Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 12. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: Рассмотреть события и действия над ними. Разобрать теоремы сложения и умножения вероятностей Терминология • Ω – множество всех возможных исходов опыта. • ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). • Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( А ). • Ω – достоверное событие, • Ø – невозможное событие. Пример • Опыт – получение оценки на экзамене. • 2,3,4,5 , • А= { ω:ω – положительная оценка} • A 3;4;5 Основные определения • Определение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С, состоящее в выполнении события А или события B С А B A B . Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий. • Определение 2:Произведением нескольких событий называется событие C, состоящее в совместном выполнении всех этих событий С A B A B Основные определения • Определение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют полную группу, если А1 А2 … Аn=Ω • Определение 4: События А1, А2,….,Аn несовместные, если Аj∩Ai =Ø (i≠j) • Определение 5: Противоположным по отношению к событию A называется событие А , состоящее в не появлении А, а значит дополняющее его до Ω A А Пример • • • • • Опыт – получение оценки на экзамене. 2,3,4,5 , Событие А : получение пятерки Событие А: ? А : получение 2, 3, 4. Теорема сложения вероятностей • Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A B) = P(A) + P(B) (AB=Ø) Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что он выберет билет с четным номером? 1 1 1 1 1 5 10 10 10 10 10 10 Теорема сложения вероятностей • В случае, когда события А и B совместны, вероятность их суммы выражается формулой: P( A B) P( A) P( B) P( A B) • Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что студент вытянет билет, номер которого делится на 2 или на 3? 5 3 1 7 10 10 10 10 • Теорема сложения вероятностей Теорема 2: n 1) n P( Ai ) P( A j ) i 1 (Ai Aj = Ø, i ≠ j), i 1 n 2) P( Ai ) P( Ai ) P( Ai A j ) P( Ai A j An ) .... (. 1) n 1 P( A1 A2 ... An ) i 1 • • Если A1, …,An – несовместны, образуют полную группу, то Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: n P( A ) 1 i 1 i P( A) P( A ) 1 Определения • Определение 6: Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие B произошло. Обозначается P(A׀B). • Определение 7: События А и B называются независимыми, если появление одного не меняет вероятности появления другого. P(A ׀B) = P(A), P(B ׀A)=P(B), для независимых событий. Теорема умножения вероятностей • Теорема 3: • Для независимых событий: P(AB) = P(A)∙ P(B), P(∩Ai) = ∏P(Ai) • Для произвольных событий P(AB) = P(A)∙ P(B ׀A), P(A1∩A2∩A3…∩An) = = P(A1)∙P(A2׀A1)∙P(A3 ׀A1A2)…P(An ׀A1…An-1) Примеры: • Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что студент ответит на 3 вопроса? 20 19 18 4 19 3 19 3 57 25 24 23 5 4 23 5 23 115 • Студент знает половину билетов какая вероятность того, что он ответит на три вопроса? n n 1 2 n 2 (n 2) (n 4) n4 2 2n n 1 n 2 8(n 1)( n 2) 8(n 1) • Студент знает половину материала. Вопросы задаются случайным образом по всему курсу. Какова вероятность ответить на три вопроса? 1 1 1 1 2 2 2 8 Примеры • • • • • • • • Студент сдает три экзамена. Ai – сдан i экзамен. Представить в виде суммы, произведения следующие события: A1 A2 A3 А – все три экзамена сданы A1 A2 A3 В – все три экзамена не сданы A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 С – первый и второй не сдан D – хотя бы один сдан A1 A2 A3 A1 A2 A 3 E – хотя бы один не сдан A1 A2 A3 A1 A2 A3 G – только 3-ий сдан A1 A2 A3 F – не менее двух сдано A1 A2 A1 A3 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 • H – не более одного сдано A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A 1 A2 A3 Примеры • • • • • • Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого 0,6, второго – 0,7. Записать указанные события и найти вероятность того, что a) попадут оба стрелка b) промахнуться оба c) попадет первый и не попадет второй стрелок d) попадет только один стрелок Решение: P( A1 ) 1 0,6 0,4; P( A2 ) 1 0,7 0,3 • a) P(А1А2 )=P(A1)*P(A2)=0,6*0,7=0,42 • b) P( A1 A2 ) P( A1 ) * P( A2 ) 0,4 * 0,3 0,12 • c) P( A1 A2 ) P( A1 ) * P( A2 ) 0,6 * 0,3 0,18 • A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0,6 0,3 0,4 0,7 0,46 d) P( несовм. незав. незав. Вопросы: 1)Чему равно произведение противоположных событий? 2)Описать множество элементарных событий Ω для последнего примера.