 46251738
6. Задания для самостоятельной работы.
1. При
каком
значении
параметра
квадратный
трехчлен
y  x  ax  a  3 является полным квадратом?
2
ОТВЕТ.
-6; 2
21
2
2. При каких значениях параметра а уравнение x  ax 
1
 0 имеет одно
4
решение?
ОТВЕТ.
-1; 1
3. Решить уравнение
( x  a) 2  x( x  a)  x 2 19

( x  a ) 2  x( x  a)  x 2
7
Если a  0 , то решения уравнения - 3а; -2а,
если а = 0, то корней нет.
Указать все значения параметра, при которых графики функций имеют
две общие точки, если y  x 2  2ax и y  3a .
ОТВЕТ.
(0; 3)
Исследовать, сколько корней в зависимости от значений параметра
имеет уравнение 3x( x  1)2  kx .
ОТВЕТ.
Если k  0 , то уравнение имеет два корня,
если k  0 , то уравнение имеет три корня,
если k  0 , то уравнение имеет 1 корень.
Найти значения р, при которых отношение корней уравнения
2 x 2  ( p  10) x  6  0 равно 12.
ОТВЕТ.
-3; 26
Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
x 2  (a  1) x  1  0 и x 2  x  a  1  0 имеют хотя бы один общий
корень.
ОТВЕТ.
-1; 2
Найти все действительные значения т, при которых решением
неравенства
является
множество
всех
m(m  2) x 2  2mx  2  0
действительных чисел.
 ;4  0;
ОТВЕТ.
Решить неравенство ax 2  (2a  1) x  a  2  0
ОТВЕТ.
Если
то
решение
неравенства
a  0,
ОТВЕТ.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1
 1

 (2a  1  1  4a ); (2a  1  1  4a )  ,
2a
 2a

1
0a ,
если
то
решение
неравенства
4
1

  1

  ; (2a  1  1  4a )    (2a  1  1  4a );  ,
2a

  2a

1
a ,
если
то решение неравенства – любое
4
действительное число,
если a  0 , то решение неравенства -  2; ,
если a  , то решение неравенства -  ;3   3;
1
4
22
10.При каких значениях параметра т неравенство  6 
2 x 2  mx  4
4
x2  x  1
выполняется для всех действительных чисел х
ОТВЕТ.
(-2; 4)
2
11.При каких значениях параметра квадратный трехчлен ax  7 x  4a
принимает отрицательные значения для любых действительных чисел?
ОТВЕТ.
 ;1,75
12.При
каких
значениях
параметра
корни
уравнения
4 x 2  3mx  x  m  2  0 заключены в промежуток между -1 и 2.
ОТВЕТ.
3 12
( ; )
2 7
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №3.
23
Тема: Свойства функции
Продолжительность ___6_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования знаний и умений применять
свойства функций при решении задач, содержащих параметры;
 создание условий для формирования умения выбирать наиболее
оптимальные способы решения задач;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Квадратные уравнения и неравенства
– Свойства функций
– Тригонометрические функции, выражения, уравнения и неравенства
– Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
решения
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятиях предполагается рассмотреть задачи, связанные с такими
свойствами функций, как четность, периодичность, монотонность,
экстремальные свойства (точки максимума, минимума, экстремумы
функции), задачи, в которых необходимо найти область определения,
множество значений функции.
24
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами и самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения).
a
4  0 выполняется при
1. Найти все значения а, при которых неравенство
x  2a
всех х, таких, что 2  x  4 .
x
Решение.
При решении данного неравенства рассмотрим три случая.
1) а = 0.
В этом случае неравенство принимает вид: 1<0. Значит, при а = 0
заданное неравенство не имеет решений.
2) а>0.
Решим заданное неравенство методом интервалов. («Свойства
a
4 равно нулю
функции»). Точки, в которых значение функции f ( x) 
x  2a
a
( ) или в которых функция не определена (2а), разбивают область ее
4
x
определения на интервалы, в каждом из которых f сохраняет
постоянный знак, который можно определить, вычислив значение f в
какой-нибудь точке интервала.
+
+
a
4
2а
х
Чтобы неравенство выполнялось при всех х, таких, что 2  x  4 ,
необходимо чтобы имела решения следующая система:
a
  2,
4
2a  4;
a  8,
a  2;
значит, 
3) а<0.
В этом случае
результат.
2a8
решение
проведите
самостоятельно.
Сравните
a
4  0 выполняется при
Таких значений а, при которых неравенство
x  2a
всех х, таких, что 2  x  4 , нет.
Ответ. 2  a  8 .
x
25
2. При каких значениях параметра а функция y  f ( x  a) является
27
x
нечетной, где f ( x)  3  x
3
Решение.
Найдем область определения функции, а затем воспользуемся
определением нечетной функции. («Свойства функции»).
D(у) = R, по свойствам показательной функции («Свойства функции»).
Так как функция нечетная, то при всех действительных х справедливо
равенство y(-x) = -y(x). («Свойства функции»).
Составьте соответствующее уравнение.
27
f ( x  a )  3x  a  x  a
3
27
27
y (  x)  3  x  a   x  a
 y( x)  3 x  a  x  a
3
3
27
27
 xa
  x  a  3 x  a  x  a
Значит, 3
3
3
Решите это уравнение самостоятельно.
ПОМОЩЬ
Первая подсказка. Перенесите все слагаемые в левую часть и сгруппируйте,
применив операции над степенями. («Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства»).
Вторая подсказка.
27
27
3 xa   xa  3 xa  xa  0
3
3
x
a
3
xa
x
3  3  3  3  3  3 a  33  3  xa  0
3 x  (3 a  33 a )  3  x  (3 a  33 a )  0
(3 a  33 a )(3 x  3  x )  0 Так как решениями данного уравнения должны быть
все действительные числа, то 3 a  3 3a  0 .
(«Показательные и
логарифмические уравнения и неравенства»). Решите получившееся
уравнение самостоятельно.
а = 1,5
Ответ 1,5
3. При каких значениях параметра а число
y

является периодом функции
2
cos 2 x
?
3a  sin 2 x
Решение.

являлось периодом указанной функции, необходимо
2
выполнение равенства y ( x   )  y ( x) при всех допустимых х, по определению
Для того чтобы число
периодической функции. («Свойства функции»).
Составьте соответствующее уравнение и решите его.
26
cos 2( x 

2
)
3a  sin 2( x 

2

)
cos( 2 x   )
cos 2 x

3a  sin( 2 x   ) 3a  sin 2 x
cos 2 x
;
3a  sin 2 x
 cos 2 x
cos 2 x

3a  sin 2 x 3a  sin 2 x
Данное равенство справедливо лишь при а = 0.
Ответ. 0
4. Найти все значения а, при которых выражение (a  1) x 2  2(a  1) x  3a  3
имеет смысл при всех действительных числах.
Решение.
Данное задание можно переформулировать следующим образом:
найти все значения а, при которых областью определения функции
y  (a  1) x 2  2(a  1) x  3a  3 являются все действительные числа.
Значит, для всех действительных чисел должно выполняться неравенство
(a  1) x 2  2(a  1) x  3a  3  0 .
(«Квадратные уравнения и неравенства»). Решите данное неравенство
самостоятельно.
Сначала запишем уравнение (a  1) x 2  2(a  1) x  3a  3  0
D  4(a  1)( 2a  2)
Чтобы неравенство было справедливо при всех действительных х, то D  0
Составим неравенство и решим его.
4(a  1)( 2a  2)  0
(a  1)( a  1)  0
Неравенство
a   ;1  1;
справедливо
при
всех
а,
таких
что
Выражение (a  1) x 2  2(a  1) x  3a  3 имеет смысл при всех действительных
числах при таких а, что a   ;1  1;
Ответ.  ;1  1;
5. При каком значении m функция y  log 1 ( x  5)  log 1 (m  2 x) имеет минимум в
2
2
точке с абсциссой, равной 6,5?
Решение.
Найдем область определения функции.
 x  5,

m

 x  2 ;
 x  5  0,

m  2 x  0;
m
Значит, D(y) =  5; 

2
Тогда функцию можно записать в следующем виде: y  log 1 (( x  5)( m  2 x)) ,
2
т.е. y  log 1 (2 x  (10  m) x  5m)
2
2
Ветви квадратичной функции f ( x)  2 x 2  (10  m) x  5m направлены вниз,
значит, она имеет максимум в точке х0, являющейся абсциссой вершины
параболы. («Квадратные уравнения и неравенства») Точка максимума
квадратичной функции совпадает с точкой минимума функции
27
y  log 1 (2 x 2  (10  m) x  5m) в силу того, что функция вида y  log 1 t
2
2
монотонно убывает при t > 0.
Найдите абсциссу вершины квадратичной функции, а затем найдите m.
m = 13 .
Ответ. 13.
6. Найти все положительные значения а, при которых область определения
функции y  (a x  3  a 2  a 4  5 log x  x5  x log a  (3 a ) 27 )0,5 не содержит двузначных
натуральных чисел.
Решение.
Областью определения заданной функции является множество таких
чисел,
которые
обращают
неравенство
a x  3  a 2  a 4  5 log x  x 5  x log a  (3 a ) 27  0 в верное.
Запишите левую часть неравенства в виде произведения.
(a 4  a x )  ( x 5  a 5 )  0 при х > 0 и х ≠ 1, а > 0 и а ≠1.
Решим данное неравенство методом интервалов («Свойства функции»).
a
a
x
x
Точки, в которых значение функции f ( x)  (a  a )  ( x  a ) равно нулю
(4; а), разбивают область ее определения на интервалы, в каждом из
которых f сохраняет постоянный знак, который можно определить,
вычислив значение f в какой-нибудь точке интервала.
Рассмотрим возможные варианты расположения числа а. Учитывая при
этом, что f ( x)  0
+
4
x
5
5
0
1
4
а
х
Выделенный интервал не содержит двузначных натуральных чисел при
a  4;10 .
+
+
0
а
1
4
х
Выделенные интервалы содержат двузначные натуральные числа.
- +
0
1 а 4
х
Выделенный интервал не содержит двузначных натуральных чисел при
a  1;4 .
0
1
а=4
х
Решением неравенства в этом случае является одно число 4.
Ответ. (1; 10)
28
6. Задания для самостоятельной работы.
1. Является ли четной (или нечетной) функция: f ( x)  log a (
x 1
)
x 1
ОТВЕТ.
Функция нечетная.
2. Найти все значения а, которых функция y  ax3  6 x 2  3x определена
для всех х>0.
3;
ОТВЕТ.
3. При каком значении m функция y  3 5 x 2  mx  3 имеет минимум в точке
x0  1,35 ?
ОТВЕТ.
-13,5.
4. Найти все положительные, не равные 1 значения а, при которых
область определения функции y  (( a ) 2 x 1  a 3 x  x 0,5 x log a  ( a ) 7 ) 0,5
содержит не более двух целых чисел.
ОТВЕТ.
(1;5)
5. Найти все целые значения параметра, при каждом из которых
x
1
f
(
x
)

 
множество значений функции
 2
точки с отрезком 1;2 .
ОТВЕТ.
6. Найти
-2; -1; 0; 1; 2.
значения
параметра,
x 2  2 ax  2 a 2  a  2
при
имеет общие
которых
уравнение
3a  3a  2 x  x 2  2 x  x 2 имеет решение.
ОТВЕТ.
 1 
 12 ;0
7. Определите число корней уравнения 3x  5  b  3x  11
ОТВЕТ.
Если b  4 , то уравнение имеет единственный корень,
если b  4 , то корней нет.
8. Решить уравнение x 
ОТВЕТ.
а.
9. Найти все значения
7
sin x 
ОТВЕТ.
3
ax 7 a
параметра,
для
которых
неравенство
1 1
2
  a выполняется при всех х таких, что 0  x 
.
3 3
3
1

;


3


7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №4.
29
Тема: Производная и ее применения
Продолжительность ___6_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования умений применять
производную функций при решении задач, содержащих параметры
(задачи на касательную, на нахождение критических точек
функции, на наибольшее и наименьшее значение функции);
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для развития логического мышления
школьников;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция
– Квадратные уравнения и неравенства
– Свойства функций
– Производная и ее применения
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
решения
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятии предполагается рассмотреть задачи, направленные на
формирование умений применять производную функций при решении задач,
30
содержащих параметры (задачи на касательную, на нахождение критических
точек функции, на наибольшее и наименьшее значение функции).
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами, самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения), а также предложены задачи, в которых
необходимо расставить блоки решения в логической последовательности.
Приведены примеры возможного оформления решения задач на экзаменах.
1. При каком значении параметра касательная, проведенная к графику
функции y  2 x 
a
в точке с абсциссой x0  1 , параллельна прямой y  5 x  4 ?
x
Решение.
Что значит касательная, проведенная к графику функции в точке
параллельна некоторой прямой?
(«Производная и ее применения», «Линейные уравнения и неравенства.
Линейная функция»). Производная функции в точке касания равна угловому
коэффициенту прямой.
Найдите производную функции y  2 x 
y(1)  2  a
a
в точке с абсциссой x0  1 .
x
Составьте соответствующее уравнение и решите его самостоятельно.
а=7
Ответ. 7.
2. Касательная к параболе f ( x)  x 2  mx  4 проходит через начало
координат. Найдите значения параметра т, при котором абсцисса точки
касания положительна, а ордината равна 6.
Решение.
Решите задание самостоятельно, а затем расставьте приведенные ниже
части решения в необходимом порядке, записав их номера без запятых и
пробелов в прямоугольнике.
1. f ( x0 )  x0 2  mx0  4
f ( x)  2 x 0  m
y  x0  mx0  4  (2 x0  m)( x  x 0 ) (*)
2
2. f (2)  2 2  2m  4
2 2  2m  4  6 ,
значит,
m = -1.
3.Касательная проходит через начало координат, значит, координаты
точки (0;0) обращают уравнение (*) в верное равенство.
2
2
2
x0  mx0  4  2 x0  mx 0  0 ,
т.е. x0  4
31
4. Выберем положительную точку касания, найдем в ней значение функции,
которое приравняем к 6.
5.Составим уравнение касательной к параболе f ( x)  x2  mx  4 .
Общий вид уравнения касательной: y= f(x0)+ f'(x0)(x-x0).
6.
Ответ. -1.
Ответ: 513426
3
2
3. При каких значениях параметра а функция y  (a  2) x  3ax  9ax  2
монотонно убывает на всей числовой оси?
Решение.
При каком условии функция убывает на всей числовой прямой?
Ее производная неположительна на всей числовой прямой. («Производная
и ее применения»,)
Найдите производную функции, составьте соответствующее неравенство
и решите его. Сравните результат.
y   3(a  2) x 2  6ax  9a
3(a  2) x 2  6ax  9a  0
3(a  2) x 2  6ax  9a  0
D  72a(a  3)
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных х, необходимо
выполнение двух условий.
a  2  0,

 72a(a  3)  0
a   ;3
-3
-2
0
Ответ.  ;3
а
4. При каком наибольшем значении а функция
f ( x) 
2 3
x  ax 2  ax  7
3
возрастает на всей числовой прямой?
Решение.
Данное задание выполняется аналогично предыдущему.
Выполните его самостоятельно.
ПОМОЩЬ.
Первая подсказка.
Сформулируйте условие возрастания функции на
всей числовой прямой.
Вторая подсказка.
Найдите производную и решите неравенство:
производная неотрицательна.
Третья подсказка.
Производная функции неотрицательна на всей числовой прямой.
(«Производная и ее применения»,)
Составим соответствующее неравенство и решим его.
f ( x)  2 x 2  2ax  a ,
т.е. 2 x 2  2ax  a  0
32
Чтобы
неравенство
выполнялось
при
всех
действительных х, необходимо чтобы 4a(a  2)  0 (так как коэффициент
при х2 положителен). Неравенство верно при a  0;2 . Выберем наибольшее.
Ответ. 2.
5. При каком значении параметра а значения функции y  x3  6 x 2  9 x  a в
точке х=2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, образуют
геометрическую прогрессию?
Решение.
Функция определена на всей числовой прямой. Достаточно легко найти
точки экстремума данной функции. («Производная и ее применения»,)
Найдите их самостоятельно.
х = 1, х = 3 – точки экстремума функции.
Найдите значение функции в точках экстремума и в точке х=2.
у(3) = а;
у(2) = 2+а;
у(1) = 4+а.
Так как порядок чисел не определен, то необходимо проверить все
комбинации (их 6).
Например, проверим порядок: а; 4+а; 2+а.
D  4a 2  8a  4a(a  2)
4  a  aq,

2  a  (4  a)q
При
a
8
3
q  0,5,
Решая эту систему, получим: 
8
a   3
указанные
числа
образуют
геометрическую
последовательность.
Остальные комбинации проверьте самостоятельно.
4
3
8
3
Ответ.  ,  .
6. Задания для самостоятельной работы.
1. При каком значении параметра касательная, проведенная к графику
x 2  3x  a
функции y 
в точке с абсциссой x0  1 , образует с осью Ох
x2
угол 45º?
ОТВЕТ.
-1
2. Касательная к параболе y  x 2  mx  9 проходит через начало
координат. Найдите значения параметра т, при котором абсцисса
точки касания положительна, а ордината равна 3.
ОТВЕТ.
-5
3. При каком наибольшем значении параметра а уравнение
x 3  x 2  x  a имеет ровно два корня?
ОТВЕТ.
1.
33
4. При каком наименьшем целом значении параметра р уравнение
1 3 1 2
x  x  6 x  p имеет три корня?
3
2
ОТВЕТ.
-7.
5. При каких действительных а на интервале (1;3) лежит ровно одна
1 3
2
критическая точка функции f ( x)  x  (a  1) x  (2a  3) x  1 ?
3
ОТВЕТ.
(-3;-2)
6. При
каких
значениях
параметра
а
функция
a
f ( x)  x 3  (a  2) x 2  (a  1) x  2
имеет
отрицательную
точку
3
минимума?


1;
ОТВЕТ.
7. При каких положительных значениях параметра точка х = 3 является
точкой минимума функции f ( x)  2 x3  6a 2 x  3 ?
ОТВЕТ.
3.
8. При
каких
значениях
параметра
функция
x7
x6
2
f ( x)  (a  2)  (a  7a  12)
возрастает на отрезке [-2;0]?
7
6
ОТВЕТ.
9. Найдите


9  17    9  17
  ;


;





2
2

 

интервалы
монотонного
убывания
функции
x
1
f ( x)  6  (4c  3)     (c  7)  5 x .
 5
3

c    ;  , то функция убывает при всех
ОТВЕТ.
Если
4

действительных х,
 3 
если c    ;7  , то функция убывает на промежутке
 4 


4c  3
;  ,
log 5
7c


при остальных с интервалов убывания нет.
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №5.
34
Тема: Параметры в тригонометрии
Продолжительность ___8_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования умений решать различные
виды тригонометрических уравнений и неравенств, а также
применять свойства тригонометрических функций;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для развития логического мышления
школьников;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция
– Квадратные уравнения и неравенства
– Свойства функций
– Производная и ее применения
– Тригонометрические функции, выражения, уравнения и неравенства
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
решения
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятиях предполагается рассмотреть задачи, направленные на
формирование умений решать различные виды тригонометрических
35
уравнений и неравенств, а также применять свойства тригонометрических
функций.
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами, самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения). Предложены задачи, в которых
необходимо расставить блоки решения в логической последовательности.
Приведены примеры возможного оформления решения задач на экзаменах.
1. При каких значениях а уравнения sin2x = 1 и a·cosx = sin2x равносильны?
Решение.
Очевидно, что решением первого уравнения является множество чисел

вида x   n , где n – целое число.
2
Решим второе уравнение.
a·cosx = sin2x,
sin2x - a·cosx =0,
2· sinx·cosx - a·cosx = 0,
cosx (2· sinx - a) = 0
cosx = 0
или
(2· sinx - a) = 0,

a
x   n , п – целое число,
sin x  .
2
2
Уравнения равносильны («Линейные уравнения и неравенства.
a
Линейная функция».) только тогда, когда уравнение sin x 
не имеет
2
a
 1 , т.е. a  2 .
решений, либо sin x  1, либо sin x  1. Значит,
2
Ответ. Заданные уравнения равносильны при таких значениях а,
что a  2 .
3
2. Найдите все значения р, при которых уравнение 4 sin x  p  3 cos 2 x не
имеет корней.
Решение.
3
4 sin x  p  3(cos 2 x  sin 2 x)
4 sin 3 x  3 cos 2 x  3 sin 2 x  p
4 sin 3 x  6 sin 2 x  3  p
У этого уравнения нет корней, если р не лежит во множестве значений
левой части. Найдем множество значений функции. («Линейные уравнения
и неравенства. Линейная функция»)
y  4 sin 3 x  6 sin 2 x  3 ,
y  2 sin 2 x(2 sin x  3)  3
0  2 sin 2 x  2 ,  5  2 sin x  3  1,
 1  sin x  1,
36
 10  2 sin 2 x(2 sin x  3)  0
 7  2 sin 2 x(2 sin x  3)  3  3
Значит, уравнение не имеет корней при p   ;7  3;
Ответ.  ;7  3;
2
3. Найдите все значения р, при которых уравнение 7  2 cos x  p(1  tg x)
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Рассмотрим другой подход к решению такого типа задач (данное задание
можно решить аналогично задаче 6.2.).
p
7  2 cos x 
7  2 cos x  p(1  tg 2 x) ,
, так как cos x  0 , то
cos 2 x
7 cos 2 x  2 cos 3 x  p ,
Это уравнение имеет хотя бы один корень, если р лежит во множестве
значений левой части. Найдем множество значений функции
y  7 cos 2 x  2 cos 3 x , используя производную, т.е. найдем наибольшее и
наименьшее значение функции.
Решение продолжите самостоятельно. Результат сравните.
Пусть cos x  t
2
3
Рассмотрим функцию y (t )  7t  2t , определенную при t   1;1
y (t )  14t  6t 2
Значит, t = 0 и t = 7/3 – критические точки функции, но t = 7/3 не
принадлежит области определения. Значит, наибольшее и наименьшее
значение функция принимает при t = 0 или на концах отрезка.
y(-1) = 9,
y(0) = 0,
y(1) = 5.
2
3
Множество значений функции y  7 cos x  2 cos x , учитывая, что
cos x  0 , -
0;9 .
Заданное уравнение имеет хотя бы один корень, если p  0;9
Ответ. 0;9
4. Найти значения параметра, при котором уравнение
0x

2
1
1

a
sin x cos x
имеет решение.
Решение.
Выполните задание самостоятельно.
ПОМОЩЬ
37
Первая подсказка. Найдите множество значений левой части уравнения при
0x

2
.
1
1

sin x cos x

 
на интервале  0;  , а затем найдите ее множество значений при 0  x  .
2
 2
Вторая подсказка. Найдите критические точки функции f ( x) 
Третья подсказка.
Решение.
1
1
 

, заданную на интервале  0;  .
sin x cos x
 2
Найдем ее множество значений, для этого найдем производную и точки
экстремума.
cos x
sin x
cos x
sin x
f ( x)   2 
 2 
0
f ( x)  0 , т.е.
.
2
sin x cos x
sin x cos 2 x
Решите это уравнение на заданном интервале самостоятельно. Результат
проверьте.

 
На интервале  0;  данное уравнение имеет единственный корень .
4
 2
Значит, функция f имеет единственную критическую точку. («Производная
и ее применения») Определите вид этой точки самостоятельно.
Данная точка есть точка минимума.
Рассмотрим функцию f ( x) 
Найдите значение функции в точке минимума.

f( )2 2
4
1
1
1 и
1.
sin x
cos x
E ( f )  2 2 ;
Каково множество значений функции?
При каких значениях параметра заданное уравнение имеет решение?
a  2 2 ;
На указанном интервале:


Ответ.
2

2 ;


1
3
5. Найдите критические точки функции f ( x)  2 sin a cos x  cos 3x 
1
4a  a 2
.
Решение.
Решите задание самостоятельно, а затем расставьте приведенные ниже
части решения в необходимом порядке, записав их номера без запятых и
пробелов в прямоугольнике. В процессе работы можно использовать
следующие разделы
теории: «Производная и ее применения»;
«Тригонометрические функции, выражения, уравнения и неравенства»
1. Найдем критические точки.
sin x  0
2.
или 2 sin a  2 cos 2x  1  0
x  n, n  Z
2 cos 2 x  (2 sin a  1)
38
2 sin a  1
2
2
3. Заметим, что 4a  a  0 , т.е. a  (0;4) , а D( f )  R
1
4. Учитывая, что a  (0;4) и sin a  2 , сделаем выводы.
    5 
При a   0;    ;4 
 6  6 
cos 2 x  
1
2
 2 sin a  1 
  2k , k  Z ;
2


критические точки
x  n, n  Z или x   arccos 
  5 
a  ; 
6 6 
критические точки
x  n, n  Z
при
Ответ.
    5 
При a   0;    ;4 
 6  6 
критические точки
x  n, n  Z или x   arccos 
1
2
 2 sin a  1 
  2k , k  Z ;
2


  5 
a  ; 
6 6 
x  n, n  Z
при
критические точки
5.
6.
 sin x(2 sin a  2 cos 2 x  1)  0 ,
Найдем при таких условиях производную функции f. («Производная и ее
применения»)
f ( x)  2 sin a sin x  sin 3x .
D ( f )  R
 2 sin a sin x  sin 3x  0 ,
7. f ( x)  0 , т.е.
 2 sin a sin x  sin x(4 cos 2 x  1)  0
8.

1
 2 sin a  1 
x   arccos 
  2k , k  Z ,


2
2



 1   2 sin a  1  1;

2


1
 2 sin a  1 
  2k , k  Z ,
 x   arccos 
2
2



 2  2 sin a  1  2;


1
 2 sin a  1 
x   arccos 
  2k , k  Z ,


2
2



 3  sin a  1 ;

2
 2
39

1
 2 sin a  1 
x


arccos

  2k , k  Z ,


2
2



sin a  1 .

2

 sin x(2 sin a  4 cos 2 x  1)  0 ,
9.
Ответ: 361795284
6. Задания для самостоятельной работы.
1. При каких значениях а значение выражения 2  cos x(5 cos x  a sin x)
будет равно 1 хотя бы при одном значении х?
 ;2 6  2 6 ;
ОТВЕТ.
2. Найдите все значения р, при которых уравнение 4 cos3 x  p  7 cos 2 x не
имеет решений.
 ;7  11;
ОТВЕТ.

 

3. При каких значениях параметра р уравнение 3 cos 2 x 
2p
 17 имеет
sin x
решения?
 7;0  0;7
ОТВЕТ.
4. Найдите все значения параметра с, при которых уравнение
(ctgx  3 )( x  c)  0 имеет единственное решение на промежутке [2; 4).
 ;4   2;    ; 5 
ОТВЕТ.
6 

5. Найти все значения параметра, при каждом из которых функция
f ( x)  sin 2 x  8(a  1) sin x  (4a 2  8a  14) x является возрастающей
на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
 ;2  5  5 ;
ОТВЕТ.
6. При
каких
значениях
параметра
функция
1
f ( x)  sin 3 x  sin x(a  cos x)  (1  2a) x  2 убывает на всей
3
числовой прямой.
1;
ОТВЕТ.

 

7. Решите уравнение 2 sin x  2 cos x  a  2  0
2
ОТВЕТ.
 arccos
 1  2a  1
 2n, n  Z
2
40
a
sin(
x

a
)

sin
x

cos
8. Решите уравнение
.
2
ОТВЕТ.
Если a    2k , k  Z , то решения
a 
  (1) n  n, n  Z ,
2
уравнения
-
6
если a    2k , k  Z , то решения уравнения – все
действительные числа.
2
2
3
2
9. Решите неравенство a cos x  (2a  a) sin x  a  a  a  0 .
a   2;0,
ОТВЕТ.
Если
то
решение
неравенства
 arcsin( 1 a)  2n;   arcsin( 1  a)  2n, n  Z ,
a  1;3 ,
если
то
решение
неравенства
arcsin( 2  a)  2n;   arcsin( 2  a)  2n, n  Z ,
если a  3;  0 , решение неравенства – все
действительные числа,
если a  (;2)  (0;1) , то решений нет.
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №6
.
41
Тема: Решение показательных и логарифмических уравнений и
неравенств, содержащих параметры
Продолжительность ___10_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для формирования знаний и умений для решения
различных видов показательных и логарифмических уравнения и
неравенств, а также умений применять свойства показательных и
логарифмических функций;
 создание условий для развития умений анализировать, обобщать;
 создание условий для развития творческих способностей
школьников при конструировании способов решения задач
высокого уровня сложности;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Свойства функций
– Производная и ее применения
– Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры решения
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятиях предполагается рассмотреть задачи, направленные на
формирование умений решать различные виды логарифмических и
показательных уравнений и неравенств, а также применять свойства
логарифмических и показательных функций.
42
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами, также предложен один из вариантов оформления
решения задания на экзаменах.
x
2
1. Решите неравенство a  2  a .
Решение.
Рассмотрим три случая:
o а=0
Какой вид примет неравенство? Решите его. Сравните результат.
0 ≤ 0. Данное неравенство верно при любых значениях х.
o а<0
Какой вид примет неравенство? Решите его. Сравните результат.
2 x  a . Данное неравенство верно при любых значениях х по свойству
показательной функции. («Свойства функции»)
o а>0
Какой вид примет неравенство? Решите его. Сравните результат.
2x  a ,
x  log 2 a . («Показательные и логарифмические уравнения и
неравенства»).
Ответ. Если а ≤ 0, то решением неравенства является любое
действительное число,
если а > 0, то x  log 2 a .
2. Найти значения параметра, при которых уравнение имеет единственный
корень 2 lg( x  3)  lg( ax) .
Решение.
2
Запишем данное уравнение в виде: lg( x  3)  lg( ax)
В силу монотонности логарифмической функции при всех допустимых
2
значениях х («Свойства функции») уравнение ( x  3)  ax должно иметь
один корень при x  0 .
Решите соответствующее уравнение самостоятельно. Сравните
результат.
x 2  (6  a) x  9  0 . Уравнение имеет один корень, значит D = 0.
D  a 2  12a ,
a 2  12a  0 при а = 0 или а = 12
Но при а = 0 логарифм в правой части уравнения не определен.
Значит, а = 12.
Ответ. 12.
6. Задания для самостоятельной работы.
1. Найти все действительные значения а, при которых область
f ( x)  1  log 5  4 a  a (5  a)  log 5  4 a  a (4  sin x)
определения
функции
совпадает с множеством всех действительных чисел.
 1;2  2 2  4;2  2 2 
ОТВЕТ.
2
2
43
2. При каких значениях а уравнение 3 x lg x  1  a lg x имеет одно
решение?
 ;0
ОТВЕТ.
3. Известно,
что
неравенство
выполняется при x 
2;2,5
ОТВЕТ.
log a ( x 2  x  2)  log a (3  2 x  x 2 )
a
. Найдите все решения этого неравенства.
4
4. При каких значениях параметра неравенство
x2  4x  7  x  3 и
x2
 2 x 1  a  2 x 1  1 равносильны?
уравнение 2
ОТВЕТ.
1.
5. Решить неравенство 4 log a x  1  3 log a x
ОТВЕТ.
 a ;1  1a ; ,
Если
a  0;1 , то решение неравенства -
если
a  1; , то решение неравенства - 0;1  1; 4 a 3
6. Решить неравенство
4
3


2 log  x a
1
 1
1  log  x a
2  log a ( x)
ОТВЕТ. Если a  0;1 , то решение неравенства -  ;a 1   a 2 ;0 ,
если
a  1; , то решение неравенства -  ;a 2   a 1 ;0
7. Решить уравнение log a (4 x  2)  log a (6 x)  log a (1  2 x)
ОТВЕТ.

1
6
8. Найти
все
значения
параметра,
при
которых
3a  5 x
y  a8 x 
4  (6a  7)2 x не имеет экстремумов.
2
функция
25 

  ;   0; 
21 

ОТВЕТ.
9. При
каких
значениях
параметра
функция
y  1  2e  (1  a)e  e  (a  1) x монотонно убывает на всей числовой оси?
x
ОТВЕТ.
x
2x
 ;1
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение теста №7.
44
Тема: Решение задач ЕГЭ, содержащих параметры
Продолжительность ___12_____ часов
1. Учебная и воспитательная цель:
 создание условий для обобщения и систематизации знаний и
умений по теме элективного курса, формирования у школьников
умения применять свои знания из разных разделов школьного
курса математики для конструирования способа решения задачи в
нестандартной ситуации, рассмотрение решений заданий ЕГЭ
блоков В и С.;
 создание условий для развития общеучебных умений и навыков;
 создание условий для развития творческих способностей
школьников при конструировании способов решения задач
высокого уровня сложности;
 создание условий для развития логического мышления
школьников;
 создание условий для формирования навыка самостоятельной
работы и действий самоконтроля.
2. Краткие теоретические, справочно-информационные и т.п. материалы
по теме занятия.
На занятиях используются теоретические знания, представленные в
разделе «Теория», следующих тем:
– Модуль числа и его свойства
– Линейные уравнения и неравенства. Линейная функция
– Квадратные уравнения и неравенства
– Свойства функций
– Производная и ее применения
– Тригонометрические функции, выражения, уравнения и неравенства
– Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
3. Перечень (образцы) раздаточного материала, используемого на
занятии.
Раздаточным материалом могут служить примеры решения
практических задач, представленных в группе «Решение задач».
4. Рекомендации по использованию информационных технологий (при
необходимости).
При решении практических задач предложены интерактивные ссылки
на теоретический материал, который поможет выбрать способ решения,
ответить на вопросы, предлагаемые учащимся при решении, объяснить
выводы.
Для организации текущего контроля разработаны интерактивные тесты
обучающего характера, к выполнению которых можно вернуться в случае
необходимости, неудачи при первом выполнении. Это позволяет вовремя
вносить коррективы в знания учащихся. Этому может способствовать и
систематическое консультирование по желанию учащихся с использованием
45
таких дистанционных форм, как электронная почта, форум, чат,
возможностей сайта дистанционного обучения.
5. Практические задачи, задания, упражнения.
На занятии предполагается рассмотреть задачи, направленные на
обобщение и систематизацию знаний и умений по теме элективного курса,
формирование у школьников умения применять свои знания из разных
разделов школьного курса математики для конструирования способа
решения задачи в нестандартной ситуации, рассмотрение решений заданий
ЕГЭ блоков В и С.
Работа с практическими задачами этой темы предусматривает
пошаговое решение, предполагающее ответы учащихся на ключевые
вопросы, позволяющие формировать представление о способах и методах
работы с такими задачами, самостоятельное решение задач учащимися,
предполагающее интерактивные подсказки трех уровней (от идеи решения до
подробного объяснения решения), а также задание предлагающее учащемуся
расставить предложенные блоки решения в логической последовательности.
1. При каких а большее из двух чисел 5a  1 и 2a равно квадрату меньшего?
Решение.
Очевидно, что для решения этого задания необходимо решить совокупность
двух систем.
Составьте эту совокупность. Сравните результат.
5a  1  2a ,

2
5a  1  2a ,

5a  1  2a ,

2
 2a  (5a  1) .
Решим первую систему.
5a  1  2a ,

2
5a  1  2a ,

5a  1  2a ,
 2
4a  5a  1  0,

5a  1  2a ,

a  1,
a  0,25.

Проверим, являются ли корни уравнения 1 и 0,25 решениями неравенства
5a  1  2a .
Выполните это самостоятельно. Сравните результат.
1 – решение неравенства, а значит, и системы.
0,25 не является решением неравенства, а значит, и системы.
Вторую систему решите самостоятельно. Сравните результат.
6  11
– решение системы.
25
6  11
не является решением системы.
25
6  11
Ответ. 1,
25
46
2
2. При каких значениях а сумма log a (cos 2 x  1) и log a (cos x  5) равна 1 хотя
бы при одном значении х?
Решение.
Решите задание самостоятельно, а затем расставьте приведенные ниже
части решения в необходимом порядке, записав их номера без запятых и
пробелов в прямоугольнике.
1. D  36  4(5  a)  4(4  a) , так как уравнение должен иметь хотя бы один
корень, то D ≥ 0.
t  3  4  a или t  3  4  a
2. 5  a  12
Значения а из отрезка 5;12 соответствуют всем предыдущим условиям.
Ответ. 5;12
3.Корни
должны лежать в заданном промежутке. Но первый является
отрицательным числом.
Найдем, при каких а второй лежит в указанном отрезке.
0  3  4  a  1
3 4a  4
9  4  a  16
4.Применим операции над логарифмами и свойство монотонности
логарифмической функции. («Показательные и логарифмические уравнения и
неравенства»).
cos 4 x  6 cos 2 x  5  a
t = cos2x, 0 ≤ t ≤ 1.
Решим квадратное уравнение: t 2  6t  5  a  0
5.Составим соответствующее уравнение.
log a (cos 2 x  1)  log a (cos 2 x  5)  1
Заметим, что оба логарифма определены при любом значении х, а > 0, а ≠ 0.
Ответ: 54132
3. Найдите все значения а, при которых область определения функции
y  lg( a x  2  x 3 log a  a 4  x 5  ( x ) 10 2 x log a  ( a ) 18 ) содержит ровно одно целое
число.
Решение.
Аналогичное задание мы рассматривали в теме «Свойства функции».
Решите это задание самостоятельно.
ПОМОЩЬ
Первая подсказка.
Какова область определения заданной функции?
Вторая подсказка.
Запишите левую часть неравенства в виде
произведения. Рассмотрите все возможные варианты расположения числа
а на координатной прямой.
x
x
47
Третья подсказка.
Решение.
«Свойства функции». Какова область определения заданной функции?
Областью определения заданной функции является множество таких
чисел,
которые
обращают
неравенство
3 log a
10 2 x log a
x2
4
5
18
a x
 a  x  ( x)
 ( a )  0 в верное.
Запишите левую часть неравенства в виде произведения.
(a 4  a x )  ( x 5  a 5 )  0 при х > 0 и х ≠ 1, а > 0 и а ≠1.
«Свойства функции». Решите неравенство методом интервалов
x
x
Точки, в которых значение функции f ( x)  (a  a )  ( x  a ) равно нулю
(4; а), разбивают область ее определения на интервалы, в каждом из
которых f сохраняет постоянный знак, который можно определить,
вычислив значение f в какой-нибудь точке интервала.
Рассмотрите возможные варианты расположения числа а. Учитывая при
этом, что f ( x)  0 .
+
+
4
x
5
5
0
а
1
4
х
Выделенные интервалы содержат более одного целого числа.
- +
0
1 а 4
х
Выделенный интервал содержит ровно одно целое число при a  2;3 .
+
0
1
4
а
х
Выделенный интервал содержит ровно одно целое число при a  5;6 .
Ответ. 2;3  5;6
6 x 1
x 1
) взяли все целые
4. Из области определения функции y  lg( a  a
положительные числа и сложили их. Найти все положительные значения а,
при которых такая сумма будет больше 4, но меньше 7.
Решение.
Решение задачи проведите самостоятельно, используя разделы
теории «Свойства функций», «Показательные и логарифмические уравнения
и неравенства»
ПОМОЩЬ
Первая подсказка.
Найдите область определения заданной функции,
решив показательное неравенство.
Вторая подсказка.
Убедитесь, что при a  (0;1) в область определения
входят все целые положительные числа.
a
48
Третья подсказка.
Область определения заданной функции при
a  (1;) можно найти, решив методом интервалов неравенство
(a  6) x  (1  a)
5
 0 . Отметив соответствующие точки на
a  6
, т.е.
x 1
5( x  1)
координатной прямой, можно убедиться, что необходимо рассмотреть
5 

.
интервал   1;1 
a 6

Значит, чтобы найти необходимые значения параметра необходимо
5

 1  a  6  5,
решить систему 
  1  5  3.

a6
 3 
Ответ.
 4 ;5
 4 
6. Задания для самостоятельной работы.
1. Найти все значения а, при которых область определения функции
y  (a x1  x 4 logx a  a 35 loga x  ( x )102 x logx a  a16 ) 0,5
содержит ровно три целых числа.
ОТВЕТ.
6;7
2
2
2. При каких значениях а сумма log a ( 1  x  1) и log a ( 1  x  7)
будет меньше единицы при всех допустимых значениях х?
ОТВЕТ.
0;1  16;
5x2
3. Из области определения функции y  log 3 (a a  a x  2 ) взяли все целые
положительные числа и сложили их. Найдите все положительные
значения а, при которых такая сумма будет больше 9, но меньше 13.
ОТВЕТ.
 2 6
 3 ;3 
 3 7
4. Найдите все значения параметра а, такие, что во множестве решений
6a 2
 a 2 нельзя расположить два отрезка
неравенства x( x  2a  6)  12a 
x
длиной 2,5 каждый, которые не имеют общих точек.

 

1;2,5  3,5;5
ОТВЕТ.
5. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений
неравенства x 2 
9a
 6a  (a  6) x  9
x
содержит какой-нибудь отрезок
длиной 5, но не содержит никакого отрезка длиной 6.
 6;5  8;9
ОТВЕТ.
49
6. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений
неравенства
25  (a  10) x 5a 5
 2 (  2)  1
x2
x x
содержит число 6, а также
содержит два непересекающихся отрезка длиной 6 каждый.
ОТВЕТ.
17;
1 x
1 x
7. При каком значении параметра найдутся такие х, что числа 5  5 ;
a
x
x
; 25  25
2
(в указанном порядке) составляют арифметическую
прогрессию?
ОТВЕТ.
12;
x 1
x4
x2
8. При каких значениях параметра уравнения 4  2  2  16 и
a  9 3 x 2  a9 x 1  1 равносильны?
   
0;9   9
ОТВЕТ.
9. Найти все значения параметра, при котором любой корень уравнения
3 sin 3 x  (a  2)(2a  5) cos 3 x  2(a  2) 2 cos x  0 является корнем
уравнения log 5 (2ctgx  3)  log
ОТВЕТ.
5
(6  ctgx) 
1
log
2
5
(3ctgx  2)  1
3.
7. Контрольные вопросы, тесты, задания по теме занятия.
Итогом работы по данной теме является выполнение итогового теста,
рассчитанного на 2 часа.
50
СТРУКТУРА
МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
I. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯПО ТЕМАМ:
ТЕСТ №1 «Что такое параметр»
1. Сравните числа а и -2а
2
2. При каких значениях а уравнение (2a  8) x  (a  4) x  3  0 имеет
единственный корень?
2
3. Решите уравнение (a  6a  5) x  a  1
xa
4. Решите неравенство
5. Найти все значения а, при которых уравнения sin
x  2  2a  4 равносильны
2
xa2 и
ТЕСТ №2 «Решение линейных уравнений и неравенств»
1. Найти
значения
а,
при
которых
равенство
(2 x  5)( 2a  7)  (6a  1) x  10a  35 верно при всех значениях х.
2. Указать,
при
каких
значениях
параметра
а
уравнение
6(ax  1)  a  2(a  x)  7 имеет бесконечно много решений
ax  4  2 x  a 2
4. Решить неравенство 6  x  a .
5. Решите неравенство ( x  1) x  a  0 при а > 1
3. Решить неравенство
6. Для
каждого
значения
а
найдите
число
корней
уравнения
x  2  1  a  3x .
7. Указать,
при
каких
значениях
2(a  2 x)  ax  3 не имеет решений
параметра
а
уравнение
ТЕСТ №3 «Решение квадратных уравнений и неравенств»
1. При каких значениях параметра а уравнение ax  6 x  9  0 имеет одно
решение?
2
2 2
2
2. При каких значениях параметра а уравнение a x  a x 
1
 0 имеет одно
4
решение?
3. При каком значении параметра квадратный трехчлен y  x  ax  a  1
является полным квадратом?
2
51
4. Указать наименьшее целое значения параметра, при котором графики
2
функций имеют две общие точки, если y  5 x  ax и y 
a
.
10
5. Найти наибольшее целое отрицательное значение т, при котором
2
решением неравенства (m  1) x  2mx  9m  5  0 является множество
всех действительных чисел.
2
6. Решить неравенство x  2(a  1) x  4a  0
Тест №4 «Свойства функций»
5
2
1. Найдите все значения а, при которых функция y  6 x  3ax  1  a
имеет минимум в точке
x0  2,5 ?
2. При каком значении n функция y  5  18 x  nx имеет максимум в
точке x0  3 ?
3. При каком наименьшем положительном значении а функция
a
y  sin( 25 x 
) имеет минимум в точке x0   ?
100
4. Найти все значения а, при которых область определения функции
y  (a x  0,5  a 3 x  ( x )1 2 x log x a  a 3,5 )0,5 содержит ровно три целых
числа.
5. Найти наибольшее значение параметра а, при котором неравенство
4 x 2  8 x  1  a верно для любого действительного х.
9
2
ТЕСТ №5 «Производная и ее применение»
1. При каком значении параметра касательная, проведенная к графику
a
x  4 , параллельна
x 2 в точке с абсциссой 0
прямой y  0,5 x  6 ?
функции y 
x
2. При каком значении параметра касательная, проведенная к графику
функции y 
xm
в точке с абсциссой x0  0 , образует с осью Ох
xm
угол 135º?
3. Касательная к параболе y  x  mx  9 проходит через начало
координат. Найдите значения параметра т, при котором абсцисса точки
касания отрицательна, а ордината равна 18.
4. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором функция
2
y
a3 3
x  ax 2  (3a  6) x возрастает на всей числовой прямой.
3
5. При каком наименьшем значении параметра п уравнение x 3  6 x 2  n
имеет ровно два корня?
52
6. Сколько корней имеет уравнение x  x  b  2x ?
7. При каких положительных а точка х = 3 является точкой минимума
5
3
3
2
функции f ( x)  2 x  6a x  3 ?
ТЕСТ №6 «Параметры в тригонометрии»
1. Найдите наименьшее натуральное значение а, при котором значение
выражения 3  sin x(2 sin x  a cos x) будет равно -1 хотя бы при одном
значении х?
2. Найдите
все
значения
р,
при
которых
уравнение
4 sin x  9  p(1  ctg 2 x) имеет хотя бы один корень.
3. Найдите наибольшее отрицательное значения р, при котором уравнение
4 sin 3 x  p  7 cos 2 x не имеет корней.
2
4. Решите уравнение (3  a)tg x  2tgx  (a  3)  0
2
5. Решите неравенство a(sin x  cos x)  (1  a) cos 2 x
6. При
каких
действительных
значениях
параметра
уравнения
a
4 cos 2 x  a 2  6 и 1  cos 2 x  равносильны.
6
7. Найдите наибольшее целое значение параметра, при котором функция
x
x

f ( x)  (a 2  3a  2) cos 2  sin 2   (a  1) x  sin 1 не имеет
4
4

критических точек.
ТЕСТ №7 «Решение показательных и логарифмических уравнений и
неравенств, содержащих параметры»
1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4  a)  x
единственный корень
2. Найдите наибольшее значение параметра, при котором сумма
x
log a (
43x
1 x
) и log a (
65x
1 x
имеет
) больше единицы при всех х?
x  log a x  0
2
a
lg
x

1

4. Решить уравнение
a
lg x при а отличном от нуля.
3. Решить неравенство 3 log
2
a
x
5. Какое число корней имеет уравнение 3  3  ax  2 x  2
2x
x 1
6. При каких значениях а уравнение 7  7  7 a имеет два различных
действительных корня?
7. Найти все значения параметра, для которых неравенство
4 x  a  2 x  a  3  0 имеет хотя бы одно решение.
x
4
2
53
II. КЛЮЧИ К ТЕСТАМ (для проверяющего) ПО ТЕМАМ:
ТЕСТ №1 «Что такое параметр»
1. ОТВЕТ При а = 0
при а > 0
при а < 0
2. ОТВЕТ. 20
3. ОТВЕТ. При
при
при
а = -2а,
а > -2а,
а < -2а,
а = 5 корней нет,
а = 1 корнями являются все действительные числа
1
а≠1иа≠5
корень
a5
4. ОТВЕТ. При а = 0
при а > 0
при а < 0
5.ОТВЕТ.  ;2
x  0,
x  a2 ,
x0.
ТЕСТ №2 «Решение линейных уравнений и неравенств»
1. ОТВЕТ. 6,5
2. ОТВЕТ. 1/3
3. ОТВЕТ. Если a   ;2 , то решения неравенства -  ; а  2 ,


если a  2; , то решения неравенства - а  2; ,
если а = 2, то решений нет
4. ОТВЕТ. Если a  0 , то a  6; a  6 ,
если а < 0, то решений нет.
5. ОТВЕТ. Если а ≤ 1, то решения неравенства -  ;1;
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
если а > 1, то решения неравенства -  ;1  a.
ОТВЕТ. При любом значении а, уравнение имеет один корень.
ОТВЕТ. -4
ТЕСТ №3 «Решение квадратных уравнений и неравенств»
ОТВЕТ. 1; 0
ОТВЕТ. 1; -1
ОТВЕТ. 2
ОТВЕТ. (0; 2)
ОТВЕТ.  ;0,5 -1
ОТВЕТ. Если а < 1, то (2а; 2),
если а > 1, то (2; 2а),
если а = 1, то решений нет.
54
ТЕСТ №4 «Свойства функции»
1.
2.
3.
4.
5.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ.
-10
-3
50
5;6
-6.
ТЕСТ №5 «Производная и ее применения»
1.
2.
3.
4.
5.
ОТВЕТ. -8.
ОТВЕТ. -2.
ОТВЕТ. -12 (0, 12, 6, -6)
ОТВЕТ. 6
ОТВЕТ. -32
6. ОТВЕТ. Если b  
16 5
16 5
или b 
, то один корень,
125
125
Если b  
Если 
16 5
16 5
или b 
, то два корня,
125
125
16 5
16 5
b
, то три корня.
125
125
7. ОТВЕТ. 3.
ТЕСТ №6 «Параметры в тригонометрии»
1. ОТВЕТ. 10

2. ОТВЕТ. 0;13
3. ОТВЕТ. -8
1  10  a 2
 k , k  Z
4. ОТВЕТ. Если a  10 , то arctg
3 a
1  10  a 2
 k , k  Z
Если a  3 , то arctg
3 a
Если a  3 , то  arctg 3  n, n  Z
Если a 
5. ОТВЕТ. Если a  1, то 
10 , то решений нет

2
 n  x  

4
 n, n  Z
arctg (1  2a )  n  x 

2
 n, n  Z
55

Если a  1 , то

2

 n  x  arctg (1  2a)  n, n  Z
 n  x 

 n, n  Z
4
2
6. ОТВЕТ. a  10 ,  6  a  0 , a  12 , a  3

7. ОТВЕТ. 0  a  1 1  a  4 3
«Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств,
содержащих параметры»
1. ОТВЕТ.
2. ОТВЕТ.
3. ОТВЕТ.
-0,25
(1; 15]
 1

(
0
;
1
)


;

 ,
Если 0  a  1, то 3
 a

1
(
0
;
)  1;
a

1
Если
, то 3
a
Если
a0
a
4. ОТВЕТ.
10 и 10
5. ОТВЕТ.
6. ОТВЕТ.
нечетное
а > -1,75
7. ОТВЕТ.

a
2
a
2
( 10 )
2;
56
СТРУКТУРА
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ (ЗАЧЕТНЫЙ) ТЕСТ
I. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ (ЗАЧЕТНЫЙ) ТЕСТ
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
1.
Найдите
все
значения
а,
при
которых
y  5  6 x 2  (3  a ) x  5  a имеет максимум в точке x0 
2.
3.
функция
1
?
6
2
При каком значении р функция y  13 7  px  6 x имеет минимум в
точке x 0  3,5 ?
Найти все значения а, при которых область определения функции
y  (a x  0,5  a 4 x  x 0,5  x log x a  a 4,5 )0,5 содержит ровно одно целое
число.
4.
5.
2
Решить уравнение a(a  1) x  x  a(a  1)  0
Определить
k
такое,
чтобы
один
из
6.
(k 2  5k  3) x 2  (3k  1) x  2  0 был вдвое больше другого.
x
3
Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4  a )  x  0
корней
уравнения
имеет ровно два корня.
7.
8.
9.
Решить неравенство log a ( x  1)  log a (2 x  4)  log a x
При каких значениях а уравнение 2 log 23 x  log 3 x  a  0 имеет четыре
решения?
Найдите
все
значения
параметра,
при
которых
функция
a2  1 3
f ( x) 
x  (a  1) x 2  2 x  5 возрастает при всех действительных
3
х.
10.
11.
2
Сумма квадратов корней уравнения x  4 x  p  0 равна 16. Найдите р.
При каких значениях а значение выражения
(sin x)lg(sin x )  a
2
больше
log100 (1 cos 2 x )  log7 a
12.
значения выражения 10
при всех допустимых
значениях х?
Найдите наибольшее значение параметра а, при котором множество
решений
неравенства
1
a 8
a  2 2a
 (1 
 2)
x x
x
x
содержится
в
57
13.
некотором отрезке длиной 7 и при этом содержит какой-нибудь отрезок
длиной 4.
Найдите все значения параметра а, при которых во множестве решений
неравенства
14.
8a 2
 x( x  2a  8)  16a  a 2
x
нельзя расположить два
отрезка длиной 2 и длиной 5, которые не имеют общих точек.
Найдите критические точки функции при всех допустимых значениях
  1  x  1  x 
 2 2a 10 
a


f
(
x
)

ln


x
ln
7

arccos
 




a 
параметра, если
 7   7  
3
9



II. КЛЮЧИ К ТЕСТАМ (для проверяющего)
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ
1.
2.
3.
4.
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
ОТВЕТ
-1
-42
(3;5)
Если а = 0, то решение – 0,
Если а = -1, то решение – 2,
Если а ≠ 0, а ≠ -1, то решение -
5. ОТВЕТ
2
3
6. ОТВЕТ.
Таких значений а нет.
7. ОТВЕТ.
Если 0  a  1, то - (4;) ,
8. ОТВЕТ.
Если a  1 , то - (1;4)
(0; 0,125)
9. ОТВЕТ.
10.ОТВЕТ.
11.ОТВЕТ.
12.ОТВЕТ
13.ОТВЕТ.
14.ОТВЕТ
a 1
a
и
a
a 1
 ;3  1;
0
(0;1)
[-7; -4]
[1; 2], [3; 5], [6; 7]
1
log 7 2
2
58
ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Название
Вид издания Место издания,
(учебник,
издательство,
учебное
год издания, колпособие)
во страниц
Основная литература
Автор
1. Сборник задач для
подготовки к
централизованному
тестированию, единому
государственному
экзамену по
математике. Ч.1
2. Сборник задач для
подготовки к
централизованному
тестированию, единому
государственному
экзамену по
математике. Ч.2
3. Практикум по
решению
математических задач
4. Математический
анализ
Беспрозванных
В.К.,
Никифорова Е.Г.
Учебное
издание
Алт. гос. техн.
ун-т им.
И.И.Ползунова.
– Барнаул: Издво АлтГТУ,
2002, - 60 с.
Беспрозванных
В.К.,
Никифорова Е.Г.
Учебное
издание
Алт. гос. техн.
ун-т им.
И.И.Ползунова.
– Барнаул: Издво АлтГТУ,
2002, - 62 с.
Вересова Е.Е. и
др.
Учебное
пособие
Виленкин Н.Я. и
Шварцбурд С.И.
Учебное
пособие
5. Алгебра и начала
акнализа для 10 класса
Виленкин Н.Я.,
Ивашев-Мусатов
О.С., Шварцбурд
С.И.
Горнштейн П.И.,
Полонский В.Б.,
Якир М.С.
Учебное
пособие
М.:
Просвещение,
1979, - 240 с.
М.,
Просвещение,
1973, - 512 с.
М.:
Просвещение,
1997, - 335 с.
Денищева Л.О.,
Безрукова Г.К.,
Бойченко Е.М. и
др.
Ивлев Б.М.,
Абрамов А.М.,
Дудницын Ю.П.,
Шварцбурд С.И.
Крамер В.С.
Учебное
издание
6. Задачи с
параметрами
7. Единый
государственный
экзамен: математика
8. Задачи повышенной
трудности по алгебре и
началам анализа
9. Повторяем и
Учебное
издание
М.: Илекса,
Харьков:
Гимназия,
2002, - 336 с.
М.:
Просвещение,
2005, - 224 с.
Учебное
пособие
М.:
Просвещение,
1990, - 48 с.
Учебное
М.:
59
систематизируем
школьный курс
алгебры
10. Сборник задач по
математике для
поступающих в вузы
11. Сборник
конкурсных задач по
математике для
поступающих во втузы
12. Математика. Для
поступающих в вузы
13. Факультативный
курс по математике.
Решение задач
издание
Просвещение,
1990, - 416 с.
Егерев В.К.,
Зайцев В.В.,
Кордемский Б.А.
и др.; под
ред.М.И.Сканави
Учебное
издание
Под ред.
М.И.Сканави
Учебное
пособие
М.: ООО
«Издательский
дом «ОНИКС
21 век»: ООО
«Издательство
«Мир и
Образование»,
2004, - 608 с.
1997, - 520 с.
Шарыгин И.Ф.
Учебное
пособие
Учебное
пособие
Шарыгин И.Ф.
М.: Дрофа,
1995
М.:
Просвещение,
1989, - 252 с.
Дополнительная литература
1. Дидактические
Ивлев Б.М.,
материалы по алгебре и
Саакян С.М.,
началам анализа для 10 Шварцбурд С.И.
класса
2. Дидактические
Ивлев Б.М.,
материалы по алгебре и
Саакян С.М.,
началам анализа для 11 Шварцбурд С.И.
класса
Учебное
издание
М.:
Просвещение,
1990, - с.
Учебное
издание
М.:
Просвещение,
1995, - 192 с.
60