Document 677909

Лабораторная работа 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций
можно вычислить методом рационализации подынтегральной функции. Этот метод заключается в отыскании такой подстановки, которая преобразует интеграл от
функции рациональной. Для некоторых важнейших классов иррациональных
функций существуют специальные подстановки, с помощью которых и удаётся
осуществить метод рационализации.
3.1 Интеграл вида  R( x , x  , x )dx, ãäå  ,  ,   и R( x , x  , x ) - рациональная функция аргументов x , x  , x . Интегралы этого вида приводятся к интегралу от рациональной функции подстановкой: x  y n , где n – наименьшее кратное знаменателей дробей  ,  ,  .
3.1.1 Найти интегралы:
1 а)
xdx
 1 x ;
б)
2 а)
1 2 x
 1  2 x dx ;
б)
6
xdx
3 а)  6 ;
1 x
dx
4 а)
5 а)

x  x3
;
dx
 x
x  2 x3
;
4
6 а)
xdx
 2 4 x ;
7 а)
 1 4
9 а)
dx
 x
10 а)
7
x  4 x3
xdx
 2
7
x
3
xdx
;
x  4 x)
x
б)

б)
 3x 
б)
3
x2  x
dx
3
3
x2
dx ;
;
xdx
 3 x2 
;
;
;
б)

б)

б)

5 x
3
3
в)
 x2
в)

x2  4x
3
xdx
x2  9x
dx
16 x  5 x
dx
x3  3 x 4
xdx
4
x3  1
;
;
(1  6 x )3 dx
в) 
;
1 3 x
dx
в) 
;
x (1  4 x ) 2
в)
x
dx
 x3 x ;
6
xdx
б)  3
;
x( x  2 4 x )
5
xdx
 9 5 x ;
 x(
6
xdx
;
x  3 x)
x3 x4 x

3
x 2  6 x5
dx ;
x 1
dx ;
x3 x
xdx
6
в)

в)

dx ;
в)
(7  6 x )3 dx
 3 x4 x ;
;
в)

;
в)

б)
1 3 x
dx ;
x
8 а)
 x(
3
4
x3  5
;
x  23 x  4 x
dx ;
x 2  3 6 x5
6
x 4
dx .
4 x  3 27 x
3
  ax  b   ax  b    ax  b  
3.2 Интегралы вида  R  x, 
 ,
 ,
  dx, ãäå  ,  ,   .
cx

d
cx

d
cx

d





 

ax  b
После введения замены переменной
 y n , где n – наименьшее общее
cx  d
кратное знаменателей дробей α, β, γ, интеграл переходит в интеграл от рациональной функции.
3.2.1 Найти интегралы
x4
dx ;
x
б)
2 а)  x 4 x  2dx ;
б)
1 а)
3 а)
4 а)


x4
dx ;
x 1
б)

x 1 1
dx ;
x  1 1
б)
5 а)
x 2 dx
 (5x  2) 5x  2 ;
6 а)
x
б)
7 а)  x 4 x  3dx ;
б)

x4
dx ;
x2
б)

x 1  3
dx ;
x 1 1
б)
9 а)
10 а)
x 4 dx
 (7 x  2) 7 x  2 ;

3
в)
xdx
;
 ( x  1)1 3
12

5
x dx
 ;
x  1 x3
x 1
dx
x 1
 (3  2 x)

3
в)
x 1
dx ;
x 1
 ( x  1)
б)  x
dx
;
2x  3
8 а)
x 1  x  1
dx ;
x 1  x  1
23
в)
в)
;
dx
;
 (3  2 x)1 2
x4
dx ;
x 1
 ( x  3)
xdx
;
 ( x  3)1 3
12

5
б)  x


dx
3



в)

x6
dx ;
x 9
в)

( x  1) 2 ( x  2)
;
;
dx
( x  2)3 ( x  1)
dx
3
;
( x  3)3 ( x  1)5
( x  1)5 (1  x)3
4
в)
x  5 dx
 ;
x  2 x3
3.3 Интегралы от биноминальных дифференциалов:
m
n p
 x (a  bx ) dx,ãäåm, n, p 
dx
4
;
( x  3)3 ( x  1)5
dx
4
;
( x  1) 2 ( x  2) 4
dx
4
;
( x  7)7 ( x  5)5
dx

в)
6

в)
в)
dx

( x  1)3 (7  x) 2
;
;
dx
3
;
( x  1) 2 ( x  2) 4
dx
( x  4)3 ( x  8)
.
П.Л. Чебышев доказал, что только в трёх случаях этот интеграл может быть
выражен в конечном виде через алгебраические, логарифмические и обратные
круговые функции:
1) p – целое число, тогда применяется подстановка x  y s , где s – общий
знаменателей дробей m и n.
m 1
2)
- целое число. Здесь следует применить подстановку a  bx n  y s ,
n
где s – знаменатель дроби p.
m 1
3)
 p - целое число. В этом случае применяют подстановку
n
ax  n  b  y s , где s – знаменатель дроби p.
3.3.1 Найти интегралы
1
2


3
3
1 4 x
dx ;
x
6

x 2dx
1 6 x
dx ;
x
7

x (1  3 x 4 )4 dx ;
8

x(3  4 x3 )dx ;
9
x 4 dx
 (1  x 2 )1,5 ;
1  x4
3
dx ;
x5
dx
4
;
3 2
x x 1
x3dx
5 3
;
x 1
x3  1
;
10  x3 3 5  x 2 dx .
3.4 Интегралы вида  R( x, ax 2  bx  c )dx, a  0, b 2  4ac  0
Сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера:
ax2  bx  c   a x  t , если a  0
ax2  bx  c   xt  c , если c  0
ax 2  bx  c  ( x  x1 )t ,
ax 2  bx  c  ( x  x2 )t , где x1 и x2 – корни квадратного трёхчлена.
Знаки в правых частях неравенств можно брать в любых комбинациях. Подстановки Эйлера приводят к довольно сложным интегралом от рациональных
функций, поэтому в простых случаях рекомендуем пользоваться следующими
приёмами:
Pn ( x)dx
1случай. Интегралы вида 
, где Pn ( x) – многочлен степени n
2
ax  bx  c
вычислять с помощью метода неопределённых коэффициентов, пользуясь формулой

Pn ( x)dx
dx
 Qn1 ( x) ax 2  b  c   
,
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
где Qn1 ( x) – многочлен степени (n  1) с неопределёнными коэффициентами;  - число.
1
dx
2случай. В интеграле 
, n  делать подстановку x    .
n
2
z
( x   ) ax  b  c
3случай. В интеграле
4случай. В интеграле
 (x
dx
2
 b 2 ) n ax 2  c
 Q( x)
, n
P( x)dx
ax 2  bx  c
делать замену
a
c
 z.
x2
, где Q( x) и P( x) – многочлены,
P ( x)
на элементарные.
Q( x)
5случай. Для вычисления интегралов, не содержащих другой иррациональности, кроме квадратного корня из квадратного трехчлена, применяются тригонометрические замены. Для этого необходимо из квадратного трехчлена, находящегося под корнем, выделить полный квадрат, после чего получим следующие
выражения:
1)
При a  0 получим сумму квадратов вида k 2  y 2 или разность квадратов y 2  k 2 . Для уничтожения иррациональности применяем замену y  k  tgt .
2)
При a  0 получим разность квадратов k 2  y 2 или k 2  y 2 .В первом
случае применяем замену y  k  sin t . Второй случай не представляет интереса, так
как корень здесь не имеет вещественного значения.
разложить дробь
3.4.1 Найти интегралы:
1 а)

2 а)

3 а)

4 а)

5 а)

6 а)

dx
x2  4 x  7
dx
9  2x  x
dx
2
3x  7
;
б)

;
б)

б)

б)

9x2  6 x  4
dx
11  8 x  4 x 2
dx
;
x2  2 x  9
dx
;
2
3  2x  x
;
;
x2  8x  1
2x  5
dx ;
7  8 x  16 x
2  3x
4 x 2  16 x  7
5x  3
б)

б)

dx ;
2
dx ;
1  10 x  25 x 2
x8
dx ;
dx ;
4 x2  8x  9
4x
dx ;
2
x  2x  3
7 а)

8 а)

9 а)

10 а)
dx

5  16 x  8 x 2
dx
;
2
5  2x  x
dx
;
2
4 x  8x  1
dx
б)
;
5  12 x  9 x 2
;

4 x

2 x2  4 x
dx ;
11  12 x  9 x 2
x 1
б) 
dx ;
2
16  2 x  x
2x  5
б) 
dx ;
2
25 x  10 x  1
2  7x
б) 
dx .
4 x2  8x  7
3.4.2 Найти интегралы:
1 а)

x 2  6 x  4dx ;
б)
dx ;
x  2x  5
3x 2  5 x
2
2 а)  5  4 x  8 x dx ;
б) 
dx ;
2
3  2x  x
x2  4
2
3 а)  9 x  12 x  7dx ; б) 
dx ;
x2  6 x  3
x2
2
4 а)  7  10 x  25 x dx ; б) 
dx ;
x2  6 x  3
x 4 dx
2
5 а)  5  2x  x dx ;
б) 
;
x 2  4x  5
x6dx
2
6 а)  5  4x  x dx ;
б) 
;
x2  1
x2  2 x
7 а)  4  4x  x 2 dx ; б) 
dx ;
2
3  2x  x
3x 2  18 x
2
8 а)  x  10 x  6dx ; б) 
dx ;
2
x  6x  3
x2
2
9 а)  6  8 x  4 x dx ; б) 
dx ;
9 x2  6 x  3
(11x 2  66 x)dx
2
10 а)  5  6 x  9 x dx ; б) 
;
2
x  6x  5
2
в)
 ( x  11)
в)
 ( x  1)
в)
 ( x  2)
в)
x
dx
в)
 ( x  1)
в)
 (2 x  1)
2
dx
x  x 1
dx
2
;
x  2x  1
dx
3
2
;
3x 2  8 x  5
3
7  x2
dx
;
;
1  x  x2
dx
;
;
4 x2  4 x  5
dx
в) 
;
3
2
( x  2) x  3x  1
dx
в) 
;
3
2
( x  7) x  2 x  1
dx
в) 
;
x 2 15  3x 2
dx
в) 
.
2
2
(3x  1) 4 x  4 x  5
2
3.4.3 Вычислить интегралы, используя тригонометрические замены:
dx
1 а)
 (1  x )
2 а)
 (x
3 а)

4 а)

5 а)
 (x
6 а)
 (9  x )
7 а)
 (x
8 а)

9 а)

2
 9) x 2  9
dx
;
( x 2  4)3
dx
;
( x 2  16)5
dx
2
2
 5) x 2  5
dx
2
10 а)
1  x2
dx
;
9  x2
dx
;
;
;
 16) x 2  16
dx
;
(25  x 2 )3
dx
;
(81  x 2 )3
dx
2
 (x
2
;
 25) x 2  25
;
б)
 (x
б)

б)
 (x
б)
 (x
xdx
 x  4) 4 x 2  4 x  5
dx
;
( x 2  2 x  4)7
( x  4)dx
2
2
 2 x  4) x 2  2 x  5
(2 x  3)dx
;
;
;
 2 x  3) x 2  2 x  4
( x  1)dx
б) 
;
x2 2 x2  2 x  1
xdx
б) 
;
(3x 2  2 x  3) 2 x 2  x  2
dx
б) 
;
( x 2  2 x  3)5
( x  8)dx
б) 
;
( x 2  2 x  4) x 2  2 x  5
(2 x  3)dx
б) 
;
( x 2  2 x  3) x 2  2 x  3
( x  1)dx
б) 
.
x2 4 x2  2 x  1
2