Профильная математика
ВАРИАНТ №1
(март 2024)
Справочный материал
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐜𝐨𝐬(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷
Часть 1
1. В треугольнике ABC угол A равен 44°, угол C равен 62 °. На
продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный
стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в
градусах.
2. На координатной плоскости изображены векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ . Найдите
скалярное произведение 2𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗.
3. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем
цилиндра.
4. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки.
Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того что, хотя бы один
автомат исправен.
6. Найдите корень уравнения √−45 − 14𝑥 = −𝑥. Если уравнение
имеет более одного корня, укажите меньший из них.
7. Найдите значение выражения 53+log5 2 .
8. На рисунке изображены график дифференцируемой
функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
9. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию
предприятия — монополиста от цены p (тыс. руб.) заедается
формулой 𝑞 = 100 − 10𝑝. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по
формуле 𝑟(𝑝) = 𝑞 ∙ 𝑝. Определите наибольшую цену p, при которой
месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в
тыс. руб.
10. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
11. На рисунке изображён график функции вида 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где
числа a, b и c — целые. Найдите значение 𝑓(−3).
Репетитор по математике онлайн
https://vk.com/ekaterina_chekmareva
Профильная математика
12. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 3𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥 + 3)3 на отрезке [−2,5; 0].
Часть 2
13. а) Решите уравнение 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + √2 cos 2𝑥 + sin 𝑥 = √2
7𝜋
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2 ; −2𝜋].
14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами AB=√5 и BC=2. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√7, SB=2√3, SD=√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
15. Решите неравенство
1
1
log 2 (𝑥 − 1) + log 2 (𝑥 + 1) ≤ log 2 (27𝑥 − 1).
16. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
17. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M.
Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
18. Найдите все значения параметра 𝑎, при каждом из которых система уравнений
𝑦 = 𝑎𝑥
{
𝑥𝑦 2 −2𝑥𝑦−4𝑦+8
√𝑥+4
=0
имеет ровно два решения.
19. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой
последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше
предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Репетитор по математике онлайн
https://vk.com/ekaterina_chekmareva
Профильная математика
Ответы: (март 2024)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
37
8
36
0,25
0,9975
-9
250
-0,5
6
59
-11
-6
𝜋
3𝜋
13. Ответ: : а)𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 4 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 4 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
14. Ответ: 30
1
15. Ответ: 𝑥 ∈ [3 ; 1)
16. Ответ: 1050 тыс. руб.
17. Ответ: 7
1
18. Ответ: 𝑎 ∈ (0; 4] ∪ {1}
19. Ответ: а) нет; б) да; в)549
Репетитор по математике онлайн
13𝜋
б) − 4 ; −2𝜋; −3𝜋 .
https://vk.com/ekaterina_chekmareva
