Линейные пространства

Лекция № 8
Линейные пространства
Определение 1. Непустое множество L элементов x , y , z ,...
называется линейным, или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:
I. Для любых двух элементов x , y  L однозначно определен третий
элемент z  L , называемый их суммой и обозначаемый x  y , причем:
1. x  y  y  x (коммутативность),
2. x  ( y  z )  ( x  y )  z (ассоциативность),
3. в L существует такой элемент 0 , что x  0  x  x  L (существование нуля),
4.  x  L существует такой элемент  x , что x  (  x )  0 (существование противоположного элемента).
II. Для любого числа  и любого элемента x  L определен элемент
  x (произведение элемента x на число  ), причем:
1. ( x )  (  )x ,
2. 1  x  x ,
3. (    )x  x  x ,
4. ( x  y )  x  y .
В зависимости от того, какие числа используются (все комплексные числа, или только действительные), различают комплексные и
действительные линейные (векторные) пространства. Заметим, что почти всюду наши построения будут верны в обоих случаях. Можно было
бы рассматривать и линейные пространства над произвольным (алгебраическим) полем. Всякое комплексное линейное пространство можно
рассматривать как некоторое действительное пространство, ограничившись умножением векторов на действительные числа.
1
Пример 1. Прямая линия R , т.е. совокупность действительных
чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения на число, представляет собой линейное пространство.
107
Пример 2. Совокупность всевозможных систем n чисел (действительных или комплексных) x  ( x1 , x2 ,...,xn ) , где сложение и
умножение на число определяются формулами
x  y  ( x1 , x2 ,...,xn )  ( y1 , y2 ,..., yn )  ( x1  y1 , x2  y2 ,...,xn  yn ) ,
x   ( x1 , x2 ,...,xn )  ( x1 ,x2 ,...,xn ) ,
является линейным пространством. Оно называется n – мерным арифметическим пространством и обозначается символом R n в случае действительных чисел, и C n в случае комплексных чисел.
Пример 3. Непрерывные (действительные или комплексные)
функции на некотором отрезке [ a ,b ] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство
C [ a ,b ] , являющееся одним из важнейших в функциональном анализе.
Пример 4. Пространство l 2 , в котором элементами служат последовательности (действительных или комплексных) чисел
x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) ,
2
удовлетворяющих условию 
k 1| xk |   , с операциями
x  y  ( x1 , x2 ,...,xn ,...)  ( y1 , y2 ,..., yn ,...) 
 ( x1  y1 , x2  y2 ,...,xn  yn ,...),
x   ( x1 , x2 ,...,xn ,...)  ( x1 ,x2 ,...,xn ,...) ,
является линейным пространством. Тот факт, что x  y  l2 , если
x  l2 и y  l2 , следует из неравенства ( a1  a2 )2  2a12  2a22 .
Пример 5. Сходящиеся последовательности x  ( x1 , x2 ,...
..., xn ,...) (действительных или комплексных) чисел с покоординатными
операциями сложения и умножения на числа образует линейное пространство. Обозначим его через c .
Пример 6. Последовательности x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) , сходящиеся к нулю, с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство. Обозначим его через c0 .
Пример 7. Совокупность m всех ограниченных числовых последовательностей x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) , | xk | C , k  1,2,3,..., с теми
же операциями сложения и умножения, есть линейное пространство.
108
Пример 8. Совокупность R  любых числовых последовательностей с теми же операциями сложения и умножения, образует линейное пространство.
Свойства линейного пространства – это (алгебраические!) свойства операций сложения элементов этого пространства и умножения их
на числа.
Определение 2. Линейные пространства L и L называются
изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно
однозначное соответствие, которое согласовано с алгебраическими операциями в L и L . Это значит, что из
x  x , y  y  , где x , y  L , а x , y   L ,
следует, что
x  y  x  y  , и x  x ,
где  – произвольное число.
Изоморфные пространства можно рассматривать как различные
реализации одного и того же пространства.
Задача 1. Докажите, что арифметическое n – мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени  n  1 (соответственно с действительными или
комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения
многочленов и умножения их на число изоморфны.
Линейная зависимость. Элементы x , y ,...,w линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие
числа  ,  ,..., , не все равные нулю, что
x  y  ...  w  0 .
В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Иначе говоря, элементы x , y ,...,w линейно независимы, если из равенства
x  y  ...  w  0
следует, что
  0,  0, . . . ,   0.
Бесконечная система элементов x , y , z ,... пространства L назы-
вается линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.
109
Если в пространстве L можно найти n линейно независимых
элементов, а любые n  1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство L имеет размерность n . Если же в
L можно указать систему из произвольного конечного числа линейно
независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.
Базисом в n – мерном пространстве L называется любая система из n линейно независимых элементов. Пространства R n в действительном и C n в комплексном случаях имеют, как легко проверить,
размерность n .
В курсе линейной алгебры рассматриваются пространства конечной размерности. В функциональном анализе, наоборот, изучаются,
как правило, пространства бесконечного числа измерений. В примерах 3
– 8 пространства имеют бесконечную размерность. Докажите это.
Подпространства. Непустое подмножество L' линейного пространства L называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в L операциям
сложения и умножения на число.
Иначе говоря, L'  L есть подпространство, если из x  L' ,
y  L' следует, что x  y  L' при любых  и  .
Во всяком линейном пространстве L имеется подпространство,
состоящее из одного нуля, – нулевое подпространство. Кроме того, всё
L можно рассматривать как свое подпространство. Подпространство,
отличное от L и содержащее хотя бы один ненулевой элемент, называется собственным. Приведем примеры собственных подпространств.
Пример 9. Пусть L – линейное пространство, и x – некоторый
его ненулевой элемент. Совокупность элементов { x } , где  пробегает все числа (действительные или комплексные), образуют одномерное
подпространство. Это подпространство является собственным, если
размерность L больше 1.
Пример 10. Рассмотрим пространство непрерывных функций
C [ a ,b ] и в нем совокупность всех многочленов P [ a ,b ] . Ясно, что
многочлены образуют в C [ a ,b ] подпространство, имеющее бесконечную размерность.

Пример 11. Рассмотрим пространства l 2 , c0 , c , m и R .
Каждое из них является собственным подпространством последующего.
110
Пусть { x } – произвольное непустое множество элементов
линейного пространства L . Тогда в L существует наименьшее подпространство (возможно совпадающее с L ), которое содержит { x } . Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее { x } ,
существует: это само L . Далее, пересечение любого множества { L }
подпространств есть снова подпространство. Докажем это.
Если L   L и x , y  L , то x  y  L при любых  и

 . Возьмем теперь все подпространства, содержащие систему { x } , и
рассмотрим их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство,
содержащее систему { x } .
Такое минимальное подпространство мы назовем подпространством, порожденным множеством { x } , или линейной оболочкой
множества { x } .
Фактор-пространства. Пусть L – линейное пространство, и
L' – некоторое его подпространство. Скажем, что два элемента
x , y  L эквивалентны, если их разность x  y  L' . Заданное таким
образом отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Убедимся в этом.
(1) x ~ x , так как x  y  0  L' (рефлексивность).
(2) Если x ~ y , т.е. x  y  L' , то y  x  L' , т.е. y ~ x (симметричность).
(3) Если x ~ y и y ~ z , т.е. x  y  L' и y  z  L' , то их сумма
x  y  y  z  x  z  L' , т.е. x ~ z (транзитивность).
Таким образом, это – отношение эквивалентности. Оно определяет разбиение пространства L на классы эквивалентных элементов. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по
подпространству L' ). Совокупность всех таких классов мы назовем
фактор-пространством L по L' и обозначим через L L' . Таким образом, запись   L L' означает, что под  мы подразумеваем класс эквивалентных между собой (по подпространству L' ) элементов из L .
Покажем, что любые два смежных класса  ,  L L' либо не пересекаются, либо совпадают между собой. Действительно, если в смежных
111
классах  и  есть общий элемент, например, a   и a   , то
 x   и  y  имеем:
x  y  x  a  a  y  L' , так как x  a  L' и a  y  L' , т.е.    .
В фактор-пространстве L L' естественно вводятся операции
сложения элементов (смежных классов!) и умножения их на числа. Действительно, пусть  ,  L L' , т.е.  и  – два смежных класса из
L L' . Выберем в каждом из них по представителю, например, x   и
y   соответственно, и назовем суммой классов  и  тот класс  ,
который содержит элемент x  y , а произведением класса  на число
 назовем класс, который содержит элемент x . Проверим, что результат не изменится от замены представителей x и y какими-либо
другими представителями x' и y' классов  и  соответственно. Действительно,
( x  y )  ( x'  y' )  ( x  x' )  ( y  y' )  L' ,
так как x  x'  L' , y  y'  L' ,
т.е. x  y и x'  y' принадлежат одному и тому же смежному классу
независимо от выбора представителей в  и  . Аналогично,
x  x'   ( x  x' )  L' , т.е.  определено однозначно.
Таким образом, мы определили линейные операции над элементами фактор-пространства L L' , превратив его тем самым в линейное
пространство. Проверка аксиом линейного пространства очевидна.
Задача 2. Что представляет собой фактор-пространство
R3 R 2 ?
Задача 3. Пусть пространство L имеет размерность n , а его
подпространство L1 имеет размерность k , n  k . Докажите, что фактор-пространство L L1 имеет размерность n  k .
Определение 3. Пусть L – произвольное линейное пространство, и L1 – некоторое его подпространство. Размерность факторпространства L L1 называется коразмерностью подпространства L1 в
пространстве L .
Теорема 1. Если подпространство L1  L имеет конечную коразмерность n , то в линейном пространстве L можно выбрать элемен112
ты x1 ,...,xn так, что всякий элемент x  L будет однозначно представим в виде x  1x1  ...   n xn  y , где 1 ,..., n – числа, и y  L1 .
Доказательство. Действительно, если фактор-пространство
L L1 имеет размерность n , то выберем в нем базис 1 ,..., n , и из каж-
дого смежного класса  i выберем по представителю xi : xi  i ,
i  1,2,...,n . Пусть теперь x – любой элемент из L , и  – тот смежный
класс в L L1 , который содержит x : x   . Тогда   11  ...   n xn .
Отсюда делаем вывод, что x и линейная комбинация 1 x1  ...   n xn
принадлежат смежному классу  , т.е. x  ( 1 x1  ...   n xn )  L1 , или
n
x   i xi  y  L1 , т.е.
i 1
x  1x1  ...   n xn  y .
Теперь докажем однозначность такого представления. Если это
не так, т.е. есть еще одно такое представление элемента x :
x  1x1  ...   n xn  y' .
Взяв их разность, получим:
( 1  1 )x1  ...  (  n   n )xn  ( y  y' )  0 .
( y  y' )  L1 , откуда следует, что и ( 1  1 ) x1  ...
...  (  n   n ) xn  L1 . Смежный класс L1 играет роль нуля в факторпространстве L L1 , т.е.
( 1  1 )1  ...  (  n   n ) n  0 ,
т.е.  i   i , i  1,2,...,n . Но тогда и y  y' . Теорема доказана.
Но
Линейные функционалы.
Определение 4. Числовую функцию f , определенную на некотором линейном пространстве L , мы будем называть функционалом.
Функционал называется аддитивным, если
f ( x  y )  f ( x )  f ( y ) для всех x , y  L ;
он называется однородным, если
f ( x )  f ( x ) для всех x  L ,
где  – произвольное число.
Функционал f , определенный на комплексном линейном пространстве, называется сопряженно-однородным, если
113
f ( x )   f ( x ) , где  – комплексно-сопряженное к  число.
Аддитивный однородный функционал называется линейным
функционалом, а аддитивный сопряженно-однородный функционал
называется сопряженно-линейным.
Пример 12. Пусть R n есть n – мерное арифметическое пространство с элементами x  ( x1 ,...,xn ) , и a  ( a1 ,...,an ) – произвольный набор из n фиксированных чисел. Тогда
n
f ( x )   ai xi есть
i 1
n
n
линейный функционал в R ; f ( x )   ai xi представляет собой соi 1
n
пряженно-линейный функционал в C .
Пример 13. Интегралы
b
b
a
a
I ( x )   x( t )dt и J ( x )   x( t )dt
представляют собой соответственно линейный и сопряженно-линейный
функционалы в пространстве C [ a ,b ] .
Пример 14. Пусть y 0 – некоторая фиксированная непрерывная
на отрезке [ a ,b ] функция. Положим для любой функции x  C [ a ,b ]
b
F ( x )   x( t ) y0 ( t )dt .
a
Линейность этого функционала следует из основных свойств операции
интегрирования. Функционал
b
G( x )   x( t )y0 ( t )dt
a
будет сопряженно-линейным (в комплексном пространстве C [ a ,b ] ).
Пример 15. Рассмотрим и пространстве C [ a ,b ] линейный
функционал другого типа. Положим  t 0 ( x )  x( t0 ) , т.е. значение
функционала  t 0 на функции x  C [ a ,b ] равно значению этой функции в фиксированной точке t 0 . Этот функционал обычно записывают в
виде
114
b
 t0 ( x )   x( t ) ( t  t0 )dt ,
a
понимая в этой записи  ( t  t0 ) как  – функцию Дирака. Такие функции получат строгое определение в теории обобщенных функций (или
распределений).
Пример 16. Рассмотрим пространство l 2 . Пусть k – фиксированное целое число. Для каждого
x  ( x1 ,...,xn ,...) из l 2 положим f k ( x )  xk .
Линейность этого функционала очевидна. Эти функционалы можно рассматривать на других пространствах числовых последовательностей:
c0 , c , m , R  .
Геометрический смысл линейного функционала. Пусть f –
некоторый отличный от нуля линейный функционал на линейном пространстве L . Совокупность всех тех элементов x  L , для которых
f ( x )  0 , обозначим Kerf , т.е.
Kerf  { x  L : f ( x )  0 } .
Очевидно, что Kerf является подпространством пространства
L . Действительно, если x , y  Kerf , то f ( x )  0 и f ( y )  0 . Но тогда
f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  0 , т.е. x  y  Kerf   ,  .
Утверждение 1. Подпространство Kerf имеет коразмерность
n  1.
Доказательство. Действительно, возьмем какой-либо элемент
x0 , не входящий в Kerf , т.е. такой, что f ( x0 )  0 . Такой элемент существует, поскольку в противном случае функционал f был бы тождественным нулем. Без ограничения общности можно считать, что
f ( x0 )  1 . Если это не так, то заменим x0 на x0 f ( x0 ) . Ясно, что
f ( x0 f ( x0 ) )  f ( x0 ) f ( x0 )  1 . Для каждого x  L положим
y  x  f ( x )  x0 ;
тогда f ( y )  f ( x )  f ( x )  f ( x0 )  f ( x )  f ( x )  0 , т.е. y  Kerf .
Представление элемента x в виде x  f ( x )  x0  y , т.е. в виде
115
x  x0  y , где y  Kerf ,
при фиксированном x0 единственно. В самом деле, если имеется другое
такое представление
x  ' x0  y' , где y'  Kerf ,
то взяв их разность, получим равенство (   ' )x0  y'  y . Если здесь
   ' , то, очевидно, что y  y' . Если же    ' , то x0 
 ( y'  y ) (   ' )  Kerf , что противоречит выбору x0 : f ( x0 )  1 .
Отсюда следует, что два элемента x1 и x2 только тогда принадлежат одному классу смежности по подпространству Kerf , когда
f ( x1 )  f ( x2 ) . Тот факт, что если f ( x1 )  f ( x2 ) , то элементы x1 и
x2 принадлежат одному классу смежности, очевиден. В доказательстве
нуждается обратное утверждение: если x1 и x2 принадлежат одному
классу смежности, то f ( x1 )  f ( x2 ) . Докажем это. Представление x1
и x2 в виде
x1  f ( x1 )  x0  y1 , x2  f ( x2 )  x0  y 2 ,
как было показано выше, однозначно. Тогда
x1  x2  ( f ( x1 )  f ( x2 ))  x0  ( y1  y2 ) .
Отсюда x1  x2  Kerf если и только если f ( x1 )  f ( x2 )  0 .
Всякий класс смежности  по подпространству Kerf определяется любым из своих представителей. В качестве такого представителя можно взять x0 . Отсюда видно, что фактор-пространство L Kerf
имеет размерность n  1 , т.е. Kerf имеет коразмерность n  1 . Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Подпространство Kerf определяет линейный
функционал, обращающийся на нем в нуль, с точностью до постоянного
множителя.
Доказательство. В самом деле, пусть функционалы f и g
имеют одно и то же ядро: Kerf  Kerg . Выберем элемент x0  L так,
чтобы f ( x0 )  1 . Утверждается, что g( x0 )  0 . Действительно,
x  f ( x )  x0  y , y  Kerf  Kerg , и тогда
g ( x )  g ( f ( x )  x 0  y )  f ( x )  g ( x0 )  g ( y )  g ( x 0 )  f ( x ) .
116
Если бы g ( x0 )  0 , то функционал g был бы тождественным нулем.
g( x )  g( x0 )  f ( x ) вытекает пропорциональность
функционалов f и g . Утверждение 2 доказано.
Для всякого подпространства L' коразмерности n  1 линейного
пространства L можно указать такой функционал f , что Kerf  L' .
Действительно, фактор-пространство L L' имеет размерность n  1 .
Из равенства
Поэтому можно выбрать какой-либо (ненулевой!) смежный класс
 0  L L' , что для каждого   L L' имеем:   0 . Выберем в
смежном классе  0 представителя: x0   0 . Любой элемент x  L содержится хотя бы в одном из смежных классов
 . Поэтому
x  x0  y  L' , т.е.
x  x0  y , y  L .
()
Это представление единственно. Действительно, если оно не единственy , то взяв их разно, т.е. если существует представление x  ~x0  ~
y ) . Если   ~ , то y  ~
ность, получим: 0  (   ~ )x0  ( y  ~
y . Если
y ) ( ~   ) , что невозможно, так как x0 не
же   ~ , то x0  ( y  ~
может принадлежать L' ( L' играет роль нуля в фактор-пространстве
L L' ;   0 ).
Поскольку любой элемент x  L однозначно представим в виде
(  ) , то определим функционал f на L следующим образом:
f ( x ) .
(  )
Убедимся в том, что это действительно линейный функционал. Пусть
x  x0  y , ~
x  ~x0  ~
y . Тогда x  ~
x  (   ~ )x0  ( y  ~
y ) , и по-
x ) , т.е. аддитивность установлеэтому f ( x  ~
x )    ~  f ( x )  f ( ~
f ( x )    f ( x ) , т.е. f
однороден. Таким образом, функционал f линеен. Теперь покажем, что
Kerf  L' . Если x  L и f ( x )  f ( x0  y )    0 , то x  y  L' ,
т.е. Kerf  L' .
Пусть L' – какое-нибудь подпространство коразмерности n  1
в линейном пространстве L ; тогда всякий класс смежности пространства L по подпространству L' называется гиперплоскостью, параллельной подпространству L' . В частности, само подпространство L'
на. Далее, x  x0  y . Поэтому
117
является гиперплоскостью, содержащей 0, т.е. «проходящей через начало координат». Иными словами, гиперплоскость M ' , параллельная
подпространству L' – это множество, получающееся из L' параллельным переносом (сдвигом) на какой-нибудь вектор x0  L :
M '  L'  x0  { y : y  x  x0 , x  L' } .
Ясно, что если x0  L' , то M '  L' . Если же x0  L' , то M '  L' . Если
f - нетривиальный линейный функционал на пространстве L , то множество M f  { x : f ( x )  1 } является гиперплоскостью, параллельной
подпространству Kerf . Действительно, фиксируя какой-нибудь элемент x0 , для которого f ( x0 )  1 , мы можем всякий вектор x  M f
представить в виде x  x0  y , где y  Kerf . С другой стороны, если
M ' – какая-нибудь гиперплоскость, параллельная подпространству L'
(коразмерности 1) и не проходящая через начало координат, то существует единственный линейный функционал
такой, что
f
M '  { x : f ( x )  1 } . Действительно, пусть M '  L'  x0 , x0  L ; тогда
всякий элемент x  L однозначно представим в виде x  x0  y , где
y  L' . Полагая, как и выше, f ( x )   , мы получим искомый линейный функционал. Единственность следует из того, что если g( x )  1
при x  M ' , то g( y )  0 при y  L' , так как
g ( x0  y )    f ( x0  y ) .
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие
между всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на линейном пространстве L , и всеми гиперплоскостями в L , не
проходящими через начало координат.
118