Краткий конспект лекций - Казанский (Приволжский

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Институт вычислительной математики и информационных технологий
Кафедра анализа данных исследования операций
Шульгина Оксана Николаевна
Линейная алгебра
Краткий конспект лекций
Казань – 2014
Направление: 080500.62 – «Бизнес-информатика
Название учебного плана: Институт вычислительной математики и
информационных технологий, «Бизнес-информатика», очное, бакалавр 2015.
Дисциплина: «Линейная алгебра» (бакалавриат, 1 курс, осенний
семестр, очное обучение)
Количество часов: 162 ч. (в том числе: 36 лекции, 54 лабораторные, 72
самостоятельная работа), форма контроля: экзамен.
Темы:
1. Матрицы, операции над матрицами.
2. Определители, их свойства, методы вычисления.
3. Линейные пространства.
4. Системы линейных уравнений.
5. Евклидовы пространства.
6. Линейные операторы.
7. Квадратичные формы.
Аннотация: Целью курса является изучение объектов, аппарата и задач
линейной алгебры. В результате изучения дисциплины предполагается
развитие навыков работы с объектами линейной алгебры, с алгоритмами
решения задач, умения
применять свои знания по данной дисциплине в
изучении других дисциплин. Представленный электронный ресурс покрывает
представленные в учебном плане объемы часов по видам учебной нагрузки
(лекционная лабораторная, самостоятельная) на 70%.
Ключевые слова: матрица, определитель, алгебраическое дополнение,
линейное пространство, размерность, базис, координаты, линейная комбинация,
линейная зависимость, линейная независимость, метод Гаусса, формулы
Крамера, общее решение, фундаментальная система решений, евклидово
пространство,
скалярное
произведение,
норма
вектора,
линейное
преобразование, квадратичная форма.
2
Автор курса: Шульгина Оксана Николаевна, доцент кафедры анализа
данных и исследования операций,
кандидат физико-математических наук,
email: [email protected]
Дата начала эксплуатации: 1 сентября 2015 года
URL: http://tulpar.kfu.ru/course/view.php?id=1175 ???
3
Оглавление
Тема 1. Матрицы, операции над матрицами.
Тема
2.
Определители,
их
свойства,
5
методы
14
вычисления.
Тема 3. Линейные пространства.
24
Тема 4. Системы линейных уравнений.
33
Тема 5. Евклидовы пространства.
55
Тема 6. Линейные операторы.
59
Тема 7. Квадратичные формы.
66
Информационные источники
73
Глоссарий
74
Вопросы к экзамену
78
4
Тема 1. Матрицы, операции над матрицами
Лекция 1
Аннотация: В данной теме вводится понятие матрицы, изучаются виды
матриц и операции на ними.
Ключевые
слова:
матрица,
размерности,
квадратная
матрица,
единичная матрица, сумма матриц, произведение матриц, транспонирование,
обратная матрица.
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 10-19.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 12-25.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 2-10.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
20-31//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 32-39.
5
Глоссарий
Матрица — прямоугольная таблица чисел.
Верхне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие ниже главной диагонали, суть нули.
Вырожденная матрица — матрица, определитель которой равен нулю.
Главная диагональ матрицы — элементы матрицы, у которых номер строки
совпадает с номером столбца.
Диагональная матрица — матрица, являющаяся одновременно и нижнеи верхне-треугольной.
Единичная матрица — квадратная матрица, у которой элементы главной
диагонали равны единице, а прочие элементы суть нули.
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк и столбцов совпадает.
Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца.
Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки.
Нижне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие выше главной диагонали, суть нули.
Нуль-матрица — матрица, все элементы которой суть нули.
Обратимая матрица — матрица, у которой существует обратная матрица.
Обратная матрица для некоторой матрицы — матрица, которая при
перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу.
Симметричная матрица — матрица, совпадающая со своей транспонированной.
6
Вопросы для изучения
 Понятие матрицы, элементов, порядков.
 Виды матриц: квадратная, симметричная, треугольная, диагональная,
единичная, нулевая. Главная и побочная диагонали квадратной матрицы.
 Операции над матрицами (сложение, умножение, умножение на число,
транспонирование) и их свойства.
Матрицы.
Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках
и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.
Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.
Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.
Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ]
или две вертикальные черты
. Чаще используют круглые скобки.
Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же
строчной буквой с двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки,
второй — номер столбца), столбцы матрицы — той же заглавной буквой с
верхним индексом (номер столбца), а сторки — заглавной буквой с нижним
индексом (номер строки). В сокращенной записи будем заключать элементы
матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.
Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:
квадратная матрица, матрица, у которой одинаковое число строк и столбцов;
матрица-строка, матрица, у которой одна строка;
матрица-столбец, матрица, у которой один столбец;
7
диагональная матрица, квадратная матрица, у которой все внедиагональные
элементы раны нулю;
единичная матрица, диагональная матрица, у которой все диагональные
элементы — единицы нулю; нулевая матрица, матрица, все элементы которой
— нули;
верхняя треугольная матрица, квадратная матрица, у которой все элементы,
расположенные ниже диагонали — нули;
нижняя треугольная матрица, квадратная матрица, у которой все элементы,
расположенные выше диагонали — нули;
ступенчатая матрица,
и др.
Ступенчатые матрицы, ступенчатые формы матрицы в дальнейшем будут
играть важную роль.
Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую
размерность и равные соответсвенные элементы:
1.1.2. Линейные операции с матрицами
Линейными операциями называются операции сложения и умножения на
число.
8
Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется
матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме
соответствующих элементов слагаемых:
.
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же
размерности, каждый элемент которой равен произведению
соответствующего элемента на число:
.
Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:
1. 1·A=A,
2. 0·A= ,
3.  (  A) = (  )A,
4. A+(B+C) = (A+B)+C,
5. A+B = B+A,
6. ( + )A= A+ A,
7.  (A+B) =  A+ B.
где A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности,  — нулевая
матрица той же размерности (читается “тэта”),  и  — произвольные числа.
1.1.3. Умножение матриц
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным
образом.
Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой
из них равно числу строк второй. Если
9
то произведением матриц A и B называется матрица
,
элементы которой вычисляются по формуле
,
;
произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB.
Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:
1. A·B  B·A,
2. (A + B) · C = A·C + B·C,
3. C·(A + B) = C·A + C·B,
4.  (A·B) = ( A) ·B,
5. (A·B) ·C = A·(B·C).
Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.
Для квадратных матриц определена единичная матрица — квадратная матрица,
все диагональные элементы которой единицы, а остальные — нули:
10
Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En , где n —порядок
матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство
единичной матрицы
AE=EA=A.
1.1.4. Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если
существует квадратная матрица X той же размерности, удовлетворяющая
соотношениям
A·X=X·A=E.
Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1, т.е.
A·A-1= A-1·A=E.
1.1.5. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Обозначим:
,
,
,
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Тогда:
11
и рассмотренная система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том
смысле, что если числа
являются решением рассмотренной системы,
то соответсвующая матрица-столбец X является решением матричного
уравнения; и наоборот, если матрица-столбец X является решением матричного
уравнения, то ее элементы
являются решением рассмотренной
системы.
1.1.6. Матричные уравнения
Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.
Если m=n и матрица A обратима, то
,
т.е. получили выражение для решения системы линейных алгебраических
уравнений в матричной форме.
Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:
X·A = B, X = B·A-1,
A·X·B = C, X = A-1·C· B-1,
A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B.
1.1.7. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования
матрицПомимо операций с матрицами определены операции с элементами
матриц, операции со столбцами и строками матрицы — так называемые
элементарные преобразования матриц.
12
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют
следующие операции:
1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;
2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля,
число;
3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом),
умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.
Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицуA. Матрица,
получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется
транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT:
Для операции транспонирования справедливо:
1. ( A +  B)T =  A T +  B T,
2. (AB)T = B TA T .
Существуют матрицы, для которых операции умножения, возведения в степень,
обращения и транспонирования имеют дополнительные свойства.
Квадратная матрица A, для которой AT = A называется симметричной.
Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной
диагонали, равны.
Квадратная матрица U, для которой U -1 = U T называется ортогональной
матрицей.
13
14
Тема 2. Определители, их свойства, способы вычисления
Лекция 2
Аннотация: В данной вводится понятие определителя, доказываются
свойства определителей, изучаются методы их вычисления.
Ключевые слова: определитель, минор, алгебраическое дополнение,
окаймляющий минор.
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 20-39.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 . 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 31-55.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 21-30.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
40-53//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 52-69.
Глоссарий
15
Алгебраическое дополнение – дополнительный минор со знаком плюс или
минус.
Минор элемента матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной
матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих указанный элемент.
Определитель матрицы — сумма произведений элементов матрицы, взятых по
одному из каждой строки и каждого столбца со знаком плюс или минус.
Вопросы для изучения
 Определители 2-го, 3-го порядка.
 Перестановки и подстановки. Инверсия, четность.
 Определитель n-го порядка.
 Свойства определителей. Определитель треугольной матрицы.
 Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа (част. сл.).
 Определение обратной матрицы и способ вычисления.
Перестановки и подстановки.
Рассмотрим множество первых
натуральных чисел, которое обозначим как
.
Определение. Перестановкой
множества элементов из
расположение этих элементов в некотором порядке. Число
назовем любое
назовём порядком
перестановки.
Можно показать, что число различных перестановок для множества из
элементов равно
Определение. Числа
в перестановке
, если
.
и
образуют инверсию (нарушение порядка)
и
расположено левее .
16
Определение. Число инверсий всех элементов перестановки
инверсий перестановки
и обозначим
назовем числом
.
Для подсчета числа инверсий в перестановке необходимо подсчитать для
каждого элемента перестановки сколько элементов больших него стоит перед
ним (или сколько элементов меньших него стоит за ним) и все эти числа
сложить.
Определение. Перестановка называется четной (нечетной), если число
инверсий в ней четное (нечетное). Перестановка без инверсий считается
четной.
Свойства перестановок.
Свойство 1. Если в перестановке поменять местами любые два элемента, то ее
четность изменится.
Свойство 2. Для
равно
число четных и нечетных перестановок для множества
.
Определение. Подстановкой
отображение множества
-ой степени называется взаимно однозначное
на себя.
Всякая подстановка может быть представлена при помощи двух перестановок,
записанных одна под другой.
,
где
.
Подстановка может быть записана неединственным способом.
17
Число всех подстановок
-ой степени, очевидно, равна числу перестановок из
элементов, т.е.
Определение. Подстановка
называется единичной или
тождественной подстановкой.
Замечание. Обращаем внимание на то, что верхняя и нижняя строки в записи
подстановки
играют разные роли и, меняя их местами, получаем, вообще
говоря, другую подстановку. Так подстановки третьей степени
разные, т.к. в первой из них тройке соответствует двойка, а во второй — тройке
соответствует единица.
Определение. Произведением подстановок
подстановка
-ой степени
называется
-ой степени, которая является результатом последовательного
выполнения подстановок
(обозначается
Определение. Сигнатурой подстановки
).
назовем величину
.
Свойства сигнатуры.
1. Сигнатура подстановки не меняется при перемене местами столбцов
подстановки.
2.
3.
4.
.
.
.
18
Определение. Подстановка
называется четной, если
, и нечетной, если
.
Для
число четных подстановок равно числу нечетных и равно
.
Определители.
Обозначим через
Пусть
множество всех подстановок -ой степени.
— квадратная матрица -ого порядка.
Определение. Определителем матрицы
называется число (обозначается
), вычисляемое по формуле
.
Здесь суммирование ведется по множеству подстановок
, т.е. всего здесь !
слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение
матрицы
элементов
, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки,
умноженное на
(знак определяется значением сигнатуры
.
Определитель 1-ого порядка.
В этом случае
, множество
содержит одну подстановку
. Следовательно,
, т.е. определитель матрицы 1-
ого порядка равен элементу этой матрицы.
19
Определитель 2-ого порядка.
Пусть
Множество
.
состоит из двух подстановок:
,
При этом
.
Нетрудно видеть, определитель матрицы второго порядка равен произведению
элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной
диагонали.
Определитель 3-его порядка.
Пусть
Множество
.
состоит из 3!=6 подстановок:
,
.
Соответственно:
.
При этом получим
20
.
Можно предположить следующее правило для облегчения запоминания этой
формулы.
Со знаком плюс берутся слагаемые, состоящие из произведения элементов,
стоящих на главной диагонали матрицы
,
и из произведений элементов, образующих следующие два ”треугольника”
.
Со знаком минус берутся слагаемые, состоящие из произведения элементов,
стоящих на побочной диагонали матрицы
,
и из произведений элементов, образующие два “треугольника”
.
Свойства определителей.
21
Свойство 1. Определитель матрицы при ее транспонировании не меняется, т.е.
.
Свойство 2. Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из
нулей, то определитель равен нулю.
Свойство 3. Если одну из строк (столбцов) определителя умножить на
произвольное число, то определитель умножается на это число.
Свойство 4. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его
знак изменится на противоположный.
Свойство 5. Если в определителе есть две равные строки, то он равен нулю.
Следствие. Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он
равен нулю.
Свойство 6. Пусть в определителе
элементы -ой строки являются суммой
двух слагаемых
.
Тогда определитель
равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме -ой, совпадают, -тую строку одного определителя составляют
элементы
, а -тую строку другого — элементы
, т.е.
.
22
Свойство 7. Если к строке определителя прибавить другую строку,
умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
Свойство 8.Определитель произведения двух матриц равен произведению
определителей этих матриц, т.е.
.
Разложение определителя по строке (столбцу).
Пусть дана квадратная матрица
Определение. Минором
элементу
порядка .
порядка
матрицы
, соответствующим
, называется определитель матрицы, полученный из матрицы
вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента
матрицы
называется число
.
Лемма. Если в матрице
кроме одного элемента
все элементы -ой строки ( -ого столбца),
, равны нулю, то определитель матрицы равен
произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение, т.е.
.
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее
диагональных элементов.
Следствие. Сумма произведений элементов -ой строки на алгебраические
дополнения элементов -ой строки
равна нулю.
.
23
Определение. Присоединенной матрицей
матрицы
называется
матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы
Теорема. Матрица
.
обратима тогда и только тогда, когда
.
24
Тема 3. Линейные пространства
Лекция 3
Аннотация: В данной теме вводятся понятия линейного действительного
пространства, линейной зависимости, линейной независимости, базиса и
координат, подпространства, изоморфности.
Ключевые
координаты,
слова:
линейная
линейное
пространство,
комбинация,
линейная
размерность,
зависимость,
базис,
линейная
независимость
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 40-89.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 52-75.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 72-100.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
70-91//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 42-79.
25
Глоссарий
Линейная комбинация – сумма произведений векторов на действительные
числа.
Базис – максимальная линейно независимая система.
Координаты – коэффициенты разложения по базису.
Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк
матрицы.
Вопросы для изучения
 Определение действительного линейного (векторного) пространства.
 Примеры линейных пространств.
Определение линейной комбинации векторов. Определения линейной
зависимости и линейной
 Базис
пространства,
независимости векторов.
размерность.
Координаты
вектора.
Т.
о
единственности разложения вектора по базису. Базис и ранг системы
векторов.
 Изоморфизм линейных пространств. Т. о изоморфности линейных
пространств, следствие.
 Ранг матрицы. Т. о ранге. Т. о необходимом и достаточном условии
равенства нулю определителя.
 Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода.
Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к
другому.
 Подпространства.
Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная
совокупность n чисел. Обозначается
, числа
называются
компонентами арифметического вектора.
26
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение
арифметических векторов и умножение вектора на число:
,
для любых
и
и любого числа
Определение. Множество арифметических векторов, для которых
определены операции сложения и умножения на число называется
пространством рифметических векторов Rn.
Вектор
называется нулевым вектором, а вектор
— противоположным вектором для вектора
Для любых
,
,
.
из Rn и любых чисел ,  справедливо:
, сложение коммутативно;
1.
,сложение ассоциативно;
2.
3.
4.
, умножение на число ассоциативно;
5.
6.
7.
;
, умножение на число дистрибутивно относительно
сложения элементов;
8.
, умножение вектора на число дистрибутивно
относительно сложения чисел.
Примерами пространства арифметических векторов являются пространства
геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.
2.1.2. Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
27
Говорят, что вектор
пространства Rn линейно выражается через векторы
, если его можно представить в виде линейной комбинации этих
элементов
, т.е. представить в виде
.
Определение. Если хотя бы один вектор системы векторов
из Rn
линейно выражается через остальные векторы системы, то система
векторов называется линейно зависимой.
Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой,
называется линейно независимой.
2.1.3. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы
векторов
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Система
векторов из Rn линейно зависима тогда и только
тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов
из Rn линейно
выражается через остальные векторы системы.
2.1.4. Необходимое условие линейной независимости системы векторов (в
координатах)
Теорема (необходимое и достаточное условие линейной независимости в
координатной форме). Cистема векторов
из Rn линейно
независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель,
строками (столбцами) которого являются компоненты векторов системы:
Следствиями из этой теоремы являются следующие утверждения:
28
1. если
, то система векторов
из Rn — линейно зависима;
2. любая система векторов
из Rn, k > n — линейно зависима.
2.2. Размерность пространства Rn. Базис в Rn
2.2.1. Свойства базиса, естественный базис, координаты вектора в
заданном базисе
Итак установлено, что в пространстве Rn существует система из n линейно
независимых векторов, а любые n+1 вектора линейно зависимы.
Число n — размерность пространства Rn.
Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов
пространства арифметических векторов Rn называется базисом в Rn
.
Нетрудно показать, что любой вектор
через векторы базиса:
единственным образом выражается
. (На лекции
единственность доказана).
Числа
базисе
называют координатами вектора в
.
2.2.2. Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис
в подпространстве
29
Определение. Множество L векторов из Rn , такое, что для любых и из L и
любого числа  справедливо
, называется линейным
подпространством в Rn.
Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства
L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые
k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dimL=k.
Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного
линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.
Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы
линейно независимы, то для любого
чисел
из L
существует единственный набор
таких, что
.
2.2.3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису
Пусть
и
— два базиса в Rn.
Определение. Матрицей перехода от базиса
к базису
называется матрица C, столбцами которой являются координаты
векторов
в базисе
:
Матрица перехода обратима, поскольку векторы базиса линейно независимы и,
следовательно,
(см. п. 2.1.4, необходимое и достаточное условие
линейной независимости).
30
Вектор
линейно выражается через векторы обоих базисов. Связь
координат вектора в разных базисах установлена в следующей теореме.
Теорема. Если
то координаты
вектора в базисе
в базисе
где
, и его координаты
связаны соотношениями
— матрица перехода от базиса
к базису
,
— векторы-столбцы координат вектора в
базисах
и
соответственно.
Пусть A — прямоугольная матрица из m строк и n столбцов:
Строки
матрицы A можно рассматривать как элементы
пространства арифметических векторов Rn, а столбцы
— как
элементы Rm.
Строки и столбцы матрицы, рассматриваемые как элементы (векторы)
соответствующих пространств арифметических векторов обладают всеми
свойствами арифметических векторов, для них определены понятия линейной
зависимости и линейной независимости и справедливы все, приведенные выше,
утверждения для линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
линейного пространства.
31
3.1.2. Минор матрицы. Ранг матрицы
Определение. Минором матрицы порядка r называется определеитель,
составленный из элементов, расположенных на пересечении любых r строк и r
столбцов матрицы;
обозначаем Mr.
Минор Mr, расположенный в первых r строках и в первых r столбцах,
называется угловым или главным минором.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от
нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор
порядка r,
r<= min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг
матрицы.
Определение. Если ранг матрицы равен r, то любой отличный от нуля минор
матрицы порядка r называется базисным минором, а входящие в него столбцы
и строки называются базисными.
Используя свойства определителей нетрудно доказать, что элементарные
преобразования строк (столбцов) матрицы не изменяют ее ранга.
3.1.3. Теорема о базисном миноре
Теорема. Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы. Все
остальные строки (столбцы) матрицы линейно выражаются через базисные.
Из теоремы о базисном миноре, в частности, следует, что строки и столбцы
квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда ее
определитель отличен от нуля.
32
Важным следствием теоремы о базисном миноре является следующее
утверждение:
ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых сторк
(столбцов) матрицы, т.е. если r — ранг матрицы, то в матрице есть r
линейно независимых строк (столбцов), а любые r+1 строк (столбцов) —
линейно зависимы.
Вспомним, что матрица вида
Называется ступенчатой матрицей.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.
Поскольку доказано, что любую матрицу с помощью элементарных
преобразований можно привести к ступенчатому виду, а элементарные
преобразования не меняют ранга матрицы, то можно дать еще одно
эквивалентное определение ранга матицы: ранг матрицы равен числу ненулевых
строк в ступенчатой форме матрицы.
Это последнее определение позволяет вычислять ранг матрицы с помощью
Гауссова исключения: для того, чтобы вычислить ранг матрицы, приводим ее
Гауссовым исключением к ступенчатому виду и подсчитываем количество
ненулевых строк.
33
Тема 4. Системы линейных алгебраических уравнений
Лекция 4
Аннотация: В данной теме изучаются методы решения систем
линейных уравнений и рассматриваются вопросы применения решения систем
в других задачах.
Ключевые слова: метод Гаусса, формулы Крамера, общее решение,
фундаментальная система решений.
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 40-89.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 52-75.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 72-100.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
70-91//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 42-79.
Глоссарий
34
Матрица СЛАУ — матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных,
входящих в уравнения СЛАУ.
Минор элемента матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной
матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих указанный элемент.
Неоднородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ,
у которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю.
Неопределённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая неединственное решение.
Несовместная СЛАУ — то же, что и неразрешимая СЛАУ.
Неразрешимая СЛАУ — СЛАУ, не имеющая решений.
Общее решение СЛАУ — совокупность всех решений системы.
Однородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ, у которой
все свободные члены суть нули.
Определённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая единственное решение.
Приведённая матрица — матрица, у которой в каждой ненулевой строке
существует хотя бы один ненулевой элемент, в столбце которого все элементы
суть нули.
Приведённая СЛАУ — СЛАУ, у которой матрица системы приведенная.
Присоединённая матрица — матрица, элементами которой являются
алгебраические дополнения элементов транспонированной исходной матрицы.
Равносильные СЛАУ — системы, у которых общие решения совпадают.
Разрешимая СЛАУ — СЛАУ, имеющая хотя бы одно решение.
35
Расширенная матрица СЛАУ — матрица СЛАУ, к которой добавлен столбец
свободных членов уравнений системы.
Решение СЛАУ — набор значений неизвестных системы, обращающий все
уравнения системы в числовые равенства.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — совокупность
нескольких линейных алгебраических уравнений относительно одного набора
неизвестных.
Совместная СЛАУ — то же, что и разрешимая СЛАУ.
Вопросы для изучения
 Однородная, неоднородная, определенная, неопределенная, совместная,
несовместная системы. Понятие матрицы системы. Матричная запись
системы. Теорема Кронекера-Капелли.
 Метод Крамера, условия его применимости.
 Общая схема решения произвольной системы линейных уравнений.
Понятия общего решения и частных решений. Условия существования
единственного решения, множества решений.
 Метод Гаусса. Условия его применимости.
 Однородная система линейных уравнений. Совместность системы.
Условия существования единственного решения, множества решений.
Фундаментальная
система
решений,
условия
ее
существования.
Количество решений в ФСР.
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n
неизвестных
:
36
Решением системы называется совокупность n значений неизвестных
,
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не
имеющая ни одного решения — несовместной.
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:
, где
— матрица системы,
— правая часть,
— искомое решение,
— расширенная матрица системы:
Если правая часть системы равна нулю, то система называется однородной.
Для системы
однородная система
называется приведенной
однородной системой.
3.2.2. Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений
Используя свойства линейных операций с матрицыми, нетрудно доказать,
справедливость следующих утверждений.
37
1. Если и — два решения системы
числах и вектор
— решение системы.
2. Если и — два решения системы
приведенной однородной системы
3. Если решение системы
— решение системы
, то при любых действительных
,а
, то вектор
— решение
.
— решение системы
, то вектор
.
3.2.3. Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных
алгебраических уравнений
На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений
отвечает следующая теорема.
Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная
система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и
достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом
матрицы системы.
Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда
есть тривиальное — нулевое решение.
Совместность однородной системы легко получить из теоремы КронекераКапелли: добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может
увеличить ранг матрицы.
3.2.4. Нетривиальная совместность однородных систем. Необходимое и
достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное
решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же
однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и
ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
38
Нами уже доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы
необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен
нулю.
Теорема. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна,
необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа
неизвестных n.
3.2.5. Фундаментальная система решений. Структура общего решения
однородной системы линейных
Запишем однородную систему
в виде линейной комбинации столбцов:
Прежде всего заметим, что в силу свойств решений линейной однородной
системы ее решения образуют линейное подпространство в Rn. Если система
нетривиально совместна, ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n,
то по теореме о базисном миноре матрица имеет r линейно независимых
базисных столбцов, а остальные n-r линейно выражаются через базисные:
Здесь мы предположили, что базисный минор расположен в левом верхнем
углу и, следовательно, первые r столбцов матрицы системы линейно
независимы.
Положим
.
39
Легко проверить, что
— решение системы:
Аналогично определим
Нетрудно доказать (на лекции доказано), что система векторов
линейно независима, состоит из n-r решений однородной системы и любое
решение системы линейно выражается через векторы системы.
Отсюда следует, что размерность подпространства решений линейной
однородной системы равна n-r.
Определение. Система из n-r линейно независимых решений линейной
однородной системы называется фундаментальной системой решений.
Фундаментальная система решений — базис в подпространстве решений
линейной однородной системы.
Определение. Общим решением линейной системы называется выражение,
позволяющее вычислить все (любое) решения системы.
Таким образом, обобщив доказанные выше утверждения, можно
сформулировать теорему о структуре общего решения линейной однородной
системы.
40
Теорема. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений
мерньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в
виде
где
— произвольные константы, а
—
фундаментальная система решений.
3.2.6. Структура общего решения неоднородной системы
Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений
мерньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в
виде
где
— произвольные константы, а
—
фундаментальная система решений однородной системы, — некоторое
известное (частное) решение неоднородной системы.
3.3.1. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений относительно
n неизвестных
Метод Гаусса — точный метод решения систем линейных алгебраических
уравнений.
Метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений) состоит в
том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений
относительно n неизвестных
(определитель матрицы системы
отличен от нуля)
41
приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной
системе с треугольной матрицей
решение которой находят по рекуррентным формулам
В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса)
элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную
матрицу системы к ступенчатому виду:
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют
так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица
В результате получаем решение системы:
42
Опишем метод Гаусса последовательно.
Прямой ход
Рассмотрим расширенную матрицу системы
1-й шаг
Предположим, что a11 не равен 0.
Если это не так, и a11 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a11 не был
равен 0. Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит
нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна.
Элемент a11 (не равный 0) называется ведущим элементом.
Итак, a11 не равно 0.
Умножим первую строку на число
и прибавим ко второй строке, затем
умножим первую строку на число
и прибавим к третьей строке, и т.д., т.е.
последовательно умножаем первую строку на число
и прибавляем к i-й
строке, для i=2, 3, …, n.
Получим на первом шаге:
43
.
2-й шаг
Предположим, что a(1)22 не равен 0.
Если это не так, и a(1)22 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(1)22 не был
равен 0.
Здесь ведущий элемент a22 (е равный 0).
Умножим вторую строку на число
и прибавим к третьей строке, затем
умножим вторую строку на число
и прибавим к четвертой строке, и т.д.,
т.е. последовательно умножаем вторую строку на число
и прибавляем к
i-й строке, для i=3, 4, …, n.
Получим на втором шаге:
k-й шаг
Предположим, что a(k-1)kk не равен 0.
Если это не так, и a(k-1)kk = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(k-1)kk не
был равен 0.
44
Ведущий элемент a(k-1)kk) не равный 0).
Умножим k-ю строку на число
и прибавим к i-й строке, для i=k+1, k+2,
…, n.
Выполнив n-1 шаг получим:
.
Прямой ход закончен. Заметим, что все элементы на главной диагонали
отличны от нуля.
Обратный ход
1-й шаг.
Умножим последнюю строку на число
и прибавим к предпоследней
строке, затем умножим последнюю строку на число
и прибавим к (n-2)-й
строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем последнюю строку на число
и прибавляем к (n-i)-й строке, для i=1, 3, …, n-1.
Получим на первом шаге:
.
45
k-й шаг
Умножим k-ю строку на число
и прибавим к i-й строке, для i=k-1, k-2,
…, n-1.
Выполнив n-1 шаг получим:
Обратный ход закончен. Решение вычисляем по формулам:
3.3.2. Метод Гаусса-Жордана решения линейных систем
Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса тем, что при выполнении
вычислений прямого хода на k-м шаге делим k-е уравнение на a(k-1)kk (не равное
0) и выполняем дальнейшие вычисления с ведущим элементом, равным
единице.
Тогда в конце прямого хода имеем
а в конце обратного хода —
46
и тогда очевидно последний столбец содержит решение системы.
3.3.3. Метод Гаусса исследования однородных систем линейных
алгебраических уравнений
Прежде чем приступать к изложению метода Гаусса исследования
произвольных линейных систем заметим:
1. в силу свойств определителей, элементарные преобразования не меняют
ранга матрицы;
2. две линейные системы называются эквивалентными, если их множества
решений совпадают;
3. после линейных преобразований матрицы линейной системы получается
матрица системы, эквивалентной исходной системе.
Рассмотрим линейную систему
Если ранг матрицы системы равен r <= m (полагаем для удобства m<n), то
после Гауссовых исключений получим для однородной системы
47
.
Соответствующая эквивалентная система имеет вид
Отсюда легко получить выражения для переменных
. Переменные
переменные
через
называют базисными переменными, а
— свободными переменными.
Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы
которые определяют общее решение системы.
Положим последовательно значения свободных переменных равными
и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные nr решений
48
линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему
решений исследуемой однородной системы.
3.3.4. Метод Гаусса исследования неоднородных систем линейных
алгебраических уравнений
Рассмотрим совместную линейную систему
Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен r
<= m (полагаем для удобства m<n).
Выполнив Гауссовы исключения для расширенной матрицы системы получим
.
Соответствующая эквивалентная система имеет вид
49
Отсюда легко получить выражения базисных переменных
свободные переменные
через
. Формулы
определяют общее решение системы. Положив свободные переменные
равными нулю,
и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное
решение исследуемой системы:
.
3.3.5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса-Жордана
Пусть A — обратимая квадратная матрица. Обозначим
— j-й столбец
обратной матрицы. Тогда, поскольку
A•A-1=E, то, очевидно, справедливо:
,
т.е.
— матрица стобец с единицей в j-й строке.
Решим эти n систем методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку в их
левой части одна и та же матрица. Для этого запишем матрицу, содержащую в
50
первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную
матрицу, и выполним Гауссово исключение так, чтобы получилось:
Очевидно, что матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная
матрица.
Доказательство большинства утверждений раздела основаны на теореме о
базисном миноре.
Теорема о базисном миноре. Базисные строки (столбцы) матрицы линейно
независимы. Все строки (столбцы) матрицы линейно выражаются через
базисные.
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n
неизвестных
, m<= n:
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:
, где
— матрица системы,
— правая часть, — искомое решение,
— расширенная матрица системы:
51
Система линейных уравнений может быть записана в другомй матричной
форме, как линейная комбинация столбцов матрицы системы:
Если правая часть системы равна нулю, то система называется однородной.
Для системы
однородная система
называется приведенной
однородной системой.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не
имеющая ни одного решения — несовместной.
На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений
отвечает теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы неоднородная система
линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и
достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом
матрицы системы.
Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда
есть тривиальное — нулевое решение.
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное
решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же
однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и
ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
При m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и
достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
Теорема. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна,
необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа
неизвестных n.
52
В силу свойств решений линейной однородной системы ее решения образуют
линейное подпространство в Rn. Если система нетривиально совместна, т.е.
ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то размерность
подпространства решений линейной однородной системы равна n-r.
Система из n-r линейно независимых решений линейной однородной системы
называется фундаментальной системой решений.
Основное утверждение относительно решений однородных систем содержится
в теореме о структуре общего решения однородной системы:
Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений мерньше числа
неизвестных n, то общее решение системы можно записать в виде
где
— произвольные константы, а
—
фундаментальная система решений.
Для общего решения линейной неоднородной системы справедлива теорема:
Теорема. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейных уравнений
мерньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать в
виде
где
— произвольные константы, а
—
фундаментальная система решений однородной системы, — некоторое
известное (частное) решение неоднородной системы.
53
Заметим, что общее решение неоднородной системы линейных алгебраических
уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и
любого частного решения неоднородной системы.
Заметим также, что неоднородная система линейных алгебраических уравнений
имеет единственное решение тогда и только тогда, когда приведенная
однородная система тривиально совместна, т.е. когда ранг матрицы системы
равен числу неизвестных (r=n).
Поскольку мы рассматриваем только системы для которых m не превышает n,
необходимым и достаточным условием единственности решения неоднородной
системы является оличие от нуля определителя матрицы detA.
Исследование линейной системы проще всего производить методом Гаусса.
Выполнив Гауссовы исключения для расширенной матрицы системы получим
.
Если dr+1,n не равен 0, то, очевидно, система несовместна. Если же dr+1,n= 0, то
система совместна, соответствующая эквивалентная система имеет вид
а приведенная однородная —
54
Отсюда легко получить для обеих систем выражения базисных переменных
через свободные переменные
. Формулы
определяют общее решение однородной системы. Полагая последовательно
одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю, и , и
вычисляя соответствующие значения базисных переменных, получим
фундаментальную систему решений однородной системы..
Формулы
определяют общее решение неоднородной системы. Пололжив свободные
переменные равными нулю, и вычислив соответствующие значения базисных
переменных, получим частное решение неоднородной системы.
Общие решения обеих систем теперь можно записать механически.
Заметим, что в случае m=n (число неизвестных совпадает с числом уравнений).
55
Тема 5. Евклидовы пространства
Лекция 5
Аннотация: В данной теме вводятся понятия евклидова пространства,
нормированного пространства, ортонормированного базиса
Ключевые слова: евклидово пространство, скалярное произведение,
норма вектора, ортонормированный базис.
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 40-89.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 52-75.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 72-100.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
70-91//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 42-79.
Глоссарий
Норма вектора – корень квадратный из скалярного квадрата.
56
Ортогональные векторы — векторы, скалярное произведение которых равно
нулю.
Скалярное произведение двух векторов — сумма произведений
соответствующих координат этих векторов.
Вопросы для изучения:
 Определение евклидова пространства. Определение ортогональности
векторов, ортогональной системы векторов. Теорема о линейной
независимости ортогональной системы ненулевых векторов.
 Определения нормированного вектора и нормированного пространства.
Теорема о норме вектора в евклидовом пространстве. Нормирование
ненулевого
вектора.
Определение
скалярного
произведения
двух
векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.
Определение. Если каждой паре векторов
соответствие действительное число
из пространства Rn поставлено в
, так, что для любых
из Rn и
любого действительного числа справедливы следующие равенства:
1.
2.
3.
4.
при
,
,
— нулевой вектор,
то говорят, что в пространстве Rn определено скалярное произведение
.
4.2. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского
Нетрудно доказать (на лекции доказано), что для любых векторов , и
и
любого действительного числа справедливы следующие равенства:
1.
57
2.
3.
при
4.
,и
тогда и только тогда, когда
,
— нулевой
вектор.
Справедливо следующее неравенство (неравенство Коши-Буняковского):
Неравенство доказано на лекции.
4.3. Метрические соотношения в R n
Число
называется длиной вектора ; число
—
расстоянием между векторами и ; угол , косинус которого
,—
углом между векторами и .
Для любых
,
из Rn справедливы формулы:
4.4. Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные
базисы
Определение. Векторы и из пространства Rn называются ортогональными,
если
Определение. Система
векторов из пространства Rn называется
ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.
58
Теорема. Ортогональная система векторов линейно независима.
Определение. Система
векторов из пространства Rn называется
ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют
единичную длину.
Определение. Базис пространства Rn называется ортонормированным
базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют
Замечание. Можно доказать, что величины
характеризуют
взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного базиса.
59
Тема 6. Линейные операторы
Лекция 6
Аннотация: В данной теме вводятся понятия линейного оператора,
линейного преобразования, матрицы линейного преобразования.
Ключевые слова: линейный оператор, линейное преобразование,
матрица линейного преобразования
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 40-89.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 52-75.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 72-100.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
70-91//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 42-79.
Глоссарий
60
Линейный оператор – оператор, который переводит сумму элементов в
сумму образов, а произведение элемента на число в произведение этого числа
на образ элемента.
Линейное преобразование – линейный оператор, действующий в одном
пространстве.
Матрица линейного оператора – матрица, состоящая из коэффициентов
разложения образов базисных векторов по базисным векторам
Оператор – отображение, ставящее в соответствие элементу некоторого
пространства элемент другого пространства.
Вопросы для изучения
 Определение
оператора,
линейного
оператора,
линейного
преобразования.
 Определение
матрицы
линейного
преобразования.
Вырожденность
линейного преобразования. Отыскание координат образа вектора.
Определение. Если каждому элементу
единственный элемент
ставится в соответствие
, то говорят, что в пространстве Rn задан
оператор, действующий в пространстве Rn.
Результат действия оператора A на элемент обозначают
Если элементы и связаны соотношением
.
, то называют образом
элемента ; элемент — прообразом элемента .
Множество элементов пространства Rn, для которых определено действие
оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).
61
Множество элементов пространства Rn, которые являются образами элементов
из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и
обозначают Im(A). Если
, то
.
Ядром оператора называется множество элементов пространства Rn, образом
которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A):
.
Определение. Оператор A, действующий в пространстве Rn называется
линейным оператором, если для любых
из Rn и для любого числа
справедливо:
и
.
Замечание. До сих пор мы обозначали арифметические векторы как строки.
Однако часто удобнее представлять совокупность компонент арифметического
вектора в виде столбца. Понятно, что запись
позволяет перейти от
рассмотрения строк к рассмотрению столбцов и и обратно. Однако, чтобы не
перегружать записи и формулы, будем полагать допустимыми оба обозначения
для арифметических веторов:
и каждый раз использовать то
обозначение, которое удобнее.
Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в Rn. Число
называется собственным значением, а ненулевой вектор —
соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они
связаны между собой соотношением.
62
Пусть A — матрица оператора в некотором базисе в Rn. Тогда для собственного
значение и вектора-столбца координат соответствующего собственного
вектора справедливо:
Т.е. собственные значения оператора и соответствующие им собственные
векторы связаны соотношением
, где E — единичная матрица, а
— нулевой вектор Rn .
Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением
линейной однородной системы
. Однородная система имеет
ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы
равен нулю. Следовательно, число является собственным значением
оператора A тогда и только тогда, когда
. Собственные значения
линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения
, а собственные векторы — как решения соответствующих
однородных систем.
Определение. Многочлен
называется характеристическим
многочленом оператора, а уравнение
— характеристическим
уравнением оператора.
5.2.2. Свойства собственных векторов
Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора
справедливы следующие утверждения:
1) характеристический многочлен оператора, действующего в Rn является
многочленом n -й степени относительно и не зависит от выбора базиса;
63
2) линейный оператор, действующий в Rn имеет не более n различных
собственных значений;
3) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,
линейно независимы.
5.2.3. Собственный базис линейного оператора. Матрица линейного
оператора в собственном базисе
Если линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственных
значений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.
Определение. Базис, составленный из собственных векторов линейного
оператора называют собственным базисом оператора.
Если если
— собственный базис оператора A, то, поскольку
то матрица опреатора в этом базисе — диагональная матрица с
собственными значениями на диагонали.
Теорема. Матрица линейного оператора имеет диагональную форму тогда и
только тогда, когда она записана в базисе, составленном из собственных
векторов.
5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
Напомним, что в пространстве Rn определено скалярное произведение
векторов:
Определение. Если существует такой оператор B, что для любых и из Rn
справедливо
, то оператор B называется сопряженным
оператором к оператору A и обозначается A*:
64
Теорема. Если A — линейный оператор в Rn и A — его матрица в некотором
ортонормированном базисе, то у оператора есть сопряженный оператор и
матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица AT.
Нетрудно доказать (на лекции некоторые свойства доказаны) следующие
свойства сопряженного оператора:

что сопряженный к линейному оператору — линейный оператор;




характеристические многочлены операторов
и
совпадают.
5.3.2. Самосопряженный оператор
Определение. Если для любых и из Rn справедливо
, то
оператор A называется самосопряженным оператором.
5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного
оператора
Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного
оператора существует собственный ортонормированный базис.
Поскольку A =A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная
матрица.
5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
Из всего предыдущего изложения следует, следующий алгоритм приведения
матрицы линейного оператора к диагональной форме (если матрицу оператора
можно привести к диагональной форме). Этот алгоритм соостоит в следующем:

записываем матрицу оператора A в исходном базисе;
65

записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни
(находим собственные значения оператора);

находим собственный базис оператора (если он существует);

записываем диагональную форму матрицы оператора — диагональную
матрицу с собственными значениями на диагонали.
Если нужно указать преобразование, приводящее матрицу оператора к
диагональной форме, то выполняем еще два шага алгоритма:

записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты
собственных векторов (векторов собственного базиса);

по формуле C-1AC находим диагональную форму матриц оператора —
матрицу оператора в собственном базисе.
66
Тема 7. Квадратичные формы
Лекция 6
Аннотация: В данной теме вводятся понятия линейной формы,
квадратичной
формы,
матрицы
квадратичной
формы,
исследуется
положительная и отрицательная определенность.
Ключевые слова: линейная форма, квадратичная форма, матрица
квадратичной формы
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить на контрольные вопросы. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 240-289.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 152-175.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.)) ,
С. 272-300.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
270-291//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
- М.: Физматлит, 2008. – С 232-279.
Глоссарий
67
Линейная форма – сумма произведений переменных на дейстаительные
числа.
Квадратичная форма – сумма произведений переменных и квадратов
переменных на действительные числа.
Вопросы для изучения
 Определения
квадратичной
квадратичной
формы.
формы,
Матричная
линейной
запись
формы.
квадратичной
Матрица
формы.
Вырожденность квадратичной формы.
 Каноническая и нормальная квадратичные формы, вид их матриц.
 Определения положительно определенной, отрицательно определенной
квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Определение. Если любым и из линейного пространства L поставлено в
соответствие единственное действительное число
так, что для любых
и и любого действительного числа справедливо:
то говорят, что в пространстве L определена билинейная форма
.
Простейший пример билинейной формы — скалярное произведение.
Найдем выражение для билинейной формы в координатах.
Пусть
— базис в Ln. Тогда
68
где
— матрица билинейной формы.
6.1.2. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
Пусть
и
— два базиса в Ln. Тогда
где
— матрица билинейной формы в старом базисе,
— матрица билинейной формы в новом базисе
Вычислим элементы матрицы B'.
Запишем разложение "новых" базисных векторов
в старом" базисе
:
Тогда:
где
— матрица перехода от старого базиса
к новому базису
— элементы транспонированной матрицы
,
, Таким
образом, получена формула связи матриц билинейной формы в разных базисах:
.
69
6.2.1. Симметричные билинейные формы. Квадратичная форма. Матрица
квадратичной формы
Определение. Если для билинейной формы
при любых и из L
справедливо:
, то билинейная форма называется симметрической.
Очевидно, что матрица симметрической билинейной формы — симметричная
матрица.
Определение. Если
— симметрическая билинейная форма, то форма
называется квадратичной формой.
Если при любых и из L справедливо:
, то билинейная форма называется симметрической.
Если
где
— базис в Ln, то
— матрица квадратичной формы.
6.2.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
выдеолением полных квадратов (методом Лагранжа)
Теорема. Если
— произвольная квадратичная форма в n-мерном
линейном пространстве Ln, то в этом линейном промтранстве существует
базис, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов.
На лекции алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов
выделением полных квадратов продемонстрирован на примере.
70
Определение. Если квадратичная форма
в некотором базисе имеет вид
То говорят, что она записана в этом базисе в канонической форме.
6.2.3. Закон инерции квадратичных форм
Приводя квадратичную форму к сумме квадратов:
вобще говоря, будем получать различные коэффициенты при квадратах.
Однако, справедлива следующая теорема, которая носит название "закон
инерции квадратичных форм".
Теорема. Если квадратичная форма
приводится к сумме квадратов в
двух различных базисах, то число членов с положительными коэффициентами
и число членов с отрицательными коэффициентами в обоих случаях одни и те
же.
6.2.4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
Рассмотрим квадратичную форму
в n-мерном евклидовом пространстве
E.
Пусть A — матрица квадратичной формы в некотором ортонормированном
базисе в E.
Справедливы следующие утверждения.
1. Пространство линейных операторов, действующих в n-мерном
пространстве изоморфоно пространству квадратных матриц порядка
71
n.Тогда, задача о приведении квадратичной формы к каноническому виду
эквивалентна задаче о приведении к диагональной форме матрицы A
оператора А.
2. Оператор А — самосопряженный, поскольку его матрица в некотором
ортонормированном базисе A — симметричная матрица.
3. Существует ортонормированный базис, составленный из собственных
векторов оператора, в котором матрица самосопряженного оператора
имеет диагональный вид.
4. На диагонали матрицы самосопряженного оператора, записанной в
собственном базисе, расположены собственные значения оператора.
5. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому
ортонормированному базису — ортогональная.
6. Для ортогональных матриц имеет место равенство
.
7. Формула преобразования матрицы оператора при изменении базиса
имеет вид:
8. Формула преобразования матрицы квадратичной формы при изменении
базиса имеет вид:
Применив последовательно сформулированные выше утверждения к задаче о
приведении квадратичной формы к каноническому виду, получим
утверждение:
Существует ортогональное преобразование n-мерного евклидова
пространства, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду состоит в
слуедующем:
72

находим собственные значения матрицы квадратичной формы и
записываем её канонический вид в виде суммы квадратов,
коэффициентами при которых являются собственные значения
матрицы;

если нужно указать вид преобразования, то находим собственные
векторы матрицы, нормруем их, и записываем матрицу перехода от
исходного ортонормированного базиса к базису, составленному из
найденных собственных векторов.
73
Информационные источники
Основная литература:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. 6-е изд., стер. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 278 с.
2.Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян . М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .? 208
с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : р.206.0
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е. М.
Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 . 269 с. :
ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) .? ISBN 978-5-98180-994-1 ((в пер.))
, 200.
4. Вычислительная линейная алгебра : учебное пособие для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400
"Прикладная математика" и специальности 230401 "Прикладная математика" /
В. М. Вержбицкий .? Москва : Высшая школа, 2009 . 350, [1] с. : ил. ; 22 . (Для
высших учебных заведений, Математика) . Библиогр.: с. 340-344 (75 назв.) .?
Предм. указ.: с. 345-349 .? Указ. обозначений и сокр.: с. 350-351 . ISBN 978-506-005829-1 ((в пер.)) , 3000.
5. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
СПб.:Лань, 2009. - 512 с. // http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
6.Беклемишев Д.В.Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2008. - 307 с.
7.Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: учебник. - 6-е изд., стер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 280 с.
Дополнительная литература:
1.
Ефимов И.В. Краткий курс аналитической геометрии.
ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория базовых знаний, 2003. - 240 с.
2.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре / И. В.
Проскуряков.9-е издание. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 383 с
74
3.
О.Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической
геометрии. 31-е изд., стер. СПб.: Издательство "Лань", 2003. 336 с.
4.
Малугин В.А. Линейная алгебра. - М., Эксмо, 2006. - 215 с.
5.
Просветов Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
задачи и решения. - М., Альфа-Пресс,2009. - 208 с.
7.
Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,
1979. 512 с.
8.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. 13-е изд.,
стер. - СПб.: Лань, 2001. - 288с. 10.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. - СПб.: Лань, 2005.- 304 с.
11.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. 10-е изд., испр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 304 с.
12.
Дураков Б. К. Краткий курс высшей алгебры. - М., Физматлит, 2006.
- 230 с.
13.
Малугин В.А. Линейная алгебра. - М., Эксмо, 2006. - 215 с.
Интернет-ресурсы:
1.
Видео-курс лекций по линейной алгебре http://www.intuit.ru/department/mathematics/linalres/1/
2.
Линейная алгебра (пособие для студентов технических университетов) http://www.resolventa.ru/metod/student/linalg.htm
3.
Линейная алгебра http://twt.mpei.ac.ru/math/LARB/Matrdet/Matrix/LA_01010300.html
4.
Линейная алгебра для чайников - http://obitel-minsk.by/exsite/lineynayaalgebra-dlya-chaynikov.html
5.
Линейная алгебра онлайн - http://www.fxyz.ru
75
Глоссарий
Алгебра — раздел математики, изучающий операции над элементами множеств
произвольной природы, обобщающие обычные операции сложения
и умножения чисел.
Верхне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие ниже главной диагонали, суть нули.
Вырожденная матрица — матрица, определитель которой равен нулю.
Главная диагональ матрицы — элементы матрицы, у которых номер строки
совпадает с номером столбца.
Диагональная матрица — матрица, являющаяся одновременно и нижнеи верхне-треугольной.
Единичная матрица — квадратная матрица, у которой элементы главной
диагонали равны единице, а прочие элементы суть нули.
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк и столбцов совпадает.
Матрица — прямоугольная таблица чисел.
Матрица СЛАУ — матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных,
входящих в уравнения СЛАУ.
Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца.
Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки.
Матричное уравнение — уравнение, в котором в качестве неизвестного
фигурирует матрица.
76
Минор элемента матрицы — определитель матрицы, полученной из исходной
матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих указанный элемент.
Невырожденная матрица — матрица, определитель которой отличен от нуля.
Неоднородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ,
у которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю.
Неопределённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая неединственное решение.
Несовместная СЛАУ — то же, что и неразрешимая СЛАУ.
Неразрешимая СЛАУ — СЛАУ, не имеющая решений.
Нижне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие выше главной диагонали, суть нули.
Нуль-матрица — матрица, все элементы которой суть нули.
Обратимая матрица — матрица, у которой существует обратная матрица.
Обратная матрица для некоторой матрицы — матрица, которая при
перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу.
Общее решение СЛАУ — совокупность всех решений системы.
Однородная система линейных алгебраических уравнений — СЛАУ, у которой
все свободные члены суть нули.
Определённая СЛАУ — СЛАУ, имеющая единственное решение.
Определитель матрицы — сумма произведений элементов матрицы, взятых по
одному из каждой строки и каждого столбца со знаком плюс или минус.
Ортогональные векторы — векторы, скалярное произведение которых равно
нулю.
77
Приведённая матрица — матрица, у которой в каждой ненулевой строке
существует хотя бы один ненулевой элемент, в столбце которого все элементы
суть нули.
Приведённая СЛАУ — СЛАУ, у которой матрица системы приведенная.
Присоединённая матрица — матрица, элементами которой являются
алгебраические дополнения элементов транспонированной исходной матрицы.
Равносильные СЛАУ — системы, у которых общие решения совпадают.
Разрешимая СЛАУ — СЛАУ, имеющая хотя бы одно решение.
Ранг матрицы — максимальное число линейно независимых строк матрицы.
Расширенная матрица СЛАУ — матрица СЛАУ, к которой добавлен столбец
свободных членов уравнений системы.
Решение СЛАУ — набор значений неизвестных системы, обращающий все
уравнения системы в числовые равенства.
Симметричная матрица — матрица, совпадающая со своей транспонированной.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — совокупность
нескольких линейных алгебраических уравнений относительно одного набора
неизвестных.
Скалярное произведение двух векторов — сумма произведений
соответствующих координат этих векторов.
Совместная СЛАУ — то же, что и разрешимая СЛАУ.
Транспонированная матрица — матрица, в которой по отношению к исходной
матрице строки и столбцы поменяны местами.
78
Вопросы к экзамену
Матрицы, операции над матрицами.
 Понятие матрицы, элементов, порядков.
 Виды матриц: квадратная, симметричная, треугольная, диагональная, единичная,
нулевая. Главная и побочная диагонали квадратной матрицы.
 Операции над матрицами (сложение, умножение, умножение на число,
транспонирование) и их свойства.
2. Определители и их свойства.
 Определители 2-го, 3-го порядка.
 Перестановки и подстановки. Инверсия, четность.
 Определитель n-го порядка.
 Свойства определителей. Определитель треугольной матрицы.
 Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа (част. сл.).
 Определение обратной матрицы и способ вычисления.
3. Линейные пространства
 Определение действительного линейного (векторного) пространства.
 Примеры линейных пространств.
Определение линейной комбинации векторов. Определения линейной зависимости и
линейной
независимости векторов.
 Базис пространства, размерность. Координаты вектора. Т. о единственности
разложения вектора по базису. Базис и ранг системы векторов.
 Изоморфизм линейных пространств. Т. о изоморфности линейных пространств,
следствие.
 Ранг матрицы. Т. о ранге. Т. о необходимом и достаточном условии равенства нулю
определителя.
 Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода. Преобразование
координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
 Подпространства.
4. Системы линейных уравнений.
 Однородная, неоднородная, определенная, неопределенная, совместная, несовместная
системы. Понятие матрицы системы. Матричная запись системы. Теорема КронекераКапелли.
 Метод Крамера, условия его применимости.
 Общая схема решения произвольной системы линейных уравнений. Понятия общего
решения и частных решений. Условия существования единственного решения,
множества решений.
 Метод Гаусса. Условия его применимости.
 Однородная система линейных уравнений. Совместность системы. Условия
существования единственного решения, множества решений. Фундаментальная
система решений, условия ее существования. Количество решений в ФСР.
5.
Евклидовы пространства.
 Определение евклидова пространства. Определение ортогональности векторов,
ортогональной системы векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной
системы ненулевых векторов.
 Определения нормированного вектора и нормированного пространства. Теорема о
норме вектора в евклидовом пространстве. Нормирование ненулевого вектора.
1.
79



Определение скалярного произведения двух векторов, заданных координатами в
ортонормированном базисе.
6. Линейные операторы.
 Определение оператора, линейного оператора, линейного преобразования.
 Определение матрицы линейного преобразования. Вырожденность линейного
преобразования. Отыскание координат образа вектора.
7. Квадратичные формы.
Определения квадратичной формы, линейной формы. Матрица квадратичной формы.
Матричная запись квадратичной формы. Вырожденность квадратичной формы.
Каноническая и нормальная квадратичные формы, вид их матриц.
Определения положительно определенной, отрицательно определенной квадратичной
формы. Критерий Сильвестра.
80