ОБРАЗЕЦ ВАРИАНТА ПИСЬМЕННОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ на втором курсе медико–биологического факультета в 2006–2007 уч. г. В работу включены следующие разделы математического анализа: элементы теории пределов системы линейных алгебраических уравнений дифференцирование функции одной переменной: техника дифференцирования и применение производной к решению задач; интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций; применение интегрального исчисления к решению задач; дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных производных и применение частных производных к решению задач; двойные интегралы: вычисление и решение задач с использованием двойных интегралов; тройные интегралы: вычисление и решение задач; криволинейные интегралы: вычисление и решение задач ИЗ КАЖДОГО РАЗДЕЛА ВЫ ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНИТЬ ПО ОДНОМУ ЗАДАНИЮ, т.е. всего 7 (семь заданий!) ОЦЕНКА 1) «отлично» ставится, если Вы наберете от 91% до 100% максимального количества баллов; 2) «хорошо»– от 81 до 90%; 3) «удовлетворительно» – от 60 до 80%; 4) «неудовлетворительно» – меньше 60%. ВНИМАНИЕ! ЕСЛИ В РАБОТЕ ОТСУТСТВУЕТ ПОЛНОСТЬЮ КАКОЙ-ЛИБО РАЗДЕЛ, ТО ИЗ ОБЩЕГО КОЛИЧЕСТВА НАБРАННЫХ БАЛЛОВ ОТНИМАЕТСЯ 3 БАЛЛА! Выполнение КАЖДОГО ЗАДАНИЯ необходимо сопровождать пояснениями: - указывать метод решения и пояснять решение задачи; приводить основные формулы и обосновывать их выбор; анализировать полученные результаты и делать выводы. Только в этом случае за выполнение задания ставится максимальное количество баллов! УСПЕХОВ ВАМ! ВАРИАНТ 00 1 Теоретическая часть. Составьте краткий конспект ответа на вопрос: (по 4 балла) 1. Основные приемы интегрирования: прямое интегрирование с использованием инвариантности дифференциала и «полезных» формул. 2. Частные производные и дифференциалы; частные производные высших порядков. Полный дифференциал второго порядка функций двух аргументов. Раздел 1 «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)» Найти решение системы линейных уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) и матричным методом: 2 x1 x 2 3x3 5 x1 2 x 2 2 x3 17 x x 3x 4 2 3 1 Раздел 2. Элементы теории пределов Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя 2 x 3 3x 1 2x 2 5x 3 2 x 3 2.1 1) lim 2) 3) lim lim 2 3 2 x 9 x7 x 4 2 x 3 x x 3 x 7 5 баллов 2.2 1) x x x lim 2) 2x 1 x cosx cos x 3 x sin x 2 4 3 lim x 0 3) lim (1 3x) 2 x x x 0 7 баллов Раздел 3. Дифференцирование функции одной переменной: дифференцирования и применение производной к решению задач. Задача 1. Составить уравнение касательной и нормали к графику кривой y техника 6 x2 в 3 точке x0 3 . 5 баллов Задача 2. Найти производные функций: 1 2 (5 4 x) 1) y ln 2) y (1 ) x 3) y (5tg 2 x x 2 ) 3 x x 2 8x 10 2 3 2 3 4) x y a 2 3 x2 ex 7) y 2 x 1 2 5) y x ? t x e sin t , y e cos t t 6) xy ? y x e x Задача 3. Доказать, что (uvw) u vw uv w uvw и найти y (x) для функций: 1) y x 2 ctgxex 2 8 баллов 2) y x 3 e sin x ln x 6 баллов Задача 4. Две точки движутся по координатным осям согласно уравнениям: x 2t 9 и y 3t 7(t 0) . В какой момент времени расстояние между точками будет наименьшим? Покажите на графике расстояние между точками при t 0 и в момент их наибольшего сближения. 6 баллов 2 Задача 5. Движение летчика при катапультировании из реактивного самолета приближенно можно описать формулой s 3,7t 3 ln t 19t (м). Определить скорость и ускорение летчика через 2с после катапультирования. 5 балла Задача 6. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести? 6 баллов Раздел 4. Интегрирование функции одной переменной: техника интегрирования функций и применение интегрального исчисления к решению задач. 1. Найти интегралы и проверить результат дифференцированием: ( 2 x 3 3x ) 2 dx a) b) cos 2 xdx c) xarctgxdx x Вычислить интегралы: 3 2 a) cos x 0 2 sin xdx b) e x sin xdx 4 8 баллов 2. При каком значении a площадь фигуры, ограниченной линиями 1 1 4 y ,y , x 2, x a ,( a 2 ) равна ln . x 2x 1 5 8 баллов 3. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t ) 2t a( м \ с) . Найти значение a, если известно, что за время от 0 до 2 с тело прошло путь длиной 40 м. 6 баллов 4. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: dx 1) e x(lnx) 3 2) 2 ctgxdx 0 7 баллов 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой L y 1 8x 3 , x 1, y 9 6 баллов 6. Найти длину дуги линии x 6 4 t t ,y 2 между точками пересечения осями 6 4 координат. 7 баллов 7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой y 2 4 x , отсеченной прямой x 2 6 баллов Раздел 5. Дифференцирование функции многих переменных: техника нахождения частных производных и применение частных производных к решению задач. y z z 1. Дана функция z x ln . Показать, что x y z. x x y 5 баллов 3 2. Найти приближенное значение функции ln( 0,09 3 0,99 3 ) . 6 баллов 3. Исследовать на экстремум функцию z 3x 3 y 5xy 4 x 7 y 5. 2 2 6 баллов 4. В усеченном конусе радиусы оснований равны R =20 см, r 10 cм , высота H = 40 см. Как изменится объем конуса, если увеличить R на 3 мм, уменьшить r на 4 мм, и H увеличить на 2 мм? 7 баллов Раздел 6. Кратные (двойные и тройные) интегралы: вычисление и решение задач с использованием двойных и тройных интегралов. 1. Построить на плоскости Oxy область интегрирования интеграла 0 2 x 6 1 8 x 2 dx dy . Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования. 10 баллов xdxdy 2. Вычислить двойной интеграл 2 , если область D ограничена прямыми: 2 x y D x 2, y x, x 2 y . 8 баллов 3. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице): x 2 4 y 2 1, x 2 y 1 . Сделать рисунок. 10 баллов dxdydz 4. Вычислить тройной интеграл по области V , ограниченной плоскостями 1 x y V x 0, x 1, y 2, y 5, z 2, z 4 . 8 баллов Раздел 7. Криволинейные интегралы: вычисление и решение задач. 1. Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки M (1;2)иN (3;5) : ( x 3 2 y )dx (2 x 5)dy 5 баллов 2. Даны криволинейный интеграл x 2 (2 xy)dx ( 2 y )dy и точки на плоскости xOy : O(0;0), A(4;0), B(0;8), C (4;8). Вычислить данный интеграл от точки O до точки С по трем различным путям: 1) по ломаной OAC ; 2) по ломаной OBC ; 3) по дуге OC параболы 1 y x 2 . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение. 2 7 баллов 2 2 3. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл xy dy x ydx , где C – C окружность x y a . 2 2 2 6 баллов 4