xxxxxxxxxxxxxx

Задача № 1.
В сферу радиуса 𝑅 вписана пирамида 𝑇𝐴𝐵𝐶𝐷, основанием которой служит прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, а
высота пирамиды совпадает с боковым ребром 𝑇𝐴. Боковое ребро 𝑇𝐶 наклонено к плоскости основания
под углом 45° , а плоскость, проходящая через 𝑇𝐶 и параллельная диагонали основания 𝐵𝐷, образует с
высотой пирамиды угол 30° . Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через диагональ основания 𝐵𝐷 ?
T
30
R
O
R
R
A
B
M
Q
R
R
H
N
L
45
D
C
K
P
Решение.
1. Пусть т. 𝑂 – центр сферы (Т. 𝑂 равноудалена от вершин пирамиды), т.е.
𝐴𝑂 = 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂 = 𝐷𝑂 = 𝑇𝑂 = 𝑅.
2. ∠TCA=45° - угол между 𝑇𝐶 и (𝐴𝐵𝐶).
3. Построим плоскость, проходящую через 𝑇𝐶 и параллельную диагонали основания 𝐵𝐷: в плоскости
𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 ∥ 𝑃𝐶, 𝐴𝐷 ∩ 𝑃𝐶 = 𝑃. Плоскость 𝑇𝐶𝑃 ∥ 𝐵𝐷 и 𝑇𝐶 ⊂ (𝑇𝐶𝑃).
4. ∠𝐴𝐾𝑇 − линейный угол двугранного угла 𝑇𝑃𝐶𝐴 => 𝑃𝐶 ⊥ (𝑇𝐴𝐾) => (𝑇𝐴𝐾) ⊥ (𝑇𝐶𝑃), т.к.
𝑃𝐶 ⊂ (𝑇𝐶𝑃) => 𝑇𝐾 содержит проекцию 𝐴𝑇 на плоскость 𝑇𝐶𝑃 => ∠𝐴𝑇𝐾 = 30° - угол, образованный
плоскостью 𝑇𝐶𝑃 и высотой пирамиды 𝑇𝐴.
5. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания 𝐵𝐷, − ∆𝐵𝐷𝑀,
вершина которого 𝑀 лежит на ребре 𝑇𝐶. Площадь этого треугольника тем меньше, чем меньше
его высота.
1
6. ∆𝑇𝐴𝐶: 𝑇𝐶 = 2𝑅; ∠𝑇𝐴𝐶 = 90° ; ∠TCA=45° => 𝑇𝐴 = 𝐴𝐶 = 𝑅√2; 𝐴𝐻 = 𝐻𝐶 = 2 𝐴𝐶 =
𝑅√2
2
.
7. ∆𝐴𝑁𝐻 подобен ∆𝐿𝑄𝐻 по двум углам, т.к. ∠ANH=∠LQH=90° ; ∠AHN=∠LHQ как вертикальные =>
𝐴𝑁
𝑄𝐿
=
𝐴𝐻
1
1
1
; 𝐴𝑁 = 2 𝐴𝐾 = 2 𝑇𝐴 ∙ 𝑡𝑔30° = 2 𝑅√2 ∙
𝐻𝐿
1
1
√3
𝐻𝐿2
8. ∆𝑄𝑀𝐿: 𝑄𝑀 = √𝑄𝐿2 + 𝑀𝐿2 = √𝑄𝐿2 + 𝐿𝐶 2 = √
2
= 2 𝑅√3 =
3
𝑅
√6
𝑅
√6
. Т.о.
𝑄𝐿
𝐻𝐿2
+
3
𝑅2
2
4
4
ℎ′ (𝑥) =
8
𝑥−𝑅√2
3
, ℎ′ (𝑥) = 0, если
2
4
𝑅
2√ 𝑥 2 −𝑅√2∙𝑥+
3
ℎ′ (𝑥)
|
0
3√2∙𝑅
, 0<𝑥<
𝑅2
2
2
=
𝐻𝐿
√3
|
|
3√2∙𝑅
𝑅√2
8
2
3√2∙𝑅
8
− 𝐿𝐶; 𝐿𝐶 =
𝑅√2
2
− 𝐻𝐿).
.
𝑅√2
2
𝑥 − 𝑅√2 = 0, т. е. 𝑥 =
3
3√2∙𝑅
8
4
, (2√3 𝑥 2 − 𝑅√2 ∙ 𝑥 +
𝑅2
2
> 0).
3
функция достигает своего наименьшего значения
6
𝑅2
4
) = √8 𝑅 2 − 8 𝑅 2 + 8 𝑅 2 = √ 8 =
1
1
𝑅2
4
𝑅√2
4
=
𝑅2
4
𝑅√2
4
.
2
+
𝑆 = 2 ∙ 𝐵𝐷 ∙ ℎ = 2 𝑅√2 ∙
Ответ:
2
𝑅√2
𝑅∙𝐻𝐿∙2
√6∙𝑅√2
𝑥
В точке 𝑥 =
8
; 𝑄𝐿 =
2
−
ℎ(𝑥)
ℎ(
𝑅2
8
𝐻𝐿
2
− 𝑅√2 ∙ 𝐻𝐿 + 𝐻𝐿2 = √3 𝐻𝐿2 − 𝑅√2 ∙ 𝐻𝐿 +
Рассмотрим функцию ℎ(𝑥) = √3 𝑥 2 − 𝑅√2 ∙ 𝑥 +
𝑅√2
2
𝐻𝐿
𝑅√2
+ 𝐿𝐶 2 = √ 3 + ( 2 − 𝐻𝐿)
(в. ∆𝑀𝐿𝐶 ∠𝑀𝐿𝐶 = 90° ; ∠𝑀С𝐿 = 45° => 𝑀𝐿 = 𝐿𝐶; 𝐻𝐿 = 𝐻𝐶 − 𝐿𝐶 =
Т. о. 𝑄𝑀 = ℎ = √
=
.
. (𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 как диагонали прямоугольника).
.
Замечание:
Возможен другой способ решения задачи, если замети, что высота 𝑀𝑄 треугольника 𝐵𝐷𝑀 будет
наименьшей, если 𝑀𝑄 ⊥ 𝑇𝐶 (т. 𝑄 ∈ 𝐵𝐷, |𝑄𝑀| − расстояние от т. 𝑄 до 𝑇𝐶); 𝑄𝑀 – общий
перпендикуляр между скрещивающимися прямыми 𝑇𝐶 и𝐵𝐷.