---(оставьте 3 пустые строки

ИГРОВОЙ АЛГОРИТМ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В
ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ КОАЛИЦИИ ИПОТЕЧНЫХ
ЗАЁМЩИКОВ
Ерешко А.Ф.
(Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН,
Москва)
[email protected]
Рассматривается процесс формирования коалиции заёмщиков
в их взаимодействии с инвестором. Предлагается игровая
итеративная процедура для описания последовательных выборов активных участников, опирающаяся на схему декомпозиции, вытекающую из поиска седловой точки лагранжиана.
Ключевые слова: экономические агенты, коалиция заёмщиков, общая модель, функция Лагранжа, декомпозиция.
Введение. Модель одного из вариантов Коалиции
Рассмотрим ситуацию, когда в свободной экономической
среде функционируют экономические агенты, имеющие возможность свободного финансового выбора в желании приобрести жилье. Обозначим номера агентов k  1,...K , время принимает дискретные значения t  0,...,T . Положим, что некоторый
финансовый институт предлагает агентам набор договоров со
следующими условиями: на первом этапе происходит накопление средств на счету агента с заданным ставками процентов на
депозит. Затем через некоторое число шагов агент получает
возможность получить в пользование жилье и заключает договор на получение кредита для приобретения данного жилья. На
следующем шаге происходит объединение участников в пул
(Коалицию) при их согласии. Инициатор (финансовый институт) создания пула в управлении финансами Коалиции распола1
гает возможностями использовать различные финансовые инструменты и, в частности, организовывать выпуски облигационных займов под залог жилья Коалиции и суммарного потока
платежей отдельных участников Коалиции.
Введем соответствующие обозначения.
t 1k – момент начала депозитного договора агента номера k
с банком, ztk – процентные ставки на депозитный вклад агента
k в момент t , d tk – вклады агента k в моменты времени t , Dtk2
k
– накопленная сумма на депозите агентом k в момент t 
Dtk1
t k2 –

Dtk (1  0.01ztk )  dtk
,t
 0,..., tk2
t k2
,
1
момент передачи жилья в пользование агента, начало
кредитного договора, Ctk2 – величина получаемого кредита =
k
H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2 (накопленная
k
k
сумма на депозитном счете).
g tk – процентные ставки на полученный агентом кредит, ctk
– выплаты кредита по принятой схеме, t k3 – момент времени
завершения участником выплат по кредиту и получения жилья в
собственность.
Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором следующих параметров: {t1k , tk2 , tk3 , dtk , ctk } .
В ситуации, когда агенты объединяют свои возможности и
обязательства, будем предполагать, что финансовый институт –
инициатор объединения решает лексикографическую задачу: вопервых, стремится согласовать финансовые потоки всех участников и Коалиции с заданным уровнем обеспеченности и затем,
во-вторых, решает задачу максимизации собственного капитала.
Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
St  St 1  ft  t  Ct  lt  cf t  H t – Qt – qt ,
2
здесь S t – суммарные финансовые средства Коалиции в
кассе и на расчетном счете, f t – объем изъятия с депозитного
счета Коалиции,  t – объем размещения средств на депозитном
счете Коалиции, Ct – объем средств, взятых Коалицией в кредит
в момент t , lt – объем возвращаемых Коалицией кредитов, Qt –
объем средств, полученных коалицией за счет выпуска облигаций, qt – объем возвращенных коалицией средств по облигационным займам. Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом:
 0, 0  t  t 1k
 k 1
2
d , t  t  t k
cft   tk 2k
, где t 1k – момент времени заключения
3
c
,
t

t

t
k
 t k
 0, t 3  t  T
k

договора участника с Коалицией, t k2 – момент времени завершения участником периода накопления средств, t k3 – момент времени завершения участником выплат после получения жилья в
пользование и получения жилья в собственность.
Динамика средств на депозитном счете компании:
Dt  (1  zt 1 ) Dt 1  f t  t , где z t – процентная ставка на депозитный вклад Коалиции во внешних банках. Динамика обязательств Коалиции на кредитном счете компании:
Lt  (1  gt 1 ) Lt 1  lt  Ct  Qt  qt , где g t 1 – процентная
кредитная ставка для Коалиции во внешних организациях.
Ограничения на выбор f t и  t : f t  Dt  0 , t  St  0 ,.
Функционал относится к конечному финансовому состоянию Коалиции и имеет вид: ST  DT  max
В общем виде соотношения можно записать в виде:
Ax  b ,
x  {St , Dt , f t , t , Ct1 ,..., CtL } ,
где
t  1,...,T ,
b  (cf t  H t ) , cf t – суммарный поток платежей участников
3
компании, H t  0 , t  t k2 , H t 2 – стоимость квартиры k -го
k
участника. (c, x)  ST  DT  max
2. Схема анализа и интерпретации
Воспользуемся приемом преобразования исходной оптимизационной задачи к задаче поиска седловой точки функции
Лагранжа и построения итеративных игровых методов.
Соотношения игрового метода, основанного на поиске седловой точки функции Лагранжа, имеют вид:
L( x, y)  (c, x)  y( Ax  b) , x  X , y  Y ,
где X , Y – параллелепипеды, определяемые из условия
совпадения решения исходной задачи и поиска седловой точки
функции Лагранжа и
x – исходные переменные,
y – двойственные переменные, оценки банковых кредитов.
Итеративный алгоритм запишется в виде:
xn 1  xn   n xn , xn  ~
xn  xn ,  n  0 ,  n  0
yn 1  yn   n yn , yn  ~
yn  yn ,  n  0 ,  n  0 ,
~
где xn определяется из решения задачи max[(c  yn A) x] ,
x X
~
и y из решения задачи max[ y ( Ax  b)] .
n
yY
Предложенный подход пригоден для задач секьюритизации.
Литература
1.
2.
4
ГАСАНОВ И.И., ЕРЕШКО Ф.И. Моделирование ипотечных
механизмов с самофинансированием // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. М.: ВЦ РАН, 2008. 60с.
ЕРЕШКО А.Ф. Устойчивость очереди ипотечных заёмщиков / Материалы Второй международной конференции
“Управление развитием крупномасштабных систем”. М.:
ИПУ РАН, 2008.