Задачи для подготовки к экзамену по геометрии, 10 класс

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ
НА ЛЕТНЕЙ СЕССИИ 2009-2010 УЧЕБНОГО ГОДА
1. В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник, а ее ребро МВ
перпендикулярно плоскости основания. На ребрах АВ и АD взяты точки Р и Q –
середины этих ребер. Отношение ребер пирамиды АВ : AD : MB = 1 : 2 : 1. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью грани МВС следующие прямые: а) MA; б) MP;
в) MQ.
2. В основании пирамиды МАВСD лежит прямоугольник, а ее ребро МВ
перпендикулярно плоскости основания. На ребрах АВ и АD взяты точки Р и Q –
середины этих ребер. Отношение ребер пирамиды АВ : AD : MB = 1 : 2 : 1. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью грани МВС следующие прямые: а) MA; б) MP;
в) MQ.
3. ABCDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед, в котором АВ = 2, АD = АА1 = 1.
Найдите угол между диагональю ВD1 и плоскостью, проходящей через точки D, С1 и А1.
4. Дан куб ABCDА1В1С1D1 с ребром а, К – середина ребра DD1. Найдите угол и
расстояние между прямыми СК и А1D.
5. Найдите угол и расстояние между двумя скрещивающимися медианами двух
боковых граней правильного тетраэдра с ребром а.
6. В кубе ABCDА1В1С1D1, ребро которого равно 6, точки М и N – середины ребер АВ и
В1С1 соответственно, а точка К расположена на ребре DС так, что DК = 2 КС. Найти
расстояние от точки N до прямой АК, расстояние между прямыми МN и АК, расстояние
от точки А1 до плоскости треугольника МNК.
7. Сторона основания АВС правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 6, а
3
высота равна
. На ребрах АС, А1С1 и ВВ1 расположены соответственно точки P, F и
7
К так, что АР = 1, A1F = 3 и BK = KB1. Построить сечение призмы плоскостью,
проходящей через точки P, F и К. Найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
8. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен
2 . Найдите двугранный угол при ребре основания и угол наклона бокового ребра к
плоскости основания.
9. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом . Точка О равноудалена от всех вершин пирамиды.
Найдите расстояние от точки О до вершин пирамиды.
10. В правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости
основания равен . Найдите двугранный угол при ребре основания и двугранный угол
при боковом ребре.
11. Боковое ребро наклонено к плоскости основания правильной треугольной
пирамиды под углом . Точка О удалена от всех вершин пирамиды на расстояние R.
Найдите сторону основания пирамиды.
12.Точка О удалена от всех вершин правильной треугольной пирамиды на расстояние
R. Двугранный угол при ребре основания β. Найдите сторону основания пирамиды.
13. В четырехгранном угле SABCD все плоские углы, а также угол ASC равны 600.
Найдите величины его двугранных углов.
14. Плоские углы трехгранного угла равны 600, 600 и 900. Докажите, что плоскость,
отсекающая от ребер три равных отрезка, перпендикулярна плоскости прямого угла.
15. В кубе ABCDА1В1С1D1 через диагональ АС1 проведены плоскости АС1D1 и АС1В1.
Вычислить угол между ними.
16. Все плоские углы выпуклого четырехгранного угла равны 600. Два
противоположных ребра этого четырехгранного угла взаимно перпендикулярны.
Найдите угол между двумя другими противоположными ребрами.
17.Три двугранных угла тетраэдра, не принадлежащие одной вершине, равны

.
2
Оставшиеся три двугранных угла равны между собой. Найдите эти углы.
18.Найти высоту SO пирамиды SABC, если SA  BC  8 , AB  SB  SC  17 , AC  15 .
19. В пирамиде SABC ребра AS и BC взаимно перпендикулярны, а углы наклона
боковых граней ASB и BSC к плоскости основания равны между собой. Определить
высоту SO пирамиды SABC, если AB  15 , AC  13 , BC  14 , SB  10,5 .
20. В треугольной пирамиде SABC боковые ребра SB и SC равны меджду собой, а углы
наклона боковых граней ASB и ASC к плоскости основания равны. Определить высоту
SO пирамиды SABC, если AB  15 , BC  14 , AC  13 , AS  18 .
21. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и
углом при вершине  . Боковое ребро, исходящее из вершины угла  , образует с
плоскостью основания также угол  . Определить высоту пирамиды, если ее
скрещивающиеся ребра перпендикулярны.
22. В основании треугольной призмы лежит равносторонний треугольник со стороной
11 см. Определить высоту призмы, если ее боковое ребро равно 6 см, о одна из
вершин верхнего основания удалена от противоположных вершин нижнего основания
на 5 см.
23. На ребрах MB и BC пирамиды MABCD заданы соответственно точки P и Q
соответственно, а на грани MAD – точка R . Постройте следы следующих плоскостей
на плоскости MCD : а) MPQ  ; б) PQR  ; в) DPR .
24. В четырехугольной пирамиде SABCD основание – произвольный четырехугольник с
попарно непараллельными сторонами. На ребре SA выбрана точка М, а на отрезке DM –
точка Р. Построить сечение плоскостью, проходящей через прямую l, лежащей в
плоскости основания, и точку Р.
25. На грани АDD1А1 четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1 (основаниями которой
являются трапеции) выбрана точка Р, а в грани А1В1С1D1 – точка Q. Точка R лежит на
прямой ВВ1, причем точка B лежит между точками R и В1. Построить сечение призмы
плоскостью PQR и линию пересечения плоскостей PQR и AA1C.
26. Три диагонали параллелепипеда попарно перпендикулярны, их длины равны a, b и
с. Найдите длину четвертой диагонали.
27. АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелпепипед, в котором AB  2 ,
AD  AA1  1 . Найдите угол между диагональю BD1 и плоскостью DC1 A1 .
28. В тетраэдре DABC грань АВС – равнобедренный прямоугольный треугольник с
гипотенузой АВ, равной 6 см. Проекция О вершины D на плоскость АВС принадлежит
биссектрисе угла АСВ. Найдите углы между плоскостью АВС и плосокстями остальных
граней тетраэдра, если DO  4 см, CO  7 см.
29. В правильной треугольной пирамиде SABC проведено сечение плоскостью,
проходящей через сторону основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC.
Найдите длины всех ребер пирамиды, если получившееся сечение имеет площадь 16
см2 и составляет с плоскостью основания угол 30о.
30. Противоположные ребра тетраэдра попарно равны. В основании лежит треугольник
со сторонами а, b и с. Найти расстояния и углы между противоположными ребрами
тетраэдра.