Математика (письменно) - Глазовский государственный

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ГЛАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
имени В.Г. Короленко»
ПРОГРАММА
вступительного экзамена
2009
МАТЕМАТИКА
(письменно)
Пояснительная записка
Вступительное испытание по математике проводится в письменной форме. Работа состоит из
пяти заданий и составлена так, чтобы абитуриент показал как знания теоретического материала, так и
практические умения и навыки. Содержание заданий соответствует современным программам изучения математики в средней школе и ЕГЭ по математике. Письменная работа оценивается по 100бальной системе: первая задача – 15 баллов, вторая, третья и четвертая – 20 баллов (за каждую задачу), пятая задача – 25 баллов.
Критерии оценки заданий
Баллы
15
10-14
5-9
0-4
Баллы
20
15-19
10-14
5-9
0-4
Баллы
20
Критерии оценки выполнения задания 1
Получен правильный ответ.
Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям:
1) неравенство решается методом возведения обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень;
2) решение осуществляется по плану:
а) находится область определения заданного неравенства;
б) учитываются предложения о равносильности неравенств;
в) из найденных решений отбираются значения переменной, принадлежащие области определения заданного
неравенства.
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка
или описка в шаге 2а) или 2в), не влияющая на правильность хода решения. В результате этой
ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
Ответ, возможно, не получен или неправильный.
Приведено решение, в котором либо допущены грубые ошибки при выполнении шага 2а), 2б) или 2в), либо
отсутствует какой-то из пунктов 2а) - 2в),.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 5 -15 баллов.
Критерии оценки выполнения задания 2
Получен правильный ответ.
Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям:
1) находится область определения заданного уравнения;
2) при решении используются свойства логарифма произведения, частного, степени;
3) берется логарифм от обеих частей уравнения по конкретному основанию (с учетом шага 1);
4) данное уравнение при помощи замены переменной сводится к квадратному;
5) решается совокупность уравнений вида log a f ( x)  log a g ( x) ;
6) осуществляется проверка найденных значений x (с учетом шага 1).
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка
или описка на каком-то из шагов 1) - 5), не влияющая на правильность хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. Возможно в решении отсутствует шаг 6).
Приведено решение, в котором отсутствуют шаги 1), 6) (ответ может быть верным), допущены грубые ошибки при выполнении какого-либо одного из шагов 2), 3), 4) или 5), в результате чего получен неверный ответ.
Ответ, возможно, не получен (решение не доведено до конца) или неправильный.
Приведено решение, в котором отсутствуют шаги 1), 6) (ответ может быть верным), допущены грубые ошибки при выполнении шагов 2), 3), 4), 5), в результате чего получен неверный ответ.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 5 - 20 баллов.
Критерии оценки выполнения задания 3
Получен правильный ответ.
Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям:
1) уравнение при помощи замены переменной сводится к квадратному, находятся его корни;
2) учитывается положительность области значений показательной функции;
a
3) осуществляется переход от уравнения a
к уравнению f ( x )  g ( x ) ;
4) решается простейшее тригонометрическое уравнение;
5) грамотно записывается ответ (в тех случаях, когда среди найденных корней имеются повторяющиеся,
нужно найти такую запись ответа, в которой повторяющихся корней нет).
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка
или описка на каком-то из шагов 1) - 4), не влияющая на правильность хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. В решении может отсутствовать
шаг 5), либо при его выполнении допущены грубые ошибки.
Приведено решение, в котором отсутствуют шаги 4), 5) или допущены грубые ошибки при выполнении этих
из шагов. Ответ не получен (решение не доведено до конца) или неправильный.
Приведено решение, в котором отсутствуют шаги 2) - 5) или допущены грубые ошибки при выполнении этих
из шагов. Ответ не получен (решение не доведено до конца) или неправильный.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 5 - 20 баллов.
Критерии оценки выполнения задания 4
Получен правильный ответ.
Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям:
1) выполнен правильный, наглядный и достаточно крупный чертеж (не менее 10см х 10см);
2) в начале решения приводится план решения, и все последующие действия проводятся согласно этому плану;
3) в процессе решения обосновывается каждый шаг решения;
4) приведено наиболее рациональное решение.
Приведена верная последовательность всех шагов решения, удовлетворяющая требованию 2).
Допущена вычислительная ошибка или описка в процессе решения, не влияющая на правильность хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
Сделан правильный и наглядный, но мелкий чертеж. Приведено нерациональное решение. В процессе решения 1-2 шага не были обоснованы.
Приведено решение, не удовлетворяющее требованию 2). В процессе решения большинство шагов не обосновывается. Чертеж верный, но не удовлетворяющий требованиям наглядности и размеров. Нарушено условие 4). Ответ может быть верным, но допущены грубые ошибки при использовании формул или теорем геометрии.
Ответ, возможно, не получен или неправильный. Сделан неверный чертеж. Решение не удовлетворяет требованию 2). Ни один шаг решения не обосновывается. Решение нерационально. Допущены грубые ошибки при
использовании формул или теорем.
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 5 - 20 баллов.
Критерии оценки выполнения задания 5
Получен правильный ответ.
Приведено полное и верное решение, отвечающее следующим требованиям:
1) показано, что все значения параметра, включенные в ответ, обладают описанным в задаче свойством;
2) показано, что остальные значения параметра не обладают описанным в задаче свойством;
3) при этом
а) получены необходимые оценки для функций;
б) проверена достижимость оценки функции f на области определения функции g .
Получен ответ, представляющий собой промежуток для значений параметра с верными концами, но, возможно, с неточными неравенствами, т.е. строгими (нестрогими) вместо нестрогих (строгих).
Приведено решение, отвечающее требованиям 1), 2) и За).
Получен ответ, представляющий собой промежуток для значений параметра, который:
- либо содержится в верном промежутке (возможно, с неточными неравенствами), при этом приведено решение, отвечающее требованию 1);
-либо содержит верный промежуток (возможно, с неточными неравенствами), при этом приведено решение, отвечающее требованию 2).
Ответ, возможно, не получен или неправильный.
Приведено решение, отвечающее хотя бы одному из требований 1), 2) или За).
Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 5 - 25 баллов.
f ( x)
15-19
10-14
5-9
0-4
Баллы
20
15-19
10-14
5-9
0-4
Баллы
25
18-24
10-17
5-9
0-4
g ( x)
Основные математические понятия и факты
Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа.
Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление.
Сравнение рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных
дробей.
Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
Логарифмы, их свойства.
Одночлен и многочлен.
Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений
функции.
График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума
функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной y = ax2 + bx + c, степенной y = axn (n - натуральное число), y = k/x, показательной y = ax , a > 0, логарифмической, тригонометрических функций (y = sin x, y = cos x; y = tg x, y = ctg x), арифметического корня y = √ x.
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах. Система уравнений и неравенств. Решения системы.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов
арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
Преобразование в произведение сумм sin α ± sin β; cos α ± cos β.
Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
Производные функций: y = sin x; y=cos x; y = tg x; y = ax; y = axn (n - целое число); y = ln x.
Геометрия. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразования подобия и его свойства.
Векторы. Операции над векторами.
Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между
сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
Центральные и вписанные углы.
Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь
сектора.
Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
Параллельность прямой и плоскости.
Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды.
Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
Формула площади поверхности и объема призмы.
Формула площади поверхности и объема пирамиды.
Формула площади поверхности и объема цилиндра.
Формула площади поверхности и объема конуса.
Формула объема шара.
Формула площади сферы.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
Алгебра и начала анализа
Свойства функции y = kx + b и ее график.
Свойства функции y = k / x и ее график.
Свойства функции y = ax2+ bx + c и ее график.
Свойства корней квадратного трехчлена на линейные множители.
Свойства числовых неравенств.
Логарифм произведения, степени, частного.
Определение и свойства функции y = sin x, y = cos x и их графики.
Определение и свойства функции y = tg x и ее график.
Определение и свойства функции y = ctg x и ее график.
Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.
Формулы приведения.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Производные суммы двух функций.
Геометрия
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
Признаки параллельности прямых.
Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.
Признаки параллелограмма, его свойства.
Окружность, описанная около треугольников.
Окружность, вписанная в треугольник.
Касательная к окружности и ее свойства.
Величина угла, вписанного в окружность.
Признаки подобия треугольника.
Теорема Пифагора.
Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
Признак параллельности прямой и плоскости.
Признак параллельности плоскостей.
Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикулярность двух плоскостей.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Теорема о трех перпендикулярах.