МАТЕМАТИКА для иностранных слушателей подготовительного

Московский государственный университет путей сообщения
(МИИТ)
Кафедра «Организация международного сотрудничества»
Т.М.Выгнанова, Е.А. Перебагова
МАТЕМАТИКА
для иностранных слушателей
подготовительного отделения
часть 1
Рекомендовано редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия для
иностранных слушателей подготовительного отделения
Москва - 2009
УДК 51
В 92
Выгнанова Т.М., Перебагова Е.А. Математика для
иностранных слушателей подготовительного отделения.ч. 1:
Учебное пособие - М.: МИИТ, 2009. - 96с.
Учебное пособие предназначено для изучения основ
элементарных понятий алгебры.
Основное внимание
уделено решению задач, необходимых для поступления в
университет. Упражнения к каждой главе расположены по
возрастающей сложности, что позволяет слушателям
систематически отрабатывать пройденный материал.
Рецензенты:
к.ф.-м.н., доц., зав. каф. «Прикладная математика-2»
Кочнева Л.Ф. (МИИТ)
к.т.н., проф., зав. каф. «Математика и информатика »
Шувалова Т.И. (МГЭК)
© Московский государственный университет
путей сообщения (МИИТ), 2 0 0 9
Св. план 2009 г, поз.225
Подписано в печать 09.06.09.
Уел^'печ.л. 6,0;
Тираж 100 экз.
Заказ № 3 / 0 .
Формат 60x84/16
12 799 4 Москва, ул. Образцова, 9, стр.9 . Типография МИИТа
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.........................................................6
1.1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА............................................................................ 6
1.1.1
Запись натурального числа.................................................................6
1.1.2
Простые и составные числа................................................................6
1.1.3
Наибольший общий делитель двух или нескольких
натуральных чисел (Н.О.Д.)................................................................7
1.1.4
Наименьшее общее кратное (Н.О.К) двух или нескольких
натуральных чисел............................................ ..........................
7
1.2 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА................................................................................................ 8
1.3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА........................................................................8
1.3.1
Обыкновенные дроби..............................................................................8
1.3.2
Основное свойство дроби.......................................................................9
1.3.3
Сокращение дробей.................................................................................. 9
1.3.4
Приведение дробей к наименьшему общему
знаменателю.............................................................................................. 10
1.4..ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ................................................................. ............ 10
1.4.1 Определение десятичной дроби.........................................................10
1.4.2 Действия над обыкновенными и десятичными дробями......11
1.5 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА................................................................13
1.6 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.................................................................13
1.6.1 Числовая ось................................................................................................ 14
1.6.2 Числовые промежутки........................................................................... 15
1.7 АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА (МОДУЛЬ)
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА............................................................. 17
1.7.1 Определение................................................................................................ 17
1.7.2 Геометрический смысл м одуля..................................................... 18
1.7.3 Свойства........................................................................................................ 19
1.8 ПРОПОРЦИИ, ПРОЦЕНТЫ.................................................................... 20
1.8.1 Пропорции...................................................................................................... 20
1.8.2 Проценты........................................................................................................ 20
Упражнения к главе 1.......................................................................................... 21
Глава 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ...... .................................25
2.1 ПОНЯТИЕ СТЕПЕНИ И КОРНЯ........................................................... 25
2.1.1 Степень с натуральным показателем.................................................25
2.1.2 Обобщение понятия степени.................................................................. 25
2.1.3 Действия над степенями........................................................................... 26
2.11.4 Понятие арифметического корня.........................................................26
2.1.5 Свойства арифметических корней...................................................... 27
2Л.6 Действия над арифметическими корнями...................................... 27
3
2.2 ОДНОЧЛЕНЫ............................. ...................................................................29
2.2.1 Понятие одночленов..................................................................................29
2.2.2 Действия над одночленами.................................................................... 29
2.3 МНОГОЧЛЕНЫ..............................................................................................30
2.3.1 Понятие многочлена................................................................................. 30
2.3.2 Действия над многочленами..................................................................30
Упражнения к главе 2.......................................................................................... 35
Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА................................................ 43
3.1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.................................................................................43
3.1.1 Определение функции...............................................................................43
3.1.2 Область определения функции............................................................. 43
3.1.3 Понятие обратной функции....................................................................44
3.1.4 Чётность и нечётность функции...........................................................44
3.1.5 Возрастание и убывание ф ункции................................................... 46
3.1.6 Точки пересечения графика функции с осями координат........ 47
3.1.7 Периодические функции..........................................................................47
3.2 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ............................................................................. 48
3.2.1 Определение и график линейной функции.....................................48
3.2.2 Свойства линейной функции................................................................ 49
3.3 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ...................................................................... 50
3.3.1 Линейные уравнения.......................... ...................................................... 50
3.3.2 Графическое решение уравнений.........................................................51
3.3.3 Уравнения, сводящиеся к линейным................................................51
3.3.4 Линейные уравнения, содержащие неизвестное под
знаком абсолютной величины.............................................................. 52
3.3.5 Система двух линейных уравнений с двум я
неизвестными................................................ ...............................................53
3.4 ФУНКЦИЯ у Л
х .......................................................................................... 57
3.5 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ..................................................................59
3.5.1 Формулы решения квадратных уравнений....................................59
3.5.2 Теорема Виега (прямая и обратная)...................................................
3.6 РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА НА
ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ................................................................... 61
3.7 УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ.................................................62
3.8 КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ у = ах2 +Ьх + С,
ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА........................................................................65
3.9 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА............................................... 68
3.9.1 Свойства числовых неравенств............................................................ 68
4
3.9.2 Неравенства, содержащие неизвестное............................................. 69
3.9.3 Основные теоремы о равносильности неравенств....................... 70
3.9.4 Решение линейных неравенств.............................................................71
3.9.5 Системы неравенств с одной переменной....................................... 72
3.9.6 Рациональные неравенства. Метод интервалов............................74
3.10 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ................................................ 78
3.11 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА...........................................80
Упражнения к главе 3 ............................................................................................84
5
Глава 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.1.4
Запись натурального числа
Числа 1, 2 , 3 , . которые используются для счета конкретных
предметов, называются натуральными числами.
Множество натуральных чисел обозначается:
N ={1,2,3,...}.
Свойства: наибольшего числа нет, наименьшее число единица.
В результате прямых действий (сложения, умножения, возведение в
степень натурального числа) над натуральными числами получаются
натуральные числа.
Например, 3 + 4 = 7 , 3 - 4 = 1 2 , З4 = 8 1 .
1.1.5
Простые и составные числа
Простое число - это число, которое делится только на единицу и на
самого себя.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 13, 17,...и т.д.
Составное число - это число, которое имеет более двух делителей.
Например, число 39 имеет 4 делителя: 1, 3, 13, 39.
Любое составное число можно разложить на простые.
Например, 1 6 2 = 2 - 3 - 3 - 3 - 3 = 2 , 3 4 .
Для того, чтобы составное число разложить на простые нужно его
последовательно разделить на простые числа, начиная с 2, т.е. сначала
делим на 2 столько раз, сколько делится, потом на 3, 5, 7, и т.д.
Например,
7056
3528
1764
2
882
441
147
49
7
1
2
7056 = 24-З2 -72
3
6
1.1.6
Наибольший общий делитель д в у х и л и нескольких
натуральных чисел (Н.О.Д.1
Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных
чисел называется такое наибольшее число, на которое делится каждое
из этих чисел.
Правило нахождения Н.О.Д.:
1) Нужно эти числа разложить на простые множители;
2) Выбрать из этих разложений множители, которые содержаться во
всех этих числах;
3) Если какой-то множитель входит в эти числа с разными
показателями, то efo берут с наименьшим показателем.
ПРИМЕР. Найти Н.О.Д. трёх чисел 195, 156, 260.
Решение: Так как
195 = 3-5-13
156--21 -3-13
то Н.О.Д.(195,156,260) = 13.
260 = 2 г -5-13
Два натуральных числа п и ш называются взаимно простыми если
Н.О.Д.(п,т) = 1.
Например, натуральные числа 32 и 45 взаимно простые, так как
32 = 2s , 45 = 3*- 5.
Н.О.Д.(35,15) = 1
1.1.4 Наименьшее общее кратное (Н.О.Ю двух или нескольких
натуральных чисел
Наименьшим общим кратным (Н.О.К) двух или нескольких
натуральных чисел называется такое наименьшее число, которое
делится на каждое из этих чисел.
Правило нахождения Н.О.К.:
1) Нужно эти числа разложить на простые множители;
2) Выписать все разложения одного из натуральных чисел;
3) Добавить к ним недостающие множители из других чисел.
Например H. OJ C .(1 9 6 ,1 5 6 ,2 6 0 ) = 3 • 5 • 13 • 2 2.
7
1.2 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Так как обратные действия (вычитание, деление, извлечение корня)
во множестве натуральных чисел выполнимы не всегда, то требования
выполнимости этих действий приводят к расширению понятия числа.
Результат вычитания, произведённого над двумя натуральными
числами, может оказаться числом не натуральным. Например, разность
2 - 3 = -1 . Число «- 1» не является натуральным числом.
Появляется потребность в введении новых чисел- чисел,
противоположных натуральным, т.е. множество
N' =
—3, - 2 , - 1 }
и числа ноль.
Множество, состоящее из множества N , множества N' и числа
ноль, называется целым множеством и обозначается Z .
Число ноль - единственное число, обладающее следующими
свойствами:
1) Если одно из слагаемых ноль, то сумма равна другому слагаемому
(5+ 0 = 5);
2) Если один из сомножителей ноль, а остальные множители какие-то
числа, то произведение также равно нулю ( —2 • 3 • 0 = 0 ) ;
3) Если делимое ноль, а делитель отличен от ноля, то частное будет
4) Деление на ноль невозможно (выражения — и — не имеют смысла).
1.3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Результат деления одного натурального числа на другое натуральное
число может оказаться нецелым. Поэтому необходимо к множеству всех
целых чисел присоединить множество всех дробей. Целые числа и
дроби составляют множество рациональных чисел. Множество
рациональных чисел обозначается Q .
1.3.1 Обыкновенные дроби
Обыкновенная дробь - это число вида
—,
п
где
tH и
П
натуральные числа, т - числитель дроби, П - знаменатель дроби.
8
Дробь называется правильной, если числитель меньше или равен
знаменателю.
2
Например, — - правильная дробь.
Дробь называется неправильной, если числитель больше или равен
7
знаменателю. Например, — - неправильная дробь.
Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы
натурального числа, называемого целой частью и правильной дроби.
5
3+2
3
3
3
2
2
2
Например, — = —- — = —+ — - 1 + — - 1 — .
3 3
3
3
Итак, всякое смешанное число можно записать в виде неправильной
дроби и наоборот, каждую неправильную дробь можно записать в виде
смешанного числа.
1.3.2 Основное свойство дроби
т
п
Если числитель и знаменатель данной дроби — умножить или
разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь,
та
па
т
п
равная данной, т.е. -------= — .
а
b
с
1
j
Две дроби — и — называются равными, если а • Cl —D-C.
d
5 25
Например, —= — равные дроби, так как 5 • 2 0 = 4 • 25 .
4 20
1.3.3 Сокращение дробей
Сократить дробь - значит, заменить данную дробь другой дробью,
равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.
14
18
7-2
9-2
7
9
Например, — = ------= — .
9
1.3.4 Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
При приведении дробей к наименьшему общему знаменателю
поступают следующим образом:
1) Находят Н.О.К. знаменателей дробей;
2) Находят дополнительные множители путём деления Н.О.К. на
каждый знаменатель;
3) Умножают числитель и знаменатель каждой дроби на
соответствующий дополнительный множитель.
Например, приведём дроби
3
—
и
5
—
к наименьшему общему
Н.О.К.( 3 2 ,1 2 ) - 2 5 -3 = 9 6 ,
v
'
то ~ г = ~------ = — ;
знаменателю.
Так как
5-8
40
12 -8
96
3
32
3- 3
3 2 -3
9
96
1.4 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
1.4.1 Определение десятичной дроби
Десятичной дробью называется дробь, у которой знаменатель
235
представляет собой натуральную степень числа 10. Например, ——■.
Десятичную дробь
можно записать
следующим
образом:
235
„
— = 2 , 3 5 , т.е. в строчку'
записываются
цифры, которые в
числителе, и отделяем их запятой. Всякую обыкновенную дробь можно
представить в виде (конечной или бесконечной) десятичной дроби
путём деления числителя на знаменатель.
3
75
Например, дробь — = ----- = 0 ,7 5 - конечная десятичная дробь.
4
100
4
А дробь ——= 0 , 1 2 1 2 1 2 ...- бесконечная десятичная дробь, т.е. процесс
деления бесконечен и все цифры выписать нельзя.
10
1.4.2 Действия над обыкновенными и десятичными дробями
Сложение и вычитание дробей.
а) Если знаменатели обыкновенных дробей одинаковы, то к числителю
первой дроби прибавляют (отнимают) числитель второй дроби и
оставляют то же знаменатель, т.е.
а |с _ а +с
Ъ b
b ’
а
b
с _ а-с
b
b
б) Если знаменатели обыкновенных дробей различны, то дроби сначала
приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило а).
8
9
3
15
40
9-5
3-3 _ 31
15-3 ~~45
в) Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить целые числа, а
дробную часть с дробной частью.
4
1
4 1
12 + 5 _. , 2 , 2 ^ 2
3 — 1-2 —= (3 + 2)н---- 1— = 5-1--------- —5 + 1-1----- —6 н----- —6 —
5
3
5 3
15
15
15
15
г) Чгобы вычесть смешанные части, надо из целой части вычесть целую,
а из дробной части дробную.
4
1
4 1
7
7
3 —- 2 —= ( 3 - 2 ) + —
= 1 + — = 1— .
5
3
5 3
15
15
д) При сложении (вычитании) десятичных дробей надо записать их
одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом,
а запятая под запятой и сложить (вычесть) числа так, как складывают
(вычитают) натуральные числа.
Умножение дробей.
а) Обыкновенные дроби:
а с
Ъ d
а-с
b-d '
2 7
2-7
14
5 3
5-3
15
б) Смешанные числа.
Дня того, чтобы перемножить смешанные числа надо сначала
обратить их в неправильную дробь, а затем перемножить по правилу а).
4 2 ! = 9 15
135
5
35
7 _ 5
7
в) Десятичные дроби.
Не обращая внимания на запятые, перемножить заданные числа, а
затем, в результате, отделить запятой справа столько цифр, сколько их
стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Деление дробей.
а) Обыкновенные дроби.
Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную, надо
числитель первой дроби разделить на знаменатель второй, а
знаменатель первой дроби на числитель второй и первое произведение
а с
записать числителем, а второе знаменателем.
2.4
2 -5
10
ad.
~ • ~Т ~
О а
О- С
5
3 5 ~ 3 - 4 _ 12~6
б) Смешанные числа.
Чтобы разделить смешанные числа, надо предварительно обратить их
в неправильные дроби, а затем разделить по правилу
/|3 5 2
5
23 17
2 3 -3
69
' 3 " 5 ' 3 ~ 5 - 1 7 ~ 10 5 '
в) Десятичные дроби.
1. деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и
деление целых чисел, а запятую в частном ставят после того, как
закончили деление целой части:
13,2 I 11
11
_
I
1,2
22
22
0.
2. при делении десятичной дроби на десятичную дробь надо в делимом
и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их
имеется после запятой в делителе, затем деление производить по
правилу 1.
12
Например, чтобы разделить 5,74 на 1,4 перенесены делимом и
делителе запятую на одну цифру вправо. Получим 57.4 и 14. Далее
деление производим по правилу 1.
57.41 14
“ 56 I 4,1
14
0.
1.5 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая
десятичная дробь (положительная или отрицательная).
Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 3,121121...
есть иррациональное число. Числа я - V 2 , л/ J , \[2 , л/3 ...так ж е
являются иррациональными числами.
Иррациональные числа порождаются не только корнями.
Например, число п , число
- иррациональные числа.
7t =3,14159265...
в =2,7182818284...
Множество иррациональных чисел обозначается I . Каждое
иррациональное число можно представить в виде бесконечной
непериодической дроби и обратно: каждая десятичная непериодическая
дробь представляет собой иррациональное число.
1.6 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Рациональные и иррациональные
числа образуют множество
действительных чисел. Множество действительных чисел будем
обозначать М
В множестве действительных чисел выполнимы действия: сложения,
вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечение
корня.
Два действительных числа называются противоположными, если их
сумма равна 0.
1
1
Например, — и ------противоположные числа.
13
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение
равно 1.
Любое действительное число можно изобразить одной точкой на
числовой оси.
1.6.1 Числовая ось
Числовой осью называется прямая:
- на которой выбрана начальная точка (точка 0);
- выбрано положительное направление (вправо от точки 0);
- выбрана единица масштаба, т.е. отрезок, длина которого принята за
единицу.
-
2 - 1
0
1
2
Числа со знаком «+» откладываются вправо от точки 0, а со знаком
« - » - влево.
14
Например, между числами «-3» соответствует точке А, расположенная
на расстоянии трёх единиц влево от точки 0. Числу «5» соответствует
точка В, расположенная на расстоянии 5 единиц вправо от точки 0.
А
В
-з
Любой точке на числовой оси соответствует одно действительное
число. Между точек на числовой оси и множеством действительных
чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие, т.е. каждому
действительному числу на числовой оси соответствует одна точка и
наоборот, каждой точке на числовой оси соответствует одно
действительное число.
1.6.2 Числовые промежутки
Возьмём на числовой оси два действительных числа а и b
(а <Ь).
X , которое лежит между а и b удовлетворяет
неравенству а < X < Ь .
Множество всех чисел X , удовлетворяющих неравенству а < X <Ь
будем обозначать так, (а',Ь) , а называть - интервалом.
Запись X е (а; Ь) означает, что граничные точки не входят (не
1. Любое число
включены) в это множество.
0
2.
а
Множество
а< X <Ь,
всех
чисел
X,
удовлетворяющих
неравенству
называется отрезком и обозначается [^■>^]- Запись
X е [ а ; б ] означает, что граничные точки входят (включены) в это
множество.
-4 -
4 / / / / Z X -х
15
3.
Множество
а <X <Ь
всех
или
чисел X , удовлетворяющих неравенству
а < X <Ь , называется полуинтервалом и
обозначается соответственно: ( # j
■
Q / / / / / / S -------------------- ►
О
а
-j—
о a
b
х
4. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству х > 0 х > 0 ,
является множеством неотрицательных чисел и обозначается
х е [0 ; +оо).
_______
y//y //z/ /.zzz____*
о
X
5. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству
х >0,
является множеством положительных чисел и обозначается
х е ( 0 ;+ о о ) .
_______ Ъ / / / / / / / / У / -А ____*
О
X
6. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству
X< 0
является множеством отрицательных
чисел и обозначается
х е (-о о ;0 )
0
X
7. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству
х <0,
является множеством неположительных чисел и обозначается
х е ( —оо;0]
_________________ *
о
х
(а < Ь) , то это означает, что имеем
множество чисел х е ( —со; а] и х е ( b ; +оо).
8. Если
Это
X< а
можно
и х>b ,
записать
и
как
объединение
двух
множеств:
х е (-о о ; а ] u ( b ; +оо)
16
(Знак U обозначает объединение двух множеств)
/ / / / / _____ ZZZZZZZZ____ „
•
9. Если
о
a
b
а <х<Ь , х ф с ,
X
( а < с < Ь ) , то можно записать:
дг е ( а ; с ) и ( с ; 6 ] .
•-—Q// / / / &
/ . / / -------------------- ►
О а
1.7 АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА (МОДУЛЬ) ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ЧИСЛА
Эта тема является одним из важнейших разделов программы по
математике. Понятие модуля находит широкое применение при
изучении таких вопросов, как арифметический корень, длина отрезка,
площадь и объём фигур, логарифмы и др.
1.7.1
Определение
Абсолютной величиной действительного числа л: называется такое
неотрицательное число Ы , которое равняется самому числу х , если
число, стоящее под знаком модуля положительное; равно нулю, если
число под знаком абсолютной величины есть нуль; равно числу,
взятому с противоположным знаком, если число под модулем
отрицательное, т.е.
х,если
х> 0;
|х| = <0,еслм
х = 0;
-х,если х < 0 ;
Например, |4| = 4 , |0| = О,
3
2
17
1.7.2 Геометрический
смысл модуля
|д'| действительного числа X геометрически
Абсолютная величина
означает на числовой прямой длину отрезка от начала координат до
некоторой точки х .
-------------- 1
. . . J ~ И = 3 ------------------►
о
х
-х
Рис. 1.1
П р и м е р 1. Выражение |х —lj геометрически означает длину отрезка
между точкой с координатой 1 и некоторой точкой х .
Пр и м е р
2. Выражение
|х + 2| геометрически означает длину
отрезка между точкой с координатой -2 и некоторой точкой х .
П р и м е р 3. Неравенство |х| < 3 геометрически означает, что длина
отрезка между началом координат и некоторой точкой л: меньше или
равна 3. (см. рис. 1.2). Из этого рисунка видно, что решение неравенства
|х| < 3 будет множество х е [—3; 3 ].
. itZ Z A /Z Z A _______________►
-3
0
3
X
Рис. 1.2
П р и м е р 4. Неравенство |дг| > 2 геометрически означает, что длина
отрезка между началом координат и некоторой точкой
(см. рис. 1.3)
X больше 2
/ У / / Х .______ .Q /// / / Z .___________ *
-2
0
2
X
Рис. 1.3
На
рис. 1.3
видно, что решением неравенства
|дг| > 2
будет
х е (-оо; - 2 ) и ( 2 ; +ос);
18
1.7.3 Свойства
1. Модуль любого действительного числа
|дг| есть неотрицательное
число, т.е. |лг| > 0 .
2. Для любых действительных чисел
X и у : jx • у\ —|дг|•|>j.
2к
— ЛГ
, т.е., если модуль действительного числа возводится
| |2i _
3. |ЛГ|
в чётную степень, то знак модуля можно опустить.
4. Если X - любое действительное число, у Ф 0 , то
х
У
|л:| < а
5. Неравенство
W
равносильно двойному неравенству
- а < х < а , т.е. х е [ - а ; а ] .
Доказательство:
- если
х > 0 , то
|х] = X
х<а.
- если х < 0 , то |лг| = —х
и данное неравенство перепишется в
виде
и неравенство
|х| < а
примет вид
- х < а или х > - а .
Объединяя оба случая, получим
6. Неравенство
—а < х < а
или х е [—а ; а ] .
|х| > b равносильно двум неравенствам
—я: > Ь ,
х < - Ъ или
х е (-о о ; - b ) u ( b ; -кю)
7. \ х - у \ = \ у - х \ .
Доказательство:
\ х - у \ = | - у + дг| = | - ( у - х)| = \у - дг).
8. |х + _у| < |х| + |^| , т.е. модуль суммы двух действительных чисел
превосходит суммы модулей этих чисел.
9. |х-д>|>|л,|-|,у|
19
1.8 ПРОПОРЦИИ, ПРОЦЕНТЫ
1.8.1 П р о п о р ц и и
а _ с
Пропорцией числа называется равенство
~Г ~ ~Т. гДе a , b , C , d -
b
а
действительные числа, причём Ь Ф О и d Ф О .
Числа а и d
называют крайними членами пропорции. А числа
b u d средними членами пропорции.
Основное
свойство
п р о п о р ц и и : произведение
крайних членов пропорции равно произведению средних членов, т.е.
a - d -Ь-с.
Разберём несколько задач.
1. Составить пропорцию из чисел, входящих в равенство 3 •51 = 9 • 17 .
3
9
17
51
Так как выполнено основное свойство пропорции, то — = — .
2. Найти неизвестный член пропорции : х : 15 = 8 : 6 .
х
8
Так как
— = —, то
х • 6 -= 8 • 15 . Следовательно,
15
6
8 1 5 = 2on
х = ------0.
1.8.2
Проценты
Процентом данного числа называется его сотая часть, т.е. десятичная
дробь 0,01.
Обозначается 1%=0,01
Например, 13%=0,13, 120%=1,2.
Разберём несколько задач.
1.Найти 12% числа 96.
Чтобы найти 12% числа
96
надо
96
умножить
на 0,12,т.е.
9 6 - 0 , 1 2 = 1 1 .5 2 .
Эту задачу можно было решить следующим образом: число 96 взять за
100%, а неизвестное X за 12% и, составив схему,
число
96
число процентов
100%
X
12%
видим, что число и число процентов связаны прямо пропорциональной
зависимостью.
Отсюда, 1 — 9 6 •12 = X • 1 0 0 % ,то X = % ' 12%- = 1 1 , 5 2 .
5
100%
2. Из 400 школьников, отдыхающих в лагере, 30% приняло участие в
соревнованиях. Сколько школьников участвовало в соревнованиях.
Так как 30%=0,3, то X = 4 0 0 • 0 ,3 = 1 2 0 человек.
3.В результате перевыполнения плана по сбору макулатуры на 30%
ученики собрали 390 кг. Сколько кг макулатуры они должны были
собрать?
Так как 390 кг составляет 130%, то искомое число
^ 3 9 0 J0 0 %
130%
4. Найти процентное отношение двух чисел 12 и 48?
Чтобы найти процентное отношение чисел 12 и 48 надо разделить 12
12
на 48 и умножить на 100%, т . е . ----- 10 0 % = 2 5 %
48
5. Рабочий за смену должен был изготовить 150 деталей. В результате
увеличения производительности труда, он изготовил 180 деталей. На
сколько процентов поднялась производительность труда?
Составим схему
число деталей
число процентов
150
100%
180
Х%
Найдём X.
„
18 0 100%
X = ---------------- = 1 2 0 %
150%
Новая производительность труда составляет 120% прежней.
Следовательно, производительность труда поднялась на
100%=20%.
120%-
Упражнения к главе 1
1.1. Сколько делителей имеет каждое из чисел 27, 25, 100 ?
1.2. Какие из чисел 123, 139, 225, 881 являются простыми, а какие
составными?
21
1.3. Разложить на простые множители числа 220, 675, 144.
1.4. Разложить числитель и знаменатель на простые множители и
сократить дроби:
234
3630
б) — — ;
182’
1.5. Сократить, дробь:
45
в)
132 ’
'
3-22-3-15
63 25
3 - 2 2 + 3-15
1.6. Найти Н.О.Д. следующих чисел: 20 и 30; 18 и 35; 40 и 900; 75
и 300.
1.7. Найти Н.О.К. следующих чисел: 225 и 150; 81 и 120; 168,231 и
60.
3
1.8. Сравнить дроби:
5
—
13
и — :
80
7
—— и — ;
15
17
0 ,4 2 9
и 0 ,4 3 2 ;
3
- 1 2 , 0 0 2 7 и -12,003.
1.9. Выполнить указанные действия:
3 7
°?-б ;
4
4) 2 - 1 —;
5
2) I - ;
3) - 1 + - ;
5) 3 - - 1 —
5 10
6) 8 — -4—+ 8-^ -6—;
11 9
11 9
^_ 3
7) 1 + 3 I
•24;
8)
4
12
8
17
7 ’
12
8
5 : 2о -----1
3 и1 ------1 1;
9) 6а —
.
12
---- 1---
4
4
9
1
10)1— ( 8 — : 1 — 3 —+ 1—) —1—;
3 v 3 4
8
8
6
11) - 4 , 8 - 3 , 7 + 2 , 9 - 8 , 7 - 2 , 6 - 5 , 3 + 6 ,2 - 1 , 9 ;
12) — : 0 , 125 + 1 ,4 5 6 :— + 4 ,5 — ;
16
13) - 1 , 5 + 0 ,5
25
8
15
—1 ----- ь
10
5
1
6
22
— I------- 1----- 9 — ■—
3
14)
17
4
5 lj[
л ,Л
3'33
1 ,2 5 - 5 ,6 ’
15) 0 , 3 2 - 6 + 0 , 0 3 - ( 5 , 3 - 3 , 8 8 ) + 0 ,6 7 ’
У
Uo
1.10.
Найти
число,
3,6%
которого
составляют
3 + 4,2:0,1
(1:0 ,3 -2 -)-0 ,3 1 2 5
1.11. Найти число, 21% которого равен 105.
1.12. Решить задачи.
1. На первом курсе 80 человек. Из них отличники составляют 21,25%.
На втором курсе 90 человек, отличники составляют 20%. На каком
курсе отличников больше?
2. Рабочий перевыполнил план на 20% и сделал 240 деталей. Сколько
деталей по плану должен был сделать рабочий?
3. За контрольную работу получили оценку «5 » 12 человек, 20
человек- оценку «4», а остальные 8 человек - «3».Сколько процентов
вех учащихся получили оценку «5», сколько оценку «4 », сколько «3»?
4. Мастерская израсходовала за 2 дня 60% всего сырья, причём во
второй день израсходовано в 1— раза больше, чем в первый день.
Сколько сырья израсходовала мастерская в первый день, если было
3
получено 6 — т. сырья?
5. Из 750 учащихся школы 80% участвуют в различных кружках, из
них 5% - члены радиокружка. Сколько учащихся занимается в
радиокружке?
23
6. На заводе 35% всех рабочих женщины, а остальные мужчины,
которых на заводе на 252 человека больше, чем женщин. Найти общее
число рабочих.
7. Получаемый при сушке винограда изюм составляет 32% всего веса
винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
8. На ремонт здания израсходовано 40 кг цемента, что составляет 20%
всего цемента, отпущенного предприятием на ремонт здания. Сколько
кг цемента купило предприятие, если отпущено было 12,5%
купленного цемента?
9. 30%
класса и ещё 5 человек пошли в кино,
а
3
— класса и
8
оставшиеся 8 человек - на экскурсию, Сколько человек в классе?
10. Число 20% этого же числа в сумме равны 36. Найти это число.
11. 25% числа больше 12% этого же числа же числа на 78. Найти
это число.
12. Цену товара уменьшили на 10% , затем ещё на 10%. На сколько
процентов уменьшили цену товара за 2 раза?
13. Мясо при варке теряет 40% своего веса. Сколько вареного мяса
получится из 6 кг свежего мяса?
14. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. В куске такого
сплава содержится олова на 7,2 г больше, чем свинца. Сколько
граммов свинца в куске?
15. Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти ещё 5
км. Какова длина пути?
16. Число О составляет75% числа
Ъи
40% числа с.Число С н а42
больше, чем Ь . Найти числа (2 и Ь .
17. 45% семейного бюджета составляет заработок отца, 30%
зарплата матери, 15% стипендии дочери, а остальные 400 рублей пенсия бабушки. Сколько рублей получает семья вместе?
18. Бригада дорожников должна была прокладывать в день 2,5 км
пути. В первый день бригада выложила 2 км дороги, во второй - 3 км.
Найти процент выполнения нормы в первый день и во второй день.
19. Месячная зарплата рабочего 1500 руб. Рабочий израсходовал на
покупку брюк и рубашки 30% месячной зарплаты. Сколько стоит
рубашка, если брюки стоят 325 руб.?
20. По плану фирма должна была подготовить 840 договоров, но они
перевыполнили план на 7,5%. Другая фирма подготовила больше
первой на 33 договора при
плане в 900 договоров. На сколько
процентов вторая фирма перевыполнила план?
24
21. Фермер привёз на мельницу 3 мешка пшеницы. В первый мешок
5
1
вошло — всей пшеницы, во второй---- , а в третий на 10 кг больше,
18
3
чем во второй. Сколько килограмм муки получилось из этого зерна,
если 9% ушло в отходы?
22. На складе было 560 центнеров муки, 10% от всей муки отпустили
1
в первый день, во второй день отпустили — остатка, остальную муку
распределили между двумя
магазинами в отношении
0 ,2 6 : — .
Сколько муки получили магазины в отдельности?
23. В первый день рабочий выполнил 35% всего задания по
изготовлению деталей, во второй - 60% от того задания, что сделал в
первый день, а в третий- всю оставшуюся часть задания. Во второй
день рабочий изготовил на 92 детали меньше, чем в третий день.
Сколько деталей изготовил рабочий за три дня?
24. Площадь участка равна 160 га. В первый день вспахали 40%
всей площади. Во второй - 60% остатка, в третий день оставшуюся
часть. Какую площадь вспахали в третий день?
Глава 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2.1 ПОНЯТИЕ СТЕПЕНИ И КОРНЯ
2.1.1 Степень с натуральным показателем
Произведение п сомножителей, каждое из которых есть "а",
называется степенью с натуральным показателем:
а" - а - а - а . . . а ,
„>2,
л
здесь а - основание, п - показатель степени. Если п —1, то а х = а .
Например, 5 4 = 5 •5 ■5 • 5 —6 2 5 .
2.1.2 Обобщение понятия степени
Если некоторое положительное число " а " возводится в степень не
только с натуральным показателем, а с любым рациональным
25
г,
показателем
то говорят об обобщении степени на любой
рациональный показатель и пишут
а° = 1,
Например,
2.
а ” = <Уа" ,
1
в- = — .
/ IV
г
С1 :
/-----
._1
i
1
1
.7
Va
а ■=
1
3 ' =1; 4-3 = ~ = — ; 25^ =л/25 = 5 ;
4
64
2.1.3 Действия над степенями
Действия над степенями с натуральными показателями:
2. а т : а п = а т ~п■
,
а т - а п = а т+п,
ъ . ( а т ) п = а тп;
1.
4. (a - b ) n = a n -bn ■
а
4
!
Над степенями с рациональным показателем можно выполнять ге же
действия, что и натуральными числами.
2.1.4 Понятие арифметического корня
Арифметическим
корнем
п —о й степени
из
некоторого
неотрицательного числа "а" называется такое неотрицательное число
у [ а , которое при возведении в степень Пдаёт это же число "а", т.е.
(VS)*=.а ,
Например, \/36 = 6 , так как 6 2 = 3 6 ; л/l 2 5 = 5 , так как 53 =125;
7 2 5 = 7 ? = . ^ 5 ) 2 = - ( - 5 ) = 5 , т.е.
J
_ \а ’
еСЛЫ
1 - а , если а < 0 ’
26
2.1.5 Свойства арифметических корней
Если корни арифметические, то все рассматриваемые в свойствах
переменные предполагаются неотрицательными. Приведём основные
свойства арифметических корней.
\.*[db=lla-nlb\
[а
*/а
,
~tfb’
3. ( л [ а ) к = y [ c f , т.е., чтобыi !
натуральную степень к , достаточно возвести в эту
подкоренное выражение и извлечь корень п —о й степени.
возве
степень
4. ф / а = п* [а , т.е., чтобы извлечь корень из корня, достаточно
перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить без
изменения.
и/ „ к
_ пт
кт
5. у и — \ и
, т.е. показатель корня и показатель степени
подкоренного выражения можно умножить или разделить на одно и то
же число.
2.1.6 Действия над арифметическими корнями
1. Из свойства 1) следует, что при умножении корней одинаковых
степеней достаточно
перемножить подкоренные выражения и из
полученного результата извлечь корень той же степени:
^ [ а - Ф ) -V c = i j a b c ;
При умножении корней разных степеней вначале нужно по
свойству 5) сделать
показатели корней одинаковыми, а затем
применить действие 1.
Пример.
2.
=i ( a 2b)5 ■i ( a b 3f =
= l4 a l0-b5-a3-b9
yfa
=
.
[a
b *°27
4. При делении корней с разными показателями степени по свойству
5) корни приводят к одинаковому показателю, а затем используют
действие 3.
i f a b _ • ' ф а Ь у _ %1а2Ь2 _ л[ а ^
5. Вынесение множителя из-под корня.
Если подкоренное выражение можно представить в виде
произведения таких множителей, что из некоторых извлекается корень,
то такие множители могут быть вынесены за знак корня.
Например, \/а46 5с 3 = у/а3 ■а - Ь 3 • Ъ2 - с 3 = a b c i l a b 2 .
6. Внесение множителя под знак корня.
Чтобы внести множитель под знак корня, достаточно возвести этот
множитель в степень, показатель которой равен показателю корня и
написать множитель под знаком корня.
= ^ ( З х 4) ф - = ^ 8 1 х 4 ф - =
Например,
7. Освобождение знаменателя дроби от корней (иррациональностей)
В дробных выражениях, знаменатели которых содержат корни, в
некоторых случаях удобнее предварительно преобразовать дробь так,
чтобы знаменатель не содержал корней.
Рассмотрим примеры:
а).
12-л/3 12л/з _ 4^yj
12
7з 7з - 7з
5
5-^2
=
в).
з
4
V 7-V 3
V8
-
5->/2
5 - ^2
"
;
2
4(V7 + л/3)
(л/7-Тз)(Т7 + л/3)
4(V7 + V3)
—
(>/7)2 - ( 7 з ) 2
- * ^ > - , / 7 + Л :
28
г).
с
c ( y f a* - \ f a b + t f b 2)
lfa + y[b
(Zfa + yfb)(\fa2 -yfab + \[b2)
-
_ c(% [a? - \fab + sfb2) _ c(\/<? - yfab + yfb2)
(у/a)3 + (l/ b f
a +b
2.2 ОДНОЧЛЕНЫ
2.2.1 Понятие одночленов
Выражение, состоящее только из произведения двух или нескольких
букв в соответствующих степенях и некоторого коэффициента,
называется одночленом.
2
Например, 3 d Ь , — х у ЪZ2.
Степень одночлена определяется суммой показателей степеней букв,
входящих в одночлен. Например, степень одночлена
—хугг 2 равна
шести.
Одночлены считаются подобными, если они отличаются только
коэффициентами. Например, одночлены
3<Я Ь
и
—а 2Ь будут
подобными.
2.2.2 Действия над одночленами
1. Сложение и вычитание.
Чтобы сложить или вычесть одночлены, достаточно записать их друг
за другом и привести подобные члены.
ПРИМЕР.
5 т ' п - Ътп2 - 2 т ъп + т п 2 - т п = 3 т ъп - 2 т п г - т п .
2. Умножение.
Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их
коэффициенты и буквенные выражения по правилу умножения
степеней с одинаковыми основаниями.
29
Пример. 3 х * у 2 - —х у 3 = —х 5у 5.
6
2
3. Деление.
Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно разделить
коэффициенты и буквенные выражения по правилу деления степеней с
одинаковыми основаниями.
Пример.
1 0 а 3Ь2с
5 cib —2 a " b c .
2.3 МНОГОЧЛЕНЫ
2.3.1 Понятие многочлена
Алгебраическая
многочленом.
сумма
нескольких
одночленов
называется
Например, х2у - х у + ^ х у 2 .
Степень многочлена определяется старшей степенью одночленов,
составляющих
данный
многочлен.
Например,
многочлен
X3у + 2 х у г —2 у 3 будет многочленом четвёртой степени, так как из
всех одночленов старшую степень имеет одночлен X у ,
2.3.2 Действия над многочленами
1. Умножение многочлена на одночлен.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно все члены
многочлена умножить на одночлен.
ПРИМЕР.
Г
1
л
\
/
- \ - а 2 - - а Ь + Ь2 ( - 2 аЬ) =
- а 2 - - а Ъ + Ъ2\ - 2 а Ь ) =
V
=
Ъа2Ъ+ —а 2Ь2 — 2аЪъ
2
2. Умножение многочлена на многочлен.
Чтобы умножить многочлены, нужно каждый член первого
многочлена умножить на каждый член второго многочлена и привести
подобные члены.
30
ПРИМЕР.
(х 2 + ху - у 2)(2х - у) = 2хъ + 2хгу - 2 х у 2 - х 2у - х у 2 + у 1 =
= 2х" + х 2у - 3 х у 2 + у 3.
3. Формулы сокращенного умножения.
В некоторых случаях умножение удобно осуществлять с
использованием формул сокращенного умножения. Приведём эти
формулы.
1.
(а + Ь)2 = а 2 +2a b + b 2.
2. ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .
3.
( а + Ь)(а - Ь ) = а 2 - Ь 2 .
4.
( а + Ь)3 = а 3 + 3 а 2Ь + 3 a b 2 + Ь3.
5.
(а -
b f - o ’ - 3 a 2b + ЪаЬ2 - b 3 .
а 3 +ЬЪ= ( а + b ) ( a 2 - ab + b 2) .
7. а ъ - Ь ъ - (a —b)(a2 +ab +b2) .
Выражения (а + Ь)2 = а 2 + 2 ab + Ь~ и
6.
(а - Ъ)2 = а 2 - 2аЪ + Ь2
часто называют полными квадратами.
4. Выделение полного квадрата.
Действие выделения полного квадрата рассмотрим на конкретных
примерах:
а),
В
х2 + у 2 = х2 + 2ху + у 2 - 2ху - (х + у ) 2 - 2 х у .
2 2 до полного квадрата не хватает выражения
выражении д: + у
2 х у , поэтому
добавили 2 х у , а чтобы значение выражения не
изменилось, и отняли 2ху .
После представления выражения т 2 + Ътп в виде т 2 +2 - —т п до
полного квадрата недостаёт квадрата второго числа
,
прибавили и отняли
—
, поэтому
(3 п '
—
V2 /
5. Разложение многочленов на множители.
Разложить многочлен на множители- это значит представить его в
виде произведения двух или нескольких неразложимых множителей.
При разложении многочленов не множители применяются в основном
следующие действия:
- группировка;
- вынесение общего множителя за скобки;
- применение формул сокращенного умножения;
- представление некоторого члена многочлена в виде суммы или
разности двух членов;
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1. Разложить многочлен
множители.
Решение.
а 2 - 2ab + Ь2 - ас + bq
на
a 2 - 2ab + b 2 - а с + Ьс - ( а 2 - 2аЬ + Ь2) - ( а с - Ьс) =
- ( а - b ) 2- с ( а - Ь ) ~ ( а - Ь ) ( а - Ь - с ) .
х4 + х3 -
jc — 1 =
(хА+ j c 3) - ( . y
+
1) =
(x +
4
3
1
X + X —X —I .
l ) j t J - ( х + 1) =
ПРИМЕР 2. Разложить на множители многочлен
= (х + 1)(х3 -1) = (х + 1)(лг- 1)(х2 +х +1)
6. Деление многочлена на одночлен.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член этого
многочлена разделить на этот одночлен.
ПРИМЕР. ( - 4 а 5Ь2-
- а 4Ь5 + - а 3Ь6) : - а 3Ь2 =
32
3
3
3
7. Понятие многочлена одной переменной и его корни.
Выражение
Р ( х ) = а пх п + а п_хх п~х + а п_2х п~2 +... + а {х 4- а0 ,
где @п >&п -\ ? &п-2 ’ •' •’ ’ ^0 ' ег0 коэффициенты, называется
многочленом одной переменной.
Одночлен
а пХп
называется
старшим
членом,
а п •
коэффициентом при старшем члене, число п - степенью многочлена;
а 0 - свободный член многочлена.
Если п = 1 , то имеем многочлен первой степени, который будем
обозначать а х + Ь и называть линейным двучленом.
Если п —2 , то имеем многочлен второй степени, который будем
обозначать а х 2 + Ьх + С и называть квадратным трёхчленом.
Те значения неизвестного х , которые обращают многочлен Р( х) в
нуль, называются корнями многочлена.
8. Деление многочлена на многочлен.
При делении многочленов в основном встречаются два способа.
1 с п о с о б: Многочлены в делимом и делителе раскладывают на
множители ( если раскладываются) и производят сокращение.
2 с п о с о б. Деление «столбиком», напоминающее деление
многозначных чисел.
Подробно остановимся на втором случае.
1 случай, когда многочлены зависят от одной буквы.
Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно их разложить по
убывающим степеням буквы. Деление можно производить всегда, если
степень делимого больше или равна степени делителя. Причём, деление
продолжают до тех пор, пока в остатке не получится 0 или многочлен
степени меньше степени делителя. Правило деления многочленов и
схему их расположения проиллюстрируем на следующем примере:
Выполнить деление: (З х4 —2х2 + х —3 ) : ( х2 + х —2 ) .
Решение: Отметим, что в делимом нет члена с X3, поэтому для удобства
делимое запишем в виде:
З х 4 + 0 • X3 - 2 х 2 + X - 3 ,
т.е.
(Зх4 + 0 •х3 - 2х 2 + х - 3): (х 2 + х - 2).
Деление выполним по следующей схеме:
_ Зх4 + 0 •х3 - 2х2 + х - 3
Зх4 + Зх3 - 6х2
_ - З х 3 + 4х2 + х - 3
-З х3 - Зх2 + 6х
~2 + х - 2
Зх 2- З х + 7
1хг + 7 х - 1 4
—
-Ш+1Т.
Многочлен Зх2 —Зх + 7 называют неполным частным или целой
частью, а ( —12х +11) - остатком. Деление многочлена на многочлен
можно
записать
следующим
Зх4 - 2х2 + х - 3
, 2 ,
_ 12х —11
= 3х - З х + 7 — г
.
образом:
х + х -2
х+ х-2
Пояснение к делению: Мы делим старший член делимого на старший
член делителя и результат Зх2 записываем в частное. Затем Зх2
умножаем на делитель, члены получившегося произведения
подписываем под подобными членами делимого, и вычитаем из
делимого. Старший член полученной разности ( Зх2) делим на старший
член делителя, и полученное частное ( —З х ) добавляем к ранее
найденному члену З х2. Снова ( - З х )
умножаем на делитель,
полученное произведение подписываем под первой разностью и
вычитаем из неё и т.д.
2 случай, когда многочлены зависят от нескольких букв.
В этом случае так же можно пользоваться приведённой выше схемой
деления многочленов, предварительно расположив многочлены в
порядке убывающих степеней одной из букв.
ПРИМЕР. Выполнить деление:
( 2а4 - а 2Ь2 + 3 аЬъ - 5 Ь4): ( а 2 - ЪаЪ+ 2Ъг).
Решение:
34
2 а 4 + 0 •а 3Ь - а 2Ь2 + 3аЪъ- 5Ь4
2 а 4 - 6 а 3Ь + Ла2Ь2
_ 6 a 3b - 5 a 2b2 +3ab3- 5 b 4
6a3Z>- 1 8а2b2 + 12а1>3
\За2Ь2 - 9 а Ь 3 -5Ь*
~ 13а2Ь2 -3 9 а Ь 3 + 2664
а 2 - 3ab + 2 Ь2
2 а 2 + 6 ab + 13 Ь2
---------Ж Ш ^ 7 Т 5 ^ 7 "
Дальше делить уже не нужно, так как полученное в остатке
выражение ЗОаЪ3 -3\Ъ* является многочленом меньшей степени
а , чем многочлены а 2 —ЪаЬ + 26" .
относительно буквы
Ответ:
Т а'-**
ш2* +6аЬ +1& + 30аЬЗ ~ Ш 4
a l - 3 a b + 2b2
а 2 -З аЬ + 2Ь2 '
Упражнения к главе 2
2.1. Выполнить действия:
1. (х + 2 j + 3z)(x - 2 у + 3z ) ;
2
.
+
8
1 2
-х у
2
3. ( я 2 —2 й 6 + &2) + {а2 + 2 a b + Z>2) ;
4. ( х 2 + 2х.у + >’2) - ( х 2 + у 2 - 2 х у ) ;
5.
2
x 2j 2 - ^ a b - ^ a 2b 2 - 1 \ - ( а 2Ь2 ~ ^ х 2у 2 + ^ a b ~ —1 ;
3
6
С..З..З
6. (—0 , 6х.2..3ч
у ) •(0,5х
.у );
7. ( - 8а3Ь2с )-(-2 аЬ 2с 3);
8
.
1
1
.2 3
1—x2.y3z I-1 - l- .x y ' V I;
9. ( - 5 x m+,) -( -2 x 2);
35
10. (-0,4tf"6m)-(-0,8a " +V m);
11. ( - 8 f l T V ) | ~ f l 3- T v | ;
12. (8a3 - 4 a 2b2- 3 a b 2 + 5b3) - ( - 2 a 2b)-
13. [\xy2z - 1 x 2y z 2 +3x2y z y ( - 5 x y z ) ;
14. (a 3 + 2a 2b - 5ab2 - 3Z>3) ■(5a - 2 b ) ;
15. (x3 +Ъх2у-Ъ ху2 + 4.y3)-(2x + 3.y);
16. (a 4 + 5a3 + 4o 2 —3$ + 1)-(a2 + 2a + 1 ) ;
17. (2x4 - Зх3 + 2x 2 - 5 x + l)-(x 2 - 2 x - l ) ;
2.2. Выполнить
умножения:
действия,
используя
формулы
сокращенного
1. (Зху + l) - (З л у -1 );
2. (5о2 - 36)-(5а2 +36);
3. ( а п +Ъп) \ а к - Ь п\,
4. ( ^ + у [ у У ( у ^ - у [ у ) ;
5.[(3* + Г )г ~(х + 3 у )2^-2х у ;
6. |^(w2 + 2 w ) + { т 2 - 2 т )
-5т 2\
I. (х + у)(х - >»Xx2 + у 2);
9. ( a + b + c)(a + b - c ) ;
8. (х + З)2(х - З)2 ;
10.(x + 2>’ + 3z)(x-2>' + 3z);
II. (x + j + z)2;
12. ( x - y + z)2;
13. (a + b + c)3;
14. (l + 2x —x2)3;
15. (a + b)4-,
16. ( a - b ) 4-,
2.3. Разложить многочлены не множители:
2 . a 2- b 2- a + b;
1. a 2 - b 2+ a + b;
3. m3 - m 2n - mn1 + n 3;
4. x3 + x 2y - x y 2 - y 3;
36
5. х2 +2ху + у 2 - I;
6.
т - 2тп + п - 4;
7. 9 - х 2+2х у - у 2;
9х2 - 4 у 2 + 4yz - z2;
10. а 2 + 2 a b + Ь2 - с 2 - 2 c d - d 2 ;
8.
9 . x z - y z - x 2+2х у - у 2;
11. а 4+а3+а + 1;
13. а 5 - а 4 - а - 1 ;
12 .
X5 - X 3 + х 2 - 1 ;
14.
(а +Ь)3- ( а - Ь ) 3-,
15. (a + b ) 4 - ( a - b ) 4;
16. х 5- х 4 - 2 х 3 + 2 х2 + х - 1 ;
17. х3 -З х + 2;
18. а 3 + З а2 - 4 ;
20. х 5 + х4 + X3 + х2 + х +1;
22. т 4 + 5 т 3 + \ 5 т - 9 ;
24. х 3 + 8х2 +19х +12;
26. (х 2 + у 2)3 - 2 x V ( x 2 + J 2) ;
19. т 6 - т 4 + 2 т 3 + 2 т 2;
.
а 4 +а 3 +6а2 + 5а + 5;
23. а 3 + 6 а 2 +11 а + 6;
25. ( p ~ q f +2p q ( p - q ) \
27. ( a + b ) 3 - 2 а 2( a + b)-,
21
4 ab(a +Ь) -
28.
(а +Ь)3;
2.4. Выполнить действия:
1. (0,01 а4 - 0,02а3 + 0 ,04а2 + 0,001а): 0,0 1а;
2.
(ъ 6 3 6 , 4
9
Л 3
з
ах ;
—а х + —а х ----- ах
5
10
J 5
U
3. (9а2Ь3 - 1 2 а V ) : 3а 2Ь - (2 + Ъа2Ь) ■Ь2;
4. ( т 2 - т п у . т + ( т п - п 2) \ п - ( т - п ) ;
5. ( х 3 - 4
х2 + Зх
+ 2 ):(х - 2 ) ;
6. ( а4 - З а 2 + 2 а - 4 ) :( а 2 + а - 2 ) ;
7. (/и4 - 2 /и2« 2 + /и«3 + 2 и 4) : ( т 2 + 3/ио - и2) ;
8. (2х5 + х4 - Зх2 + 2х - 2 ): (х3 + х2 - 2);
9. (х5 - х 4 -~3х2 +х + 2 ) : ( х 2 - х - 1 ) ;
2.5. Доказать тождества:
1.(а +Ь+с)2 +(а-Ь +с ) 2+(а +Ь - с ) 2+(Ь +с - а ) 2 = 4 (а2 +Ь2+с2);
2.
(а +Ь+ с ) 3 + ( Ь - а - с ) 3 + ( с - а - Ь ) 3 + ( а - Ь - с )3 = 2 4 a b c ;
2.6. Выполнить сокращение дробей,
числитель и знаменатель на множители:
х г + 2ху
ху + 2 у 2 ’
9хгу - \ в у 3
Зх2 + 4 ху ’
а3- Ъ 3
4 .-
предварительно
'
х3 - 2 х 2
2х3_у2 - х 4у ’
у 2- х 2
1~ х3
— ;
5 . - - ------—т ;
2а-2Ъ
разложив
6. '
(х + у ) 2 ’
3 + 3х + 3х2 ’
За2- 6 a b + 3b2
2х3 - 2 у 3
а2 +Ь2 - с 2 +2аЬ
6а2 - 6 Ь г
5х2 - 5у 2 ’
а2 - Ь 2 + с2 + 2 ас
ax + a y - b x - b y
х3 - х 2 - х + 1
a x - a y - b x + by
х - 2 х +1
1 0 .-------- - ------------И .— ------------------- ------- ;
x 2- a x + b x - a b
х3 +Ьх2 +ax + ab ’
12- -T - г - , ------------- г ; 13.
14.
3х 2у - х у 2
Зх3 - З х у 2 - х 2у + у 3
5а3 + а 2Ъ+ 5аЪ2 +Ь3
5ab + b2
2.7. Выполнить действия:
1. ( х '4 - х 2+ х '1) : х -1;
2. ( a- 4 +a~2b~l +ab~2 - a V 3) - a V 4 ;
3. (2х + 3хч ) - ( 3 х - 2 х “’) ;
4. (а*2 + а~‘ + 1 )-(а -2 +а) ;
5. ( З р 2- 2 р - ' - р ° ) - ( - 4 р 2+ р - 1)6. (х~3 + х '2 - х° - х ) : (х -2 + х~‘ + я:0) ;
7. (х“2 + а"3)• (х~2 - а"3);
8. (6а2 - 1 0 л - 6 + 4 а _|) :(За + \ - а ~ ' ) ш
,
9. [ т - ( 1 - Гп У ' ] т ( ” - 2) + т \
—-у - т +1
т
38
10. -
Ь - +~аЛ -
+а 3(а 2 - 2аЬ +Ь2)'2;
2.8. Выполнить действия:
2.9. Доказать тождества:
1. ( V 4 - V l 0 + V 2 5 )(V 2 + V 5 )= = 7 ;
2. ( ^ 1 0 0 + ^ 4 0 + ^ 1 6 ) ( ^ Г 0 - ^ 4 ) = 6;
3. (12 ^ 2 + З ^ Г б -2 ^ 2 )(5 ^ 4 -З з | 1) = 84
4.
- i/ab + yfb 2 )(\[а + л/b ) ==а + Ь;
5. (V ^ + V 6 ) 2 - W
6.
V 7 -V 7
^ = ( V ^ - v £ ) 2;
y f x —y f a
■yfax
л/х-л/а
yv
2.10. Выполнить действия:
\2
= 1, если x > 0, a > О, x > a.
У
1. (Зл/То - 2 у[ а + л/25)•V2;
2. ( ^ 5 - З з ^ + 2 л / 3 ) - ^ ;
3. (10^9 + 5л/3) :^ 3 ;
4. f 2 V 5 4 - i < / i 8 + ^ U < / 3 ;
U
2
3
J 2
5. (Зл/2 - 3^ 3 ) •(5-V2 - Зл/З);
6. (4^/ху + ^/ху2”+ 3 V V ) • (
2 лД у );
2.11. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:
m
4.
2
3.
1.
т
</4’
2^25’
a-b
т +п
1
а +Ь
7.
6.
5.
.
yja + b
2yja - b ’
2
10.
2 + V2 ’
13.
а 2- Ь 2
1
14.
2
Тз-л/То’
ifa2 - i f e b + i l b 2 '
1-W
.
..
12
дг-.у
л/х+л/У
16.
1 —77
y/l-Jm '
19.
6
20
^ 7-^ 4’
>/4+l’
a +b
^/(w + и)2
14
15.-
yfx + J y '
18.
lf2-\
21.
..
11.
З-л/3’
yfa-yfb'
17.
12
л/а-6
22.
.
n
l[a +yjb
a-b
a 2 + l/ab + yfb2
40
1
23.
1
24.
V3+V5+V7 ’
V2 + V 3 - V 5 ’
2.12. Выполнить действия:
f
Г/ \<>1-0,5
1.
4
Л2
- 7 ,5 H a
UJ
\
.
~
+ 810,25;
/
1
2 ( 0 ,0 2 7 ) 3 - ( — Г 2 + 2 5 6 0,75 - З " 1 + ( 8 ,5 ) ° ;
6
1i
4 "
(
\~3
1
3. 4 4 +
1 - 0,25
3
- (2 V 2 )
a 1,
4.
5
V5 - V 3
V5 + V 3
Vs+i.
%/5+л/з
V5 - V 3
-s/5 —1 ’
а
+
у[ас+ с
с
а +с
\fac-a
yfac
■t.iL ) : (6л/а + bsjab2 +c);
+c
2 Vo
a-yfab + b
):4 y fab ;
7- 0
y fa -y fb ayfa+b\[b yfa-yfb
V
l + ayfa
1-a\ [a
8. ( 1 - a 2) :
■yfa
■Га +1;
l + yfa
1- y f a
6. (Va +
9.
aVa +Ьл[Ь
\[a + \fb
10.
-y fa b : ( a - b ) +
yj\ + a
\J\ + a - y/l —a
1- a
\J l
2 yfb
yfa + yfb
\ {
—a 2 - 1 + a /4 ' a
2
1
a>
41
11.
xyfx+ yjy
X- у
а 0 + о(о - 2)
12.
а
0
—
о+ 1
15.
16.
а-с
а 3 - с3
а 2 +ас + с 2 a 2b - b c 2
1+
(х 2- у 2)(х + у )
f
17.
18.
19.
20
.
21 .
22 .
За
\ 9 - З х - З а + ах
а 3 + с3
З -Зс2
а 1 + о2 + 2о
1
а 2-1
а - 1 а +о + 1 1 -о
х +у
' ( « + !)
1
+
а “
а +с
ос + 1
+ -— - : { а + с)
13.
а с +а - а с - 1 1- а
14.----
Г~
-2
1
С
1+сЛ с (1 + с )~ 0
-
о -с
Ьс
с
2 ху.2
У
+х4 - 2 х 2у 2+ у 4 (х - у ) 2(х + у )
х - а \ х -21
За
а - 9 За +9о у
о-1
1- Зо + о2
1
Q2 +1
Зо + (о - 1 )
а 3- 1
о-1
1-0
л а 2-аЪ
а гЪ+ Ъ3
1
-+
о2 - Ь 2
'
’
2о
Ь3- а Ь 2+ а 2Ь - а 3 у \
1
a 2 +2ab + b2
1
X -ху
Х + >’>
1
362
а -об
’
a -ab
о
а
Ь2 + 4 ab - а 2
а 2- Ь 2
х-_ у
,2
а +о Ъл-аЬ
6+
N
-
а +Ь
42
2.13. Доказать:
Г ..
1.
Л
*_Z
\У
f.
х
у
„
х)
3.
х + .у v Зх
а2
2 I2
а —о
о 26
'
„2 , >2
а то
ЛаЬ , .
а +Ь
4. а --------- + 6 :
5.
(m +ri)
1+ £
Ху
V
х + _у
Зх
л
а
- + —- 2
т
\
- х -j/
X -J
х- у _
х
ab + fr
2х
x-jy ’
а + аЪ
а-Ъ
а
а +Ь
b
а
а +Ь Ъ -а
п)
2аЪ
=а-Ь ;
а -Ъ~
m- п
1
т 2 + 2тп +пг у т~ п~) т 3п3
тп
т-п ’
Глава 3 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
3.1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
3.1.1 Определение функции
Если каждому элементу X из множества X поставлено в соответствие
по определенному закону единственный элемент У из множества Y ,
то говорят, что задана функция У —f ( х ) .
Множество X
называют областью определения функции и
обозначают Д (у), множество Y - областью изменения или множеством
знамений функции и обозначают Е(у).
3.1.2 Область определения функции
Множество тех действительных значений аргумента X , при котором
функция У —f ( х ) существует, т.е. принимает действительные
значения, называется областью определения функции Д (у). Нахождение
Д(у), как правило, сводится к решению системы двух или нескольких
неравенств. Те действительные значения неизвестного X , которые
принадлежат Д(у), называются допустимыми, а множество всех
допустимых значений X - областью допустимых значений (О.Д.З).
43
Отметим, что при решении уравнений и неравенств нахождение О.Д.З.
неизвестного обязательно.
3.1.3 Понятие обратной Ф у н к ц и и
Если в функции у = f ( х) неизвестные X и У поменять ролями, т.е.
X выразить через У , то получим обратную функцию X —g ( y ) .
Причем, область определения данной (прямой) функции
у = f (х )
совпадает с множеством значений обратной функции
g (_ y ), а
f(x )
совпадает с областью
определения обратной, т.е. Д { / ) = E(g), E ( f ) = M(g)- Следует
множество
значений
функции
отметить, что обратная функция существует только для монотонной
функции.
Множеством значений функции у = f (х ) , называют те значения,
которые может принимать функция f ( ^ ) , когда X принимает «се
значения из области определения. Для нахождения множества значений
Е(у) функции у = J ( х ) нужно найти обратную функцию
g ( y ) и для неё искать область определения. Область определения
обратной функции и будет множеством значений данной функции
У = /(х).
3.1.4 Чётность и нечётность функции
Прежде всего дадим понятие симметричного относительно точки О
множества.
Числовое множество X называется симметричным относительно
точки 0, если для каждого элемента X € X существует элемент
-хеХ.
Примеры симметричных относительно точки 0
множеств: [—3; 3],
( —4 ; 4 ) , ( —°°5 ° о ) ; примеры несимметричных относительно точки О
множеств: ( —1; 3 ) , ( —ос, 2 ) .
Функции У = f ( x ) , х е Д ( / ) , называется чётной, если:
44
1. область определения функции Д ( / ) - симметричное
относительно точки 0 множество;
2. для любого
х е Д ( / ) выполняется условие f ( —х) = f ( x ) .
У = f { x ) , д: е Д ( Л называется нечетной, если:
Д ( f ) - симметричное относительно точки 0 множество;
Функция
1.
2. для любого
Xе Д ( / ) выполняется условие f (~х) = —f ( х ) .
Ели область определения Д ( f ) функции У —f (-*0 не является
симметричным относительно точки 0 множеством или не выполняется
ни одно из условий:
f (~х)
=
f ( X)
или
f ( ~Х)
= —f (лг) , то
функция не является ни чётной, ни нечётной, т .е. говорят, что
У —f ( я ) - функция «общего» вида.
Разберём несколько примеров на исследование чётности и нечётности
функции.
ПРИМЕР 1 . / ( * ) = 4 Ъ - Х .
Так
как
областью
определения
данной
функции
будет
Д ( f ) —(—оо, 3] - несимметричное относительно точки 0 множество, то
эта функция не является ни чётной, ни нечётной.
ПРИМЕР 2.
f(x) = - v +3 •
У
х -9
Данная функция определена только при тех значениях
х2 - 9 Ф 0 ,
т.е.
Д ( / ) = (—«э, —3) ^ ( —3 ,3 )
X Ф —3 , X Ф 3 .
X, для которых
Поэтому,
(3, +оо) - симметричное относительно
точки 0 множество. Теперь проверяем справедливость второго условия
чётности
и
нечётности
функции:
2(-х) + 3 _ -2х + 3 _ 2 х - 3
( - х)2 - 9 ~ х2 - 9 ~ ~ х2 - 9 '
Так как f ( - x ) Ф f ( x ) и f ( ~ x ) Ф - / ( * ) , то данная функция не
является ни чётной, ни нечётной.
ПРИМЕР 3. /
х2
(х) = —----- .
х+ 3
45
Так как для любых X знаменатель X2 + 3 'Ф- 0 , то Д ( / ) = ( —со, °о) симметричное относительно точки 0 множество.
ч
(~х)2
х2
.
Далее j ( - х ) = - — ~2— - = - у — = / (х ).
(-х ) +3 х +3
Получается, что Д ( / ) —( —°о, со) - симметричное относительно точки
О множество, и f ( ~ x ) = f ( x ) - Значит, данная функция является
чётной.
ПРИМЕР 4. / (х ) = Зх - 2 х 3 - х5.
Данная функция определена при любых действительных значениях
X € ( —со, оо) - симметричное относительно точки 0 множество. Далее
/ ( - х ) = 3 (-х ) - 2 ( - х ) э - ( - х ) 5 = -З х + 2х3 + х 5 =
= -(Зх - 2х3 - х5) = -/ (х )
Так как Д (/") = ( —со, °о) - симметричное относительно 0 множество
и f ( —х) = —f (х) , то f (х) = Зх —2 х 3 —X5 - нечётная функция.
3.1.5 Возрастание и убывание функции
Функция
У — f '( ^ ) ,х е Д { у )
некотором отрезке
соответствует большее
называется
возрастающей
на
если большему значению аргумента X
значение функции, т.е. для любых
х „ х 2 е [ а - Ь ] из X, < Х2 следует f ( x x) < f ( x 2) (см . рис 3.1.)
Функция
у = / (х ) , X G Д ( у )
некотором отрезке
соответствует меньшее
называется
убывающей
на
если большему значению аргумента X
значение функции, т.е. для любых
x], x 2 e [ a ; b ] из X, < Х2 следует / ( Х 1) > / ( Х 2 ) (см . рис 3.2.)
46
Рис.3.1
Рис.3.2
3.1.6 Точки пересечения графика функции с осями координат
При построении графиков функций всегда приходится находить точки
пересечения кривой с осями координат. Пусть задана функция
у = / (х ), хеД (у).
Чтобы найти точки пересечения кривой
/ ( * ) с осью Ох, нужно функцию У положить равной нулю и решить
уравнение f ( х ) = 0 . Корни этого уравнения
(если они существуют) и будут абсциссами точек пересечения графика с
осью Ох.
Чтобы найти точку пересечения кривой
У —f
(■*) с осью Оу,
нужно в данную функцию вместо х подставить нуль, если х = О
принадлежит Д ( у ) ■ Полученное значение у
будет второй
координатой точки пересечения графика с осью Оу.
3.1.7 Периодические функции
Функция
y = f ( x ) , X6
Д О ) называется периодической, если
при прибавлении к любому допустимому значению аргумента X
постоянного числа
Г * о
значение функции не изменяется, т.е.
/ ( * + Г ) = / ( * ) , а число Т называется периодом.
47
3.2 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
3.2.1 Определение и график линейной функции
Функция
вида
у — ах + b , где
О, Ь
-
действительные
числа,
называется линейной.
Графиком линейной функции является прямая, пересекающая ось Оу
в точке (О ,Ь) и образующая с положительным направлением оси Ох
угол (р , тангенс которого равен й , т.е. tg(<p) = а
(см.рис. 3.3)
И, наоборот, любая прямая, не параллельная оси Оу, определяется
функцией
У — ОХ + О . Если прямая параллельна оси Оу, то она
описывается уравнением
х —С, где
С-
первая координата точки
пересечения прямой с осью Ох.
ПРИМ ЕР: Построить график функции у
= -2х + 6 .
Р е ш е н и е : Так как графиком линейной функции является прямая, а
для построения прямой достаточно знать две точки, то за эти две точки
удобно брать точки пересечения прямой с осями координат. Чтобы
найти точку пересечения прямой с осью Ох в функции у - -2 .x + 6
положим У ~ 0 и решим уравнение —2 * + 6 = О, X = 3.
48
Корень Х = 3 и будет первой координатой точки пересечения прямой с
осью Ох. Чтобы найти точку пересечения прямой с осью Оу, в данную
функцию вместо х подегавим 0 и получим у = 6.
А ( 3 ;0 ) и 5 ( 0 ; 6 )
Таким образом, прямая проходит через точки
(см. рис.3.4).
3.2,2 Свойства линейной функции
1.Область определения функции: Д ( у ) = ( —оо; оо).
2.Множество значений функции: Е ( у ) = ( —1
с о; с о ).
3.Функция у — ах + Ь при а Ф 0 , 6 Ф 0
не является ни четной, ни
нечётной; при а Ф 0 чёгной и при а Ф 0 , Ъ = 0 нечётной.
4.Если а > 0 , т.е. 0 < (р < — , то при X G ( ~ ° ° ; ° о ) функция является
возрастающей от — ОО до + 0 0 (см. рис. 3.3,а);
Л
если а < 0 , т.е. ~
^ ф < Я , то при
X €Е ( —с о ; о о ) - убывающей от
+СО ДО —СО (см . рис. 3.3,6).
5.Точки пересечения с осями координат:
49
если а Ф 0 , 6 Ф 0 , то точки пересечения прямой с осями координат
находятся по правилу, изложенному в п.6. 3.1. С осью Ох- в точке
А ( —— , 0 ) ; с осью Оу- в точке В( 0, Ь ) (см. рис.3.3);
а
если
С1 Ф 0 , Ь — 0 , то прямая
V — ОХ
проходит
через
начало
координат;
если а — 0, Ъ - 0 , то прямая совпадает с осью Ох;
если
а = 0 ,6 Ф 0 , то прямая параллельна оси Ох и никогда не
пересекает ось Ох, а ось Оу пересекает в точке .5 (0 , 6 ) .
б.Если о > 0 (6 Ф 0 ) , то при д г е ( —аэ;-----)
функция отрицательна,
а
т.е. у < 0 , а при х е [ —— ;-нх>) у Si 0 (см. рис. 3.3,а);
а
если а < 0 (6 Ф 0 ) , то при X е ( —QO;----- )
функция У > 0 , а при
а
х е [ —— ;+ о о )
_у<0
(см. рис.3.3,б).
а
3.3 ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е У РА В Н Е Н И Я
3.3.1 Линейные уравнения
Уравнения вида ах + Ъ — СХ + d , где a , b , c , d - некоторые числа, а
X - неизвестная величина, называется линейным.
Решение. О.Д.З. X €Е ( —со ; с о ) .
Данное уравнение перепишем в виде
ax-cx = d - b ,
(a -c )x = d - b
Если а Ф с , то уравнение ax + b = cx + d имеет один корень
d —6
х = -------- .
а -с
50
Если a = c,d Ф b , то уравнение ( а — с ) х = d —Ь не имеет корней, так
0 •X — d — Ь ,
как получается, что
выполняется.
a -c ,d -b ,
Наконец, если
бесчисленное
множество
а такое равенство при
то уравнение
корней,
так
d ФЪ
( а - с)х - d - b
как
равенство
не
имеет
0 •X = О
выполняется при лю бы х действительных значениях X .
3.3.2 Графическое решение уравнений
Для графического решения уравнения ax + b = cx + d
том
же
рисунке
строим
графики
функций
на одном и
У = С1Х + Ь
и
у = cx + d . Если графики этих функций пересекаются, то абсцисса
точки пересечения и является корнем данного уравнения. Если прямые
параллельны между собой, т.е. никогда не пересекаются, то уравнение
не имеет корней. Если прямые совпадают, то уравнение имеет
бесконечное множество корней.
3.3.3 Уравнения, сводящиеся к линейным
К ним относятся такие уравнения, которые в процессе решения с
помощью алгебраических преобразований приводятся к линейным. Так
как часто в знаменателе таких уравнений содержится неизвестное, то
при решении важно находить О.Д.З. неизвестного. Рассмотрим решение
одного из таких уравнений:
2дс + 1 9 ___ 17______3 _
х 2 —1
5х2 - 5
1-х~
Решение. О.Д.З.:
5 (х 2 - 1 ) * 0 ,
5х2- 5 * О,
■ х 2- 1 * 0 ,
^
х 2 — 1* 0,
1- х # 0;
х * -1,
^
**1 .
1 -х *0 ;
Данное уравнение перепишем в виде:
2л:+ 19
17х5
3 ^ °
5 ( х 2 - 1)
х 2- 1
~\-х
Q
и приведём в левой части к общ ему знаменателю:
51
2х + 1 9 -8 5 + 15(х + 1)
= О или
5 (x 2 - l )
Тогда 1 7 x -5 1 = 0 или х = 3.
Корень X = 3 удовлетворяет О.Д.З.
3.3.4 Линейн ы е уравнения, содержащие нензвестное под знаком
абсолю тной величины
Такие уравнения можно решать либо используя
абсолютной величины действительного числа (см. 1.6.):
х, если
х > 0;
|лг| = - 0, если
х = 0;
определение
- х, еапи х < 0;
либо графически.
ПРИМ ЕР. Решить уравнение:
|х —3| = Зх — 5 .
Решение. Найдём О.Д.З. так как левая часть уравнения всегда
неотрицательная (см. свойство 1 абсолютной величины), то и правая
часть должна быть неотрицательной, т.е. З х - 5 > О или х > - - Итак,
3
О.Д.З. неизвестного будет х е [-;+ о о ) •
1 способ.
х>3,
то
По определению абсолютной величины: если х - 3 > О, т.е.
х -3 =
З х - 5 ,х = 1.
Так
как
1
не
х е [^ ;3 ),
то
значение
Х=
удовлетворяет условию х > 3 , то оно не может быть корнем;
если
х~ 3 < 0 ,
т.е.
Х < 3 ,
а
с
учетом
—( х — 3 ) = З х — 5 , —х + 3 = З х — 5 , х = 2.
принадлежит множеству
i ;L • з ) ,
3 ’
поэтому
О.Д.З.
Значение
X= 2
х = 2
является корнем
уравнения.
52
2_способ. Графический (рис. 3.5). Построим графики функций
у = |х —3| и у = З х — 5 и найдём точки пересечения.
Строим график функции У — |х —3|.
Если X - 3 > 0 , т.е. X > 3 , то у = X — 3 (по определению модуля).
Это
означает,
что
для
X> 3
должны
строить
график функции
у = х - 3.
Если х - 3 < 0 , т.е. X < 3 ,
то У = ~ Х + 3 . Это означает, что для
X < 3 строим график функции У = ~ Х + 3 .
На этом же рисунке строим график функции у - Зх - 5 . Как видно из
рис. 3.5, графики функций У — |х —3|, и У
= Зх — 5 пересекаются в
одной точке, абсцисса которой равна X = 2 .
3.3.5 Система
двух
ли н ей н ы х уравнений с
Системой двух линейных уравнений с
называется совокупность двух уравнений вида
двум я
неизвестными
двумя
неизвестными
53
Г axx + b xy = cx,
1
, l
(3-1)
[a2x + b 2y = c2,
где
ax, bx,C\
и
d2i b2,C2- заданные числ a;
X, у - неизвестные
величины.
Под решением системы уравнений понимают нахождение такой пары
чисел Х , у
, удовлетворяющей обоим уравнениям системы. Система
называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если
не имеет решения.
Существуют несколько способов решения системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными:
1) способ подстановки;
2) способ определителей;
3) графический способ;
4) способ алгебраического сложения;
Подробнее остановимся на первых трёх способах решения.
Способ подстановки. В одном из уравнений одно неизвестное
выражают через другое, например, у через X . Затем полученное
выражение подставляют вместо
у
в другое уравнение. Получается
уравнение с одним неизвестным X . Находят корень этого уравнения, а
после,
воспользовавшись
выражением
у
через
X ,
получают
соответствующее значение у .
Отметим, что данный способ может быть применен не только при
решении систем линейных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений:
J4(х + 2) = 1- 5у,
[3 0 + 2) = 3 -2 *.
Решение. Находим О.Д.З.: X €Е ( —о о ; + с о ) , у <Е ( —с о ; + о о ) .
Преобразуем данную систему к виду (3.1):
j4x + 5y = -7 ,
[2 х + 3>’ = ~3.
Из первого уравнения найдём у и подставим во второе уравнение:
[5у = - 1 - 4х,
|2x + 3v = -3;
54
- 7 -4л:
-1 -Ах
9
^
5
. —7 —4 х
2.x+ 3 ---------- - = - 3 ;
5
У=
- 7 - Ах
' У ” 4
,=>
х = 3;
з
1 0 х - 2 1 - 1 2 х = -1 5 ;
х = -3
Итак, ( - 3 ; ! ) - решение данной системы.
Способ определителей. Вначале введём понятие определителей.
Если четыре числа C l , b , C , d записаны в виде некоторой таблицы
а
Ъ
с
а
, то говорят, что задан определитель второго порядка, который
вычисляется следующим образом:
Пусть
задана
система
двух
а
Ь
с
а
-
— а -и
линейных
О -С
уравнений
с
двумя
Г alx + b y = cl,
неизвестными л
,
[а2х + Ьгу = с2.
Для неё можно составить три определителя второго порядка:
ах
Ъх
а2
Ь2
А =
— Clj * 1^2
&2 '
который образуется из коэффициентов при неизвестных;
А. =
с,
Ь{
с2
Ъ2
— С, • Ь-
с 2 ■Ьу,
который получается из определителя системы
А
заменой первого
\
V
на столбец свободных членов
столбца
ai
j
\ C2 j
55
а,
~ ^1 '^2
а2
^2 '^"1 ’
С2
который получается из определителя системы
столбца
Г иМ
на столбец свободных членов
А
заменой второго
ГеЛ
1
<с 2>
Тогда, решение системы находится по формулам:
\
=
X= ■
А ’
А '
У
Если определитель системы
А
не равен нулю, то система уравнений
совместна и имеет единственное решение.
Если определитель системы
А ^,Ау
определителя
то
А
равен нулю и равны нулю
система уравнений
оба
имеет бесчисленное
множество решений.
Если определитель системы
определителей
А
равен нулю а хотя бы один из
А ^ или А^, отличен от нуля, то система уравнений не
имеет решения, т.е. она несовместна.
Отметим, что метод определителей применяется только для систем
линейных уравнений.
Г7 х — З у = 15,
ПРИМ ЕР. Решить систему уравнений: 4
[5 х + 6 у = 27.
Решение: О.Д.З.: X € ( - о о ; + о о ), у е ( - о о ; 4-эо).
7
-3
5
6
А=
= 7 ■6 - 5 • ( - 3 ) = 5 7 * 0 .
15
-3
27
6
А =
= 1 5 - 6 - 2 7 - ( - 3 ) = 171,
56
7
15
5
27
Тогда, х
= 7 -2 7 -5 -1 5 = 114,
Л
= ——= 3, у — ---- = 2.
А
А
Графический способ
(3; 2) - решение системы.
решения систем линейных уравнений. Так как
Г а , х + Ъ ху ‘= с х,
каждое из уравнений системы i
,
представляет из себя
[ а 2х + Ь2у = с2.
уравнение
прямой
неизвестных
X
и
(
если
У
хотя
бы
один
из
коэффициентов
при
в этих уравнениях отличен от нуля), то
графическое решение системы
линейных уравнений с
двумя
неизвестными сводится к нахождению точки пересечения двух прямых.
Если две прямые пересекаются в одной точке, то система имеет
единственное решение; если совпадают, то система имеет бесчисленное
множество
решений;
если
же
прямые
параллельны, т.е.
не
пересекаются, то не имеет решения.
3.4 Ф У Н К Ц И Я у = -
X
Функция
вида
_ ^
У —
называется
пропорциональной зависимости, где k =£ 0
функцией
обратно
- некоторый постоянный
коэффициент.
к
Свойства и график функции у = — .
X
1.
Область
определения
функции:
так
как
X 5* 0 ,
то
Д О ) = С-00: 0 ) U (0 ; + оо).
_
2. Множество значений функции: так как из функции У —
к
видно,
X
что при к Ф 0 величина у Ф 0 , то Е ( у ) — ( —оо; 0 )
( 0 ; + со ).
57
3. Функция У —
нечётная, так как
=:
~ ~ У ( х ).
—
X
-X
X
Поэтому, её график симметричен относительно начала координат.
4. График этой функции с осями координат не пересекаются, так как
х * 0 , у * 0
(см. свойства 1,2). К тому же, оси координат являются
асимптотами кривой. Асимптота кривой - это такая прямая, к которой
данная кривая неограниченно близко приближается при удалении её
точек в бесконечность, но никогда её не пересекает.
Пусть к > О . Если X —> + о о , то функция У
0 , оставаясь все
время положительной, а при X —> —со, то функция у —> 0 , оставаясь
отрицательной. Если X —> 0 справа, то у —> + о о , а если
X —> 0 слева, то у —> —
Следовательно, график функции
у = — ( к > 0 ) состоит из двух
ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях (рис. 3.6,а).
Пусть
к < 0 . Если X — > + 0 0 ? то функция у —> 0 , оставаясь
отрицательной,
положительной.
а
при
Если
X —> —оо
X
0
функция
справа,
то
у —> 0 ,
оставаясь
у —> —о о ,
если
_ к
X —» 0 слева, то V —> + с о . Значит, значит функция У —
(к < 0 )
X
также состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвёртой
четвертях (рис. 3.6,6).
,= * , * > О
а)
Рис. 3.6
6)
58
,
5.
Если
к > 0,
то
при
х е ( —1
со; 0 )
(0 ; + о о )
к
у ——
функция
X
является убывающей, если же А " < 0 , то при X е ( —с о ;0 )
(0 ;+ о о )
функция - возрастающей.
3.5 К В А Д Р А Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
3.5.1 Ф о р м у л ы р е ш е н и я к в а д р а т н ы х у р а в н е н и й
Уравнения
вида
ах2 + Ь х + С = 0 ,
где
G , b , C - заданные числа
(а 5* 0 ), X - неизвестная величина, называется квадратным уравнением.
Если а Ф 1, то квадратное уравнение называется неприведённым, если
а — 1 , то приведённым.
Если хотя бы один из коэффициентов Ь
или
С равен нулю, то
квадратное уравнение удобнее решать разложением левой части на
линейные множители; если разложение невозможно, то уравнение не
имеет решений.
П олное
<2ф О , Ь
квадратное
ф
уравнение
где
О , с * 0 , решатся по формуле:
х2а
Если
ОХ2 + Ьх + С = 0,
дискриминант
Д > 0,
5 где Д - Ь 2 - 4а с .
то
квадратное
уравнение
имеет два
действительных различных корня;
Если дискриминант Д — 0 , то уравнение имеет два действительных
ъ
одинаковых корня ^
— х2 ~
' ~
2а
’
Если дискриминант Д < 0 , то квадратное уравнение действительных
корней не имеет.
Приведённое
квадратное
решать по формуле х ——
уравнение
X 2 + рх + q = 0
можно
Р ± J f—
p2
— q■
59
Заметим, что особенно удобно пользоваться этой формулой при
решении приведённых квадратных уравнений с чётным коэффициентом
РЕсли в уравнении ах2 + Ьх + С = 0 коэффициент при X
чётный
( Ь = 2 к ) , то формула корней квадратного уравнения примет вид:
х=
- 2 k ± y j 4 k 2 - 4 ас
- к ± л [к 2- а с
=
2
а
.
а
Удобно пользоваться этой формулой
уравнений с большими коэффициентами.
при
решении
квадратных
3.5.2 Теорем а Виета (прямая и обратная)
Прямая теорема Виета. Если квадратное уравнение CVC2 + Ь х + С = О
имеет действительные корни
с
X , , Х2 , то сумма их равна
^ , а
b
Х1+ Х 2 = -----.
а
произведение равно — , т.е.
с
а
а
Следствие. Если приведённое квадратное уравнение X
7
+ рХ + q — О
J x ,+ x 2 = -р ,
имеет действительные корни X, , X , ,то
1
I
xr x2 = q .
Обратная теорема Виета. Если существуют
числа X] и Х 2 , что Xj + Х 2 —
ь
а
ДЕ.а
таких действительных
с
t х • х2 = — , то эти числа Xj и
а
х 2 являются корнями квадратного уравнения ОХ2 + Ъх + С — 0 .
ПРИМЕР.
Не находя корни X, и Х 2 квадратного уравнения 2 х 2 — Зх —8 = 0 ,
вычислить:
60
1) —
+ —
х2
—3
,
2) X,3 + Х22.
х,
Решение.
^2. _ з = х'
1)
х2
х* ~ ^ * 1 * ; _
х,
х ,х 2
_ х ,2 + 2 x tx 2 + х 22 - 5 x tx 2 _ (х , + х 2) 2 - 5 х , х 2
х ,х 2
х ,х 2
3
Если учесть, что х, + х 2 = — , х, • х 2 = —4 (см. прямую теорему Виета),
то получим
х.
х,
.
( х , + х , ) -5 х ,х ,
12
— + — — 3 = — ----- —-------- —- = - —
- 5 - (- 4 )
89
16
2)Х,3 + х 23 = (х, + х 2) ( х , 2 - Х ,Х 2 + х 22) =
з3 ( ( з у
=
( j c 1 + j c j ) ( x 12 + j c j j - x 1x 1 ) = ( x i + j c j x ( x l + x j ) 2 - 3 ^ x 2 ) = -
2
89
х,3+ х , 3 =
1 - 1
\Л '
+ 1 2
Л 3 57 _171
/ 2 4 " 8 '
171
1б'
8
3.6 РАЗЛОЖ ЕНИЕ К В А Д Р А Т Н О Г О Т Р Ё Х Ч Л Е Н А Н А ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е
М Н О Ж И ТЕ Л И
Если
квадратный
трёхчлен
ОХ2 + Ъх + С — 0
имеет
действительные корни X , , Х 2 , то его можно разложить на линейные
множители по следую щ ей формуле:
.2
ах + Ь х + с = а ( х — х , ) ( х — х 2).
Если
(3.2)
= Х2 , ( Д = 0 ), то формула (3.2) примет вид
а х 1 + Ъ х + с = t f ( x - x j ) 2.
(3.3)
61
Правило
разложения
квадратного
трёхчлена
ОХ2 + Ь х + С
на
линейные множители: квадратный трёхчлен нужно приравнять к нулю;
решить квадратное уравнение ОХ2 + Ьх + С - - 0 , найти корни X] и
Х2 и применить формулу (3.2),если Д > О или (3.3), если Д = 0 .
Если же Д < 0 (действительных корней нет), то квадратный трёхчлен
на линейные множители не раскладывается.
П РИМ ЕР. Разложить на множители: Зх2+ х —4 .
Решение:
Приравняв
к
нулю
квадратный
трёхчлен
Зх2 + х - 4 ,
получаем уравнение Зх2 + х - 4 = 0 . Решив это уравнение, находим
4
корни х, = — и х , = 1. По формуле разложения (3.2) имеем:
3
Зх2+ х - 4 = ( х + j ) ( x - 1 ) = (Зх + 4 ) ( х - 1 ) .
3.7 У Р А В Н Е Н И Я В Ы С Ш И Х СТЕПЕНЕЙ
Все уравнения выше второй степени называются уравнениями
высших степеней. Готовых формул для решения всех видов уравнений
высших степеней (такой, как формулы для решения квадратного
уравнения) нет. В зависимости от конкрегного вида уравнения
выбирают различные методы решения. Можно предложить следующие
наиболее распространённые приёмы решения уравнений высших
степеней:
1. метод разложения на множители;
2. метод, основанный на теореме о целых корнях уравнений с целыми
коэффициентами;
3. метод введения новой переменной;
4. графическое решение уравнения (как правило, приближенное).
Сущность первого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример. Решить уравнение: X 3 — 2 х 2 +
Зх — 6 = О
Решение: О.Д.З. X Е ( —оо; о о ) .
Разложим левую часть данного уравнения на множители, используя
для этого приведенные в п.2, 2.3. действия разложения многочленов на
множители:
62
х 3 - 2 х 2 + 3 х - 6 = О , х 2( х - 2 ) + 3 ( х - - 2 ) = 0 ,
( х - 2 ) ( х 2 + 3) = 0.
Откуда следует, что х —2 - - 0 или X 2 + 3 = 0 .
Из
первого
уравнения
находим
X =
2,
а
второе
уравнение
действительных корней не имеет, так как X 2 + 3 * 0 , как сумма двух
положительных чисел.
Таким образом, получаем ответ: X =
2 , который удовлетворяет О.Д.З.
неизвестного.
Второй метод решения уравнений высших степеней основан на
следующей теореме: если уравнение с целыми коэффициентами и
старшим коэффициентом, равным единице( приведённое уравнение).
имеет целые корни, то эти корни находятся среди делителей свободного
члена.
Применение
этого
метода
проиллюстрируем
на следующем
уравнении.
П РИМ ЕР. Решить уравнение: X 3 — З х 2 + 5 х — 3 = 0 .
Решение: О.Д.З. X £ ( —o o jo o ) .
Уравнение является приведённым, так как старший коэффициент равен
единице. Согласно приведённой теореме, целые корни данного
уравнения могут быть среди тех чисел, которые являются делителями
свободного члена (-3). В данном случае свободный член имеет
следующие
делители:
+ 1 ,± 3 .
Подставив
вместо
X
в
данное
уравнение каждое из этих четырёх чисел, легко убедиться, что корнем
уравнения будет X = 1 .Разделив многочлен
двучлен
X 3 — Зх2+
5 х — 3 на
X — 1 методом деления многочленов «столбиком », получим
квадратный трёхчлен х ‘ — 2 х + 3 .
Тогда, данное уравнение примет вид
(х — 1 )(х 2 — 2х + 3 ) = 0 .
Отсюда, X — 1 = 0 или х А— 2 х + 3 = 0 .
Из
X2
уравнения
X —1= 0
находим
X = 1,
а
уравнение
— 2 х + 3 = 0 не имеет корней, так как Д = —8 < 0 .
Итак,
данное
уравнение
X3 — З х 2 + 5 х —3 = 0
имеет
один
единственный корень х = I .
63
Замечание. Применение теоремы о целых корнях приведённого
уравнения для решения неприведённых уравнений высших степеней
будет рассмотрено после изучения третьего метода- введения новой
переменной.
М етод введения новой переменной.
Суть метода состоит в том, чтобы введением новой переменной
данное уравнение преобразовалось в такое, для которого корни
находятся гораздо позже. Этот метод с успехом применяется при
решении многих уравнений.
В частности, применим этот метод для решения биквадратного
уравнения.
Биквадратные уравнения.
Уравнения
вида
биквадратным.
уравнений
ОХ 4 + Ь х 2 + С = 0 ,
Заменой
сводится
X2 — у ,
к
0^0,
где
где
JV — 0 ,
решению
называется
решение
квадратных
таких
уравнений
ау2 + by + С = 0 .
Найдя из последнего
уравнения
у , и учитывая
X
2 _
— у , легко
получить и значения X .
Пример: Решить уравнение: 2х 4 —\1х2 —9 — 0,
Решение. Пусть X2 — у , где У
0 , тогда 2 у 2 — \1 у — 9 = 0 .
Решив последнее уравнение, получим у = - — ,
2
Так как
у ^ 0 , то из двух значений
у
уг
= 9 .
нас устраивает только
У 2 — 9 , т.е. X2 = 9 . Откуда X, = —3 , Х2 = 3 .
На следующем примере проиллюстрируем применение метода введения
новой переменной для
решения неприведённых уравнений с
использованием теоремы о целых корнях уравнения с целыми
коэффициентами.
ПРИМ ЕР: Решить уравнение: 2хъ — 5л:2 + 1х + 5 = 0 .
Решение. О.Д.З. X & ( - о о ; о о ) .
64
Чтобы применить теорему о целых корнях уравнения, неприведённое
уравнение приведём к приведённому. Умножим обе части уравнения на
з
такое число, чтобы коэффициент при X стал кубом некоторого целого
числа. В нашем примере таким множителем может быть число 4.
Умножим обе части уравнения на 4:
8 х 3 — 2 О х2 + 2 8 х + 2 0 = 0 .
Перепишем
уравнение
последнее
в
виде:
( 2 х ) 3 — 5 • ( 2 х ) 2 4 - 14 • 2 х 4- 2 0 = 0 и введём новую переменную
у ,
положив 2 х - у .
Тогда уравнение примет вид: у ъ —5у 2 + 1 4 _ у + 2 0 = 0
(3.4)
Последнее уравнение уже является приведённым, для которого
применим
теорему
о
целых
корнях
уравнения
с
целыми
коэффициентами. Делителями свободного члена последнего уравнения
являются числа: +1, ±2, ± 4 , ± 5 , ± 1 0 , ± 2 0 .
Подстановкой
убедиться,
вместо
что
у
У — —1
в
последнее
обращает
в
уравнение
нуль
левую
легко
можно
часть.
Значит,
У = — 1 - есть корень уравнения (3.4).
Разделив
_у3 —5у " 4- 1 4 у 4 - 2 0 на у 4 -1 , получим у 2 —6 у + 20.
П осле
чего,
уравнение
(3.4)
перепишем
в
виде:
( у + 1 )( у 2 - 6 у + 20) = 0.
Отсюда у 4 - 1 = 0
или у 2 —6у 4- 2 0 = 0 .
Второе уравнение действительных корней не имеет, поэтому уравнение
(3.4) имеет только один корень у - - 1 . Так как 2 х =
уравнение
1
X = —
2
2х3 — 5х2 4- 1х 4- 5 = 0
имеет
у
, то исходное
единственный
корень
.
3.8 К В А Д Р А Т Н А Я Ф У Н К Ц И Я
у = ах2 4- Ьх 4- с,
ЕЁ Г Р А Ф И К И С В О Й С ТВ А
Вначале построим график этой функции. Графиком квадратичной
функции
является
парабола.
Существуют
различные
способы
построения параболы. М ы будем строить график функции, определяя
65
её, так называемые, характерные точки (вершина и точки пересечения
параболы с осями координат).
1) Смотрим, куда направлены ветви параболы:
если а > 0 , то вверх; если й < 0 , то вниз.
2) Находим точки пересечения параболы с осью
квадратное уравнение: у
Если
Д
этого решим
> 0 , то уравнение имеет два корня X j , Х2 , значит, парабола
пересекает ось О х
если
Ох , для
= ах2 + Ь х + с .
Д —0 ,
в двух точках с абсциссами X, и Х2 (рис.3.7-а,в)
то X, = Х2 , следовательно, парабола касается оси О х
ь
в точке с абсциссой Х\ — Х2 —
если
Д <
0
2а
(рис.3.7-в,г);
, то уравнение у = ах2 + Ьх + с не имеет действительных
корней, тогда парабола с осью
Ох
не пересекается (рис.3.7-д,е).
О у , для этого в
3) Находим точку пересечения параболы с осью
выражении
у —ах1 + Ь х + с
пересекается в точке
положим
X =
0
. С осью
Оу
(0; с) .
4) Координаты вершины параболы находим по формулам:
Ь
х я = ---------.
я
2а
Ъ2 - 4ас
66
и
в)
Свойства
1. Область определения функции: Д ( у ) = ( —со ;+ с о )..
2. Множество значений функции: если Л > 0 , то
Е ( у ) = \ув ;+ о о ) (см.рис. 3.7- а,в,д); если а < 0 , то
Е(у) =
(см.рис. 3.7- б,г,е).
3. Функция у = ах2 + Ь х + с при а фО , Ь Ф0,с ФО или
а Ф О, Ь Ф О, С = 0 не яиляется ни чётной, ни нечётной, а при
b = 0, с — О( а Ф 0 ) или: b — 0 ( е Ф 0, а Ф 0 ) является чётной.
67
4. Если а > 0 , то при X е ( —оо; Хв ) функция убывает,
а при я: € ( х й ; + о о ) . возрастает (см.рис.3.7- а,в,д);
Если а < 0 , то при X S ( —оо; х л ) функция возрастает,
а при X е ( х в ; + о о ) - убывает (см.рис.3.7- б,г,е).
5. Если Д > 0 и <2 > 0 , то
при X € ( —IC O JX ^U ^X -^+O O )
а при X € [лг,; ДГ2 ]
функция у > О,
функция У ^ 0 (см.рис.3.7-а);
Если Д > О и о < 0 , то
при X е ( —оо; х , )
( х 2; + о о ) функция у < 0 ,
а при X G [ х , ; х 2 ]
функция У ^ 0 (см.рис.3.7-б);
Если Д — 0 , то
при а > 0 ддЯ X € ( —■
о о; + о о ) Функция У ^ 0 , а
при d < О
для X £ ( —с о ; + с о )
у < 0 (см.рис.3.7-в,г);
Если Д < 0 , то
при а > 0
X
ддл
G ( —1оо; + о о ) функция У ^ 0 , а
при О < О дд,, х € ( - с о ; + о о )
у < 0 (см.рис.3.7-д,е).
6. Если (2 > 0 ^т0 верШИНа параболы является точкой минимума
квадратичной функции; если а < ® , то точкой максимума.
3.9 АЛГЕ Б РА И Ч Е С К И Е Н Е РАВ Е Н С ТВ А
3.9.1 Свойства числовых неравенств
Два
числа
а
и
L
° ,
соединённые
знаком
больше
или
меньше,
называются числовыми неравенствами: а > Ь
или
а <Ь
Приведем без доказательств основные свойства числовых неравенств:
1 )если
а > Ь 10Ь < а ;
68
2) если а > Ь , то а
3) если
4)
если
Ь>0;
а > Ь ' Ц ^ > с ,т о а > с ;
а > Ь ( то
для
лю бого
с
выполнятся
неравенство
а + с > Ъ + с или а —с > Ъ —с ) т е > если к обеим частям неравенства
прибавить или от обеих частей неравенства отнять одно и то же число,
то знак неравенства не изменится;
5) если а > Ь и ^ > 0 , т о
ам > Ь т ;
.
6) если а > Ь и ™ < 0 , т о
^
;
Свойства 5) и 6) означают, что при умножении обеих частей
неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а
при
умножении
на
отрицательное
число
меняется
на
противоположный.
7) если
с > < ^ , т о с* + с > b + d .
8) если а > Ь , с < ^ , то a —o b
9 ) если я > 6 , c > d
—d ;
(й > 0 ,Ь 0 ,с > 0 ,(/ > 0 )
та a c > b d .
10) если а > Ь ( о > 0,Ь > 0) и W . натуральное число, то а
11) если а > Ь ( а и О
числа одинакового знака), то
I <I
•> ^
;
^ ;
3.9.2 Неравенства, содержащие неизвестное
Два выражения У !(* Х Л М , содержащие неизвестное, соединённые
знаком больше или меньше, называются неравенствами, содержащими
неизвестное.
Если неравенство строгое, то А ( х) > Л (■*) или
если же нестрогое, то
/; О ) > / , ( * )
или
Совокупность всех значений неизвестного, при которых данное
неравенство, содержащее неизвестное, превращается в верное числовое
неравенство, называется множеством решений неравенства. Процесс
нахождения этого множества называется решением неравенства.
Основная идея решения неравенств состоит в следующем: данное
неравенство равносильными преобразованиями приводим к более
простому неравенству.
69
3.9.3 Основные теоремы о равносильности неравенств
Определение: Д ва неравенства, содержащие неизвестное, называются
равносильными, если они имеют одинаковое множество решений.
Преобразования,
не нарушающие равносильность
выражения,
называются равносильными.
Сформулируем основные теоремы о равносильности неравенств.
Теорема 1: Если к обеим частям неравенства
f x( x ) > f 2( x )
прибавить
одно и то же выражение / з О ) , определённое при всех допустимых
значениях х , то получится неравенство:
Л ( х ) + /з ( х ) > / 2( ^ ) + / 3( х )
равносильное данному.
Следствие. Члены неравенства можно переносить из одной части в
другую с противоположным знаком.
Теорема 2: Если обе части неравенства
одно и то же положительное число
iyf\ ( *
) •>
f \ ( x ) > f 2(x)
умножить на
т , то получится неравенство
( х ) , равносильное данному.
Теорема 3: Если обе части неравенства
f x( x ) > f 2( x)
умножить на
т < О
одно и то же отрицательное число
и , а знак неравенства изменить
на противоположный, то получится неравенство
равносильное данному.
Замечание. Если обе части неравенства умножать на выражение,
содержащее неизвестное, то это выражение должно удовлетворять
следующим требованиям:
1. оно обязано принимать или только положительное, или только
отрицательное значение, и
2. быть определённым для всех допустимых значений неизвестной
величины.
Отметим в заключение, что два неравенства также считаются
равносильными, если каждое из них не выполняется ни при каких
значениях неизвестного.
70
3.9.4 Решение линейных неравенств
Неравенство вида GX + b > C X + d
где
a, b , C , d . действительные
числа ( а Ф 0,Ь Ф 0 ) ' называется линейным.
Решение этих неравенств основано на трёх теоремах равносильности их
п.З.
Решение. О.Д.З. х е ( - ° ° ; + ° о ) .
Данное неравенство перепишем в виде:
QX — C X > d — b
или
(а - с )х > d - b
В дальнейшем могут возникнуть несколько случаев:
1) если &
n
С ^ " , то
d -b
.
*>
а -с
;
d-b
2) если а ~ с < 0 , то
3) если
л < "
_
;
®~~С — 0 > то 0 • X > d —Ь
з десь могут быть следующие
случаи:
а) если d — Ь > 0
б )е с л и
то решения нет;
d —b < 0 f T O X E ( —о о ; + о о ) .
Рассмотри несколько примеров.
П РИМ ЕР. Решить неравенство: 4 (2 —З х ) —(5 —х ) > 11 —х
Решение. О.Д.З. Х ^ С” ’ 00’ + 00) .
8 -1 2 х -5 + х > 1 1 - х )
3 - 1 l x > 11 - х
-1 0 х > 8
Разделив обе части последнего неравенства на (-10), получим
(см.
теорему
3 о
равносильности
неравенств).
Итак,
8
с -—
неравенство
._ 4
выполняется при Х 6 V ° °;
^ ) ■
Зх -1
х —1 х —2
П РИМ Е Р. Решить неравенство: х ----------- < -------------------
71
Решение. О.Д.З
Чтобы освободиться от знаменателя обе части данного неравенства
умножим
на
положительное
число
12
(наименьший
общий
знаменатель):
12 х - 3(3х - 1 ) < 6 ( х - 1) ■- 4 ( х - 2 )
Далее, последовательно получаем:
12я: - 9 х
+ 3 < б х - 6 - 4л;+8 1
3x + 3 < 2 x + 2
х< -\ .
Значит, множество решений данного неравенства будет: х е ( —° ° ’
3.9.5 Систем ы неравенств с одной переменной
Системой неравенств с одним неизвестным называется совокупность
неравенств,
решением
которой
является
множество
значений
неизвестного, удовлетворяющее каждому неравенству системы.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств
решений неравенств, образующих систему.
Чтобы решить систему неравенств с одним неизвестным, нужно
решить каждое неравенство отдельно, т.е. на?гти множество решений
каждого неравенства, и найти пересечение этих множеств.
Рассмотрим несколько примеров:
х ( х —1) —( х 2 —10) < 1—6jc,
1) Решить систему неравенств:
3 ,5 - ( л : - 1 , 5 ) < 6 - 4л:.
Решение. О.Д.З. х е ( - ° ° ; + ° о ) •
| х2- х - х 2 < \ - 6 х ,
[ 3 , 5 - x + l,5 5 6 - 4 x ;
_
j —x + 1 0 < 1—Ьх,
[б х -* < 1 -1 0 , _ >
[-д : + 5 < 6 - 4 х ;
[4 x - jc < 6 - 5 ;
O W W V S ^ X X X X X W
9
I
5
3
X
72
Решением
данной
системы
неравенства
будет
множество
х е ( - о о ; - —) .
2) Найти область определения функции: У — л/Г—"~2х + — = = ■■ .
VX + 3
Решение. Данная функция определена при тех значениях
которых определена как функция V l - 2 * , так и функция
X , при
г - ...... .
yJx + 3
Так как первая функция определена при 1 — 2 х > 0 , а вторая
определения данной функции будет находиться из решения следующей
системы неравенств:
\1-2х>0
2
Iх + 3 > 0 ;
= > х е (- 3 ;- ] .
х > -3 ;
2
1.
Итак,
Д ( > 0 - (- 3 ; —3 .
3) Решить двойное неравенство: —J S — - —
Решение.
Данное
\2x-5
неравенств:
‘
неравенство
> -3
2х —5
< 1;
1
< X
равносильно
следующей
системе
\ 2 х -5 > -9
\2х>-А
( х >2
2 х - 5 <3;
2х <8;
[ х < 4;
«\ 4 \ W X X X X / /
-2
4
х е [-2 ; 4)
73
3.9.6 Рациональные неравенства. Метод интервалов
Под алгебраическими неравенствами будем понимать линейные,
дробно-линейные, квадратные и рациональные неравенства. Решение
линейных неравенств было подробно рассмотрено в п.4 этого
параграфа. Для решения всех остальных видов алгебраических
неравенств предлагается единый подход - метод интервалов. В
дальнейшем дробно-линейные и квадратные неравенства будем
рассматривать как частный вид рациональных неравенств.
Вначале введём несколько определений.
Определение
1.
Функция
вида
» (х ) =
ХК\Л )
V =
У
q
,
где
P n( x ) , Q m( x ) - многочлены соответственно степени " й " и " и 1 ,
называются рациональными.
Определение 2. Корни многочленов
Р„ (х)
«критическими» точками функции У —
и
Qm(х)
называются
Р(х).
Определение 3. Неравенство называется
содержит рациональные функции.
рациональным,
если
оно
Определение 4. Если рациональное неравенство имеет вид, что в левой
части неравенства стоит отношение двух многочленов, а в правой части
нуль, то такой вил неравенства назовём «стандартным».
Переходим к изложению метода интервалов. Этот метод основан на
следующем свойстве рациональной функции: в интервале между двумя
своими соседними «критическими» точками рациональная функция
сохраняет знак.
Суть метода состоит в следующем:
1) Находим О.Д.З. неизвестного. При этом, те значения X , которые не
входят в О.Д.З. (другими словами, значения X , при которых
знаменатели
обращаются
в нуль),
тоже
включаем
в число
«критических» точек;
2) Рациональное неравенство приведём к одному из «стандартных»
видов (если оно не в «стандартном» виде):
74
Р^х)
и или
a . w
"
q
£ М _
^ ^ (в случае строгого неравенства);
J (
x)
■-> п
^о /
\
- и и л и ----------- ь и (в случае нестрогого неравенства);
б - < *)
3) Находим корни многочлена Р„ ( л т ) , приравняв его нулю (корни
многочлена
Q m(х )
были
найдены
при
определении
О.Д.З.)
и
раскладываем числитель и знаменатель на множители;
4) Все «критические» точки отмечаем на числовой оси. При этом,
числовая ось разбиваете:? «критическими» точками на конечное число
интервалов, на каждом из которых левая часть «стандартного»
неравенства сохраняет знак. Причём, число интервалов на единицу
больш е числа «критических» точек.
5) На каждом из этих интервалов определяем знак левой части
«стандартного» неравенства, для чего достаточно определить знак в
какой-либо одной точке соответствующих интервалов. Если этот знак
совпадает со знаком полученного «стандартного» неравенства, то этот
интервал входит в множество решений неравенства. При этом, если
неравенство нестрогое, то границы интервала, являющиеся корнями
многочлена Р п О ) , включаются в множество решений.
Для
иллюстрации
неравенств.
предложенного
метода
решим
несколько
Решить неравенства.
прим ер
1. 2 х 2 + Х - 6 < 0
Решение. О.Д.З.: X G ( —0 0 | + 0 0 ).
Для
2х
нахождения
2
+ X —6 = 0 .
«критических»
Корни
которого
точек
решим
уравнение:
3
X, = —2 , х 2 = — и
будут
«критическими» точками. Левую часть данного неравенства разложим
на множители, используя для этого формулу (см 3.6):
75
ax2 + bx + c = а ( х - х х) ( х - х 2)
3
Тогда получим 2 ( х + 2 ) ( х — — ) < 0 .
Здесь и в дальнейшем разложение на множители
исключительно в целях удобства проверки знака
«стандартного» неравенства.
Итак,
«критические»
точки
*i ~
о
2 и
. -
Х2 -3
числовую ось на 3 интервала: ( ~ ° о ; —2 ) , ( —2 ;
3
производится
левой части
разбивают
всю
3
( — ; +со) .
В каждом из этих интервалов проверяем знак левой части последнего
неравенства:
при Х = - 3
(“ ) ( - ) = (+ ) ;
* = 0
(+ )(- ) = (- );
Х -2
(+ )(+ ) = (+ );
х
Следовательно неравенство 2 *
6 <0
справедливо при [ - 2;^J-
П РИМ Е Р 2. А х 2 - \ 2 х + 9 < 0 .
Решение. О.Д.З.: X Е ( —1
OOJ + о о ) .
Чтобы
найти
«критические»
4 х 2 — 12л: + 9 = 0 .
точки,
Так
решим
как
квадратное
уравнение
дискриминант
Д = Ь 2 —4ас — 144 — 144 = 0 , то квадратное уравнение имеет два
одинаковых действительных корня
3
Х{ = Х2 == — , а значит, и одну
76
«критическую » точку X ~ — , которая всю числовую прямую разбивает
,
-К , 3
Л
на два интервала ( —<оо;
( — ; +со) .
Разложив левую часть данного неравенства на множители, получим:
/
4 х—
3'
< 0 . Легко можно проверить, -что в каждом из этих двух
2
интервалов левая часть последнего неравенства имеет положительный
знак:
2
Отсюда видно, что
неравенство
4 х 2 — 12х + 9 < 0
выполняется
3
только при X = — .
2
П РИ М Е Р 3. З х 2 - 4х + 2 > О .
Решение. О.Д.З.: X Е ( —с о ; + с о ) .
Для нахождения «критических» точек решим квадратное уравнение
З х2 —4 х + 2 = 0 .
Так
как
Д = Ь2—Лас = - 8 ,
то
квадратное
уравнение действительных корней не имеет, а значит, левая часть
данного неравенства на линейные множители не раскладывается. И нет
«критических». Поэтому, числовая ось состоит из одного интервала
+
------------------------------------------------- х------------ *
Подставив лю бое значение из этого интервала, например,
видим,
что
квадратный
трёхчлен
З х2 —4 х + 2
X = 0 ,
положителен.
Следовательно, он положителен при лю бы х значениях X € ( —со; + о о ).
Итак, неравенство выполняется при X £ ( —1
о о ;+ о о ).
Замечание.__
Если
бы
решали
неравенство
З х 2 —4 х + 2 < 0 ,
то
рассуждая таким же образом, пришли бы к выводу, что неравенство
никогда не выполняется, т.е. квадратный трёхчлен ни при каких
X отрицательным быть не может.
77
3.10 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется
иррациональным.
Заметим, что в иррациональных уравнениях все корни чётной степени
рассматриваются в арифметическом смысле, т.е. неотрицательные.
Существуют
два
основных
способа
решения
иррациональных
уравнений:
1) возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) введение новой переменной;
При
решении иррациональных уравнений часто появляются
«посторонние» корни, а именно, при возведении обеих частей
уравнения в чётную степень. Поэтому, после решения уравнения для
выявления «посторонних» корней нужно сделать проверку, подставив
исходное уравнение все найденные корни.
Для иллюстрации основных приёмов решения иррациональных
уравнений рассмотрим несколько примеров.
П РИМ Е Р 1. Решить уравнение: V 2 jc - 3 = - 4
3
Решение. О.Д.З.: 2 х — 3 > 0 , т.е. х —
или х G
Так как левая часть всегда неотрицательна, как корень чётной степени, а
правая часть всегда отрицательная, то данное уравнение корней не
имеет, поскольку yJl x- Ъ Ф - 4 .
П РИ М Е Р 2. Решить уравнение: V 2 — X — 3 .
Решение. О.Д.З.: так как в левой части уравнения стоит корень нечётной
степени, то X е
( —оо; + о о ).
Обе части возведём в третью степень: 2 — X — 2 7 , X = —2 5 .
В данном случае проверка найденного значения
X
подстановкой в
исходное уравнение не нужна, поскольку обе части уравнения
возводили в нечётную степень, а при возведении в нечётную степень
«посторонние» корни не появляются. Итак, ответ X = —2 5 .
П РИМ Е Р 3. Решить уравнение: у/Зх + 1 — y f l x — 1 — 1
78
(З х
+ i > о,
Решение.. О.Д.З.: i
=>
2 х - 1 > 0;
1
хе
Данное уравнение перепишем в виде:
части
возведём
в
квадрат:
J З х + 1 = 1 + л/2лг — 1 и обе
З х + 1 = 1 + 2 л / 2 * —1 + 2 х - 1
ИЛИ
х + 1= 2 л / 2 х -1 .
Обе
части
последнего
уравнения
возведём
в
квадрат:
х 2 + 2 х +1 = 8х - 4 или х 2 - 6 х + 5 = 0 .
Откуда X, = 1,
х 2 = 5 . Оба полученных значения X удовлетворяют
О.Д.З.. Поэтому, делаем
значений
в
проверку с помощью
исходное
уравнение:
при
подстановки обоих
X = 1
имеем
л/3 -1 + I — V 2 -1 — 1 = 1, = > 1 = 1. Значит X, = 1 являегся корнем
данного уравнения.
при
X =
5
имеем
\ 3 -5 + 1 —V 2 • 5 —1 = 1 , = > 1 = 1. Значит, и
х 2 = 5 тоже корень данного уравнения. Итак, Xj = 1, Х2 = 5 .
П РИ М Е Р 4. Решить уравнение: X 2 +
Решение. О.Д.З.:
X2 +
2х + 8 > 0 . Решив методом интервалов это
неравенство, получаем, что х ‘
никогда X 2 +
2х + л/X2 + 2 х + 8 = 12 .
!+ 2 х + 8 > 0 при х е (-оо;+ оо). и
2х + 8 Ф 0 . Итак, X Е ( —1
с о• + о о ).
Решим данное уравнение методом введения новой переменной Для
этого вначале к обеим частям уравнения добавим 8:
х 2 + 2х + 8 + yj х~ + 2 х + 8 = 12 + 8
х ” + 2х + 8 + yj х 2 + 2х + 8 —20 = 0 .
Положим yjx2 + 2 х + 8 = у , где у > 0 . Тогда у 2 + у —2 0 = 0 ,
79
откуда _У] = —5 , у 2 — 4 . Так как у > 0 , то }\ Ф —5.
Для у 2 — 4
имеем \Jx2 + 2х + 8 = 4
или
X2 + 2 х + 8 = 16 или
х2+ 2 * - 8 = 0 .
Из
последнего
уравнения
получаем:
Л", = —4 ,
Х2 = 2 -
оба
удовлетворяют О.Д.З.
Проверка показывает, что оба значения X являются корнями данного
уравнения.
Итак, ответ: X, = —4 , Х2 —2.
3.11 И РРА Ц И О Н А Л ЬН Ы Е Н Е РА В Е Н С ТВ А
Рассмотрим иррациональное неравенство вида:
% / / (*) < < Р (*)
Решение.
О.Д.З.
неизвестного
будет
(3-9)
определяться
из
решения
неравенства f ( x ) > 0 . К тому же, < р ( х ) > 0 , так как f ( х ) > 0
Поэтому, данное
неравенств:
неравенство
f ( x ) > 0,
равносильно
следующей
.
системе
Л х ) > о,
( р( х) > 0,
<р(х) > 0,
или
f ( x ) < ( p 2(x).
V / W < <Р(х)
Рассмотрим теперь неравенство вида:
у[
/ ( х )х р (х )
(3.10)
Решение. Как и выше, должно выполняться неравенство f ( х ) > 0 . Но
в
отличие
от
предыдущего,
(р(х )
может
принимать
как
положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, в процессе
решения должны рассматривать два случая:
ср(х) < 0 и (р{х) > 0 .
В первом случае
системе неравенств:
данное
неравенство
равносильно
следующей
80
/ О ) 2: О,
<р{х) < О,
у [ 7 ( х ) > <р(х).
Кстати, в этой системе последнее неравенство можно опустить, так как
при <р(х) < 0 оно выполняется всегда. Итак, в этом случае данное
[ / ( * ) > о,
неравенство равносильно системе:
{(р(х)<0 .
В случае же (р(х ) > 0 заданное неравенство равносильно следующей
системе неравенств:
/ ( * ) - о,
А х ) > О,
ИЛИ
<Р(х) Z О,
<р(х) > О,
f(x )> < p \x ).
у / ( х ) > <р(х).
Тогда, из последней системы видно, что первое неравенство можно
опустить,
так
как
из
неравенства
f ( x ) > < p 2( x )
следует
справедливость неравенства f ( х ) > 0 .
Решением неравенства (3.10) будет объединение множеств решений
обоих случаев.
1. Решить неравенство: V 2 х 2 — Зх — 5 < X — 1.
Решение. Так как О.Д.З. неизвестного будет находиться из решения
неравенства 2 х 2 — Зх — 5 > 0 и, к тому же, X —1 > 0 (см. решение
неравенства (3.9)), то данное неравенство равносильно следующей
системе:
2х2 - З х - 5 > 0,
л: - 1
> 0,
Г
или
л[2х2 - З х - 5 < х -1.
2л-2 -З д :-5 > 0 ,
jc —1>0,
(3.11)
2х2- З л - 5 < ( л - 1 ) 2.
Решим первое и последнее неравенства системы отдельно, применяя
для каждого метод интервалов.
Решением неравенства 2 х 2 — Зх
—5 > 0 будет множество значений
81
5
x e (- c o ;- l]u
2 ;+ С 0 )'
Решением неравенства 2 х 2 — З х — 5 < ( х — 1) 2 или X2 —х — 6 < 0
будет
х е ( —2; 3).
Тогда, решением заданного неравенства будет пересечение множеств
решений системы неравенств (3.11):
5
.
х е (1; +оо),
х е ( —2; 3).
.2
Итак,
хе
-1
решением
1
5
-
2
неравенства
V 2х2- З х - 5
< х -1
является
'5
■;3).
П РИ М Е Р 2. у/х2 + 7 х + \ 2 > 6 - х .
Решение.
Так
как
неравенства Л'2 +
6 —х
О.Д.З.
неизвестного
находится
из
решения
7х +12 > 0 , а правая часть заданного неравенства
может принимать как положительные., так и отрицательные
значения, то мы должны рассмотреть два случая:
1) 6 - х < 0 ;
2) 6 - Х > 0 .
В первом случае данное неравенство равносильно следующей системе
неравенств:
82
х 2 + 7 х + 12 > О,
6
- х < О,
v x 2 + 7 х + 12 > 6 - х .
Третье
неравенство
системы
можно
опустить.
Тогда:
J x 2 + 7х + 1 2 > 0 ,
{
6 -- х < 0.
Решив эту систему неравенств, получим х е (6 ; + о о ) .
Во втором случае
следую щ ей системе:
( 6- х > 0)
данное
неравенство
равносильно
х 2 + 7х + 12 > О,
6-
х > О,
у/х2 + 7 х + 12 > 6 - х.
Если обе части третьего неравенства возведём в квадрат (возведение в
квадрат
возможно,
гак
как
6 -х >0
и
л/х
2+7
х
+ 12 > 0
-
арифметический корень), то систему можем переписать так:
х 2 + 7 х + 12 > 0,
6 - х > 0,
х 2 + 7 х + 12 > ( 6 - х ) 2.
Тогда, первое неравенство системы можно опустить как следствие
третьего неравенства той же системы:
6
-- х > 0,
х 2 + 7 х + 1 2 > 3 6 - 1 2 х + х 2.
Решив эту систему неравенств, получим х е
^24
■;6 ].
v 19
Объединив
множества
данного неравенства: х €
решений
24
19
обоих
случаев,
J
получим
; 6 ] u [ 6 ; + o o ) или х е
решение
24
— ;4-оо).
19
83
Упражнения к главе 3
3.1. Построить графики следующих функций:
1 )> ’ = 2 х + 8 ;
2 ).у = - 3 х + 6 ;
3) у = - 4 х - 8
л:
4) у = ~ ;
5) у = - 2 х ;
6) у = - х ;
7 ) У = 3;
8) >> = - 1 ;
10) х — —3 ;
11) х = 2;
13) 2х + 3у + 6 = 0 ;
14)
15)
16)
9 ) у = 0;
12)
X = 0;
З х -> > -6 = 0;
1 2 -З х -4 у = 0 ;
= |лг|;
17) у
= —1*|;
м
is ) y = j ;
20) у - |х| + 4 ;
21) у = 2 —|х|;
22) у = \х- 2\;
23) _у = |х + 3|;
24)
25)>> = |x + l| + 3 ;
2 6 )у = - | х +
19) у =
2|х|;
= |х —1|—
2|+ 1;
3.2. Построить графики следующих функций и исследовать их ceoi
1 )> ’ =
2 х -6 ;
2) у ——4л: + 8;
X
4) у = - З х ;
7)
3) у = 4 - х ;
5) У = ~1
- 2 х + .у - 4 = 0;
10) у = -2\х\ + 4;
8) у
= |х—3|;
11) >> = 3|х| — 6;
х
*>У=Г
.
Ч
9) У —|б—Зх|;
12) j = jx + l| -
3.3. Построить точку пересечения двух прямых, определённых
линейными функциями; результаты проверить графически:
а )у = 3 х -7 ;и
.у = - х + 1;
б ) у = - 2 х + 5; и у —х - 1 ;
в) у = - 4 х + 6; и у - - 4 л :- 4 ;
3.4. В функции у — ах —3 определить " а " , если известно, что прямая
проходит через точку А (-4;2). Построить эту прямую
84
3.5. В функции у = —2 х + b определить "Ь " , если известно, что
прямая проходит через точку А(2;-7). Построить эту прямую.
3.6. Исследовать чётност ь и нечётность функций:
1)
= jc2 - 4 ;
3) у =
2 ) у = у1Ах-%\
х2+ 1 ’
4) у = -
Зх2
5 ) у ~ х -Зх - 5 ;'
7) у = х + 5 х - 1 0 :
6 )^ =
З х -5
х2+4
7х
8) у =
х
3.7. Решить уравнения:
6 x 4 -7
„
5 х -3
1 ) ------------ 3 = ---------- ;
7
8
2) 1 0 -
2
5)
( х - 5 )■
х -2
11
З х -5
6)
9х - 7
4х - 5
З х -2
2 х -3
7 )
4)
3
х+З
2
З х -1
Х4-1
х+2
_
х+3
3) — — + -—Г— = з ■
х+4
Зх - 1
вх + 3
11
х _ З х -5
3“ “
7
5 х -3
7
2 х -5
■
— — 1,
х -1
х -2
,
= 1;
8) (х + 5 )(х + 2) - 3(4х - 3) = (х - 5 )2;
9)
(Зх - 1)2 - 5(2х + 1}2 + (6х - 3)(2х + 1) = (х - 1)2;
10) 2х2 + (х + 5)2 - 2(х + 7 )2 = 2(3х - 72,5) + (х - 6 )2;
11) (х + 1 )3 - 6 (х 2 + х + 1) = ( х - 1 ) 3;
12) 2х(3х - 2) - 3 1- (2 - х )(2 х + 3) -
13)
14)
х (х —1) +
9 ( х - 1)
15
5
” 4 _
2х + 19 ___ 3 _ _ _____
5х2 - 5
1 -х
х- 3
= 13;
х (2 х - 1 )
5 (2 х - 1 )
2
4
17
х 2—1*
85
2х - 1
2x + l
2х + \
2х-\
8
1 5 )--------- = ----------+ --------- т;
1- 4х
16) — — ■— +
(2.x + 5) 2
( 2х + 1)2
1
17)
( 3-2 хУ
( 2х + 1)(2х + 5)
3
4
9-4xz
(3 + 2х У
3.8. Решить относительно X следующие уравнения с буквенными
коэффициентами:
х -а
а+х
х+а
а -х
а
D ------- + -------- =
х
а+ Ь
з ) -------- —
а
------
х
;
2 )—
а -х
а
„
х-а
— --------;
х
4)
а
х
х
а
—
2х+а
а
2а
х
= — -----------;
2х
3
2
х -а
х+а
Зх-1а
—
2
х - а
Т-
а2
5) — -------------------= — ^
За + х
1
6 )
х-3а
1
Ъс-Ъх
7)
9а - х
2
2
= — -------- + ------------;
ас-ах
b -Ьх
За
а
а
х-а
х-2а
х-а
=
а
а-b
ас + Ьс
2Ьх
8 ) ------ Ь
—
ab-ax
2а
+
2а-х
а+Ь
Ь
2Ьс
,
ах + Ьх
3.9.Решить системы уравнений:
Г 2 х - 3 ^ = 8,
U x + 3y = - 4 ,
[ 7 x - 5 j = -5 .
[б х + 5у = -7 .
ГЗ х - 2^ = 11,
Г2х + 5_у = 25,
З ) [ 4 х - 5 у = 3.
4) [4 х + 3_у = 15.
j - 2 x + 3^ = 5,
| 4 x - 6 j / = 3.
1З х -1 ,5 ^ = 4.
86
7)
j 7 * “ 3>’ + l = 0,
[4 x - 5 .y
Г З О - 1 ) = 4 у + 1,
+ 17 = 0.
[5 0 > -1 )
= х + 1.
3.10. Решить системы уравнений способом определителей:
1}
| 5х + 6у - 13,
2)
{ 7х + 9_у = 8,
[7 х + 18.у = -1 .
[9 х -8 .у = 69.
Г2х + 3>> = -4 ,
( 6х - 7у = 40,
[5х + 6у = -7 .
'
5 [З х - 2у = -4 ,
-
2х = -8 .
6 |9х +1 2^ + 3 = 0,
{ - 6 х + 4 у = 8.
[З х + 4.у + 2 = 0.
3.11. Следующие системы уравнений решить графически:
, Л * - 2 , = 4,
[2 х + _у = -2 .
\ х - 2 у = 2.
| * + * = 3,
Г Х + У = ^’
|3х + 3.у = 9.
[ 2х + 2 у = 7.
3.12. Решить системы уравнений:
Г 5(3х + у ) - 8(х - Ь у ) = 200,
1)
[2 0 (2 х - 3у ) - 1 3(х - у ) = 520.
Зх - 2у
5х - 3у
5
3
= х +1,
2)
2х - 3у
3
4х - 3 у
+ --------- — ■= у + \.
2
2 х -у + 3
3)
~3
х~2у+3
= 4,
4
Зх - 4^ + 3 + 4х - 2 у - 9 _
87
2х + 3
ъ ^ ~
4)
’
х (2 у - 5) - 2 у ( х + 3) = 2х +1.
х + 1 _ ‘ ^5
у + 2
5)
3(2х - 5) - А( Ъу + 4) = 5.
Г
6)
(х + 3 )0> + 5 ) = (х + 1)(>> + 8),
[(2 x - 3)(5jv + 7 ) = 2(5х - в ) ( у +1).
Г(х + 5 )С у -2 ) = (х + 2)(>>-1),
7)
\ (х - 4 )0 > + 7) = (х - 3 )0 > + 4).
3.13. График функции у = ах + Ь проходит через точки А(2:3) и
В (-5;-4). Найти значения а и Ь и построить график функции.
3.14. Решить уравнения:
I) Зх2 + 5 х - 2 = 0;
2) 2л:2 + 7х + 6 = 0 ;
3) Зх2 —х —4 = 0;
4) - 5 х 2 -
8х - 3 = 0;
5)
9х2-30л: + 25 = 0;
7)
(х - З)2 + (х + 4 )2 - (х - 5)2 = 17х + 24;
6)
5х2- 7 х + 4 = 0;
8) (х + 5)2 + (х - 2 )2 - (х - 7 )(х + 7) = 11х + 30;
2 х -5
9 )
5 х -3
= ---------- ;
х -1
х2
II
Зх + 5
2х
5 + 2х
Зх + З
4 х -3
7 -х
ю ) --------- = ---------- ;
х+5
= -------- ;
)
5
3
х (х - 7 )
6
,
11х
х -4
10
3
12) — ------- - - 1 = ---------------- ;
3
5 х -х 2
(5 х — 11)2
.
(7 - х )2
1 3 )-------------- ---------- — = 6 - - ------- — ;
88
lt)ix + i £ = l L . ! £ ± V
+ W
4
8
5 x -l
3 x -l
2
15 )
+ ------- = — + x - l ;
9
5
x
14
4 -x
7
1
- v
>
:
3
16) - r ------+ -------- = --------------------;
x —9
3+ x
6
13 —jc
17 )
x+3
3
3 -x
2
+ - r ----- = ----------------- ;
x+3
x -9
, 3 - 2л:
3
x + 3 3 -х
x+3
18) 1— ------- = -------- +
5 -x
19)
1
1
x+1
20)
1
x+3
1
1
x+ 4
1
x- 8
2
x+1
3 -x
1
x -11
x + 2'
1
x-2
x ~ 10
2x-l
1
2 1 ) — --------- 7 = ----- Г + - 3 ----- '
-X
22)
+1
x + 36
X
+1
x+6
л:3 -1
jc
X
+1
x 2 —x + 16
-1
x 2 + x +1
1
4
x 2 + 10x
3-Jt2+ X + l
x+1
x 4- l
23)
4x2+ 2 1
x 3+ x 2+ x + l ’
3.15. Решить уравнения:
I) Зх4 - 2 8 л : 2 + 9 = 0;
3) 5 х 4 - 1 4 х 2 - 3 =
5) 6 х 4 — 5 х 2 + 2 =
0;
0;
7)
2х5 —7х3+ Зх = 0;
9)
2х6 + Зх3 - 5 = 0;
2) Зх4 - 7х2 + 2 = 0;
4)
4 х 4 + 7 х 2 - 2 = 0;
6) 1 6 х 4 - 8 х 2 + 1 =
0;
8) х 6 - З х 3- 4 = 0;
10) (х 2 - 2 х )2 - 1 4 (х 2 - 2 х) - 15 = 0;
II ) (6 х 2 - 7 х )2 - 2 (6 х2 - 7 х) - 3 = 0;
89
14) ( x 2 - 3 x + l ) ( x 2 - 3 x + 3 ) = 3;
16) x 3 + л:2 - Ax - 4 = 0;
17) 3x3- 7 x 2- 7 x + 3 = 0;
18) 3x4 + x 3- 1 2 x 2 - 4 x = 0;
19) x 3 - 4 x2 + x + 6 = 0;
20) x 4 + x 3- 4 x 2+ x + l = 0;
21) 4л:3 -1 6 x 2 + 1 7 x -3 = 0;
22) Зл:3 + 5л:2 + 7x - 3 = 0;
23) х3 - Зх2 + 5х - 6 = 0;
3.16. Построить графики следующих функций:
2) у =
1) у = Зл:2 — 8jc — 3;
х 2 + 6х + 9;
3) у -
-З х 2 - 5 х + 2;
4) у ——х 2 н -4 х-4 ;
5) >> =
2х2- 4 х + 5;
6) у =
7) ^ =
х
2+ 4 ;
-З х 2 + 6х;
8) у = 4 - х 2;
3.17. Построить графики функций:
1) у = х 2 + 2 | х | - 3 ;
2) у = х 2 -- |х| - 6;
9) у = |х —l|(x + l);
Ю) >> = (2 - x )| x + l|;
3.18. Решить системы уравнений:
\х2 + х у = 2,
л:2 + у 2 - 6 у = 0,
2)
1)
у + 2х = 0.
[ у - 3 х = 7.
1 + 1 = 2
3 )- | х
у
х
4)
8’
( х - l)(.v - 1 ) = 2,
6)
_
у
f(x -2 )(> > + l ) = l,
I
х + >> = 5.
Зх - 2
х ~ у = 3.
2 х -5
2 у -3
х -2
у - 1
-------— + — = 2,
v+5
7)
х
В)
+ 3jv2 - 43х 4- 4у - 4 = 0,
Зх + у = 2.
9 ,1
10)
12)
= 2,
З х - Л у = 1.
х -_ у = 4.
л:2 + 2 л у
3’
х - у = 4.
х + у = 12.
5)
у
Г х + у + ху = 5,
[ х у - х + у = 7,
[Х + Д '- Х у = 1.
[xy + x - j y = 13.
\2хг - 3 х у + 2 у 2 ==14,
х 2 + х у - у 2 = 5.
3.19. Решить графически следующие системы уравнений:
х + у = 8,
1)
ху = 7.
х 24-д = 2 х -1 ,
3)
д + х = -1 .
( х - у = 3,
\ ху = -2 .
Гх + д > =
[ х у = -3 .
3.20. Показать, что функция у =
действительных значениях
2,
Зх2 —6х + 5 при лю бы х
" х " положительная. Построить график.
91
3.21. Показать, что функция у = —2х2 + 4 х —3 при любых
действительных значениях
" jc " отрицательная и дать графическую иллюстрацию.
3.22. Найти наименьшее значение функции у = Зх2- 1 х + 2.
3.23. Решить системы неравенств:
Г5 ( j c - 4 ) + 1< lx +
°
Г2(.с -1) -
З,
[ 4 3 - ( 7 + j c ) > 4 j c + 1.
3(х - 2 ) < х ,
2) { 1 7 - ( х - 5 ) > б х - 3 .
| jc( j c - 1 ) - ( jc2 - 1 0 ) < 1 ~ 6 jc,
3)
[
3 , 5 - jc + 1 , 5 < 6 - 4
[ ( jc- 4 ) ( 5
jc-
1 )- 5
x2
>
x.
jc +
1,
4)
3 jc- 0 , 4 < 2 jc- 0 , 6 .
[
( jc- 3 ) ( x - 4 ) < ( x + 1 )( x + 2 ),
5)
[jc(jc
+ 1) + jc(jc + 2 ) > ( 2x
3 jc + 5
10 - 3 x
2x + l
5
3
+ ---------- > ------------ 8.
. 7
6)
Ix
13
l)(x + 3).
-
11(jc + 3 ) ^ 3 jc- 1
6
_
13
5
3.24. Найти целые решения системы неравенств:
6 jc( jc - 1 ) - 3 jc( 2 jc - 1 ) < x,
1)
0, 5 jc - 3 ,7 < 0 , 2x - 0 , 7.
2)
2jc + 1 5
х —1
9
5
х
+ 3'
2 x -1 9
2 jc- 1 1
- 2 jc <
92
2 х -8
х+2<
3)
х —2
9-
18 - 4х
2
------- + —
х -1
2х + 3
х
х+5
2
3
6
2
--------------- + - < 2 --------- .
4)
х + 5 4 -х
х+1
1-------- + -------< 3 х -------- .
8
2
4
> X.
3.25. Решить двойные неравенства:
2 х -1
_
1) 1 < --------< 2 ;
_ - 3 -х
,
2) - 2 < ------- < 1;
3.26.Решить неравенства:
1) Зх - 5 > 5х + 3;
2) 2х + 3 < 7х - 2;
3) (2 х - 3)(8х +1) - 4(х - 1 ) > 1+ (4х + З)2;
2х + 3
х -1
х+1
3
4
2
5)
|х + 2|<3;
6) |х —3| > 2;
7)
|Зх-5| < 7;
8) |2x + l| > 3;
9)
|Зх-1|>х + 2;
4) х ------------ < --------+ -------
10) |2х + 3| < х - 5 ;
11) 4х2 - 7 х + 3 > 0;
12) Зх2 - 2х - 5 > 0;
13)
- З х 2 + 7 х + 6 > 0;
4 х 2 + 4х + 1> 0;
14)
Зх2 - 5 х - 1 < Зх + 2;
15)
16)
- 9 х 2 + 6х —1 < 0;
17) 2х2 - 4х + 5 > 0;
18)
4 х2 + 4 х + 3 < 0 ;
19)
20) 4х2 -1 6 < 0;
22) х 2 —|5х —3|—х < 2;
Зх - 2
2 4 ) ------— < 1;
Х+ 1
26)
28)
х 2+ 4 х + 9
23)
|х - 2| < 2х2 - 9х + 9;
27)
<6;
5-4 х
21) х 2 —7х —12 < |х —4|;
25)
4х + 3
2 х -5
6 х - 2 х 2 > 0;
5 -З х
4 -2 х
5х + 8
4 -х
<0;
29)
>1;
<2;
Зх2 - 5 х + 6
>0;
2 х -7
93
2 -х
зо) — —
х + 1
5х -1
1
> -;
3 1 ) ---------<
л:2 + 3
2
3x 2+ U
-4
.
3 2 ) ----------- -------> 0;
х + 5
x
л-2 - 5х + 6
33)
<0;
х2+ х + 2
Зх2 - 7 х ~ 6
2 хг - Зл: + 8 . л
3 4 ) -------г - — < 0 ;
х -4
35)
2л:2 + З х - 9
.
36) — -------------< 0;
Зл: - 5л: ~ 2
37)
5х3 - Зх2 - 2х > 0;
38) л:4 - 5 х 2 + 4 < 0;
39)
х 4 - 2 х 2 -1 5 > 0 ;
,
2
40) 1 + —
4
2
1
41) — 7 + : ------<1;
х+1
1 -х
6
х —\
1
х
1
(1 - х )(х + 2)2
1
42) ----+------> _ ;
х -2
х -1
43)
Зх 2 - 2 х - 1
44) ~ — I ----- — > 0;
З х -5
45)
л:2+ л :-1 2
2
л:-1
х 2 - 5 х + 12
47)
46)
48)
J_.
х 2 + 4х - 5 > 2 ’
х2- З х + 2
1
<0;
х+1
л:
2х + 3
>0;
4х2 + 7х - 2
>3;
х 2 - 4х + 5
х+ 1
49)
<2;
х" - 5х + 4
<0;
Зх2 - х - 2
х~\
2л: — 1
2 л :- 1
Зд: — 1
5 0 ) ---------> ----------------------:
4
5 х-\
6
3.27.Решить уравнения:
2) л/8 - х = х - 2 ;
1) J 1 2 - х = х;
3) "Jх +
5)
6)
7 + л/Злг —2 = 9;
4
л/2 +
4)
л/4х + 8 - л/Зх-2 = 2;
-л/2 + л: = у/х;
л:
3V2 x -1 +
V8x
+ 17=^===£;
у! 2 х - \
94
Гл------Т
Зх - 1
7) л / 4 х -3 =
т = = ;
VЗх-5
2
8) л/Зх -1 +
= л/5х + 3;
у/Зх-1
9) - i L = - Т З х Т 5 == л/ТО—ос;
V lO - x
Ю) у / х - 9 =
.— - . -л/ х;
\lx-9
11)
V5x + 4 + V 2 x - l = V Зх + 1;
12) V5x + 4 - л/4х^- 3 = л/Зх +1;
13) y J l x - A
- V x + 5 =1;
14) yfx + 2 +
л/ 3 -х = 3;
3.28. Следующие уравнения решить методом введения новой
переменной:
1) V ?
--ч/х = 6;
|
2)
V x -З = 5 ^ х -3 - 6 ;
4)
л/х + 3 + х = 3;
2
3)
х 3 + 2 х 3 - 3 = 0;
5)
х - V x + l = 5;
6) х 2 - 7 х + V x 2 - 7 х
+ 18 = 24;
7) Зх2 + 15х + 2-'/х 2"+ 5 х + 1 = 2;
3.29. Решить иррациональные уравнения:
1)
л/Зх-10 > л / б -х ;
3) J ~ ~
V2 -х
5)
- 1;
х > V 24-5 х ;
7) х - 3 < V x - 2 ;
2)
л/4х-5 < V x + 1;
4)
V x -1 8 < 2 -х ;
6)
л/2х + 14 > х + 3;
8) л/х2 - З х - 1 0 < 8 - х ;
95
9) л/-*2 + 7 х - 6 < 3 + 2х;
10) л/х + 4 х - 5 > х - 3 ;
11) л/х2 - Зх + 2 > 2х - 5;
12) \[&+ 2 х - х 2 > 6 - 3 х ;
3.30. Найти область определения функции:
2) .у = y j 2 x - 5 + —j = =
1) у = л/х + 1 + л / 3 - 2 х ;
;
л/х- 2
4) У = у[(х + 3 )(х - 2 );
3) у = л/х + 3 - л / х - 2 ;
Зх + 1
5 )^ =
.
3 -х
х -2
2 х -3
х+1
9)
5 + Зх
6) У =
8)
1;
== л/4х2 - И х - 3;
10) у ~ \14х ~ х 2 + — ^— ;
= л / -З х 2 - 4 х + 4;
х -2
11)
= л/Зх2 - 4 х - 7 +
12 )
=
v i .-— л/5 - х
■+ л / х - 2 ;
л/3 + 2 3 х - 8 х 2
л/4 + Зх - х 2
3) >> = V 4 х - х 3;
Щ у =
15) ,у = л / х - х 2 + л / 3 х -х 2 - 2 ;
16)^ = ,
х -1
I х 2- 2 х - 3 _
х 2- 7 х + 1 2 *
17) j = л/2х2 + 5 х - 3 +
л/2 + З х - 2 х 2
л/Зх-7
л / х Т Г -2
19)
х + 6.x ■+■8
- х 2 + 5 х —б ’