П «Л », .

–1–
ПРОГРАММА
«ЛИНЕЙНАЯ И ОБЩАЯ АЛГЕБРА»,
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА. 2 СЕМЕСТР, 2012/2013 УЧ. ГОД.
(ПРОГРАММА БУДЕТ ЕЩЕ УТОЧНЯТЬСЯ)
I.a. Определение билинейной формы; примеры. Представление билинейной формы в
базисе, ее матрица, их соответствие. Связь матриц в разных базисах. (Косо)симметричные
билинейные формы.
I.b. Квадратичная форма и полярная к ней билинейная форма, матрица и ранг
квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду (метод Лагранжа) и к
нормальному виду. Закон инерции вещественной квадратичной формы, положительный и
отрицательный индексы инерции.
I.с. Классификация вещественных квадратичных форм, критерии (без док-ва).
Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры, простейшие
свойства. Действия над линейными операторами, их свойства. Матрица линейного
оператора, связь координат образа и прообраза. Свойства матрицы линейного оператора.
Алгебра линейных операторов.Определитель линейного оператора. Примеры. Подобные
матрицы, свойства. Подобные матрицы линейного оператора.
Ядро и образ линейного оператора, свойства. Связь размерностей ядра и образа.
Ранг линейного оператора, связь с рангом его матрицы.
Обратимый линейный оператор, его обратный. Критерии обратимости, общий и
конечномерный, следствие.
Спектральная теория линейных операторов. Собственный вектор, собственное
значение (число). Примеры. Спектр конечномерного линейного оператора. Критерий
принадлежности числа спектру. Собственное подпространство, геометрическая кратность.
Характеристический многочлен и его свойства, примеры. Алгебраическая кратность
собственного значения, связь с геометрической кратностью. Простейшие теоремы о не
пустоте спектра. Теорема Гамильтона-Кэли.
Операторы простой структуры, критерий. Линейная независимость системы
собственных векторов, отвечающих различным собственным числам. Достаточное
условие и критерий для оператора простой структуры.
Жорданова клетка и жорданова нормальная форма матрицы. Жорданов базис.
Цепочки векторов. Критерий линейной независимости семейства цепочек. Элементарные
преобразования цепочек векторов, их простейшие свойства. Существование базиса,
состоящего из цепочек векторов в случае единственного корня характеристического
многочлена. Единственность жордановой нормальной формы, связь числа жордановых
клеток с рангами степеней матриц линейного оператора, теорема Жордана.
Инвариантное подпространство, примеры инвариантных подпространств.
Существование инвариантных подпространств в комплексном и вещественном случае.
Следствие о паре векторов, отвечающих невещественному корню характеристического
многочлена. Индуцированный оператор, примеры.
Корневое
подпространство.
Свойства
корневых
подпространств
и
индуцированного оператора. Теорема Жордана (Все без доказательства).
Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор,
матричное условие самосопряженности. Свойства самосопряженного оператора: о корнях
характеристического многочлена; о собственных векторах самосопряженного оператора;
КУРСА
–2–
об индуцированном операторе; об ортогональном дополнении к инвариантному
подпространству. Спектральная теорема для самосопряженного оператора, ее матричная
формулировка. Приведение квадратичной формы к главным осям, пример. Пример
преобразования уравнения линии и поверхности второго порядка к канонической форме.
Общая алгебра. Бинарная (алгебраическая) операция, ее форма записи. Таблица
Кэли. Группоид. Полугруппа. Примеры. Обобщенная ассоциативность. Нейтральный
элемент, моноид, примеры. Обратимый элемент. Группа, абелева группа, примеры.
Подгруппа.
Кольцо, определения, примеры. Кольцо (Zm, , ) классов вычетов по модулю m.
Делители нуля и обратимые элементы, их свойства. Тело, тело кватернионов. Поле,
примеры.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.
2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977; Физ.-мат. лит., 2000, часть 1-3.
3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971-2001.
4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.
5. Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.
6. А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра. М. Вузовская книга, 2001.
7. В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006,
2007.