Монотонность предпочтений. Определения.

"Микроэкономика"(2013/2014)
Монотонность предпочтений. Определения.
Введем следующие определения монотонности, когда все товары в наборе являются
благами (то есть когда в наборе нет антиблаг):
Предпочтения называются монотонными, если выполнено следующее утверждение: для любой пары векторов x, y ∈ X верно, что если все элементы вектора x
строго больше соответствующих элементов вектора y (записываем как x y), то
набор x строго предпочитается набору y (т.е. x y).
По смыслу: монотонность предпочтений означает, что если увеличить количество
каждого товара в наборе, то потребителю станет строго лучше.
Предпочтения называются слабо монотонными, если выполнено следующее утверждение: для любой пары векторов x, y ∈ X верно, что если x ≥ y и x 6= y (т.е. все
элементы в x не меньше, чем соответствующие элементы в y и при этом существует
хотя бы один элемент вектора x, который строго больше соответствующего элемента
y), то x y.
Будем считать, что x ≥ y, если все элементы вектора x не меньше, чем соответствующие элементы вектора y. По смыслу: слабая монотонность предпочтений означает,
что потребитель может быть безразличен к увеличению количества некоторых (но
не всех!) товаров в наборе. Если бы он мог быть безразличен к увеличению количества всех товаров в наборе, то это бы означало, что некоторые товары являются
антиблагами (то есть кривая безразличия могла бы иметь положительный наклон).
Замечание: любое антиблаго можно переопределить в терминах блага. Например,
если загрязнеие воздуха является антиблагом, то снижение загрязнения является
благом.
1
Предпочтения называются строго монотонными, если выполнено следующее
утверждение: для любой пары векторов x, y ∈ X верно, что если x ≥ y и x 6= y (т.е.
все элементы в x не меньше, чем соответствующие элементы в y и при этом существует хотя бы один элемент вектора x, который строго больше соответствующего
элемента y), то x y.
По смыслу: строгая монотонность означает, что если увеличить количество любого
товара в наборе, то потребителю станет строго лучше. Иными словами, предпочтения строго монотонны, если потребитель не может быть безразличен к увеличению
ни одного товара в наборе.
Обратите внимание на различие определений монотонности и строгой монотонности. Монотонность предполагает, что потребителю станет лучше, если увеличить
количество всех товаров в наборе. Строгая монотонность предполагает, что потребителю станет лучше, если увеличить количество хотя бы одного товара в наборе.
Таким образом, строгая монотонность является более сильным условием, чем просто
монотонность.
Обратите внимание на различие определений слабой и строгой монотонности.
Слабая монотонность предполагает, что потребитель может быть безразличен к увеличению некоторых, но не всех товаров в наборе. Строгая монотонность предполагает, что такая ситуация невозможна. Таким образом, из строгой монотонности следует
слабая монотонность, но не наоборот.
Также обратите внимание, что если, например, потребитель предпочитает один
набор другому при том, что в первом наборе каких-то товаров больше, а каких-то
меньше, чем во втором, то это само по себе еще ничего не говорит о его предпочте2
ниях с точки зрения принятых нами определений монотонности.
Рассмотрим пункт 2.1.3 из домашнего задания с учетом введенных определений.
Предположим, комитет должен принять решение о том, кому из студентов назначить повышенную стипендию. Студенты были оценены по их среднему баллу,
оценке за курсовую работу, а также по уровню рекомендаций, предоставленных их
преподавателями. Комитет выбрал следующее правило: студент X строго предпочитается студенту Y, если он превосходит студента Y по крайней мере по двум из трех
показателей.
(2.1.3) Является ли заданное выше отношение предпочтения слабо монотонным?
Является ли оно строго монотонным? Обоснуйте свой ответ.
Для начала определим, что можно сказать о заданных предпочтениях в смысле
монотонности. Монотонность предполагает, что увеличение количества всех товаров в наборе строго улучшает положение потребителя. В данном случае, если есть
студенты X и Y, такие что все три параметра студента X лучше соответствующих
параметров студента Y, то X Y . Это безусловно верно, так как для того, чтобы
X Y в этих предпочтениях достаточно, чтобы хотя бы два элемента X были лучше, чем Y . Если все три элемента в X будут больше, чем в Y , то тем более X Y .
Значит, наши предпочтения монотонны.
Что можно сказать о предпочтениях в смысле слабой монотонности? Слабая монотонность выполнена, если для всех пар студентов X и Y , таких что X не хуже Y
и хотя бы по одному элементу X лучше, чем Y , верно, что X Y . Рассмотрим двух
студентов X и Y , таких что средний балл у X выше, чем у Y , но при этом оценка
за курсовую работу и качество рекомендаций одинаковы. Для таких студентов наши
предпочтения ничего не говорят о том, какой из них предпочитается. Значит, мы не
можем проверить, являются ли предпочтения слабо монотонными.
3
Что можно сказать о предпочтениях в смысле строгой монотонности? Строгая
монотонность выполнена, если для всех пар студентов X и Y , таких что X не хуже
Y и хотя бы по одному элементу X лучше, чем Y , верно, что X Y . Аналогично,
рассмотрим двух студентов X и Y , таких что средний балл у X выше, чем у Y , но
при этом оценка за курсовую работу и качество рекомендаций одинаковы. Для таких
студентов наши предпочтения ничего не говорят о том, какой из них предпочитается.
Значит, мы не можем проверить, являются ли предпочтения строго монотонными.
4