I. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. II.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

I. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ.
II.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
III.ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.
IV.ПРИМЕРЫ
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПУСТЬ
х
– ПРИРАЩЕНИЕ
АРГУМЕНТА х. ТОГДА х+
х–
НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА, А
f(х) = f(х+ х) – f(x) СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ f(х).
f(х)
СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ
Х .
ПО АНАЛОГИИ С ДВИЖЕНИЕМ В
ФИЗИКЕ ЭТО ОТНОШЕНИЕ МОЖНО
НАЗВАТЬ СРЕДНЕЙ СКОРОСТЬЮ
ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ.
Пусть
Δх  O, ТОГДА ПРЕДЕЛ
НАЗЫВАЕТСЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
ДРУГИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
Y’
,
f(x)
.
В ТОЧКЕ
Х.
ЕСЛИ УКАЗАННЫЙ ПРЕДЕЛ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ФУНКЦИЯ f(x)
НАЗЫВАЕТСЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ В ДАННОЙ ТОЧКЕ х. ЕСЛИ ЖЕ ПРЕДЕЛ
РАВЕН
∞
, ТО ГОВОРЯТ, ЧТО ФУНКИЯ
f(x) ИМЕЕТ
БЕСКОНЕЧНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ.
ДОКАЖЕМ, ЧТО
В ЭТОМ СЛУЧАЕ
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
f(x) = X,
f(x) = f(x+
Х’=1.
f(x+
x) = x+ x.
x) – f(x) = X+
X - X =
СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ
F(x)
X
X
X
X’ = lim 1 = 1  X’ = 1
, ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.
X
ГДЕ
- УГОЛ НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНОЙ
КРИВОЙ
ОСИ
f(x)
В ТОЧКЕ
Оx. ЧТО
Х)
М0N
(ПРОВЕДЕННОЙ К
К ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
ТАКОЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ? ЕСЛИ ПРИ
( М1

М0) СЕКУЩАЯ М1М0 СТРЕМИТСЯ ЗАНЯТЬ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
М0N, ТО ЭТА ПРЯМАЯ М0N НАЗЫВАЕТСЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К
КРИВОЙ f(x) В ТОЧКЕ М0 (ПРИ ЗАДАННОМ Х).
ПУСТЬ ТЕЛО ДВИЖЕТСЯ ПРЯМОЛИНЕЙНО, И ЗАКОН ЕГО ДВИЖЕНИЯ ПО
ВРЕМЕНИ ЗАДАН УРАВНЕНИЕМ S=S(t), ГДЕ S- РАССТОЯНИЕ,
ПРОЙДЕННОЕ К МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
t.
ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ
ЕСТЬ МНГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ В МОМЕНТ
t,
Т.Е.
S’(t)
ПУСТЬ U’ И V’ СУЩЕСТВУЮТ, Т.Е. ФУНКЦИИ
U(x)
И
V(x)
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ, ТОГДА
1.( U + V )’ = U’ + V’
2.( UV )’ = U’ V + V’ U –
3.
( )’ =
ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА
, V ≠ 0
4.( CU )’ = C U‘ , C – const.
ГДЕ
u
u(x), Т.Е. y = f(u(x)) – СЛОЖНАЯ
ФУНКЦИЯ, ПРИЧЕМ ФУНКЦИИ f(u) И u(x) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ.
ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ y’(x) МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА ПО
Y’(x) = f’u(u(x))
.
Пусть
y = f(u),
=
ФОРМУЛЕ:
u’(x).
В
ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ f(u) – ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ, ТО
ПОЛУЧАЕМ ТАБЛИЦУ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ:
1. С ’= 0, C – const.
2. (Un)’= n . Un-1 . U’ , n - const.
3.
( )’ = -
. U’
. U’
5. (sinU)’ = cosU . U’
6. (cosU)’ = - sinU . U’
4. ( U)’ =
. U’
7. (tgU)’ =
8. (ctgU)’ = -
. U’
9. (arcsinU)’ =
. U’
. U’
10. (arccosU)’ = 11. (arctgU)’ =
12. (arcctgU)’ = -
. U’
. U’
13. (аu)’ = аu . lna . U’ , a>O, a≠1
14. (еu)’ = еu . U’
. U’, a>O, a≠1
15. (logaU)’ =
16. (lnU)’ =
. U’
ЗАМЕЧАНИЕ: ЕСЛИ U = Х, ТО U’= X’=1,a ТАБЛИЦА I УПРОЩАЕТСЯ
1. C’ = 0, C – const.
2. (Xn)’ = nXn-1 , n – const.
3. ( )’= 4. ( X)’=
5. (sinX)’ = cosX
6. (cosX)’ = - sinX
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1. y = X2 -5X + 4 , y - ?
y’=(X2 – 5X + 4)’= (X2)’– (5X)’+ 4’= 2X – 5.X’ + 0 = 2X- 5.1=
= 2X – 5.
2. y= 4 X +
-
, y’ = ?
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗУЕМ у К СУММЕ СТЕПЕННЫХ
ФУНКЦИЙ, ВВОДЯ ДРОБНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ.
y= X1/4 + 5X-1/3 -
ТЕПЕРЬ y’=
-
(-3)X-4 =
3. y = X5(2-
X-3.
X-3/4 + 5(-
)X-4/3 –
+
+3X2) , y’ - ?
1-Й СПОСОБ (ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА).
y’ = (X5)’.(2- + 3X2)+(2= 5X4(2-
+3X2)’.X5 =
+ 3X2) + (6X - ).X5= 10X4-
= 10X4 – 2X5 + 21X6
+ 15X6 +6X6 -
=
2-Й СПОСОБ. ВНАЧАЛЕ РАСКРОЕМ СКОБКИ.
y = X5(2y’ = (2X5 -
+3X2) = (2X5 -
+ 3X7 ). ТЕПЕРЬ
+3X7)’ = (2X5)’ – (
) + (3X7)’ =
= 10X4 – 2X5 + 21X6.
4. f(x) =
f’(x) =
=
5. y =
(
, f’(x) - ?
)’=
=
=
=
, y’ = ?
y’=
=
=
=
=
=
.
6. y = sin6X , y’ - ?
y’ = (sin6X)’ = (sinU)’ = cosU
7. y = (1+5x)3
.
.
.
(6X)’ = 6 cos6X
, y’ - ?
y’ = ((1 + 5x)3)’ = (U3)’ = 3U2
= 15
U’ = cos6X
.
U’ = 3(1+5x)2
.
(1+5x)’ =
(1+5x)2
8. (cos2X)’ = ((cosX)2)’ = (U2)’ = 2U
= - 2cosX
.
.
U’ = 2cosX
.
(cosX)’ =
sinX = - sin2X
2
2
2
9. (esinX )’ = (eU)’ = eU . U’ = esinX . (sinX2)’ = esinX . (sinU)’ =
2
2
2
= esinX . cosU . U’ = esinX . cosX2 . (x2)’ = 2X . esinX . cosX2.