Ответы, решения, критерии В-1

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ
Вариант 1
C1. Найдите наименьшее целое значение p, при котором функция
y  2 x3  px 2  x  5 возрастает на всей области определения.
Решение:
1) y  2 x3  px 2  x  5 , y  6 x 2  2 px  1 ;
2) функция y  2 x3  px 2  x  5 возрастает на множестве действительных
чисел R тогда и только тогда, когда y   0 на R;
3) 6 x 2  2 px  1  0 на R, тогда и только тогда, когда D  0 ;
D  p2  6 , p2  6  0
4

 6 p 6
(*).
Наименьшее целое значение p, удовлетворяющее условию (*), равно 2 .
Ответ: 2 .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С1
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) установлено условие возрастания функции y  2 x3  px 2  x  5 на
множестве действительных чисел R;
2) найдено наименьшее целое значение p, при котором функция
y  2 x3  px 2  x  5 возрастает на множестве R.
Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
1
0
Приведена верная последовательность всех шагов решения, но
неверно сформулировано условие возрастания данной функции ―
вместо условия y   0 рассматривается условие y  0 и «условие»
для р не содержит границ отрезка.
Допустима описка или вычислительная ошибка.
В результате может быть получен неверный ответ.
Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления
оценок в 1 и 2 балла.
C2.
Найдите все значения x, при каждом из которых выражения sin x и
2
3sin x  2 cos x принимают равные значения.
2
2
Решение:
1) sin x  3sin x  2cos x .
2
2
2
sin x  0,

2) а)  2

x
x
x
sin  3sin  2cos

 2
2
2
 x    4k , k  Z ;
sin x  0,
 2

 x
tg  1

 2
x    2k
2 4

2
sin x  0,
sin x  0,
 2
 2
б) 
 
 x    arctg 1  2k 
2
2
 sin x  3sin x  2cos x
tg x  1



2
2
2
 2 2
 x  2  2arctg 1  4k , k  Z .
2
Ответ:
  4k , 2  2arctg 1  4k ;
2
2
k Z .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С2
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) составлено уравнение по условию задачи;
2) найдены корни полученного уравнения.
Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
0
Все случаи решения, не соответствующие критериям выставления
оценок в 1 и 2 балла.
C3.
Найдите все такие значения a, при каждом из которых неравенство
2(1  a)  92 x  a  1  (2  a)  34 x1 не имеет решений.
Решение:
1)
2(1  a)  92 x  a  1  (2  a)  34 x1 

(2  2a)  92 x  (6  3a)  92 x  1  a 
 (a  4)  92 x  1  a .
2) а) a  4 : 0  92 x  3 ― нет решений;
б) a  4 :
в) a  4 : 9
9 2 x  1 a  0 ― нет решений;
2x
a 4
 1 a ― решения есть при любом
a 4
значении a  4 (см. рисунок).
y  92 x
y
1 a
1
y  a4
0
x
Ответ: a [4;  ) .
Баллы
Критерии оценки выполнения задания С3
4
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) получено неравенство, равносильное данному;
2) обосновано отсутствие или наличие решений полученного
неравенства при каждом значении параметра а.
Все преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Верно выполнен шаг 1); отсутствует обоснование в шаге 2).
Допустима описка или вычислительная ошибка.
В результате может быть получен неверный ответ.
Верно выполнен шаг 1), а шаг 2) выполнен неверно.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
2
C4. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD,
плоскость AFC перпендикулярна плоскости ABC. Тангенс угла FAC равен
81 , а тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен 4 . Точка M
20
3
1
лежит на ребре BC так, что BM  BC . Точка L лежит на прямой AF и
3
равноудалена от точек M и С. Объём пирамиды LBDM равен 72. Найдите
радиус сферы, описанной вокруг пирамиды FABCD, если известно, что
центр этой сферы лежит в плоскости основания пирамиды.
L
Решение:
Опустим из точки L перпендикуляр LH на
плоскость АВС, а из точки H перпендикуляр HP
F
на прямую ВС (см. рисунок). Поскольку
плоскости AСF и ABC перпендикулярны, точка
H лежит на их линии пересечения ― прямой
D
H
C
АС. Кроме того, поскольку плоскости AСF и
P
M
ABC перпендикулярны, прямая AC является A
B
проекцией прямой BC на плоскость AСF.
Следовательно, угол между прямой BC и плоскостью AСF равен углу
между прямой BC и прямой AC, т.е. равен углу ACB. Отрезки HM и
HC ― проекции равных наклонных LM и LC на плоскость АВС,
следовательно, HM  HC . Таким образом, отрезок HP является высотой
равнобедренного треугольника CMH, а, следовательно, является и его
медианой, откуда CP  1 CM  1 BC  MB .
2
3
Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости
АВC и АВCD ― прямоугольник, следовательно, АС ― диаметр 2R этой
сферы.
Далее имеем: AB  CD  BC tg ACB  6 R  4  8R .
1) Из ABC : а) BC  AC cos ACB 
BM  CP  2 R ;
5
5 3
AC
5
 2 R16  6 R , откуда
1 9
1 tg ACB
б) AB  CD  BC tg ACB  6 R  4  8R .
5 3
5
2
5
2) Прямые HP и АB параллельны, так как они лежат в одной плоскости
и перпендикулярны прямой ВС, следовательно, HPC ~ ABC , откуда
CH  CP  1 , CH  1 AC , а, значит, AH  2 AC  4 R .
AC
BC
3
3
3
3
3) В прямоугольном треугольнике АLH тангенс угла A равен 81 , значит,
20
81
27
R
LH  AH  
.
20
5
VLBDM  1 SBDM  LH  1  1  BM  CD  LH  1  1  2 R  8R  27 R  72 R .
4)
2
3 2
3 2 5 5
5
5
Согласно условию VLBDM  72 , значит, 72 R  72 , откуда R  5 .
5
Ответ: 5.
Баллы
4
3
2
1
0

Критерии оценки выполнения задания С4
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) указано положение основания перпендикуляра LH, опущенного
из точки L на плоскость АВС;
2) установлено равенство отрезков HM и HC, а также параллельность
отрезков HP и AB;
3) указано положение центра сферы, описанной около пирамиды
FABCD;
4) указан угол между прямой ВС и плоскостью AFС;
5) выражен через радиус описанной сферы объем пирамиды LBDM.
6) найден радиус сферы, описанной вокруг пирамиды FABCD.
Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве
положения теории:
а) свойство перпендикулярных плоскостей;
б) свойства проекций и их наклонных; в) определение угла между
прямой и плоскостью; г) подобие треугольников; д) свойство
прямоугольника.
Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен
верный ответ.
Приведены все шаги решения 1) ― 6).
Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения
теории а) ― д). Допустимы отсутствие обоснований некоторых
ключевых моментов или неточности в обоснованиях.
Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не
влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате
этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
Приведены все шаги решения 1) ― 6).
Ссылки на используемые при доказательстве положения теории
а) ― д) либо отсутствуют, либо приведены с ошибками, но сами эти
положения теории использованы при решении.
Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на
правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок
или описок может быть получен неверный ответ.
Ход решения правильный, но решение не завершено: частично
приведены шаги решения, которые отражены и ясно видны на
чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы,
равные 90 , отмечены равные углы и т.п.) или описаны словесно.
Найдены некоторые числовые характеристики пирамиды LBDM.
Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат
грубых ошибок, влияющих на правильность хода решения.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение, свойства на признак
или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.
C5. Пусть m ― число различных действительных корней уравнения
ax3  x 2  x  a  0 . Значение параметра a выбирается так, что
m  1  2a  a 2 . Решите уравнение log 2 x  x  2  a  m  3 при каждом
значении a, выбранном таким образом.
Решение:
y
По условию, m  1  2a  a 2 . Так как x  1
2
y  f (a)
3
2
является корнем уравнения ax  x  x  a  0
при любом значении параметра a, то m ―
1
число натуральное.
1) Рассмотрим функцию f (a)  1  2a  a 2 .
a
2 1 0
a0  1, f (a0 )  2, f (0)  f (2)  1 (см. рисунок).
Ясно, что выражение m  1  2a  a 2 может
принимать только два натуральных значения: 1 или 2.
Если m  2 , то a  1 и уравнение ax3  x 2  x  a  0 принимает вид
 x3  x 2  x  1  0 , откуда x 2 ( x  1)  ( x  1)  0  ( x  1) 2 ( x  1)  0 . Таким
образом, при a  1 уравнение действительно имеет ровно 2 различных
корня. В этом случае a  m  1 .
Если m  1, то a  0 или a  2 .
При a  0 уравнение ax3  x 2  x  a  0 принимает вид x 2  x  0 ,
откуда x  0 , x  1 ― два различных корня, что противоречит условию
m  1.
При a  2 имеем 2 x3  x 2  x  2  0  ( x  1)(2 x 2  3x  2)  0 .
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2 x 2  3x  2 отрицателен,
уравнение действительно имеет ровно один корень, а, значит, и в этом
случае a  m  1 .
2) Подставляя теперь a  m  1 в уравнение log 2 x  x  2  a  m  3 ,
получаем уравнение log 2 x  x  2  4 . (*)
Область определения этого уравнения ― промежуток (0;  ) .
Если 0  x  2 , то уравнение (*) принимает вид log 2 x  x  2 . При
0  x  2 имеем: log 2 x  1 , x  2  2 . Следовательно, уравнение не имеет
корней на промежутке (0; 2) .
Если x  2 , то уравнение (*) принимает вид log 2 x  6  x . Так как
y  log 2 x ― функция возрастающая, а y  6  x ― функция убывающая,
то на промежутке [2;  ) уравнение (*) имеет не более одного корня.
Подбором находим x  4 .
Ответ: {4} .
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценки выполнения задания С5
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) доказано, что число корней данного уравнения может равняться 1
или 2;
2) приведен полный разбор случаев m  1 и m  2 ;
3) решено данное уравнение при a  m  1 ;
Обоснованы все ключевые моменты решения:
а) доказательство равенства a  m  1 ;
б) единственность решения уравнения log 2 x  x  2  4 .
Все преобразования и вычисления выполнены верно.
Получен верный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Обоснованы все ключевые моменты решения.
Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не повлиявшие
на ход решения. В результате этой описки (ошибки) может быть
получен неверный ответ.
Верно выполнены шаги 1) и 2), а шаг 3) выполнен неверно, в том
числе ― неверно обоснован.
Допустимы 1 ― 2 вычислительные ошибки, в результате которых
может быть получен неверный ответ.
Верно выполнен шаг 1) решения, а остальные ― либо отсутствуют,
либо выполнены неверно.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше
критериям выставления оценок в 1 ― 4 балла.
Ответы к заданиям варианта 1
A1
1
B1
1,4
A2
1
B2
2
A3
3
B3
11
A4
4
B4
0,5
A5
4
B5
48
A6
3
B6
4
A7
1
B7
3
A8
3
B8
10
A9
2
B9
4
B10
45
A10
3
B11
112
C1
C2
C3
C4
C5
p  2
  4k , 2  2arctg 1  4k ; k  Z
2
2
a  4;   
5
{4}