Теория вейвлетов - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук информационных технологий
Кафедра алгебры и математической логики
Кутрунов В.Н.
ТЕОРИЯ ВЕЙВЛЕТОВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 05.13.18- математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2011
1
Кутрунов В.Н., Теория вейвлетов Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для аспирантов специальности 05.13.18- математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ. Тюмень, 2011,
11___ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре
основной профессиональной образовательной программы послевузовского
профессионального образования (аспирантура).
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ: Теория вейвлетов [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено и.о. проректора-начальника управления по научной работе
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой
математической логики Кутрунов В.Н .д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Кутрунов В.Н., 2011.
2
алгебры
и
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины «ТЕОРИЯ ВЕЙВЛЕТОВ»
Целями освоения дисциплины «Теория вейвлетов» являются: Изучение
современного метода работы с сигналами и изображениями, заданными в
цифровой форме. Сопоставление вейвлет анализа с другими формами
анализа сигналов и изображений, например, метода Фурье преобразований.
Определение областей применения вейвлет анализа. Применение к сжатию
информации, удалению шумов и помех, разложению сигналов на серию
сигналов различных частот, восстановлению сигналов с учетом
необходимого уровня разрешения, использованию в практических областях,
например, при исследовании нефтяных и газовых месторождений по
геологической и геофизической информации. При освоении дисциплины
вырабатывается общематематическая культура: умение подходить к
цифровой информации, как к объекту алгоритмического анализа,
способность применять готовые программные средства вейвлет анализа,
например, доступные в среде Matlab или Mathcad. Получаемые знания лежат
в основе современного подхода к обработке цифровой информации и
являются неотъемлемой частью образовательного уровня выпускников
аспирантуры специальности 05.13.18- математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ.
Задачи изучения дисциплины: освоить материал дисциплины; усвоить
основные понятия; освоить методы работы с инструментом Wavelet Toolbox
методов непрерывного и дискретного вейвлет анализа сигналов и
изображений в пакете Matlab, приобрести навыки самостоятельного
исследования результатов анализа и синтеза сигналов посредством
вейвлетов.
1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной
образовательной программы послевузовского профессионального
образования (аспирантура)
Дисциплина входит в блок факультативов учебного плана.
Курс «Теория вейвлетов» заканчивает математическое и
компьютерное
образование
аспирантов
специальности
05.13.18математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Поэтому знания, полученные в этом курсе, могут быть использованы в
небольшом количестве дисциплин последнего, шестого семестра: Теория и
средства математического моделирования; Методы и средства
вычислительной математики; Теория комплексов программ.
. Основное использование предполагается уже после окончания обучения в
практической деятельности.
3
Дисциплина «Теория вейвлетов» базируется на знаниях, полученных
при изучении математических курсов учебных планов бакалавров и
магистерских программ: аналитическая геометрия, математический анализ,
функциональный анализ, дифференциальная геометрия и топология,
дифференциальные уравнения, дискретная математика и математическая
логика, теория чисел, системы компьютерной математики и других
математических и компьютерных дисциплинах.
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование
следующих компетенций:
 общекультурные:
- способен совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и
общекультурный уровень, самостоятельно обучаться новым методам
исследования;
- способен свободно пользоваться русским языком и одним из
иностранных языков, как средством делового общения;
- способен управлять знаниями в условиях формирования и развития
информационного общества: анализировать, синтезировать и
критически резюмировать и представлять информацию;
 профессиональные:

общепрофессиональные:

 способен на практике применять новые научные принципы и методы
исследований;
научно-исследовательская деятельность
 способен формализовывать задачи прикладной области, при решении
которых возникает необходимость использования количественных и
качественных оценок;
 способен ставить и решать прикладные задачи
в условиях
неопределенности и определять методы и средства их эффективного
решения;
 способен проводить научные эксперименты, оценивать результаты
исследований;
аналитическая деятельность
 способен анализировать данные и оценивать требуемые знания для
решения нестандартных задач с использованием математических
методов и методов компьютерного моделирования;
4
 способен
анализировать
и
информационные процессы;
оптимизировать
прикладные
и
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
Теоретические основы вейвлет-анализа сигналов и изображений
Уметь:
Использовать различные типы вейвлетов для анализа и синтеза сигналов и
изображений.
Применять вейвлет-анализ для выделения и удаления шумов в сигналах и
изображениях.
Написать собственную программу анализа и синтеза сигналов и изображений
Владеть:
инструментом Wavelet Toolbox методов непрерывного и дискретного вейвлет
анализа сигналов и изображений в пакете Matlab
2. Трудоемкость дисциплины.
Семестр 5. Форма промежуточной аттестации - зачет. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 часов.
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
1
2.2
2
Семестр 5
Преобразование Фурье
и фильты
Кратномасштабный
анализ и вейвлет
преобразование.
Итог
о
часов
по
теме
Из них в
интеракт
ивной
форме
3
4
5
7
8
8
1
1
6
8
2
14
2
2
10
14
4
5
Формы
контроля
ая работа*
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции*
Тема
Всего часов
№
9
Контрольная работа
Контрольн
ая работа
Вейвлеты Хаара
3.1
Вейвлеты в Matlab.
Вейвлет- анализ
сигналов и
изображений
14
3
1
10
14
4
Реферат
Всего
36
6
4
26
36
10
0-40
6
4
Из них часов в
интерактивной форме
Таблица 2.
Планирование самостоятельной работы аспирантов
№
Темы
Виды СРА
Объем
обязательные
дополнительные часов
1
Преобразование
Индивидуальное
Чтение
6
Фурье и фильты
домашнее
дополнительной
расчетное задание
литературы
1
2 Кратномасштабный Индивидуальное
Чтение
10
анализ и вейвлет
домашнее
дополнительной
преобразование
расчетное задание
литературы
Вейвлеты Хаара
2
3
Вейвлеты в Matlab.
Вейвлет- анализ
сигналов и
изображений
Завершающая
работа в виде
реферата по
курсу.
Поиск
дополнительной
литературы для
подготовки
реферата.
ИТОГО
26
4.
Разделы
дисциплины
и
междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Теория и средства
математического
моделирования;
Методы и средства
вычислительной
математики;
10
связи
Темы дисциплины необходимых для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
+
+
+
+
+
+
6
с
5.
Содержание дисциплины.
В этом разделе материал структурирован на достаточно мелкие порции,
так что каждый пронумерованный пункт одновременно является и
вопросом для подготовки к зачету.
1. Преобразование Фурье и фильтры
1.1 Преобразование Фурье
1. Функциональное пространство L2
2. Ряды Фурье, его вещественная комплексная формы.
3. Функциональное пространство L1 и корреляция функций.
4. Преобразование Фурье и некоторые его свойства.
1.2. Дискретное преобразование Фурье
5. Дискретизация преобразования Фурье.
6. Теорема Котельникова Шеннона.
7. Назначение и свойства дискретного преобразования Фурье.
1.3. Фильтры
8. Основные понятия процессов фильтрации сигналов.
9. Примеры фильтров.
10.Дискретные фильтры.
2. Кратномасштабный анализ и вейвлет преобразование Вейвлеты
Хаара
2.1. Вейвлеты Хаара
11.Основные идеи вейвлет-анализа на элементарном уровне.
12.Масштабирующая последовательность пространств для построения
вейвлетов Хаара
13.Пространства вейвлетов Хаара.
14.Алгоритм Малла разложения функции.
2.2. Кратномасштабный анализ и вейвлет преобразование.
15. Масштабирующая функция и масштабирующее уравнение.
16.Примеры масштабирующих функций и их графики.
17.Кратномасштабное разложение пространства L2 .
18.Ортогональный кратномасштабный анализ.
19.Пространства вейвлетов.
20. Материнский вейвлеты и базисы в пространствах вейвлетов
21.Алгоритм Малла в общем случае и формулы анализа и синтеза
сигналов.
7
2.3. Примеры вейвлетов.
22.Вейвлеты Хаара
23.Вейвлеты Шеннона-Котельникова.
24.Вейвлеты Майера.
25.Вейвлеты Добеши
26.Элементарное
представление
преобразовании.
о
непрерывном
вейвлет-
3. Вейвлеты в Matlab. Вейвлет- анализ сигналов и изображений
3.1. Вейвлеты в Matlab
27. Назначение расширения Wavelet Toolbox системы MatLab.
28. Изучение графиков множества вейвлетов в Matlab. Исследование их
особенностей.
3.2. Одномерные и двумерные вейвлеты
29. Одномерное дискретное вейвлет-преобразование в Matlab
Разложение (анализ) сигнала. Восстановление (синтез) сигнала
30. Двумерное (непрерывное) вейвлет-преобразование.
3.3 Вейвлеты в удалении шумов и сжатии сигналов и изображений
31. Простейшая модель обработка зашумленного сигнала. Метод
пороговой обработки сигнала
32.Вейвлет-преобразование при подготовке и передаче сигнала,
допускающего искажение. Разложение функции в данном вейвлетбазисе и его представление с погрешностью в данном базисе с
меньшим числом коэффициентов
6. Планы семинарских занятий.
№
Темы
Планы семинаров
Объем
часов
1
Преобразование Фурье и Примеры на
1
фильтры
непрерывное и
дискретное
преобразование Фурье
2
Кратномасштабный
Вейвлет –анализ
2
анализ и вейвлет
кривых на примере
преобразование Вейвлеты вейвлета Хаара
Хаара
3
Вейвлеты в Matlab.
Вейвлет- анализ сигналов
и изображений
Знакомство с
расширением Wavelet
Toolbox системы
MatLab.
8
1
Итого
7.
Темы
Отсутствует
8.
4
лабораторных
работ.
(Лабораторный
практикум)
Примерная тематика курсовых работ. Отсутствует
9. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы
аспирантов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
 Вопросы к зачету расписаны выше и соответствуют номерам пунктов
раздела 5- Содержание дисциплины.
 Зачет проводится по результатам домашних контрольных работ и
анализу содержания заключительного реферата.
Варианты контрольных работ
Контрольная работа №1
1. Написать программу разложения (анализа) функции по вейвлетам
Хаара на сглаженную и высокочастотную составляющие сигнала. Выполнить
разложение, последовательно применяя его к все более сглаженной функции.
Нарисовать графики последовательности сглаженных функций и
соответствующих высоко частотных составляющих (деталей.)
2. Написать программу синтеза сигнала на основе последовательности
сглаженных сигналов и соответствующих высокочастотных составляющих.
3. Выполнить работу, аналогичную двум первым пунктам, в среде
Wavelet Toolbox системы MatLab.
Контрольная работа №2
1. Выполнить синтез и анализ различных функций в среде Wavelet
Toolbox системы MatLab, используя различные вейвлеты пакета. Сравнить
результаты обработки одной и той же функции с использованием различных
вейвлетов. Если удастся, та написать рекомендации по использованию
вейвлетов, которые можно извлечь из выполненных расчетов.
2. Выполнить анализ и синтез кривых, отличающихся между собой
некоторыми характерными признаками, например, непрерывных и
разрывных кривых, или кривых, содержащих различные уровни
высокочастотных и низкочастотных составляющих. Попытаться написать
рекомендации, вытекающие из примеров.
3. Искусственно выполнить зашумление сигнала высокочастотной
составляющей. Попытаться извлечь сигнал, очистив его от шума. Выполнить
аналогичную работу, выполнив зашумление низкочастотной составляющей.
Привести примеры, когда реально возникают такие ситуации.
9
Темы рефератов.
1.История появления и развития теории всплесков.
2. Дискретный вейвлет-анализ сигналов.
3. Непрерывный вейвлет-анализ сигналов.
4.Области применения теории всплесков на примерах.
5.Вейвлеты в сжатии информации.
6. Принципы использования вейвлетов в анализе зашумленной
информации.
6. Вейвлеты в картопостроении при обустройстве нефтяных и газовых
месторождений.
6. Вейвлет-анализ в кардиологии.
7. Вейвлеты в исследовании космоса. Циклы солнечной активности.
Вейвлет-анализ двумерных изображений и устранение дефектов
рисунков и фотографий.
8 Мониторинг интернента. Какими ресурсами сегодня обладает
интернет по теме «Вейвлет анализ»
10. Образовательные технологии.
аудиторные занятия:
 За недостатком времени лекционные и практические занятия
являются обзорными, постановочными; на практических
занятиях осуществляется контроль на понимание постановок
задач при ответе у доски и при разборке домашних
контрольных работ. На занятиях студенты решают задачи,
указанные преподавателем для подготовки к домашним
контрольным работам. Большая часть занятий выполняется в
компьютерном классе в интерактивном режиме. Решаются
задачи в системе Matlab.
активные и интерактивные формы (лекционные и семинарские
занятия проводятся в диалоговом режиме, осуществляется
компьютерное
моделирование
и
практический
анализ
результатов, проводятся научные дискуссии по отдельным
темам).
внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа: Два индивидуальных расчетных
домашних задания с индивидуальным (интерактивным)
отчетом преподавателю.
 Заключительный реферат с его публичным обсуждением.
10
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .
11.1. Основная литература:
1. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П.Дьяконов. - М. :
СОЛОН-ПРЕСС, 2008. - 399 с. - (Полное руководство пользователя). ISBN 5-98003-171-5 ; То же [Электронный ресурс]. URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=227002 (31.10.2014).
2. Вейвлет-анализ в примерах : учебное пособие / О.В. Нагорнов,
В.Г. Никитаев, В.М.Простокишин и др. - М. : МИФИ, 2010. - 119 с. - ISBN
978-5-7262-1387-3 ; То же [Электронный ресурс]. URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=231543 (31.10.2014),
3. Смоленцев, Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB /
Н.К.Смоленцев. - 3-е изд., доп. и перераб. - М. : ДМК Пресс, 2009. - 448 с.
- ISBN 5-94074-415-X ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=231893 (31.10.2014).
11.2. Дополнительная литература:
1. Дьяконов, В.П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах : учебное
пособие / В.П. Дьяконов. - М. : ДМК Пресс, 2011. - 800 с. - ISBN 978-594074-751-2 ; То же [Электронный ресурс]. URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=231878 (31.10.2014).
2. Столниц, Э.
Вейвлеты в компьютерной графике: теория и приложения/ Э. Столниц,
Т.ДеРоуз, Д. Салезин ; пер. с англ. Л. А. Кунгурова ; ред. Е. В. Мищенко. Москва; Ижевск: РХД, 2002. - 272 с.; 20 см. - Библиогр. : с. 247-257. Предм. указ. : с. 258-271. –ISBN 5-93972-119-2
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины.
Данный предмет является прикладным математическим предметом.
Для наглядной реализации для каждого студента потребуется компьютер с
установленными на нем пакетом Matlab. Компьютерные классы в ТюмГУ,
удовлетворяющие этим требованиям, имеются в достаточном количестве.
Обеспечивается выход в интернет
11