CH-5

Глава 5. Закон больших чисел.
Математические законы теории вероятностей получены на основе
закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих
закономерностей связано либо с большим числом испытаний, либо с большим числом
связанных между собою явлений.
При большом числе случайных явлений их средний результат перестает быть
случайным и может прогнозироваться с большой степенью определенности. Именно,
устойчивость средних характеристик представляет собой содержание закона больших
чисел.
5.1. Лемма и неравенство Чебышева.
Рассмотрим случайную величину X, принимающую только неотрицательные
значения и имеющую математическое ожидание M ( X ) . Тогда лемма Чебышева
утверждает, что для любого положительного числа А верно неравенство
M (X )
P  X  A 
(5.1.1).
A
Так как события X  A и X  A противоположны, то
M (X )
P  X  A  1 
(5.1.2).
A
Пример 5.1.1. Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 20 млн. руб., а
вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 50 тыс. руб., равна 0,8 .
оцените число вкладов этого банка.
Решение. Пусть X – размер случайно взятого вклада, а n – число вкладчиков.
20000
Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада M ( X ) 
(тыс. руб.).
n
Согласно неравенству (5.1.2)
20000
400
P  X  50   1 
 1
.
50  n
n
400
 0,8 и n  2000 . Таким
Так как по условию P  X  50  0,8 , то 1 
n
образом, число вкладчиков не более 2000.
Если случайная величина Х имеет математическое ожидание M ( X )  a , и
дисперсию D ( X ) , то справедливо неравенство Чебышева.
P X  a    
D X 
,
(5.1.3)
2
утверждающее, что вероятность отклонения случайной величины от математического
ожидания ограничена сверху.
Неравенство Чебышева можно записать в форме
P X  a     1
D X 
,
(5.1.4).
2
В форме (5.1.3) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (5.1.4) –
нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.
1
Пример 5.1.2. Вероятность выхода стандартной детали 0,96. Оценить
вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от
70 до 90.
Решение. Так как X  m - число бракованных деталей, имеет биномиальное
p  1  0,96  0, 04
распределение
и
вероятность
брака,
то
M  X   np  0,04  2000  80 и D  X   npq  2000  0,04  0,96  76,8 .
70;90 симметричен относительно M  X   80 ,
P  70  X  90   P  X  80  10  . Для оценки этой вероятности используем (5.1.14).
Так
как
интервал
Тогда P  X  80  10   1 
D X 
100
 1
то
76,8
 0, 232 .
100
Пример 5.1.3. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной
величины от ее математического ожидания будет не более 3 . (  среднеквадратическое отклонение).
Решение. Учитывая, что  2  D  X  , то по формуле (5.1.4)
P  X  a  3   1 
D X 
 3 
2
 1
1 8
  0,889 .
9 9
Напомним, что для нормального распределенной случайной величины нижняя
граница вероятности равна 0,9973. Таким образом, правило 3 применимо для
большинства случайных величин.
5.2. Теория Чебышева.
Рассмотрим случайную величину X  a, D  X   . Пусть над этой величиной
производится n независимых испытаний, в каждом из которых она может принять
значения X 1 , X 2 ,... X n .
Совокупность ее возможных значений представляет собой набор n независимых
и одинаково распределенных случайных величин. Рассмотрим среднее арифметическое
этих величин:
n
Y
X
i 1
i
, где M Y   a , D Y  
D X 
.
n
n
Как следует из теоремы Чебышева, при достаточно большом числе независимых
испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к
M ( X ) , т.е. для любого   0
lim P  Y  M ( X )     1
(5.2.1).
n 
Теорема Чебышева следует из неравенства Чебышева, применимого к случайной
величине Y:
2
P  Y  M (Y )     1 
(5.2.2) или, замещая M (Y )  a , D(Y ) 
D Y 
2
D( X )
, имеем
n
P Y  a     1
D X 
.
(5.2.3)
n  2
Теорема Чебышева обобщается на случай независимых случайных величин
X 1 , X 2 ,..., X n с ограниченными дисперсиями:
D  X 1   c , D  X 2   c ,…, D  X n   c .
Тогда


P



n
 Xi
i 1
n
n

a
i 1
n
i


c
,
    1

n  2


(5.2.4),
где ai  M ( X i ) .
Теорема Чебышева в форме (5.2.3) и (5.2.4) имеет большое практическое
значение в теории измерений.
Пример 5.2.1. Сколько надо провести измерений данной величины. чтобы с
вероятностью 0,9 гарантировать отклонение средней арифметической измерений от
истинного значения не более, чем на 3, если среднее квадратическое отклонение
каждого из измерений не превосходит 6?
Решение. Пусть X i - результат i  того измерения и M ( X )  a для любого i .
Необходимо найти n , при котором
 X  X 2  ...  X n

P 1
 a  3   0,9 .


n


По условию   X i   5 и D  X i   25 . Тогда, используя (5.2.4), получим
 X  X 2  ...  X n

c
25
P 1
 a  3  1 
 1
 0,9 .
2


n
9
n
n

3


Откуда n  27, 7 . Следовательно, потребуется не менее 28 измерений.
3