Численные исследования одной модели Коалиции заёмщиков Байрамов О.Б., Сытов А.Н. Вычислительный центр им А.А. Дородницына РАН Введение Жилищное строительство, ремонт и реконструкция жилья играют значительную роль в национальных экономиках стран. Так, в странах Европы количество денег, обращающихся в жилищном секторе, как правило, составляет приблизительно половину ВВП. Далее мы остановимся на проблеме жилищного кредитования, где основными участниками являются заёмщики и кредиторы. В роли заёмщиков выступают экономические агенты, которые заинтересованы в привлечении денежных средств для решения своих жилищных проблем. Кредиторами выступают финансовые институты, которые аккумулируют средства экономических агентов и предоставляют кредиты на условиях срочности, платности и возвратности. Повышенные риски приводят к необходимости для кредиторов вводить механизмы, снижающие уровни рисков, одним из которых выступает залог имущества, в частности, строящееся жильё. Так возникает ипотечный кредит. Ипотека – это ссуда, обеспеченная реальной собственностью, такой как недвижимость и земля. На рынке жилищных ипотек заемщик вступает в контакт с ипотечным кредитором, чтобы получить ссуду. Если стороны приходят к соглашению, то подписывается документ, согласно которому кредитор осуществляет финансирование потребностей заемщика (средств на покупку или строительства жилья), а заёмщик обязуется возвратить ссуду вместе с процентами в соответствии с некоторым графиком платежей, отвечая по обязательствам заложенным имуществом. Этот документ и учреждает ипотеку [1, стр. 443]. Берущий ссуду называется заемщиком в ипотечном кредите, а дающий – кредитором в ипотечном кредите. Ипотеку необходимо обслуживать, т.е. ипотечные платежи нужно собирать и регистрировать; имущественные налоги на недвижимость нужно собирать и приводить в соответствие с налоговой юрисдикцией и в случае невыполнения заёмщиком своих обязательств лишать его права собственности в судебном порядке. В большинстве случаев ставка на весь срок кредита фиксируется, и при его возврате используются равномерные (аннуитетные) платежи. Однако применяются и другие кредитные схемы. Коалиции инвесторов. (Банковская ипотека) Ипотечный рынок – это яркий пример финансовой инженерии в действии. В течение многих десятилетий по установившейся практике держателями ипотечных долговых обязательств до истечения их срока были те учреждения, которые их выпускали. Ипотечное кредитование было просто рутинной процедурой. Однако в течение последних десятилетий обычной практикой стало объединение ипотечных долговых обязательств в пул и выпуск ценных бумаг. После объединения ипотечных кредитов и предоставления гарантий инвесторам им продается неделимый интерес (каждый владелец сертификата имеет пропорциональные права на все процентные платежи и платежи по основной сумме) в пулах в виде ценных бумаг. Подобный процесс, названный секьюритизацией активов, затем стал применяться и для других видов долговых обязательств. Предыдущий текст описывал опыт США, где широко развит фондовый рынок и имеется значительный корпус частных инвесторов. Рассмотренный вид ипотек относится к банковской ипотеке. В нашей терминологии пулы ипотек определяются как коалиции инвесторов. Как можно видеть, инвесторы от объединения в коалиции получают определенные выгоды, синергетический эффект. Коалиции заемщиков (небанковская ипотека). Коль скоро возникают коалиции инвесторов, естественно формирование коалиций заёмщиков. Такая форма пулов имеет в своей истории широкое распространение в Англии в форме строительных обществ и в Германии в форме ссудно-сберегательных касс. В работе [2, стр.86] принципы организации небанковской ипотеки иллюстрируются на двух примерах. В первом примере (его можно назвать «общий старт») рассматривается случай, когда 10 человек хотят приобрести жилье в собственность и объединяются в общество. Каждый из них может в год откладывать по 100 условных денежных единиц на покупку квартиры, которая стоит 1000. Таким образом, каждый в отдельности должен копить на квартиру в течение 10 лет. Если же участники объединяются, то, начиная с первого года, можно ежегодно покупать по квартире. Среднее время ожидания покупки уменьшается с 10 до 5.5 лет. «Справедливая» очередность может быть установлена, например, с помощью жребия. Схема несколько напоминает популярные в СССР кассы взаимопомощи на предприятиях и организациях. Однако она обладает заметным недостатком: условия приобретения жилья участниками, так или иначе, оказываются существенно неравными: если некоторый, оказавшийся первым участник может получить квартиру через год, то последнему приходится ждать 10 лет; если первый может получить ссуду в 900 единиц накопив всего 100, то девятый должен накапливать 900, чтобы получить в кредит недостающие 100 единиц. Второй пример с "перманентной" схемой взаимного кредитования, в какой-то мере этот недостаток, устраняет. В этом примере число участников не ограничено, ежегодно к первым 10 участникам добавляется 10 новых, время существования общества также не ограничено. Жилье для участников приобретается в порядке очередности вступления. Полностью выплатив его стоимость, участник выходит из коалиции. Функционирование общества протекает в два этапа. Первые 10 лет существования общества его члены находятся в неравных условиях. Первый участник получает ссуду на приобретение жилья через год в размере 90% от его стоимости. Десятому участнику квартира приобретается через 4 года, и размер его ссуды составляет 60% от её стоимости (за 4 года участник накапливает 400 денежных единиц, что составляет 40% от стоимости жилья). Начиная с 11-го года существования общества, условия для участников выравниваются. Общее число его членов перестает увеличиваться, поскольку ежегодно туда вступает, и одновременно выходят из него 10 участников, полностью выплативших стоимость своего жилья. Число членов общества, для которых недвижимость ещё не приобретена (45 человек), становится после 10-го года величиной постоянной и определяет одинаковый для всех новых участников срок ожидания (ежегодные поступления, начиная с 10-го года, составляют 10 000 денежных единиц, что соответствует приобретению ежегодно 10-ти единиц жилья; таким образом, для 55 участников оно будет приобретено за 5 лет, но с учетом того, что платежи в рассматриваемом примере вносятся до конца календарного года, – за 6 лет). Размер ссуды, получаемой участниками, составит 40% от стоимости жилья (за 6 лет они накапливают по 600 денежных единиц). Данная схема, как и первая, предполагает наличие двух периодов членства в обществе: накопления и кредитования. В течение периода накопления участник регулярно делает в кассу общества равные денежные взносы; затем ему предоставляется ссуда на оставшуюся до стоимости жилья сумму, которую он выплачивает такими же по величине взносами. В работе [5] для данной схемы, (которая определяется, как «очередь»), построена формальная общая модель, аналитическими средствами установлены эффекты самофинансирования, проведены обширные вычислительные эксперименты, иллюстрирующие значительные экономические выгоды для участников коалиции. В работах [2,5] на общих основаниях системного подхода и теории принятия решений разработана общая финансовая модель ипотечного кредитования, и основной интерес проявлен к элементам принятия решений участниками процесса жилищного кредитования в динамике и синергетическому эффекту, который возникает при объединении ресурсов участников. Настоящая работа средствами вычислительных экспериментов и графического представления выявляет основные особенности поведения базовых финансовых характеристик коалиции заёмщиков: активов коалиции, заёмных средств, собственного капитала. Описание модельных соотношений Вычислительные эксперименты проводились для Коалиции заёмщиков, поведение которых соответствует вышеописанным взаимоотношениям. Положим, что Коалиция выступает, как самостоятельное лицо и оформляет свои взаимоотношения с участниками на основе договоров. Типовые договора будут относиться к разному типу жилья и разным схемам накопления и возврата кредита. Пусть набор типовых договоров ограничен. Договор с клиентом очереди характеризуется следующими параметрами: k - номер клиента, заключившего договор с Коалицией; t k – начало действия договора k ; t k0 - момент времени заключения договора с участником k ; t 1k - момент времени покупки жилья для участника k и выдача ему кредита; t k2 - момент времени погашения задолженности по кредиту участника k ; r – максимальное количество периодических вкладов клиентов очереди вплоть до момента приобретения жилья; U k – размер периодических 1 0.01 u t ,k r Uk 0.01 u t ,k 1 вкладов клиента d C , следовательно U k G t1,k - динамика накоплений участника, k, рассчитанных 0.01 u t ,k d C k из условия ; 1 0.01 ut ,k r 1 Gt11,k 1 u t ,k Gt1,k U k ; u t ,k – проценты по периодическим вкладам клиента k , начисляемые на его счет в ССК; d – доля от стоимости приобретаемого жилья, после накопления которой клиент очереди получает кредит на приобретение жилья; C - стоимость жилья, соответствующего договору k . Если в некоторый момент времени t сумма вкладов клиента k вместе с начисленными на них процентами превышает величину d C t , то клиент получает кредит и приобретает жилье даже в том случае, если количество сделанных им вкладов меньше r . s – количество кредитных выплат, производимых клиентом очереди после приобретения жилья; vt ,k – проценты по кредиту, выданному клиенту k ; G t2,k - динамика задолженности по кредиту участника, Gt21,k 1 vt ,k Gt2,k Vk ; Vk – размер периодических выплат по кредиту клиента k , рассчитанный по формуле Vk C k Gk1 t 1k 0.01 v k 1 0.01 v k 1 0.01 vk s 1 s . На счета Коалиции поступают денежные средства от участников, которые расходуются на приобретение жилья для участников и погашение внешних кредитов очереди, временно свободные средства размещаются на внешних вкладах: t - рыночный процент на внешних вкладах; t - ставка заимствования на внешнем кредитном рынке. Коалиции нерационально иметь одновременно средства, размещенные на внешних вкладах и обязательств по внешним кредитам. Gt баланс денежных средств в одном потоке кооператива, где Gt 1 1 t Gt Pt 1 Rt 1 , причем t t , если Gt 0 и t t , если Gt 0 , Pt - поток платежей участников, Rt - расходы кооператива, связанные с приобретением квартир для участников. Сценарий очереди с многотиповыми вариантами квартир при фиксированном времени. Все операции с договорами участников производятся с равным временным шагом (месяц и т.п.) в моменты времени t . Весь поток заключаемых договоров разбивается на цепочки – очереди. Первый договор очереди заключается в момент 0, остальные - в последовательные моменты 1,2..., N 1 по одному договору в каждый из моментов времени. N 1 – точка завершения очереди. Участник k производит последний вклад, получает кредит и приобретает жилье в момент времени t 1k t k0 r 1 . Последняя выплата производится в момент времени t k2 t 1k s . Баланс денежных средств в одном потоке: Gt 1 1 t Gt Pt 1 Rt1 , 1, R ; t , если Gt 0 ; t , если Gt 0 ; Pt Pt ,k , Rt Rt,k . k k Очередь: 0, tk k 1, Поток платежей участника: Pt ,k 0 , t t k0, или t t k2, ; Pt ,k U k , U k 0.01 u k d C k , t k0, t t 1k, ; 1 0.01 u 1 C G t 0.01 v 1 0.01 v 1 0.01 v 1 r k Pt ,k Vk , Vk k 1, k 1, k s k k s , t 1k, t t k2, . k Расходы кооператива, связанные с одним участником: C t 1k, , t t 1k, ; Rt ,k Rt,k 0 , t t 1k, . t 1k, Динамика накоплений участника: min t k0, r 1, min Gk1,,t ,n d Ct ; Gt1,,k 0, t Gt1, 1,k Gt2,k, t k0, или t 1 ut ,k Gt1,,k t 1k, ; U k , Gk1, t k0, U k , t k0, t t 1k, . Динамика задолженности по кредиту: 0 , t t 1k, или t t k2, ; Gt2,1,k 1 vt ,k Gt2,k, Vk , Gk2, t 1k, Gk1, t 1k, Ct , t 1k, t t k2, . Соотношения для модели «общего старта» вышеприведенных формул для случая «очереди». незначительно отличаются от Эксперименты В настоящей работе представлены результаты вычислительных экспериментов для описанных моделей в предположении, что в очереди присутствуют договоры только одного типа. Рассматривались две организационные формы Коалиции: общий старт и очередь. Конкретные значения параметров заёмщиков и Коалиции приводятся при описании вариантов очереди и общего старта. В модели общего старта участники существенно различаются между собой размерами вкладов и выплат. Основное внимание было уделено влиянию числа участников Коалиции N и порога накопления d на вид зависимостей денежного баланса, активов, обязательств и собственного капитала Коалиции. Графическое представление результатов расчётов Очередь Эксперимент 1 5% , 10% , C 1 , C~ 1 , u 5% , d 0.5 , r 61 , s 80 . N 37 , v 8.9% . N 61 , v 8.2% . N 85 , v 7.7% . N 121 , v 7.2% . 20 15 Баланс 10 5 N=37 0 N=61 -5 0 50 100 150 250 N=85 N=121 -10 -15 -20 -25 200 Время 25 20 Активы N=37 15 N=61 N=85 10 N=121 5 0 0 30 60 90 120 150 Время 180 210 240 270 25 Обязательства 20 N=37 15 N=61 N=85 10 N=121 5 0 0 30 60 90 120 150 Время 180 210 240 270 2 Собственный капитал 1,8 1,6 1,4 N=37 1,2 N=61 1 N=85 0,8 N=121 0,6 0,4 0,2 0 0 30 60 90 120 150 Время Эксперимент 2 5% , 10% , C 1 , C~ 1 , u 5% , N 61 , r 61 , s 80 . d 0. , v 10% . d 0.3 , v 9% d 0 . 6 , v 7 .9 % d 0 . 9 , v 7 .1 % . 180 210 240 270 30 20 Баланс 10 d=0. 0 -10 0 50 100 150 200 d=0.3 d=0.6 d=0.9 -20 -30 -40 -50 Время 45 40 35 d=0. Активы 30 d=0.3 25 d=0.6 20 d=0.9 15 10 5 0 0 50 100 Время 150 200 45 40 Обязательства 35 30 d=0. 25 d=0.3 d=0.6 20 d=0.9 15 10 5 0 0 50 100 Время 150 200 1 Собственный капитал 0,9 0,8 0,7 d=0. 0,6 d=0.3 0,5 d=0.6 0,4 d=0.9 0,3 0,2 0,1 0 0 50 100 Время 150 200 Общий старт Эксперимент 1 5% , 10% , C 16 u 5% , d 0.5 , U k 0.1, 0.22 , Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения на интервале 0.1, 0.22 . V k U k , v 9% N 30 , N 60 , N 90 , N 120 600 400 N=30 Баланс 200 N=60 0 -200 0 50 100 -400 -600 -800 Время 150 N=90 N=120 700 600 Активы 500 N=30 N=60 400 N=90 300 N=120 200 100 0 0 50 100 Время 150 700 Обязательства 600 500 N=30 N=60 400 N=90 300 N=120 200 100 0 0 50 100 Время 150 20 Собственный капитал 18 16 14 N=30 12 N=60 10 N=90 8 N=120 6 4 2 0 0 50 100 Время 150 200 Эксперимент 2 5% , 10% , C 16 , N 100 u 5% , U k 0.15, 0.25 , Конкретный выбор U k определялся, как случайная выборка равномерного распределения на интервале 0.15, 0.25 . V k U k , v 10% d 0 .2 , d 0 .4 , d 0 .6 , d 0 .8 Баланс 700 d=0.2 200 d=0.4 -300 0 50 100 150 d=0.6 d=0.8 -800 -1300 Время 1400 1200 Активы 1000 d=0.2 d=0.4 800 d=0.6 600 d=0.8 400 200 0 0 50 100 Время 150 1400 Обязательства 1200 1000 d=0.2 d=0.4 800 d=0.6 600 d=0.8 400 200 0 0 50 100 Время 150 Собственный капитал 25 20 d=0.2 15 d=0.4 d=0.6 10 d=0.8 5 0 0 50 100 Время 150 Литература 1. Маршалл Дж., Бансал В. Финансовая инженерия. М. Инфра-М, 1998. 784 с. 2. ГАСАНОВ, И.И., ЕРЕШКО, Ф.И. Модель кооперации в ипотечном кредитовании / И.И. Гасанов, Ф.И. Ерешко. М.: Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2007),посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н.Моисеева: Москва,10-14 апреля 2007. 3. АВЕРЧЕНКО, В., ВЕСЕЛИ, Р., НАУМОВ, Г., ФАЙКС, Э., ЭРТЛ, И. Принципы жилищного кредитования./ В. Аверченко, Р. Весели, Г. Наумов, Э. Файкс, И. Эртл. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. 261 с. 4. ПОЛТЕРОВИЧ, В.М., СТАРКОВ, О.Ю. Формирование ипотеки в догоняющих экономиках: проблема трансплантации институтов. / В.М. Полтерович, О.Ю. Старков. М.: Наука, 2007. 196 с. 5. ГАСАНОВ, И.И. Организация ссудно-сберегательной кассы по принципу очереди. / И.И. Гасанов. М.: ВЦ РАН, 2006. 45с.