Модели и вычислительные эксперименты для пула ипотек

Ерешко А.Ф., Козина О.С., Сытов А.Н.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ И ИМИТАЦИОННЫЕ
ПОДХОДЫ К АНАЛИЗУ ПУЛА ИПОТЕК
В работе приводится два базовых подхода к исследованию прикладных
проектов, сочетание которых позволяет проводить системный анализ задач
проектирования и управления. В разделе оптимизации рассматривается вариант
модели Коалиции участников (пул ипотек) при условии, что внешние вклады
могут быть изъяты, а внешние кредиты погашены без потерь в любой момент
времени или, что эквивалентно, внешние вклады делаются, а кредиты берутся,
на шаг вперед и при необходимости продлеваются. В этих условиях
оптимизационная задача в детерминированном случае сводится к задаче
линейного программирования. Настоящая работа продолжает исследования по
использованию линейных моделей в задачах расчёта эффектов объединения
инвесторов на рынке жилья.
В разделе имитации приводится описание математических соотношений,
на основе которых проводятся массовые расчёты для различных сценария
работы ссудно-сберегательной коалиции участников, ориентированной на
приобретение жилья для каждого участника. Приводятся результаты
вычислительных экспериментов
Введение
Объемы жилищных инвестиций составляют существенную часть внутреннего валового
продукта в развитых и развивающихся странах [1-2], и этот процесс начинает набирать обороты в
России в связи с политикой малоэтажного строительства жилья. Поскольку малоэтажное
строительство ориентировано на среднеобеспеченные слои населения, возрастает потребность в
объединении инвесторов в силу обременительных условий кредитования для автономно
действующих субъектов.
Во всех формах ипотечного кредитования, ключевой идеей является принцип возможного
использования актива экономическим агентом до полной его оплаты при условии его залога и
последующей выплаты финансовых средств, полученных в кредит. Таким образом,
экономический агент сокращает время ожидания до потребления актива, но увеличивает
собственные расходы на его приобретение. Как и отмечается в [2,5], многообразные факторы,
сопутствующие процессу получения кредитов и его возврату требуют соответствующего
вычислительного арсенала. С точки зрения банков – это обычный кредит с достаточной гарантией,
для потребителя – возможность досрочного обладания активом.
Для всех участников процесса весьма важно оценить соотнесение уровня потребления актива
для агента, прибыли от операции для кредитной организации и риска операции. Далее развивается
подход для решения этих проблем, базирующийся на линейных моделях и хорошо развитом
арсенале вычислительных средств линейного программирования.
Недостаточная эффективность программ банковской ипотеки привела к поиску
альтернативных институтов жилищного кредитования. В данной работе рассматривается
механизм функционирования ссудно-сберегательной коалиции (ССК), ориентированной на
приобретение жилья, как самостоятельного хозяйствующего субъекта.
Из ряда работ западных и отечественных исследователей (ЦЭМИ РАН, ВЦ РАН и др.),
посвященных проблеме современных ипотечных институтов жилищного кредита, следует, что в
мировой практике эффективному внедрению банковских ипотечных программ предшествовал
этап становления ССК. Причем развитие ССК не препятствует существованию ипотечных
программ и банков, так как обслуживаются разные доходные группы населения.
В настоящее время приобретатель жилья сталкивается с рядом принципиальных проблем:
высокой стоимостью жилья и высоким уровнем кредитных ставок, обусловленным темпами
инфляции. Сейчас стандартная банковская ипотека доступна исключительно высокодоходным
слоям населения, в то время как ССК позволяет решить актуальную проблему приобретения
жилья остальными доходными группами. Механизм ССК позволяет приобретателю жилья
накапливать некоторую сумму на счете до получения кредита, а затем получать кредит по ставке
ниже рыночной.
Схема ССК строится следующим образом: предполагается, что клиент на основе Договора с
ССК в течение определенного периода времени делает равные периодические вклады под
оговоренный процент на счета ССК. Сбор средств начинается по мере прихода участников.
Взносы накапливаются, причем ССК размещает свободные средства на банковских депозитах. К
моменту, когда накопленная каждым участником сумма достигает определенной договором части
стоимости жилья, ССК покупает ему квартиру оговоренного в договоре типа. Приобретенное
жилье до окончания действия Договора остается в залоге у ССК. С момента приобретения и до
окончания действия Договора клиент равными долями (аннуитет) выплачивает проценты по
кредиту и его основную сумму. Собственные расходы ССК не рассматриваются. Если ССК не
хватает средств на покупку жилья, то организация берет заем на внешнем рынке.
Экономия для участников ССК достигается за счет финансирования операций из средств,
накопленных участниками.
В настоящей работе рассматривается модель ССК с различными вариациями входа
участников на примере реальных рыночных данных для Москвы и областей ЦФО РФ.
1. Линейные оптимизационные модели
1.1 Независимое поведение экономических агентов
Мы рассмотрим ситуацию, когда в свободной экономической среде функционируют
экономические агенты, имеющие возможность свободного финансового выбора в желании
приобрести жилье. Обозначим номера агентов k  1,...K , и время принимает дискретные значения
t  0,..., T . Положим, что рынок предлагает агенту набор договоров со следующими условиями: на
первом этапе происходит накопление средств на счету агента с заданным ставками процентов на
депозит, затем через некоторое число шагов агент получает возможность получить в пользование
жилье и заключает договор на получение кредита для приобретение данного жилья, и принимает
на себя условия по возврату полученного кредита.
Введем соответствующие обозначения.
t 1k – момент начала депозитного договора агента номера k с банком,
z tk
d tk
Dtk2
k
– процентные ставки на депозитный вклад агента k в момент t ,
– вклады агента k в моменты времени t ,
– накопленная сумма на депозите агентом k в момент t  t k2 ,
Dtk1  Dtk (1  0.01z tk )  d tk , t  0,..., t k2  1
t k2 – момент передачи жилья в пользование агента, начало кредитного договора,
C tk2 – величина получаемого кредита = H t 2 (стоимость приобретаемого жилья) – Dt 2
k
k
(накопленная сумма на депозитном счете).
g tk – процентные ставки на полученный агентом кредит,
k
ctk – выплаты кредита по принятой схеме,
t k3 – момент времени завершения участником выплат по кредиту и получения жилья в
собственность
Таким образом, возможности и обязательства агента определяются набором следующих
параметров: {t1k , tk2 , tk3 , dtk , ctk } .
1.2. Модель Коалиции
Теперь рассмотрим ситуацию, когда агенты объединяют свои возможности и обязательства в
целях улучшения своего положения. Основаниями такого улучшения является возможность для
членов объединения (коалиции) воспользоваться средствами, собранными остальными членами на
счетах Коалиции. Эта возможность, естественно, не должна допускать ущемления положения
других участников: основной принцип объединения состоит в том, что выигрыш участника,
который он может обеспечить себе автономно, не может быть уменьшен. Будем предполагать, что
объединение в организационном плане состоит в создании независимого юридического лица,
который объединяет членов и решает задачу максимизации собственного капитала.
Таким образом, параметры модели Коалиции – времена вхождения участников в Коалицию и
потоки платежей участников {t 1k , t k2 , t k3 , d tk , ctk } , являются фиксированными и внешними для
Коалиции величинами.
Параметрами задачи, возможными к изменению, являются ставки по процентам, вложения во
внешние депозиты и займы на внешних рынках. Объединяя вклады участников до получения ими
в пользование жилья, Кооператив может и должен размещать эти суммарные средства на
депозитных счетах Кооператива в банках по ставкам не меньшим, чем при индивидуальном
поведении участников. Поскольку эти средства более значительны, чем каждый индивидуальный
вклад, то возможны ситуации, когда банки согласятся принимать вклады Кооператива по более
высокой ставке. Тогда это станет первым источником выгоды от вхождения в коалицию. В те же
моменты, что и при индивидуальном поведении, участник получает в пользование жилье от
Кооператива, которое он приобретает для участника на внешнем рынке. Естественно, для этих
операций Кооператив при необходимости будет прибегать к заимствованию на внешнем рынке. В
настоящей работе будем предполагать, что Коалиция прибегает к займам на один шаг и затем при
необходимости либо продлевает договор кредитования на следующий шаг, либо завершает
договор вследствие отсутствия необходимости в нём.
Вторым источником привлекательности коалиции для участников может служить
уменьшение процентов по кредитам, что выразится в уменьшении потоков равномерных платежей
участников на этапе после получения жилья в пользование.
Выпишем в целях иллюстрации общего подхода фрагмент соотношений для Коалиции в
промежуточный момент времени.
Динамику финансовых средств компании запишем в виде:
S t  S t 1  f t   t  C t  l t  cf t  H t ,
здесь S t – суммарные финансовые средства Коалиции в кассе и на расчетном счете,
f t – объем изъятия с депозитного счета Коалиции,
 t – объем размещения средств на депозитном счете Коалиции,
Ct – объем средств, взятых Коалицией в кредит в момент t .
lt – объем возвращаемых Коалицией кредитов.
Поток платежей k -го участника выглядит следующим образом:
 0, 0  t  t 1k
 k 1
2
d , t  t  t k
cf t   tk 2k
, где
3
 ct , t k  t  t k
 0, t 3  t  T
k

1
t k – момент времени заключения договора участника с Коалицией,
t k2 – момент времени завершения участником периода накопления средств,
t k3 – момент времени завершения участником выплат после получения жилья в пользование и
получения жилья в собственность.
Динамика средств на депозитном счете компании во внешнем банке запишется в виде:
Dt  (1  zt 1 ) Dt 1  ft  t ,
где z t – процентная ставка на депозитный вклад Коалиции во внешних банках.
Динамика обязательств Коалиции на кредитном счете компании во внешних банках
запишется в виде:
Lt  1  gt 1 Lt 1  lt  Ct
где g t 1 – процентная ставка на кредит, полученный Коалицией во внешних банках.
Ограничения на выбор f t и  t :
f t  Dt  0 ,  t  S t  0 , lt  St  0 .
Функционал задачи относится к конечному финансовому состоянию Коалиции:
ST  DT  max
Вне изложения данной статьи остаются фрагменты, связанные с формированием переменных
модели Коалиции на основе параметров моделей отдельных участников, динамика цен на жильё
вследствие инфляции, начальный и конечный шаги в расчётах Коалиции.
Данная постановка предлагается для проведения расчетов как в момент организации
Коалиции, когда сформировалась последовательность вступлений членов, так и в процессе её
формирования при оценке эффекта пула для вновь поступающих членов. Вычислительные
эксперименты связаны с изменением внутренней ставки процентов при равномерных платежах
участников коалиции и при неизменных кредитных ставках на внешнем рынке и определением
уровня самофинансирования Коалиции.
Вычислительный алгоритм для рассматриваемой модели реализован в системе Excel.
2. Имитационные эксперименты
2.1. Описание модели
Пусть набор типовых договоров  ограничен.
Договор с клиентом очереди характеризуется следующими параметрами:
k - номер клиента, заключившего договор с ССК;
t  k – начало действия договора k ;
t k0 - момент времени заключения договора с участником k ;
t 1k - момент времени покупки жилья для участника k и выдача ему кредита;
t k2 - момент времени погашения задолженности по кредиту участника k ;
r – максимальное количество периодических вкладов клиентов очереди вплоть до момента
приобретения жилья;
k , рассчитанных из условия
Uk
– размер периодических вкладов клиента
Uk
1  0.01  u t ,k r  1
0.01  u t ,k
 d  C , следовательно U k 
G t1,k - динамика накоплений участника,
0.01  u t ,k  d  C k
1  0.01  ut ,k r  1
Gt11,k  1  u t ,k   Gt1,k  U k ;
;
u t ,k – проценты по периодическим вкладам клиента k , начисляемые на его счет в ССК;
d – доля от стоимости приобретаемого жилья, после накопления которой клиент очереди
получает кредит на приобретение жилья;
C - стоимость жилья, соответствующего договору k .
Если в некоторый момент времени t сумма вкладов клиента k вместе с начисленными на них
процентами превышает величину d  C t , то клиент получает кредит и приобретает жилье даже в
том случае, если количество сделанных им вкладов меньше r .
s – количество кредитных выплат, производимых клиентом очереди после приобретения жилья;
vt ,k – проценты по кредиту, выданному клиенту k ;
G t2,k - динамика задолженности по кредиту участника, Gt21,k  1  vt ,k   Gt2,k  Vk ;
Vk – размер периодических выплат по кредиту клиента k , рассчитанный по формуле
Vk 
C
k
 
 Gk1 t 1k  0.01  v k  1  0.01  v k 
s
.
1  0.01  vk s  1
На счета ССК поступают денежные средства от клиентов, которые расходуются на
приобретение жилья для клиентов и погашение внешних кредитов очереди, временно свободные
средства размещаются на внешних вкладах:
 t - рыночный процент на внешних вкладах;
 t - ставка заимствования на внешнем кредитном рынке.
ССК нерационально иметь одновременно средства, размещенные на внешних вкладах и
обязательств по внешним кредитам.
G t - баланс денежных средств в одном потоке кооператива, где Gt 1  1  t   Gt  Pt 1  Rt 1 ,
причем t   t , если Gt  0 и t   t , если Gt  0 ,
Pt - поток платежей участников, Rt - расходы кооператива, связанные с приобретением квартир
для участников.
2. 2 Сценарий очереди с многотиповыми вариантами квартир при фиксированном времени.
Все операции с договорами клиентов производятся с равным временным шагом  (месяц и т.п.) в
моменты времени t . Весь поток заключаемых договоров разбивается на цепочки – очереди.
Первый договор очереди заключается в момент 0, остальные - в последовательные моменты
1,2..., M по одному договору в каждый из моментов времени. M – точка завершения очереди.
Клиент k производит последний вклад, получает кредит и приобретает жилье в момент времени
t 1k  t k0  r  1 . Последняя выплата производится в момент времени t k2  t 1k  s .
Баланс денежных средств в одном потоке:

Gt 1  1  t  Gt  Pt 1  Rt1 ,   1, R  ;


t   , если Gt  0 ;
t   , если Gt  0 ;
Pt    Pt ,k , Rt   Rt,k .
k
k
t k0, 
Pt ,k
Очередь:
 k 1,
Поток платежей участника:
 0 , t  t k0,  или t  t k2,  ;
Pt ,k  U k , U k 
0.01  u k  d  C k
, t k0,   t  t 1k,  ;
1  0.01  u   1
C  G t  0.01  v  1  0.01  v 

1  0.01  v   1
 r
k



Pt ,k  Vk , Vk

k
1, 
k
1, 
k

 s
k
k
 s
, t 1k,   t  t k2,  .
k
Rt,k
Расходы кооператива, связанные с одним участником:
 C  t 1k,  , t  t 1k,  ;
 
Rt,k  0 , t  t 1k,  .
Динамика накоплений участника:
1, 
t k  min t k0,   r  1, min Gk1,,t ,n  d   Ct ;



Gt1,,k  0 , t  t k0,  или t  t 1k,  ;
 
Gt1, 1,k  1  ut ,k   Gt1,,k  U k , Gk1,  t k0,   U k , t k0,   t  t 1k,  .
Gt2,k, 
Динамика задолженности по кредиту:
 0 , t  t 1k,  или t  t k2,  ;
 
 
Gt2,1,k  1  vt ,k   Gt2,k,   Vk , Gk2,  t 1k,   Gk1,  t 1k,   Ct , t 1k,   t  t k2,  .
2.3. Результаты расчетов
Участники каждой очереди обладают равными финансовыми возможностями. Приобретаемые
квартиры для каждого участника из определенного типа очереди равны по стоимости. В данных
расчетах предполагается, что есть три типа очереди. Участники вступают в ссудносберегательную коалицию для приобретения одно-, двух- и трехкомнатных квартиры.
Предполагается, что цена каждого типа квартиры не изменяется во времени.
Таблица 1. Результаты расчетов для организации коалиции по принципу очереди для Москвы
  5% , u  5% ,   10%
N 1  61 , N 2  61 , N 3  61
C 1  16 , C 2  24 , C 3  32
r 1  61 , r 2  61 , r 3  61
s 1  60 , s 2  60 , s 3  60
d  0. 5
U 1  0.116 , U 2  0.174 , U 3  0.232
v  8.2%
2
1
V (v)  0.129 , V (v)  0.193 , V 3 (v)  0.258
Q1 v   17.38 , Q 2 v   26.07 , Q 3 v   34.76
V 1    0.136 , V 2    0.203 , V 3    0.271
Q1    17.92 , Q 2    25.87 , Q 3    35.83
Таблица 2. Результаты расчетов для организации коалиции по принципу очереди для области
Центрального Федерального округа РФ
  5% , u  5% ,   10%
N 1  61 , N 2  61 , N 3  61
C 1  16 , C 2  24 , C 3  32
r 1  61 , r 2  61 , r 3  61
s 1  60 , s 2  60 , s 3  60
d  0 .5
U 1  0.036 , U 2  0.051 , U 3  0.065
v  8.2%
1
2
V v   0.04 , V v   0.056 , V 3 v   0.073
Q1 v   5.43 , Q 2 v   7.6 , Q 3 v   9.78
V 1    0.042 , V 2    0.059 , V 3    0.076
Q1    5.6 , Q 2    7.82 , Q 3    10.08
Обозначения здесь:
 - рыночный процент на внешних вкладах;
u – проценты по периодическим вкладам клиента k , начисляемые на его счет в ССК;
 - ставка заимствования на внешнем кредитном рынке;
N - количество участников в очереди;
C - стоимость жилья, соответствующего договору k ;
r – максимальное количество периодических вкладов клиентов очереди вплоть до момента
приобретения жилья;
s – количество кредитных выплат, производимых клиентом очереди после приобретения жилья;
U – размер периодических вкладов клиента k ;
v – проценты по кредиту, выданному клиенту k ;
V v  – размер периодических выплат по кредиту клиента k , в условиях самофинансирования
коалиции;
V   – размер периодических выплат по кредиту клиента k , как если бы участник погашал
кредит автономно по ставке внешних заимствований;
Q v  – номинальная сумма всех средств, затраченных участником очереди в условиях
самофинансирования коалиции;
Q   – номинальная сума всех средств, затраченных участником, как если бы он погашал кредит
автономно по процентной ставке, равной ставке внешних заимствований.
Литература
1
2
3
ПОЛТЕРОВИЧ, В.М., СТАРКОВ, О.Ю. Формирование ипотеки в догоняющих экономиках:
проблема трансплантации институтов. / В.М. Полтерович, О.Ю. Старков. М.: Наука, 2007.
196 с.
МАРШАЛЛ М. ДЖ., БАНСАЛ, В.К. Финансовая инженерия. Пер. с английского. / М.Дж.
Маршалл, В.К. Бансал. М.: Инфра-М, 1998. 784 с.
ГАСАНОВ, И.И., ЕРЕШКО Ф.И. Моделирование ипотечных механизмов с
самофинансированием // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН. - М.: ВЦ
РАН, 2007. 60с.
4
ГАСАНОВ, И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди. / И.И.
Гасанов. М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.