Множества единственности продолжения положительного

Математика и информатика
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
УДК 517.9
Е.Ю. ЛЕОНОВА
МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО
ЛИНЕЙНОГО ОГРАНИЧЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ C(X)
The paper contains the proof of existence of the largest subspace among all subspaces of a normalized space, on which a linear
continuous functional can be extended uniquely with the same norm. For a positive linear continuous functional defined on the set of
continuous functions on a compact space the description of such subspaces is given.
Согласно теореме Хана – Банаха для любого ограниченного линейного функционала, заданного на
подпространстве нормированного пространства, существует линейное продолжение на все пространство, имеющее ту же норму. Такое продолжение в общем случае не единственно, но в ряде задач
представляет интерес вопрос о единственности продолжения.
121
Вестник БГУ. Сер. 1. 2012. № 2
Приведем пример такой задачи. Пусть X = S 1 есть окружность, реализованная как факторгруппа
S 1 = / . Зададим оператор сдвига Th u ( x) = u ( x + h), где число h иррационально. В пространстве
L p ( S 1 ), 1 ≤ p ≤ ∞, рассмотрим операторы взвешенного сдвига, заданные формулой
Bu ( x) = eϕTh u ( x) = eϕ( x ) u ( x + h), u ∈ L p ( S 1 ).
В случае ϕ∈ C ( S 1 ) формула логарифма спектрального радиуса r ( B ) оператора B была получена в
[1] (обобщения этой формулы см. в [2]). Она имеет вид
1
ln r (e Th ) = ∫ ϕ( x)dx.
ϕ
(1)
0
1
Правая часть формулы (1) есть функционал λ(ϕ) := ∫ ϕ( x)dx, определенный на пространстве C ( X ).
0
Этот функционал линейный, положительный, ограниченный и λ = 1. Функционал λ имеет два естественных продолжения на пространство L∞ ( S 1 ) :
1
λ1 (ϕ) = ln r (eϕTh ), λ 2 (ϕ) = ∫ ϕ( x) dx, ϕ∈ L∞ ( S 1 ).
0
Однако эти продолжения не совпадают на всем пространстве L∞ ( S 1 ) . Другими словами, формула (1)
не верна для произвольной функции ϕ∈ L∞ ( S 1 ) . Возникает вопрос: для каких разрывных функций
ϕ∈ L∞ ( S 1 ) формула (1) имеет место?
Заметим, что если L – подпространство в L∞ ( S 1 ), на которое линейное продолжение функционала
λ, имеющее единичную норму, единственно, то формула (1) остается верной для ϕ∈ L . Поэтому
представляет интерес нахождение таких подпространств.
Отметим также, что вопросы, связанные с единственностью продолжения линейного функционала, возникают при исследовании расширенного преобразования Лежандра [3].
В данной работе доказано существование наибольшего векторного подпространства, на которое
линейный функционал продолжается однозначно с сохранением нормы, и для функционала, определенного на пространстве C ( X ) функций, непрерывных на компакте, получено описание таких подпространств.
Существование множества единственности
Теорема 1. Пусть λ – ограниченный линейный функционал, заданный на векторном подпространстве L нормированного пространства E . Существует наибольшее по включению подпространство ℜ среди всех подпространств пространства E , на которых линейное продолжение
функционала λ , сохраняющее норму, однозначно определяется исходным функционалом λ . Подпространство ℜ замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим множество M = {Lα : α ∈ I } всех векторных подпространств в E ,
на каждом из которых линейное продолжение функционала λ, имеющее ту же норму, единственно.
Для каждого Lα ∈ M обозначим такое продолжение соответственно через λ α . На множестве M введем отношение порядка: будем говорить, что Lα ≺ Lγ , если Lα ⊆ Lγ .
Рассмотрим множество ℜ := ∪ α∈I Lα и покажем, что оно является искомым подпространством. Покажем вначале, что ℜ есть векторное подпространство. Для этого достаточно доказать, что
Lα + Lγ ∈ M для любых Lα , Lγ ∈ M .
В силу теоремы Хана – Банаха на подпространство Lα + Lγ существует линейное продолжение λ
функционала λ, имеющее норму λ = λ . Остается показать, что продолжение λ однозначно определяется функционалом λ. Возьмем ϕ∈ Lα + Lγ . Функция ϕ представляется в виде суммы
ϕ = ϕ1 + ϕ2 , где ϕ1 ∈ Lα , ϕ2 ∈ Lγ . Поскольку λ
122
Lα
= λα и λ
Lγ
= λ γ , то
Математика и информатика
λ(ϕ) = λ (ϕ1 ) + λ (ϕ2 ) = λ α (ϕ1 ) + λ γ (ϕ2 ).
(2)
Функционал λ определен однозначно по λ, если (2) не зависит от разложения ϕ = ϕ1 + ϕ2 . Покажем
это. Предположим, что существуют ψ1 ∈ Lα , ψ 2 ∈ Lγ такие, что ϕ = ϕ1 + ϕ2 = ψ1 + ψ 2 . Тогда
ϕ1 − ψ1 = ψ 2 − ϕ2 ∈ Lα ∩ Lγ . В силу того, что λ α
Lα ∩ Lγ
= λγ
Lα ∩ Lγ
, имеем
λ α (ϕ1 − ψ1 ) = λ γ (ψ 2 − ϕ2 ); λ α (ϕ1 ) − λ α (ψ1 ) = λ γ (ψ 2 ) − λ γ (ϕ2 ).
Отсюда λ α (ϕ1 ) + λ γ (ϕ2 ) = λ α (ψ1 ) + λ γ (ψ 2 ). А значит, (2) не зависит от разложения функции ϕ, и продолжение λ однозначно определяется функционалом λ.
Возьмем произвольные ϕ1 , ϕ2 ∈ℜ и c1 , c2 ∈ . Существуют α, γ ∈ I такие, что ϕ1 ∈ Lα , ϕ2 ∈ Lγ . Тогда c1ϕ1 + c2 ϕ2 ∈ Lα + Lγ ∈ M . Следовательно, c1ϕ1 + c2 ϕ2 ∈ℜ. Таким образом, ℜ есть векторное подпространство.
Докажем, что ℜ ∈ M . Пусть λ – линейное продолжение функционала λ на подпространство ℜ,
имеющее норму λ = λ . Возьмем ϕ∈ℜ. Существует индекс α ∈ I такой, что ϕ∈ Lα . Отсюда следует, что значение λ(ϕ) однозначно определено исходным функционалом λ. Таким образом, существует единственное линейное продолжение функционала λ на подпространство ℜ, имеющее ту же
норму.
Из того, что ℜ = ∪ α∈I Lα , очевидным образом следует, что ℜ является наибольшим элементом
множества М. А поскольку всякий непрерывный функционал, заданный на векторном подпространстве,
может быть единственным образом продолжен на замыкание этого подпространства, то ℜ замкнуто.
Описание множеств единственности в L∞ ( X , μ)
Всюду далее X – компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, ν – положительная регулярная [4] вероятностная мера, μ – положительная борелевская мера с носителем supp μ = X . Рассмотрим функционал λ, заданный на пространстве C ( X )
формулой
λ(ϕ) = ∫ ϕ( x)d ν, ϕ∈ C ( X ).
(3)
X
Функционал λ положительный линейный непрерывный и λ = 1. Заметим, что согласно теореме
Рисса [4] любой положительный линейный непрерывный функционал на C ( X ) имеет вид (3) с точностью до некоторой постоянной.
Линейное продолжение функционала (3) на пространство L∞ ( X , μ), имеющее ту же норму, очевидно, может быть не единственным. Из теоремы 1 получаем
Следствие 1. Существует наибольшее по включению векторное подпространство ℜν ( X , μ) среди
всех векторных подпространств в L∞ ( X , μ), на которых всякое линейное продолжение λ функционала (3), имеющее норму λ = 1, определено единственным образом.
С целью описания подпространств ℜν ( X , μ) ⊂ L∞ ( X , μ) введем следующие понятия.
Определение 2. Назовем функцию ϕ∈ L∞ ( X , μ) монотонно аппроксимируемой относительно меры
ν, если ϕ удовлетворяет условию: для любого ε > 0 существуют функции f , g ∈ C ( X ) такие, что
g ≤ ϕ ≤ f μ – п.в. и
∫ ( f ( x) − g ( x))d ν < ε.
X
Определение 3. Назовем функцию ϕ∈ L∞ ( X , μ) почти непрерывной относительно меры ν, если
класс ϕ содержит хотя бы одну ν – п.в. непрерывную функцию.
Через MAν ( X , μ) обозначим множество всех монотонно аппроксимируемых относительно меры ν
функций, а через ACν ( X , μ) – множество всех почти непрерывных относительно меры ν функций.
123
Вестник БГУ. Сер. 1. 2012. № 2
Очевидно, что множества MAν ( X , μ) и ACν ( X , μ) – векторные подпространства. Кроме того, подпространство ACν ( X , μ) является подалгеброй алгебры L∞ ( X , μ).
Следующая теорема дает описание подпространства ℜν ( X , μ) ⊂ L∞ ( X , μ) .
Теорема 2. Пусть ℜν ( X , μ) – наибольшее по включению подпространство среди всех подпространств в L∞ ( X , μ), на которых линейное продолжение функционала
λ(ϕ) = ∫ ϕ( x)d ν, ϕ∈ C ( X ),
(4)
X
имеющее единичную норму, однозначно определяется исходным функционалом λ. Тогда
ℜν ( X , μ) = MAν ( X , μ) = ACν ( X , μ)
и это множество является замкнутой подалгеброй алгебры L∞ ( X , μ).
Всюду далее неравенства для функций будем подразумевать выполненными μ – п.в.
Лемма 1. Для функции ϕ∈ L∞ ( X , μ) эквивалентны следующие условия:
(1) для любого ε > 0 существуют функции y , z ∈ C ( X ) такие, что
ess sup y ( x) − ϕ( x) + ess sup z ( x) − ϕ( x) + ∫ y ( x) d ν − ∫ z ( x) d ν < ε;
x∈ X
x∈ X
X
(5)
X
(2) ϕ∈ MAν ( X , μ).
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 . Докажем равенство ℜν ( X , μ) = MAν ( X , μ). Как и в доказатель-
стве теоремы 1, обозначим через M = { Lα : α ∈ I } множество всех векторных подпространств
в L∞ ( X , μ), на каждом из которых линейное продолжение функционала λ, имеющее единичную
норму, единственно. В доказательстве теоремы 1 было получено равенство ℜν ( X , μ) = ∪ Lα ∈M Lα . Поэтому для доказательства равенства ℜν ( X , μ) = MAν ( X , μ) необходимо и достаточно доказать, что
∪ Lα ∈M Lα = MAν ( X , μ).
Чтобы доказать включение
MAν ( X , μ) ⊆ ∪ Lα ∈M Lα ,
покажем вначале, что для функции
ϕ1 ∈ L∞ ( X , μ) \ C ( X ) условие ϕ1 ∈ MAν ( X , μ) является необходимым и достаточным для того, чтобы
подпространство L(ϕ1 ) := {βϕ1 + ϕ ϕ∈ C ( X ), β∈
}∈ M .
Пусть λ1 – линейное продолжение функционала λ на L(ϕ1 ) с нормой λ1 = 1. Приведенные далее рассуждения при построении λ1 частично повторяют рассуждения из доказательства теоремы Хана – Банаха [5].
В силу линейности должно выполняться свойство λ1 (βϕ1 + ϕ) = βλ1 (ϕ1 ) + λ(ϕ). Так как β и λ(ϕ)
заданы, для определения λ1 достаточно задать только число c := λ1 (ϕ1 ). Нужно подобрать c так, чтобы выполнялось условие λ1 (βϕ1 + ϕ) ≤ βϕ1 + ϕ , т. е.
βc + λ(ϕ) ≤ βϕ1 + ϕ ∀ϕ∈ C ( X ), ∀β ∈ .
При β > 0 неравенство (6) перепишем в виде
c≤
а при β < 0 – в виде
⎛ϕ⎞
ϕ
+ ϕ1 − λ ⎜ ⎟ ,
β
⎝β⎠
(6)
(7)
⎛ ϕ⎞
ϕ
− ϕ1 + λ ⎜ − ⎟ ≤ c.
(8)
β
⎝ β⎠
Существование постоянных c ∈ , удовлетворяющих условиям (7) и (8), не является очевидным фактом, поскольку условия (7) задают ограничения на значение c сверху, а условия (8) – ограничения
снизу, и такие ограничения могут противоречить друг другу.
Существование требуемых c доказывается следующим образом. Пусть y , z – произвольные элементы из C ( X ). Тогда
− −
λ( z ) + λ ( y ) = λ( z + y ) ≤ z + y ≤ z − ϕ1 + y + ϕ1
124
Математика и информатика
или
− z − ϕ1 + λ ( z ) ≤ y + ϕ1 − λ ( y ).
Рассмотрим следующие величины:
c′ = c′(ϕ1 ) = sup ( − z − ϕ1 + λ ( z ) ) ; c′′ = c′′(ϕ1 ) = inf
y∈C ( X )
z∈C ( X )
(9)
(
y + ϕ1 − λ ( y ) ) .
В силу (9) имеем с′ ≤ с′′, и константа c удовлетворяет условиям (7) и (8) тогда и только тогда, когда с′ ≤ с ≤ с′′.
Подпространство L(ϕ1 ) ∈ M тогда и только тогда, когда константа c определена однозначно, что
выполнено, если c′ = c′′. Но условие c′ = c′′ эквивалентно следующему: для любого ε > 0 существуют
функции y , z ∈ C ( X ) такие, что
y + ϕ1 − λ( y ) + z − ϕ1 − λ( z ) < ε.
(10)
А в силу леммы 1 условие (10) эквивалентно ϕ1 ∈ MAν ( X , μ). Таким образом, L(ϕ1 ) ∈ M тогда и только
тогда, когда ϕ1 ∈ MAν ( X , μ).
Покажем теперь, что выполнено включение MAν ( X , μ) ⊆ ∪ Lα ∈M Lα . Пусть ϕ∈ MAν ( X , μ). Если
ϕ∈ C ( X ), то очевидно ϕ∈ C ( X ) ⊂ ∪ Lα ∈M Lα . Если же ϕ∈ MAν ( X , μ) \ C ( X ), то это равносильно тому,
что L(ϕ) ∈ M . Отсюда следует ϕ∈ L(ϕ) ⊂ ∪ Lα ∈M Lα .
Для доказательства обратного включения ∪ Lα ∈M Lα ⊆ MAν ( X , μ) покажем, что Lα ⊆ MAν ( X , μ) для
любого Lα ∈ M . Возьмем ϕ∈ Lα . Если ϕ∈ C ( X ), то очевидно ϕ∈ C ( X ) ⊂ MAν ( X , μ). Пусть
ϕ∈ Lα \ C ( X ). Поскольку L(ϕ) ⊆ Lα , то L(ϕ) ∈ M . Ранее было доказано, что это эквивалентно условию ϕ∈ MAν ( X , μ). Таким образом, Lα ⊆ MAν ( X , μ).
Докажем теперь равенство MAν ( X , μ) = ACν ( X , μ).
Отметим частный случай, когда X есть отрезок, а μ и ν – меры Лебега. В этом случае известно,
что свойство монотонной аппроксимируемости функции эквивалентно тому, что функция ограничена
и почти всюду непрерывна, и эквивалентно интегрируемости функции по Риману. По существу,
дальнейшее доказательство повторяет некоторые шаги из доказательства этого критерия.
Возьмем произвольный элемент ϕ∈ L∞ ( X , μ) и рассмотрим величины
⎪⎧
⎪⎫
⎪⎧
⎪⎫
Θ = inf ⎨ ∫ f ( x)d ν f ∈ C ( X ), ϕ ≤ f ⎬ ; θ = sup ⎨ ∫ g ( x)d ν g ∈ C ( X ), g ≤ ϕ⎬ .
⎩⎪ X
⎭⎪
⎩⎪ X
⎭⎪
Выберем последовательности функций f n , g n ∈ C ( X ) такие, что g n ≤ ϕ ≤ f n и
lim ∫ f n ( x)d ν = Θ; lim ∫ g n ( x )d ν = θ.
n →∞
n →∞
X
(11)
X
Без ограничения общности можно считать, что последовательность f n убывает, а последовательность g n возрастает.
Поскольку функции f n и g n непрерывны и неравенство g n ≤ f n выполнено μ – п.в., то оно выполнено всюду в силу условия supp μ = X . Таким образом, для любого n и любого x ∈ X справедливо
g n ( x) ≤ g n +1 ( x) ≤ f n +1 ( x) ≤ f n ( x). Отсюда следует, что для любого x ∈ X существуют конечные пределы
ϕ( x) := lim f n ( x); ϕ( x) := lim g n ( x).
(12)
n →∞
n →∞
Очевидно, что ϕ( x) ≤ ϕ( x) для любого x ∈ X . Кроме того, ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ.
Последовательности f n , g n удовлетворяют условиям теоремы Леви [5]. Поэтому
∫ ϕ( x)d ν = lim ∫ f
X
n →∞
X
n
( x)d ν;
∫ ϕ( x)d ν = lim ∫ g
X
n →∞
n
( x) d ν.
X
Отсюда в силу (11) имеем
∫ ϕ( x)d ν = Θ; ∫ ϕ( x)d ν = θ.
X
X
125
Вестник БГУ. Сер. 1. 2012. № 2
Следовательно,
∫ ( ϕ( x) − ϕ( x) ) d ν = Θ − θ.
X
Принимая во внимание то, что ϕ( x) ≤ ϕ( x) всюду на X , заключаем, что условие Θ = θ эквивалентно
тому, что ϕ( x) = ϕ( x) ν – п.в. Условие же ϕ∈ MAν ( X , μ) очевидно равносильно условию Θ = θ. Таким образом, ϕ∈ MAν ( X , μ) тогда и только тогда, когда ϕ( x) = ϕ( x) ν – п.в.
Докажем включение MAν ( X , μ) ⊆ ACν ( X , μ). Пусть ϕ∈ MAν ( X , μ). Тогда в силу доказанного выше
ϕ( x) = ϕ( x) ν – п.в. Выберем в классе ϕ представителя ϕ такого, что ϕ( x) ≤ ϕ( x) ≤ ϕ( x) для любого
x ∈ X . Легко доказать, что каждая точка x, в которой ϕ( x) = ϕ( x), является точкой непрерывности
функции ϕ. А поскольку ϕ( x) = ϕ( x) ν – п.в., то представитель ϕ класса ϕ есть ν – п.в. непрерывная
функция. Таким образом, ϕ∈ ACν ( X , μ).
Докажем обратное включение ACν ( X , μ) ⊆ MAν ( X , μ). Пусть ϕ∈ ACν ( X , μ), ϕ и ϕ – функции,
определенные формулами (12). В классе ϕ существует ν – п.в. непрерывный представитель ϕ.
Обозначим через Sϕ множество точек непрерывности функции ϕ. Докажем, что ϕ( x) = ϕ( x) ν – п.в.
Для
этого
достаточно
показать,
Sϕ ⊆ { x ∈ X ϕ( x) ≤ ϕ( x) ≤ ϕ( x)} , то
{x ∈ S
ϕ
{
}
ν x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) = 0.
что
} {
Заметим,
} {
что
поскольку
}
ϕ( x) < ϕ( x) = x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) ∪ x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) =
{
} {
}
= x ∈ Sϕ ( −ϕ)( x) < (−ϕ)( x) ∪ x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) .
Поэтому,
чтобы
{
доказать,
{
}
ν x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) = 0,
что
}
достаточно
доказать,
что
{
}
для любого δ > 0 выполнено ν { x ∈ S ϕ( x) − ϕ( x) ≥ δ} = 0. Предположим, что это не так, т. е. что существует δ > 0, при котором ν { x ∈ S ϕ( x) − ϕ( x) ≥ δ} > 0. В силу регулярности меры ν существует
замкнутое множество K положительной меры ν такое, что K ⊆ { x ∈ S ϕ( x) − ϕ( x) ≥ δ}.
ν x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) = 0. А чтобы доказать, что ν x ∈ Sϕ ϕ( x) < ϕ( x) = 0, достаточно показать, что
ϕ
ϕ
ϕ
Фиксируем n ∈ . Возьмем произвольную точку x0 ∈ K . В силу непрерывности в точке x0 функций f n и ϕ существует окрестность U x0 точки x0 такая, что
δ
δ
f n ( x0 ) − f n ( x) ≤ , ϕ( x0 ) − ϕ( x) ≤ , x ∈U x0 .
(13)
3
3
Как и всякое компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости
Хаусдорфа, пространство X является нормальным, и в частности регулярным [5]. Поэтому для окрестности U x0 существует окрестность Vx0 ⊆ U x0 , замыкание которой Vx0 ⊆ U x0 .
Таким образом, семейство {Vx x ∈ K } представляет собой покрытие компакта K . Выделим из
{
}
этого покрытия конечное подпокрытие Vx1 ,Vx2 , ..., Vx p .
Используя лемму Урысона, для каждого 1 ≤ i ≤ p построим функцию qi ∈ C ( X ), удовлетворяющую
условиям: qi ( x) = ϕ( xi ) + δ 3 при x ∈Vxi , qi ( x) = f n ( x) при x ∈ X \ U xi и ϕ( xi ) + δ 3 ≤ qi ( x) ≤ f n ( x),
когда x ∈ U xi \ Vxi .
Рассмотрим функцию hn ( x) = min qi ( x). Функция hn ∈ C ( X ). Принимая во внимание свойства
1≤ i ≤ p
функций qi и неравенства (13), легко доказать, что ϕ ≤ hn ≤ f n и для x ∈ K выполнено неравенство
f n ( x) − hn ( x) ≥ δ 3. Отсюда следует, что
126
Математика и информатика
∫f
X
В силу того, что
∫ ϕ( x)d ν = Θ,
n
δ
( x)d ν − ∫ hn ( x)d ν ≥ ν ( K ).
3
X
(14)
существует функция f n такая, что
X
δ
∫ ϕ( x)d ν + 6 ν( K ) ≥ ∫ f
X
n
( x)d ν.
(15)
X
Складывая неравенства (14) и (15), получаем, что
δ
∫ ϕ( x)d ν − ∫ h ( x)d ν ≥ 6 ν( K ) > 0.
n
X
X
Таким образом, мы построили функцию hn ∈ C ( X ) такую, что ϕ ≤ hn и
∫ h ( x)d ν < ∫ ϕ( x)d ν.
n
X
Но это противоречит тому, что
{
X
⎪⎧
∫ ϕ( x)d ν = inf ⎨⎪ ∫ f ( x)dν
X
⎩X
}
⎪⎫
f ∈ C ( X ), ϕ ≤ f ⎬ . Следовательно, наше пред⎭⎪
{
}
положение о том, что ν x ∈ Sϕ ϕ( x) − ϕ( x) ≥ δ > 0, неверно. Поэтому ν x ∈ Sϕ ϕ( x) − ϕ( x) ≥ δ = 0 для
любого δ > 0.
Таким образом, нами доказано равенство ℜν ( X , μ) = MAν ( X , μ) = ACν ( X , μ). Поскольку в силу
теоремы 1 подпространство ℜν ( X , μ) замкнуто, а ACν ( X , μ), как уже отмечалось, есть подалгебра
алгебры L∞ ( X , μ), то ℜν ( X , μ) является замкнутой подалгеброй алгебры L∞ ( X , μ).
1. А н т о н е в и ч А . Б . Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Мн., 1988.
2. А н т о н е в и ч А . Б . , Р ы в к и н В . Б . // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 3. С. 1347.
3. A n t o n e v i c h A . B . // Geometric Methods in Physics. Proceedings of the XXVIII Workshop on Geometric Methods in
Physics / American Institute of Physics, Melville. New York, 2009. P. 1.
4. К а д е ц В . М . Курс функционального анализа. Харьков, 2006.
5. К о л м о г о р о в А . Н . , Ф о м и н С . В . Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.
Поступила в редакцию 08.06.11.
Евгения Юрьевна Леонова – аспирант кафедры функционального анализа. Научный руководитель – доктор физикоматематических наук, профессор А.Б. Антоневич.
127