КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ Вариант 2 C1. Найдите наибольшее целое значение p, при котором функция y x3 px 2 x 1 возрастает на всей области определения. Решение: 1) y x3 px 2 x 1, y 3x 2 2 px 1; 2) функция y x3 px 2 x 1 возрастает на множестве действительных чисел R тогда и только тогда, когда y 0 на R; 3) 3x 2 2 px 1 0 на R, тогда и только тогда, когда D 0 ; D p2 3 , p2 3 0 4 3 p 3 (*). Наибольшее целое значение p, удовлетворяющее условию (*), равно 1. Ответ: 1. Баллы Критерии оценки выполнения задания С1 2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено условие возрастания функции y x3 px 2 x 1 на множестве действительных чисел R; 2) найдено наименьшее целое значение p, при котором функция y x3 px 2 x 1 возрастает на множестве R. Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. 1 0 Приведена верная последовательность всех шагов решения, но неверно сформулировано условие возрастания данной функции ― вместо условия y 0 рассматривается условие y 0 и «условие» для р не содержит границ отрезка. Допустима описка или вычислительная ошибка. В результате может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. C2. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения cos 2x и 4 cos 2 x 3sin 2x принимают равные значения. Решение: 1) cos 2 x 4cos 2 x 3sin 2 x . cos 2 x 0, cos 2 x 0, 2 x 2k 2) а) 4 cos 2 x 4 cos 2 x 3sin 2 x tg 2 x 1 x k ; k Z ; 8 б) cos 2 x 0, cos 2 x 0, 2 x arctg 5 2k 5 3 cos 2 x 4 cos 2 x 3sin 2 x tg 2 x 3 x 1 arctg 5 k , k Z . 2 Ответ: 2 3 k ; 1 arctg 5 k ; 8 2 2 3 k Z . Баллы Критерии оценки выполнения задания С2 2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) составлено уравнение по условию задачи; 2) найдены корни полученного уравнения. Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. 1 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ. 0 Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. C3. Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство log a3 | x | 4 2 верно при всех действительных значениях x. Решение: a 3 0, 3 a 4 , Согласно определению логарифма a 3 1 a 4. 1) Если 3 a 4 , то данное неравенство не имеет решений, поскольку | x | 4 1 , а, значит, log a3 | x | 4 0 на множестве действительных чисел. 2) В случае a 4 имеем: 2 log a3 | x | 4 2 log a3 | x | 4 log a3 a 3 Так как множеством значений функции y | x | 4 является промежуток неравенство [4; ) , | x | 4 (a 3)2 верно при всех действительных значениях x тогда и только тогда, когда (a 3)2 4 (см. рисунок). Учитывая условие a 4 , получаем: (a 3)2 4, 2 a 3 2, 4 a 5. a 4 a 4 | x | 4 (a 3) 2 . y y | x| 4 4 y (a 3)2 0 x Ответ: a (4; 5] . Баллы 4 3 2 1 0 Критерии оценки выполнения задания С3 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) доказано отсутствие решений данного неравенства при 3 a 4 ; 2) доказано наличие решений данного неравенства при a 4 ; 3) найдены все значения a, при каждом из которых неравенство log a3 | x | 4 2 верно при всех действительных значениях x. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно; Допустима описка или вычислительная ошибка. В результате может быть получен неверный ответ. Верно выполнен шаг 1), а шаги 2) и 3) выполнены неверно. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла. C4. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD, плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC. Тангенс угла FAC равен 15 , а тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен 2. Точка M 7 лежит на ребре BC так, что BM 6 . Точка L лежит на прямой AF и 5 равноудалена от точек M и С. Вокруг пирамиды FABCD описана сфера радиуса 4. Найдите объём пирамиды LAMC, если известно, что центр сферы, описанной вокруг пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды. Решение: L Опустим из точки L перпендикуляр LH на плоскость АВС, а из точки H перпендикуляр F HP на прямую ВС (см. рисунок). Поскольку плоскости AСF и ABC перпендикулярны, точка H лежит на их линии пересечения ― D прямой АС. Кроме того, поскольку плоскости H C P AСF и ABC перпендикулярны, прямая AC M B является проекцией прямой BC на плоскость A AСF. Следовательно, угол между прямой BC и плоскостью AСF равен углу между прямой BC и прямой AC, т.е. равен углу ACB. Отрезки HM и HC ― проекции равных наклонных LM и LC на плоскость АВС, следовательно, HM HC . Таким образом, отрезок HP является высотой равнобедренного треугольника CMH, а, следовательно, является и его медианой, откуда CP 1 CM . 2 Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости АВC и АВCD ― прямоугольник, следовательно, АС ― диаметр 2R этой сферы, откуда AC 8 . Далее имеем: 1) Из ABC : а) BC AC cos ACB AC 1 tg ACB 2 CM BC BM 2 ; CP 1 CM 1 ; 2 5 5 8 , откуда 5 б) AB BC tg ACB 16 . 5 2) Прямые HP и АB параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой ВС, следовательно, HPC ~ ABC , откуда CH CP 1 , CH 1 AC , а, значит, AH 7 AC 7 . AC BC 8 8 8 3) В прямоугольном треугольнике АLH тангенс угла A равен значит, LH AH 15 7 15 15 . 7 7 4) VLACM 1 SACM LH 1 1 CM AB LH 1 1 2 16 15 16 . 2 Ответ: 16. 3 2 3 2 5 5 15 , 7 Баллы 4 3 2 1 0 Критерии оценки выполнения задания С4 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) указано положение основания перпендикуляра LH, опущенного из точки L на плоскость АВС; 2) установлено равенство отрезков HM и HC, а также параллельность отрезков HP и AB; 3) указано положение центра сферы, описанной около пирамиды FABCD; 4) указан угол между прямой ВС и плоскостью AFС; 5) найден объем пирамиды LACM. Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории: а) свойство перпендикулярных плоскостей; б) свойства проекций и их наклонных; в) определение угла между прямой и плоскостью; г) подобие треугольников; д) свойство прямоугольника. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведены все шаги решения 1) ― 5). Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) ― д). Допустимы отсутствие обоснований некоторых ключевых моментов или неточности в обоснованиях. Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. Приведены все шаги решения 1) ― 5). Ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) ― д) либо отсутствуют, либо приведены с ошибками, но сами эти положения теории использованы при решении. Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок или описок может быть получен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено: частично приведены шаги решения, которые отражены и ясно видны на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 90 , отмечены равные углы и т.п.) или описаны словесно. Найдены некоторые числовые характеристики пирамиды LBDM. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок, влияющих на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла. Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение, свойства на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул. C5. Пусть n ― число различных действительных корней уравнения a выбирается так, что ax3 x 2 x a 0 . Значение параметра n 1 2a a 2 . Решите уравнение 2 x x 1 a n 4 при каждом значении a, выбранном таким образом. Решение: y По условию, n 1 2a a 2 . Так как x 1 y f (a) 2 является корнем уравнения ax3 x 2 x a 0 при любом значении параметра a, то n ― число 1 натуральное. 1) Рассмотрим функцию f (a) 1 2a a 2 . a 0 1 2 a0 1, f (a0 ) 2, f (0) f (2) 1 (см. рисунок). Ясно, что выражение n 1 2a a 2 может принимать только два натуральных значения: 1 или 2. Если n 2 , то a 1 и уравнение ax3 x 2 x a 0 принимает вид x3 x 2 x 1 0 , откуда x 2 ( x 1) ( x 1) 0 ( x 1) 2 ( x 1) 0 . Таким образом, при a 1 уравнение действительно имеет ровно 2 различных корня. В этом случае a n 3 . Если n 1, то a 0 или a 2 . При a 0 уравнение ax3 x 2 x a 0 принимает вид x 2 x 0 , откуда x 0 , x 1 ― два различных корня, что противоречит условию n 1. При a 2 имеем 2 x3 x 2 x 2 0 ( x 1)(2 x 2 3x 2) 0 . Поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2 x 2 3x 2 отрицателен, уравнение действительно имеет ровно один корень, а, значит, и в этом случае a n 3 . 2) Подставляя теперь a n 3 в уравнение 2 x x 1 a n 4 , получаем уравнение 2 x x 1 7 . (*) Область определения этого уравнения ― промежуток [0; ) . Если 0 x 1, то уравнение (*) принимает вид 2 x x 6 . При 0 x 1 имеем: 2 x 2 , x 6 6 . Следовательно, уравнение не имеет корней на промежутке [0;1) . Если x 1, то уравнение (*) принимает вид 2 x 8 x . Так как y 2 x ― функция возрастающая, а y 8 x ― функция убывающая, то на промежутке [1; ) уравнение (*) имеет не более одного корня. Подбором находим x 4 . Ответ: {4} . Баллы 4 3 2 1 0 Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) доказано, что число корней данного уравнения может равняться 1 или 2; 2) приведен полный разбор случаев n 1 и n 2 ; 3) решено данное уравнение при a n 3 ; Обоснованы все ключевые моменты решения: а) доказательство равенства a n 3 ; б) единственность решения уравнения 2 x x 1 7 . Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснованы все ключевые моменты решения. Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть получен неверный ответ. Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно, в том числе ― неверно обоснован. Допустимы 1 ― 2 вычислительные ошибки, в результате которых может быть получен неверный ответ. Верно выполнен шаг 1) решения, а остальные ― либо отсутствуют, либо выполнены неверно. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла. Ответы к заданиям варианта 2 A1 4 B1 3,6 A2 1 B2 2 A3 4 B3 11 A4 2 B4 0,5 A5 2 B5 8 A6 1 B6 47 A7 1 B7 1 A8 3 B8 2 A9 1 B9 32 B10 60 A10 2 B11 80 C1 C2 C3 C4 C5 p 1 k , 1 arctg 5 k ; k Z 8 2 2 3 a 4; 5 16 {4}