Евклидовы пространства. В линейном пространстве можно

Лекция № 9
Выпуклые множества. В линейных пространствах можно ввести понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические
представления, но имеет чисто аналитическую (алгебраическую!) формулировку.
Определение 1. Пусть L – некоторое линейное действительное
пространство, и x , y – две его точки. Назовем замкнутым отрезком в L ,
соединяющим точки x и y , совокупность всех элементов вида
x  y , где  ,   0 ,     1 .
Отрезок без концевых точек x и y называется открытым отрезком.
Множество M  L называется выпуклым, если оно вместе с
любыми двумя точками x , y  M содержит и соединяющий их отрезок.
Определение 2. Назовем ядром J ( E ) произвольного множества E  L совокупность таких его точек x , что для каждого y  L
найдется такое число    ( y )  0 , что x  ty  E при | t |  .
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.
Пример 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар,
тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве – выпуклые множества, но не выпуклые тела.
Пример 2. В пространстве C( a ,b ) непрерывных на отрезке
[ a ,b ] функций рассмотрим множество функций, удовлетворяющих
условию
| f ( t ) | 1 .
Это множество, очевидно, выпукло.
Пример 3. Единичный шар в l 2 , т.е. совокупность точек
S  { x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) : i1 xi2  1 } ,
есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек
J ( S )  { x : i1 xi2  1 } .
Пример 4. Основной параллелепипед П в l 2 – выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле,
119
П  { x  l2 :| xn | 1 2 n 1 , n  1,2,...} .
1 1
2 3
1
t
|
n
n
t
t
1
1
1
1
 n 1 . Тогда | || xn  |  | xn | n 1  n 1  n  2 , т.е. t  0 ,
n
n
2
2
2
2
откуда следует, что ядро множества П пусто.
Утверждение 1. Если M – выпуклое множество, то его ядро
J ( M ) тоже выпукло.
Доказательство. Действительно, пусть x , y  J ( M ) и
z  x  y , где  ,   0 ,     1 . Тогда для данного a  L найдутся такие 1  0 и  2  0 , что при | t1 |  1 и | t 2 |  2 точки x  t1a и
y  t 2 a принадлежат множеству M . Следовательно ему принадлежит и
точка  ( x  ta )   ( y  ta )  z  ta при | t |   min( 1 , 2 ) , т.е.
z  J ( M ) . Утверждение доказано.
Положим y0  ( 1, , ,..., ,...) . Пусть x  ty0  П , т.е. | xn 
Установим следующее важное свойство выпуклых множеств.
Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть
выпуклое множество.
Доказательство. Пусть M   M  и все M  – выпуклые

множества. Пусть x и y две произвольные точки из M . Тогда
x , y  M  для каждого  , и поскольку каждое M  выпукло, то отрезок, соединяющий точки x и y , принадлежит каждому M  , а следовательно и M . Теорема доказана.
Для произвольного множества A в линейном пространстве L
существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им
будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих A . По крайней мере одно выпуклое множество, содержащее A , существует – это
всё L .
Минимальное выпуклое множество, содержащее A , называется
выпуклой оболочкой множества A .
Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть
x1 , x2 ,...,xn , xn 1
– точки некоторого линейного пространства. Будем говорить, что эти
точки находятся в общем положении, если векторы
120
( x2  x1 ),( x3  x1 ),...,( xn  x1 ),( xn 1  x1 )
(*)
линейно независимы. Это равносильно тому, что из
n 1
n 1
i 1 i xi  0 и i 1 i  0
следует, что 1  2  ...  n  n 1  0 .
Действительно,
n 1
n 1
n 1
n 1
i 2
i 2
 i xi  1 x1   i xi  1 x1   i ( xi  x1 )  (  i ) x1 
i 1
i 2
n 1
n 1
i 1
i 2
 (  i ) x1   i ( xi  x1 )  0
Поскольку

n 1
i 1 i
 0 , то имеем:
n 1
i  2 i ( xi  x1 )  0 . В силу линей-
ной независимости системы векторов (*) получаем, что 2  ...
...  n  n 1  0 . Но тогда и 1  0 .
Задача 1. Докажите, что если система векторов (*) линейно независима, то при любом k , 1  k  n  1 , линейно независима система
векторов
x1  xk , x2  xk ,...,xk 1  xk , xk 1  xk ,...,xn 1  xk .
Выпуклая оболочка точек x1 , x2 ,...,xn , xn 1 , находящихся в общем положении, называется n – мерным симплексом, а сами эти точки
называются вершинами симплекса.
Нульмерный симплекс – это одна точка, одномерный – это отрезок, двумерный – треугольник, трехмерный – тетраэдр.
Если точки x1 , x2 ,...,xn , xn 1 находятся в общем положении, то
любые k из них, k  n , также находятся в общем положении и, следовательно порождают некоторый k -мерный симплекс, называемый k мерной гранью n -мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами
e1 , e2 , e3 , e4 имеет четыре грани двумерные, определяемые соответственно
тройкам
вершин
( e2 , e3 , e4 ) ,
( e1 , e3 , e4 ) ,
( e1 , e2 , e4 ) ,
( e1 , e2 , e3 ) , шесть одномерных граней и четыре нульмерных.
Теорема 2. Симплекс с вершинами x1 , x2 ,...,xn , xn 1 есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде
n 1
n 1
k 1
k 1
x    k xk ,  k  0 ,
121
k  1 .
(1)
Доказательство. Проверим, что совокупность точек вида (1)
есть выпуклое множество. Действительно, если
n 1
n 1
k 1
k 1
y    k xk ,  k  0 ,   k  1 ,
то для  ,   0 ,     1 , имеем:
x   y 
n 1
 ( k   k )xk , k   k
0,и
k 1
n 1
 ( k   k )     k     k      1 .
k 1
С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее точки
x1 , x2 ,...,xn , xn 1 , должно содержать и точки вида (1). Это легко доказать по индукции. Теорема доказана.
Выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества
тесно связано понятие выпуклого функционала.
Определение 3. Неотрицательный функционал p , определенный на действительном линейном пространстве L , называется выпуклым, если
(1) p( x  y )  p( x )  p( y ) для всех x , y  L ,
(2) p( x )  p( x ) для всех x  L и всех   0 .
Мы не предполагаем, что при всех x  L величина p( x ) конечна, т.е.
допускается случай, когда p( x )   для некоторых x  L .
Приведем примеры выпуклых функционалов.
Пример 5. Длина вектора в n – мерном евклидовом пространn
стве R есть выпуклый функционал.
Пример 6. Пусть M – пространство ограниченных функций x
на некотором множестве S , и s0 – фиксированная точка в S . Тогда
ps0 ( x ) | x( s0 ) |
есть выпуклый функционал.
Пример 7. Пусть m – пространство ограниченных числовых
последовательностей x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...). Функционал
p( x )  sup | xn |
n
выпуклый.
122
Теорема Хана-Банаха. Пусть L – действительное линейное
пространство и L0 – некоторое его подпространство. Пусть на подпространстве L0 задан некоторый линейный функционал f 0 . Линейный
функционал f , определенный на всем пространстве L , называется
продолжением функционала f 0 , если
f ( x )  f 0 ( x ) для всех x  L0 .
Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основной в этом круге вопросов является
Теорема 3 (Хан, Банах). Пусть p – конечный выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L , и
пусть L0 – линейное подпространство в L . Если f 0 – линейный функционал, подчиненный на L0 функционалу p , т.е. если на L0
f 0 ( x )  p( x ) ,
(2)
то f 0 может быть продолжен до линейного функционала f на L , подчиненного p на всем подпространстве L .
Доказательство. Покажем, что если L0  L , то функционал
f 0 можно продолжить с L0 на некоторое большее пространство L' с
сохранением условия (2). Действительно, пусть z – произвольный элемент из L , не принадлежащий L0 , и пусть L' – подпространство, порожденное L0 и z . Каждый элемент из L' имеет вид
x  tz , где x  L0 .
Если f ' – искомое продолжение функционала f 0 на L' , то
f ' ( x  tz )  f ' ( x )  tf ' ( z )  f 0 ( x )  tf ' ( z )
или, если положить f ' ( z )  c ,
f ' ( x  tz )  f 0 ( x )  t  c .
Теперь выберем c так, чтобы сохранить на L' условие подчинения (2),
т.е. так, чтобы при всех x  L0 и всех действительных t выполнялось
неравенство
f 0 ( x )  t  c  p( x  tz ) .
При t  0 оно равносильно условию
f 0 ( x t )  c  p( x t  z ) , или c  p( x t  z )  f 0 ( x t ) ,
123
(3)
а при t  0 – условию
f 0 ( x t )  c   p(  x t  z ) , или c   p(  x t  z )  f 0 ( x t ) . (4)
Покажем, что всегда существует число c , удовлетворяющее этим двум
условиям. Пусть y' и y' ' – произвольные элементы из L0 . Тогда
f 0 ( y' ' )  f 0 ( y' )  f 0 ( y' '  y' )  p( y' '  y' ) 
 p(( y' '  z )  ( y'  z ))  p( y' '  z )  p(  y'  z )
т.е. f 0 ( y' ' )  f 0 ( y' )  p( y' '  z )  p(  y'  z ) . Отсюда получаем неравенство
 f 0 ( y' ' )  p( y' '  z )   f 0 ( y' )  p(  y'  z ) .
(5)
Положим
c' '  inf (  f 0 ( y' ' )  p( y' '  z )) , c'  sup(  f 0 ( y' )  p(  y'  z )) .
y ''
y'
Из неравенства (5) в силу произвольности y' и y' ' из L0 следует, что
c' '  c' . Выбрав c так, чтобы c'  c  c' , определим функционал f ' на
подпространстве L' формулой
f ' ( x  tz )  f 0 ( x )  tc .
Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (2) на L' , т.е. искомое продолжение на L' построено.
Итак, мы показали, что если функционал f 0 определен на некотором подпространстве L0  L и удовлетворяет на L0 условию (2), то
f 0 можно продолжить с сохранением этого условия на некоторое
большее подпространство L' .
Если в L можно выбрать счетную систему элементов
x1 , x2 ,...,xn , xn 1 ,..., порождающую всё L , то функционал на L строим
по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств
L( 1 )  { L0 , x1 } , L( 2 )  { L( 1 ) , x2 } , . . .
(k )
(k )
Здесь через L  { L , xk 1 } обозначено минимальное линейное
(k )
подпространство в L , содержащее L
и xk 1 . Тогда каждый элемент
x  L войдет в некоторое L( k ) и, следовательно, функционал будет
продолжен на всё L .
В общем случае (т.е. когда счетного множества, порождающего
L , не существует), доказательство заканчивается применением леммы
Цорна (трансфинитная индукция).
Приведем комплексный вариант теоремы Хана-Банаха.
124
Неотрицательный функционал p на комплексном линейном
пространстве L , называется выпуклым, если для всех x , y  L и всех
комплексных чисел 
(1) p( x  y )  p( x )  p( y ) ,
(2) p( x ) |  | p( x ) .
Теорема С. Пусть p – конечный выпуклый функционал на
комплексном линейном пространстве L , а f 0 – линейный функционал,
определенный на некотором линейном подпространстве L0  L и удовлетворяющий на нем условию
| f 0 ( x ) | p( x ) , x  L0 .
Тогда существует линейный функционал f , определенный на всём L и
удовлетворяющий условиям
| f ( x ) | p( x ) , x  L ,
f ( x )  f 0 ( x ) , x  L0 .
Линейные нормированные пространства. До сих пор мы занимались топологическими и, в частности, метрическими пространствами, т.е. множествами, в которых введено тем или иным способом
понятие близости элементов. С другой стороны, мы имели дело с линейными пространствами, как с чисто алгебраическими объектами.
Однако в анализе более существенны пространства, обладающие как алгебраической, так и топологической структурой, т.е. так
называемые топологические линейные пространства. Среди них важный класс образуют нормированные пространства.
Определение 4. Пусть L – линейное пространство. Конечный
функционал p , определенный на L , называется нормой, если он удовлетворяет следующим трем условиям:
(1) p( x )  0 , причем p( x )  0 только при x  0 ,
(2) p( x  y )  p( x )  p( y ) для любых x , y  L ,
(3) p( x ) |  | p( x ) при любых x  L и любом числе  .
Линейное пространство L , в котором задана некоторая норма,
мы назовем линейным нормированным пространством. Норму элемента
x  L мы будем обозначать символом || x || : p( x )  || x || .
Таким образом, нормированное пространство – это линейное
пространство L , в котором каждому элементу x  L поставлено в соот125
ветствие неотрицательное действительное число || x || , удовлетворяющее условиям:
(1) || x || 0 , причем || x || 0 если и только если x  0 ,
(2) || x  y |||| x ||  || y || для любых x , y  L ,
(3) || x |||  |  || x || при любых x  L и любом числе  .
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние по формуле
( x , y )  || x  y || .
Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств
(1) – (3). Таким образом, на нормированные пространства переносятся
все понятия и факты, которые касаются метрических и топологических
пространств.
Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством.
Приведем примеры линейных нормированных пространств.
1
Пример 8. Прямая линия R становится нормированным про-
странством, если для всякого x  R положить || x ||| x | .
Пример 9. Если в действительном n – мерном пространстве
1
R n с элементами x  ( x1 , x2 ,...,xn ) положить
|| x || in1 xi2 ,
то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула
 ( x , y ) || x  y ||
 k 1( xk  yk )2
n
n
определяет в R метрику, которую мы уже рассматривали.
В этом же линейном пространстве можно ввести норму
|| x ||1  in1| xi | , или || x ||0  max | xi | .
1 i  n
(6)
n
Эти нормы определяют в R метрики, которые мы уже рассматривали.
Проверка аксиом нормы не составляет сложности.
В комплексном n – мерном пространстве C n можно ввести
норму
|| x || in1| xi |2 ,
или любую из норм (6).
126
Пример 10. В пространстве C [ a ,b ] непрерывных функций на
отрезке [ a ,b ] определим норму формулой
|| f || max | f ( t ) |
a t b
и получим линейное нормированное пространство.
Подпространства нормированного пространства. Мы определили подпространство линейного пространства L (не снабженного
какой-либо топологией) как непустое множество L0 , обладающее свойством:  x , y  L0 ,   ,  x  y  L0 . В нормированном пространстве основной интерес представляют замкнутые линейные
подпространства, т.е. подпространства, содержащие все свои точки прикосновения. В конечномерном нормированном пространстве всякое
подпространство замкнуто. В бесконечномерном случае это не так.
Например, в пространстве C [ a ,b ] многочлены образуют подпространство, но оно не замкнуто.
Задача 2. Докажите, что любое конечномерное подпространство линейного нормированного пространства замкнуто.
Изменим терминологию. Далее мы будем называть подпространством нормированного пространства только замкнутые подпространства, а совокупность элементов (не замкнутую), содержащую
вместе с x и y их произвольную линейную комбинацию x  y , мы
будем называть линейным многообразием.
В частности, подпространством, порожденным данной системой
элементов { x } , мы будем называть наименьшее замкнутое подпространство, содержащее { x } .
Систему элементов, лежащую в нормированном пространстве
L , мы будем называть полной, если порожденное ею (замкнутое) подпространство совпадает со всем L . Например, в силу теоремы Вейерштрасса, совокупность всех функций вида 1,t ,t 2 ,...,t n ,... полна в
пространстве непрерывных функций C [ a ,b ] .
Евклидовы пространства. В линейном пространстве можно
ввести понятие скалярного произведения, превратив его тем самым в
евклидово пространство.
Определение 5. Скалярным произведением в действительном
линейном пространстве E называется действительная билинейная фор-
127
ма ( x , y ) , определенная для каждой пары элементов x , y  E и удовлетворяющая следующим условиям:
(1) ( x , y )  ( y , x ) ,
(2) ( x1  x2 , y )  ( x1 , y )  ( x2 , y ) ,
(3) ( x , y )  ( x , y ) ,
(4) ( x , x )  0 , причем ( x , x )  0 только при x  0 .
Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством. В нем вводится
норма по формуле
|| x || ( x , x ) .
Из аксиом скалярного произведения следует, что все аксиомы нормы
при этом выполнены. Действительно, неочевидно лишь неравенство
|| x  y |||| x ||  || y || . Докажем вначале неравенство КошиБуняковского:
| ( x , y ) ||| x ||  || y || .
Рассмотрим многочлен второго порядка от действительной переменной
 , неотрицательный (в силу свойства (4) скалярного произведения!)
при всех значениях  :
 (  )  ( x  y , x  y )  2 ( x , x )  2( x , y )  ( y , y ) 
 || x ||2 2  2( x , y )    || y ||2 .
Так как (  )  0 при всех  , то дискриминант этого трехчлена меньше
либо равен нулю:
2 2 ( x , y )2  4 || x ||2  || y ||2  0 , т.е. | ( x , y ) ||| x ||  || y || ,
что и требовалось доказать. Тогда
|| x  y ||2  ( x  y , x  y )  ( x , x )  2( x , y )  ( y , y ) || x ||2 2 | ( x , y ) | 
 || y ||2 || x ||2 2 || x ||  || y ||  || y ||2  (|| x ||  || y ||)2 , т.е.
|| x  y |||| x ||  || y || .
В евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное
произведение непрерывны, т.е. если xn  x , yn  y в смысле сходимости по норме, а n   как числовая последовательность, то
xn  yn  x  y , n xn  x , ( xn , yn )  ( x , y ) .
Доказательство этого очевидно.
128
Наличие в евклидовом пространстве E скалярного произведения позволяет ввести в нем не только норму (т.е. длину вектора), но и
угол между векторами по формуле
( x, y )
Cos 
.
(*)
|| x ||  || y ||
Это возможно в силу того, что
( x, y )
| ( x, y ) |
|| x ||  || y ||


1.
|| x ||  || y || || x ||  || y || || x ||  || y ||
Если для некоторых векторов x , y из E ( x , y )  0 , то из (*) получаем,
что    2 , т.е. векторы x и y ортогональны между собой.
Система ненулевых векторов { x } из E называется ортогональной, если
( x , x )  0 при    .
Если векторы { x } ортогональны, то они линейно независимы. Действительно, пусть
a1x1  a2 x 2  ...  an x n  0 .
Домножим это равенство скалярно на x i ,
i  1,2,...,n . Получим:
( x i , a1 x1  a2 x 2  ...  an x n )  ai ( x i , x i )  0 ,
откуда следует, что ai  0 , так как ( x i , x i )  0 , i  1,2,...,n .
Если ортогональная система векторов { x } полна (т.е.
наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство есть всё E ), то
она называется ортогональным базисом. Если при этом норма каждого
элемента равна 1, то система { x } называется ортогональным нормированным базисом. Вообще, если система { x } (полная или нет) такова, что
0, если    ,
( x , x  )  
1, если    ,
то она называется ортогональной нормированной (ортонормированной)
 x 
 – ортонор|| x || 
системой. Ясно, что если { x } ортогональная, то 
мирована.
129